Capítulo 21 Óptica

Capítulo 21
Óptica
1
Reflexión y refracción
Las leyes de la reflexión y de la refracción nos dicen lo siguiente:
• Los rayos incidente, reflejado y transmitido están todos en un mismo
plano, perpendicular a la superficie de separación.
• Los ángulos incidente y reflejado son iguales:
θi = θr
• Los ángulos incidente y transmitido están relacionados por la ley de
Snell:
n1 sen θi = n2 sen θt
Fibras ópticas
El ángulo crítico para la reflexión total es:
sen θc =
n2
n2
sen 90◦ =
n1
n1
La apertura numérica de una fibra óptica vale:
q
n0 sen αmax = nd 2 − nf 2
Refracción en una superficie esférica
La distancia del objeto p y de la imagen q a la lente están relacionadas a
través de:
n2 − n1
n1 n2
+
=
p
q
R
en donde R es el radio de curvatura.
Criterio de signos:
• p es positivo si está antes que la superficie esférica según la dirección
del flujo luminoso.
• q es positivo si está situado detrás de la superficie esférica.
• R es positivo cuando el centro de la superficie esférica está más allá
de la misma, es decir, cuando la superficie es convexa.
Parámetros de una superficie esférica
La potencia óptica P es igual a:
P =
n2 − n1
R
P se mide en dioptrías, que poseen unidades de m−1 .
La distancia focal primera se define como la distancia a la que hay que
colocar un objeto para que su imagen se forme en el infinito, y vale:
f1 =
n1
P
La distancia focal segunda es aquella a la que se forma la imagen de un
objeto en el infinito:
n2
f2 =
P
El aumento lateral es la relación entre el tamaño del objeto y el de la
imagen:
h0
n1 q
M=
=−
h
n2 p
Lentes
La ecuación que en general relaciona p con q es:
n1 n2
nL − n1 n2 − nL
+
=
+
p
q
R1
R2
Cuando los dos medios son el aire, los radios de curvatura se consideran
positivos para las superficies convexas, y negativos para las cóncavas.
Entonces se verifica la ecuación del constructor de lentes:
1 1
1
1
+ = (nL − 1)
+
p q
R1 R2
!
Características de las lentes
La potencia óptica de una lente vale:
1
1
P = (nL − 1)
+
.
R1 R2
!
Cuando n1 = n2 = 1, las distancias focales son iguales:
f1 = f2 =
1
P
El aumento lateral vale:
h0
q
M=
=−
h
p
Tipos de lentes e imágenes
Si la potencia es positiva P > 0 se dice que la lente es convergente. Esto
ocurre cuando domina el carácter convexo de la lente. Si P < 0 la lente
es divergente y domina el carácter cóncavo.
Si q > 0, la imagen está invertida y es real. Si q < 0, la imagen está
derecha y es virtual.
q
P >0
p > f1
Convergente
q>0
Real
M <0
P >0
p < f1
Convergente
q<0
Virtual
M >0
Divergente
q<0
Virtual
M >0
P <0
Problema 21.1
¿Cuál es el ángulo crítico de reflexión total entre el agua y
el aire? ¿Existe un ángulo de reflexión total entre el aire y
el agua?
Problema 21.2
Un rayo luminoso incide sobre una superficie de agua formando un ángulo de 30◦ con la horizontal. ¿Qué ángulos
forman con la horizontal los rayos reflejado y transmitido?
Problema 21.3
Un rayo luminoso incide oblicuamente sobre una piscina
con agua. Parte del rayo se refleja en la superficie del
agua y otra parte, tras penetrar en el agua, se refleja en el
suelo de la piscina y luego sale al aire. Demuestra que los
dos rayos emergentes son paralelos.
Problema 21.4
El ángulo de Brewster entre dos medios es el ángulo de
incidencia tal que la suma de los ángulos de reflexión y
de refracción es igual a 90◦ . La luz reflejada de un rayo
incidente con el ángulo de Brewster sale linealmente polarizada. Deduce el valor del ángulo de Brewster en función
de los índices de refracción de los dos medios involucrados.
Problema 21.5
Los índices de refracción de los plásticos interior y exterior
de una fibra óptica son 1.7 y 1.1, respectivamente. Determina el ángulo crítico y la apertura numérica de la fibra.
Problema 21.6
Una fibra óptica posee una apertura numérica de 0.9 y un
ángulo crítico de 52◦ . Calcula los índices de refracción de
los plásticos interior y exterior de la misma.
Problema 21.7
Situamos un objeto a 2 m de una superficie esférica de 2
dioptrías de potencia que separa aire de agua. ¿Dónde
se forma la imagen? ¿Y si la potencia óptica fuera de −2
dioptrías?
Problema 21.8
Una superficie esférica de 40 cm de radio separa aire de
un medio con un índice de refracción de 1.8. Situamos un
objeto de 2 mm de altura en el aire a una distancia de 2
m de la superficie esférica, que es convexa vista desde el
objeto. Calcula:
(a) la potencia óptica de la superficie esférica,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el tamaño y el tipo de la imagen.
Problema 21.9
Una superficie esférica de 0.8 m de radio separa dos medios con índices de refracción de 1.2 y 1.8. Situamos un
objeto de 5 mm de altura en el medio con índice de refracción igual a 1.2 a una distancia de 0.6 m de la superficie esférica, que es cóncava vista desde el objeto. Calcula:
(a) la potencia óptica de la superficie esférica,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el tamaño y el tipo de la imagen.
Problema 21.10
Una superficie esférica separa dos medios con índices de
refracción de 1.2 y 1.8. Un objeto situado en el medio con
n1 = 1.2 a una distancia de 0.6 m de la superficie esférica
produce una imagen en el mismo medio a una distancia de
0.3 m de la superficie. ¿Cuál es el radio de curvatura de la
superficie esférica? ¿Cuál sería dicho radio si la imagen
se formara a 1 m de la superficie en el mismo medio que
el objeto?
Problema 21.11
Una superficie esférica posee dos distancias focales iguales a 0.6 m y 0.9 m. Determina el radio de curvatura de
dicha superficie.
Problema 21.12
Demuestra que el rayo óptico que pasa por el centro de la
lente que separa dos medios iguales no cambia su dirección. Encuentra el desplazamiento lateral que experimenta en función del grosor de la lente (sin utilizar la aproximación de lente delgada) y del ángulo que forma con el eje
óptico.
Problema 21.13
Una lente biconvexa está hecha de un material con un índice de refracción igual a 1.7. Sus radios de curvatura son
de 0.4 m y 0.6 m. Situamos un objeto de 2 mm de altura a
una distancia de 2 m de la lente. Calcula:
(a) la potencia óptica de la lente,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el tamaño y el tipo de la imagen.
Problema 21.14
Una lente plano–cóncava está hecha de un material con
un índice de refracción igual a 1.6. El radio de curvatura
de la superficie curva es de 0.5 m. Situamos un objeto
de 1 cm de altura a una distancia de 0.3 m de la lente.
Calcula:
(a) la potencia óptica de la lente,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el tamaño y el tipo de la imagen.
Problema 21.15
Una lente cóncavo–convexa posee una potencia óptica de
4 dioptrías. Situamos un objeto de 1 cm de altura a una
distancia de 0.1 m de la lente. Calcula:
(a) las dos distancias focales,
(b) dónde se forma la imagen,
(c) el tamaño y el tipo de la imagen.
Problema 21.16
Dibuja los rayos ópticos que pasan por los dos focos en
los tres ejercicios anteriores.
Problema 21.17
Demuestra que la imagen virtual producida por una lente
convergente es siempre mayor que el objeto, y que la imagen producida por una lente divergente es siempre menor
que el objeto.
Problema 21.18
Encuentra a qué distancia de una lente hemos de situar
un objeto para que los tamaños de la imagen y del objeto
sean iguales.
Problema 21.19
Una lente plano–cóncava posee una potencia de −2 dioptrías y está hecha de un material con un índice de refracción igual a 1.6. ¿Cuál es el radio de curvatura de su superficie curva? ¿Cuánto valen las distancias focales?
Problema 21.20
Una lente bicóncava simétrica está hecha de un material
con un índice de refracción igual a 1.7 y está inmersa en
un líquido con un índice de refracción de 1.3. Sus radios
de curvatura son de 0.8 m. Situamos un objeto de 4 mm
de altura a una distancia de 1 m de la lente. Calcula:
(a) la potencia óptica de la lente,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el aumento lateral,
(e) el tamaño y el tipo de la imagen.
Problema 21.21
Una lente biconvexa simétrica posee unos radios de curvatura de 0.4 m. Si sus distancias focales son iguales a
0.6 m, ¿cuál es el índice de refracción del material con el
que está construida la lente?
21.1 ¿Cuál es el ángulo crítico de reflexión total entre el agua y el aire? ¿Existe
un ángulo de reflexión total entre el aire y el agua?
El ángulo crítico entre el agua y el aire es:
θc = arcsin
n2
1
= arcsin
= 48.7◦ .
n1
1.33
No hay reflexión total desde el aire al agua, ya que el índice de refracción
de ésta es mayor que el de aquel.
21.2 Un rayo luminoso incide sobre una superficie de agua formando un ángulo de 30◦ con la horizontal. ¿Qué ángulos forman con la horizontal los rayos
reflejado y transmitido?
El ángulo de incidencia vale θi = 90 − 30 = 60◦ . El de reflexión es
también 60◦ , por lo que el rayo reflejado forma un ángulo de 30◦ con
la horizontal. El ángulo de transmisión viene dado por la ley de Snell,
n1 sen θi = n2 sen θt , y despejando tenemos:
1
θt = arcsin
sen 60◦ = 40.6◦ .
1.33
!
El rayo transmitido forma un ángulo de 90 − 40.6 = 49.4◦ con la horizontal.
21.3 Un rayo luminoso incide oblicuamente sobre una piscina con agua. Parte
del rayo se refleja en la superficie del agua y otra parte, tras penetrar en el
agua, se refleja en el suelo de la piscina y luego sale al aire. Demuestra que
los dos rayos emergentes son paralelos.
Deseamos demostrar que θ1 = θ6 . Por
la ley la de reflexión sabemos que θi =
θ1 . Por la ley de Snell:
n1
sen θi .
θ2 = arcsin
n2
!
Por ser las dos superficies paralelas, θ3 = θ2 y θ5 = θ4 . Por la ley de
la reflexión, θ4 = θ3 . O sea, que θ5 = θ2 . Finalmente, la ley de Snell
aplicada al rayo de salida nos dice:
θ6
n2
n2
= arcsin
sen θ5 = arcsin
sen θ2
n1
n
1
!
n2 n1
= arcsin
sen θi = θi = θ1 .
n1 n2
!
!
21.4 El ángulo de Brewster entre dos medios es el ángulo de incidencia tal
que la suma de los ángulos de reflexión y de refracción es igual a 90◦ . La
luz reflejada de un rayo incidente con el ángulo de Brewster sale linealmente
polarizada. Deduce el valor del ángulo de Brewster en función de los índices
de refracción de los dos medios involucrados.
Para el ángulo de Brewster tenemos θr + θt = 90◦ . La ley de la reflexión
nos dice θr = θi = θB , y la de la refracción:
n1 sen θB = n2 sen θt .
Por tanto:
n1 sen θB = n2 sen(90 − θB )
=⇒
tan θB =
n2
.
n1
21.5 Los índices de refracción de los plásticos interior y exterior de una fibra
óptica son 1.7 y 1.1, respectivamente. Determina el ángulo crítico y la apertura
numérica de la fibra.
El ángulo crítico viene dado por:
θc = arcsin
1.1
nf
= arcsin
= 40.3◦ .
nd
1.7
La apertura numérica de la fibra óptica es igual a:
q
√
n0 sen α = n2d − n2f = 1.72 − 1.12 = 1.30.
21.6 Una fibra óptica posee una apertura numérica de 0.9 y un ángulo crítico
de 52◦ . Calcula los índices de refracción de los plásticos interior y exterior de la
misma.
Sabemos las siguientes relaciones:
sen 52◦
=
q
0.9 = n2d − n2f
=⇒
nf
= 0.79
nd
0.81 = n2d − n2f .
De aquí deducimos:
0.81 = n2d (1 − 0.792 ).
Y los índices de refracción valen:
nd = 1.47
y
nf = 1.47 · 0.79 = 1.16.
21.7 Situamos un objeto a 2 m de una superficie esférica de 2 dioptrías de
potencia que separa aire de agua. ¿Dónde se forma la imagen? ¿Y si la
potencia óptica fuera de −2 dioptrías?
La ecuación que gobierna dónde se forma la imagen para una superficie
esférica es:
n1 n2
+
=P
p
q
=⇒
1 1.33
+
= 2.
2
q
Luego la imagen se forma en:
q=
1.33
= 0.89 m.
2 − (1/2)
Si la potencia óptica es de −2 dioptrías tenemos:
1 1.33
+
= −2
2
q
=⇒
q=
1.33
= −0.53 m.
−2 − (1/2)
En este caso, la imagen se forma delante de la superficie esférica.
21.8 Una superficie esférica de 40 cm de radio separa aire de un medio con
un índice de refracción de 1.8. Situamos un objeto de 2 mm de altura en el aire
a una distancia de 2 m de la superficie esférica, que es convexa vista desde el
objeto. Calcula:
(a) la potencia óptica de la superficie esférica,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el tamaño y el tipo de la imagen.
(a) La potencia óptica de la superficie esférica vale:
P =
n2 − n1
1.8 − 1
=
= 2 dioptrías.
R
0.4
(b) La distancia focal primera es:
f1 =
n1
1
= = 0.5 m.
P
2
Y la segunda vale:
f2 =
n2
1.8
=
= 0.9 m.
P
2
(c) La imagen se forma en q dado por la ecuación:
n1 n2
+
=P
p
q
=⇒
q=
1.8
= 1.2 m.
2 − (1/2)
(d) La imagen es real e invertida (por ser q > 0) y su tamaño es:
h0 = −h
n1 q
1 · 1.2
= −0.002
= −0.00067 m.
n2 p
1.8 · 2
21.9 Una superficie esférica de 0.8 m de radio separa dos medios con índices
de refracción de 1.2 y 1.8. Situamos un objeto de 5 mm de altura en el medio
con índice de refracción igual a 1.2 a una distancia de 0.6 m de la superficie
esférica, que es cóncava vista desde el objeto. Calcula:
(a) la potencia óptica de la superficie esférica,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el tamaño y el tipo de la imagen.
(a) La potencia óptica de la superficie esférica viene dada por:
P =
n2 − n1
1.8 − 1.2
=
= −0.75 dioptrías.
R
−0.8
(b) La distancia focal primera vale:
f1 =
n1
1.2
=
= −1.6 m,
P
−0.75
f2 =
n2
1.8
=
= −2.4 m.
P
−0.75
y la segunda:
(c) La imagen se forma a una distancia q dada por:
n1 n2
+
=P
p
q
y despejando tenemos:
q=
1.8
= −0.65 m.
−0.75 − (1.2/0.6)
(d) La imagen es virtual y derecha (por ser q < 0) y su tamaño es:
h0 = −h
n1 q
1.2 · 0.65
= 0.005
= 0.0036 m.
n2 p
1.8 · 0.6
21.10 Una superficie esférica separa dos medios con índices de refracción de
1.2 y 1.8. Un objeto situado en el medio con n1 = 1.2 a una distancia de 0.6
m de la superficie esférica produce una imagen en el mismo medio a una distancia de 0.3 m de la superficie. ¿Cuál es el radio de curvatura de la superficie
esférica? ¿Cuál sería dicho radio si la imagen se formara a 1 m de la superficie
en el mismo medio que el objeto?
La ecuación que gobierna el comportamiento óptico de una superficie
esférica es:
n1 n2
+
=P
p
q
1.2
1.8
1.8 − 1.2
+
=
.
0.6 −0.3
R
=⇒
De aquí deducimos el radio de curvatura:
2−6=
0.6
R
R = −0.15 m.
=⇒
Cuando la imagen se forma 1 m delante de la superficie esférica, tenemos:
1.2 1.8 1.8 − 1.2
+
=
0.6 −1
R
=⇒
y el radio de curvatura vale R = 0.33 m.
2 − 1.8 =
0.6
R
21.11 Una superficie esférica posee dos distancias focales iguales a 0.6 m y
0.9 m. Determina el radio de curvatura de dicha superficie.
Las distancias focales están dadas por:
f1 =
n1
= 0.6
P
y
f2 =
n2
= 0.9.
P
Dividiendo ambas expresiones obtenemos:
n1
0.6 2
=
=
n2
0.9 3
y la potencia óptica vale:
P =
n2 − n1
n1 ((3/2) − 1)
n1
=
=
.
R
R
2R
Sustituimos este resultado en el valor de la distancia focal primera:
f1 =
n1
= 2R = 0.6
n1 /(2R)
=⇒
R = 0.3 m.
21.12 Demuestra que el rayo óptico que pasa por el centro de la lente que separa dos medios iguales no cambia su dirección. Encuentra el desplazamiento
lateral que experimenta en función del grosor de la lente (sin utilizar la aproximación de lente delgada) y del ángulo que forma con el eje óptico.
Cerca del eje óptico podemos suponer que las dos superficies de una lente
son paralelas entre sí y perpendiculares al eje óptico. Entonces, β = β1 ,
por ser las superficies paralelas, siendo β1 el ángulo que forma el rayo incidente con la segunda superficie de separación. Además la ley de Snell nos
dice:
n1 sen α = n2 sen β
n2 sen β = n1 sen α1


=⇒
α = α1 .

Pasamos a calcular la separación entre el rayo real y uno que siempre
fuera en línea recta. La distancia entre ambos a lo largo de la segunda
superficie de separación vale:
d0 = L tan α − L tan β,
en donde L es la anchura de la lente. Recordemos que α y β están relacionados por la ley de Snell. Finalmente tenemos que la separación entre
los rayos es:
d = d0 cos α = L cos α(tan α − tan β).
21.13 Una lente biconvexa está hecha de un material con un índice de refracción igual a 1.7. Sus radios de curvatura son de 0.4 m y 0.6 m. Situamos un
objeto de 2 mm de altura a una distancia de 2 m de la lente. Calcula:
(a) la potencia óptica de la lente,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el tamaño y el tipo de la imagen.
(a) La potencia óptica de la lente viene dada por:
1
1
+
P = (nL − 1)
R1 R2 !
1
1
= (1.7 − 1)
+
= 2.92 dioptrías.
0.4 0.6
!
(b) Las distancias focales son iguales a:
f1 = f2 =
1
1
=
= 0.34 m.
P
2.92
(c) La imagen se forma a una distancia q dada por:
1 1
+ =P
=⇒
p q
!
!
1 −1
1 −1
q = P−
= 2.92 −
= 0.41 m.
p
2
(d) La imagen es real e invertida (por ser q > 0) y su tamaño es:
q
0.41
h0 = −h = −0.002
= −0.00041 m.
p
2
21.14 Una lente plano–cóncava está hecha de un material con un índice de
refracción igual a 1.6. El radio de curvatura de la superficie curva es de 0.5
m. Situamos un objeto de 1 cm de altura a una distancia de 0.3 m de la lente.
Calcula:
(a) la potencia óptica de la lente,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el tamaño y el tipo de la imagen.
(a) La potencia óptica de la lente viene dada por:
1
1
P = (nL − 1)
+
R1 R2 !
1
1
= (1.6 − 1)
+
= −1.2 dioptrías.
∞ −0.5
!
(b) Las distancias focales son iguales a:
f1 = f2 =
1
1
=
= −0.83 m.
P
−1.2
(c) La imagen se forma a una distancia q dada por:
1 1
+ =P
=⇒
p q
!
!
1 −1
1 −1
q = P−
= −1.2 −
= −0.22 m.
p
0.3
(d) La imagen es virtual y derecha (por ser q < 0) y su tamaño es:
q
−0.22
h0 = −h = −0.01
= 0.00735 m.
p
0.3
21.15 Una lente cóncavo–convexa posee una potencia óptica de 4 dioptrías.
Situamos un objeto de 1 cm de altura a una distancia de 0.1 m de la lente.
Calcula:
(a) las dos distancias focales,
(b) dónde se forma la imagen,
(c) el tamaño y el tipo de la imagen.
(a) Las distancias focales son iguales a:
f1 = f2 =
1
1
= = 0.25 m.
P
4
(b) La imagen se forma a una distancia q dada por:
1 1
+ =P
=⇒
p q
!
!
1 −1
1 −1
q = P−
= 4−
= −0.17 m.
p
0.1
(c) La imagen es virtual y derecha (por ser q < 0) y su tamaño es:
q
−0.17
h0 = −h = −0.01
= 0.017 m.
p
0.1
21.16 Dibuja los rayos ópticos que pasan por los dos focos en los tres ejercicios
anteriores.
Rayos ópticos del problema 21.13:
Rayos ópticos del problema 21.14:
Rayos ópticos del problema 21.15:
21.17 Demuestra que la imagen virtual producida por una lente convergente
es siempre mayor que el objeto, y que la imagen producida por una lente divergente es siempre menor que el objeto.
Como el tamaño de la imagen es |h0 | = h|q|/p, ella será mayor que el
objeto siempre que |q| > p y viceversa. Una lente convergente produce
una imagen virtual cuando p < P −1 y entonces tenemos:
1 1
+ =P
p q
=⇒
1
1 1
= P − <
|q|
p
p
=⇒
Si la lente es divergente P < 0 y se verifica:
1
1 1
= P − >
|q|
p
p
=⇒
|q| < p.
|q| > p.
21.18 Encuentra a qué distancia de una lente hemos de situar un objeto para
que los tamaños de la imagen y del objeto sean iguales.
De acuerdo con el problema anterior vemos que habrá de ser una lente
convergente. Queremos que se verifique p = q luego:
1 1
+ =P
p p
=⇒
2
=P
p
=⇒
p=
2
= 2f1 .
P
21.19 Una lente plano–cóncava posee una potencia de −2 dioptrías y está
hecha de un material con un índice de refracción igual a 1.6. ¿Cuál es el radio
de curvatura de su superficie curva? ¿Cuánto valen las distancias focales?
La potencia óptica de la lente viene dada por:
1
1
+
P = (nL − 1)
R1 R2
!
=⇒
1
1
− 2 = (1.6 − 1)
+
∞ R
De aquí despejamos el radio de curvatura:
R=
0.6
= −0.3 m.
−2
Las distancias focales son iguales a:
f1 = f2 =
1
1
=
= −0.5 m.
P
−2
!
21.20 Una lente bicóncava simétrica está hecha de un material con un índice
de refracción igual a 1.7 y está inmersa en un líquido con un índice de refracción
de 1.3. Sus radios de curvatura son de 0.8 m. Situamos un objeto de 4 mm de
altura a una distancia de 1 m de la lente. Calcula:
(a) la potencia óptica de la lente,
(b) las dos distancias focales,
(c) dónde se forma la imagen,
(d) el aumento lateral,
(e) el tamaño y el tipo de la imagen.
(a) La potencia óptica de la lente vale:
1
1
P = (nL − n1 )
+
R1 R2
2
= (1.7 − 1.3)
= −1 dioptrías.
−0.8
!
(b) Las distancias focales son:
f1 = f2 =
1
1.3
=
= −1.3 m.
P
−1
(c) La imagen se forma a una distancia q dada por:
n1 n1
+
= P.
p
q
Despejando q obtenemos:
q = n1
n1
P−
p
!−1
1.3
= 1.3 −1 −
1
!−1
= −0.57 m.
(d) El aumento lateral de la lente es:
M=
h0
q
0.57
=− =
= 0.57.
h
p
1
(e) La imagen es virtual y derecha (por ser q < 0) y su tamaño es:
h0 = M h = 0.57 · 0.004 = 0.0023 m.
21.21 Una lente biconvexa simétrica posee unos radios de curvatura de 0.4 m.
Si sus distancias focales son iguales a 0.6 m, ¿cuál es el índice de refracción
del material con el que está construida la lente?
La potencia de la lente vale:
P =
1
1
=
= 1.67 dioptrías,
f
0.6
y su expresión es:
1
2
1
+
= (nL − 1) .
P = 1.67 = (nL − 1)
R1 R2
0.4
!
De aquí despejamos nL :
nL = 1 +
1.67
= 1.33.
5