analizar relaciones numéricas vinculadas a la divisibilidad

ANALIZAR RELACIONES
NUMÉRICAS VINCULADAS A LA
DIVISIBILIDAD
6to. Grado
Universidad de La Punta
6to. Grado
 Analizar relaciones numéricas
vinculadas a la divisibilidad
CONSIDERACIONES GENERALES
La escuela pitagórica, cuyo pensamiento fundamental es que todos los fenómenos del
universo se pueden explicar mediante números, se dedicó a la exploración de los números, de
sus propiedades y de sus relaciones con otras ramas del saber, como la geometría y la música.
En esa búsqueda, los filósofos pitagóricos estudiaron muchos tipos de números a partir de
ciertas relaciones y diversas regularidades. Entre ellas, las relaciones numéricas de múltiplo y
divisor.
Si bien desde el Primer Ciclo los alumnos comienzan a descubrir en forma intuitiva
ciertas características de las series numéricas, que luego ponen en juego en situaciones de
cálculo mental, el estudio de las propiedades de los números primos y compuestos que se
reconoce como “divisibilidad” se inicia en el Segundo Ciclo y se profundiza en el Tercer Ciclo.
Esto es así, porque los problemas que involucran este tipo de relaciones numéricas pertenecen
al campo multiplicativo y resulta necesario que los alumnos hayan iniciado el estudio de las
nociones de multiplicación y división y sus propiedades para construir las nociones que se
ponen en juego en la divisibilidad.
Desde nuestra propuesta es necesario que propongamos problemas que permitan la
progresiva comprensión de la reversibilidad de las relaciones de múltiplo y divisor a partir de
otras relaciones, como doble-mitad, triple-tercio y otras.
Por otra parte el reconocimiento de las regularidades numéricas en las situaciones que
se propongan favorecerá la sistematización posterior de los criterios de divisibilidad o las
propiedades de múltiplos y divisores.
INDICE
ACTIVIDAD 1: A los saltos
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Analizar la cantidad de veces que entra un número en otro.
ACTIVIDAD 2: Con la ayuda de la calculadora.
Trabajar con múltiplos y divisores.
ACTIVIDAD 3: A pensar
Trabajar con múltiplos y divisores.
ACTIVIDAD 4: Juego con dados.
Reconocer múltiplos y divisores.
ACTIVIDAD 5: ¿Quién tiene razón?
Utilizar múltiplos y divisores para saber más sobre los cálculos.
ACTIVIDAD 6: A resolver problemas
Resolver problemas sobre múltiplos y divisores.
ACTIVIDAD 7: Juego con cartas.
Analizar múltiplos y divisores de un número.
ACTIVIDAD 1: A los saltos
1. Si escribís la escala ascendente de 4 en 4 partiendo del 0, ¿Estará el número
192? ¿Y el 2.342?
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2. Si escribís la escala ascendente de 3 en 3, ¿se llega al 125?
3. Dos amigos, Lucas y Agustín están jugando al juego de la pulga. Si ambos
parten del cero y Lucas salta de 2 en 2 y Agustín va de 5 en 5.
a) Escribí los 10 primeros números que mencionarán cada uno.
b) ¿Hay algún número que digan ambos?
c) Escribe 2 números que puedan decir ambos.
d) ¿Puede ser que el 875 lo mencionen los dos? ¿Por qué?
e) Juan y Martin están jugando y ambos dijeron el número 25, porque este
número está en la tabla del 5, ¿está bien el número que dijeron los
chicos? ¿Por qué?
f) Mariana y Lucia dicen ambas el 60, porque está en la tabla del 2 y del 5,
¿Está bien el número que dijeron ambas chicas? ¿Por qué?
4. Un compañero recita la escala ascendente desde el cero de 7 en 7 y otro chico
dice la escala de 5 en 5 partiendo desde el cero. Escribí 3 números que los dos
van a decir.
5. Escribí el número 48 como resultado de multiplicar tres números, pero que
ninguno de ellos sea 1.
ACTIVIDAD 2: Con ayuda de la calculadora
1. En grupos de a dos, uno de los compañeros elige un número de tres cifras.
Ambos lo escriben en la calculadora. Se debe restarle 6 todas las veces que
puedas. Si en algún momento aparece el número 0, al que dijo el número se le
anota 100 puntos sino 0 puntos. Luego le toca a su compañero elegir otro
número. Al cabo de 4 vueltas gana el que obtiene más puntaje.
a)Un compañero dice que con estos números se gana seguro. ¿Será cierto?
180
468
606
¿Cómo hiciste?
PARA RECORDAR:
Un número natural es múltiplo de otro cuando es el resultado de
multiplicar ese número por un número natural.
Por ejemplo, todos los números que están en la tabla del 4 son múltiplos
de 4.
Un número natural es divisor de otro si al dividir el segundo por el primero,
el resto es cero.
Recursos
Educativos
/ 6to. si
grado
/ Propuesta
Por ejemplo,
9 es
divisor deDigitales
270, porque
dividimos
270 : de
9 elEnseñanza
resto es
cero.
4
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b)Anotá un número en la calculadora. Hacé exactamente 6 cuentas para lograr
que aparezca el 1. Escribí en el cuaderno el número que elegiste y las
cuentas que hiciste.
c) Anotá el mismo número y hacé 6 cuentas iguales para que aparezca el 1.
Escribí en el cuaderno el número que elegiste y las cuentas que hiciste.
d)Ingresá en la calculadora un número de 3 cifras. Resten de 5 en 5, hasta que
aparezca en el visor de la calculadora el número 1, sin borrar. Anotá qué
número ingresaste y cuáles van apareciendo.
- ¿Qué números sirven para ganar? ¿Por qué?
- Dos compañeros están discutiendo sobre esta actividad:
Yo puse un número en la
calculadora resté de 5 en 5 y
llegué al 0.
Yo puse el mismo número en
la calculadora, resté de 7 en 7
y también llegué al 0.
¿Qué números pusieron estos chicos en la calculadora?
¿Hay una sola posibilidad? ¿Por qué?
NOTA:
Al responder la pregunta ¿Qué números sirven para ganar? Los chicos estarán
explicitando el criterio de divisibilidad por 5
2. Decidí, en cada caso, si la frase es correcta o no, sin hacer cuentas. Explicá
cómo lo pensaste.
 Como 80 es múltiplo de 2, entonces 80 es el producto entre 2 y algún
número.
 Como 80 = 5 x 16, entonces 80 es múltiplo de 5.
 Como 80 = 2 x 40, el resto de la cuenta 80 : 2 es cero.
 Como 80 = 5 x 16, el resto de hacer 80 : 16 es 5.
 Como 80 = 2 x 40 y 40 = 2 x 20, entonces 80 es múltiplo de 20.
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ACTIVIDAD 3: A pensar
1. Sabiendo que 10.200 = 8 x 1.275, explicá por qué la siguientes afirmaciones
son verdaderas.
a) 10.200 es múltiplo de 8
b) 1.275 es divisor de 10.200
c) 10.200 es divisible por 4
d) 1.275 entra 8 veces en 10.200
1
e) 1.275 es de 10.200
8
2. Decidí si cada afirmación es verdadera o falsa y explicá cómo te diste cuenta.
a) 5 es divisor de 2.345
b) 13 es divisor de 213
c) 1.276 es múltiplo de 102
d) 2.160 es múltiplo de 108.
3. Sabiendo que 14 x 24 = 336
Decidí cuáles de las siguientes divisiones tienen resto cero:
336 : 14
336 : 12
336 : 38
336 : 56
Escribí todos los números que dividen en forma exacta a 336.
ACTIVIDAD 4: Juego con dados
MATERIALES:
Dos dados de diferente color y un tablero como el siguiente y fichas.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ORGANIZACIÓN:
Grupos de dos alumnos.
REGLAS DEL JUEGO:
Cada uno de los dos alumnos tira dos dados una vez. El dado azul indica desde qué número se
empieza y el rojo indica cuánto avanza en cada paso. Se avanza siempre de la misma forma
hasta completar el tablero. Gana el que logra llegar más cerca del casillero que tiene el 100. Se
juegan 5 vueltas.
ACTIVIDADES DE CIERRE:
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1. En la primera jugada un compañero sacó 3 en el dado azul y 4 en el dado rojo, y su
compañero sacó 4 en el dado azul y 6 en el rojo. ¿Quién ganó? ¿Cuántos pasos dio
cada uno?
2. En la segunda vuelta, Gabriel sacó 5 en el dado azul. ¿qué número tiene que salir en el
rojo para que pueda ganar?
3. ¿Cuáles son los posibles valores que hay que sacar en los dados para poder ganar
este juego?
4. Un compañero saca en el dado azul el 5, ¿Qué número deberá sacar en el rojo para
llegar justo al 100?
5. ¿Podés darte cuenta antes de saltar a qué número cerca de 100 vas a llegar? Por
ejemplo si sacas 6 en el dado azul y 4 en el rojo, ¿cómo lo pensaste?
ACTIVIDAD 5: ¿Quién tiene razón?
1. Un compañero dice: Si 6 x 4 me da 24, eso significa que todos los múltiplos de 24,
serán divisibles por 4 y también por 6.
¿Es cierto lo que dice? ¿Hay números que sean divisibles por 4 y por 6 a la vez? Si tu
respuesta es sí escribí tres, y si tu respuesta es no, explicá por qué.
2. Unos compañeros en la clase de matemática están pensando:
a) Martina dice que si se suman dos números que son divisibles por 3, el resultado
también es un número divisible por 3. ¿Qué pensas, estás de acuerdo? ¿Por qué?
b) Belén dice si un número no es divisible por 6, entonces tampoco puede ser divisible por
2. ¿Qué pensas, estás de acuerdo? ¿Por qué?
3. ¿cómo se puede saber que un número es múltiplo de 2 sin hacer la cuenta? ¿Por qué?
4. ¿Cómo se puede saber si el número 6.775 es múltiplo de 5, sin hacer la cuenta? ¿Por
qué?
PARA RECORDAR:
Los criterios de divisibilidad permiten saber si un número es divisible por
otro. Algunos de ellos son:
 Un número es divisible por 2 si es par;
 Un número es divisible por 5, si termina en 0 o 5.
 Un número es divisible por 10, si termina en 0.
ACTIVIDAD 6: A resolver problemas
Resolvé las siguientes situaciones problemáticas como puedas.
a) En la escuela de María, se anotaron 32 chicos en los talleres de música del turno
mañana y 24, en el turno tarde. Hay que formar los grupos, todos con la misma
cantidad de integrantes.
- ¿De cuántos chicos pueden estar formados los grupos?
- Si los profesores quieren formar la menor cantidad de grupos, ¿Cuántos chicos
tiene que haber en cada grupo?
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-
¿Cuántos grupos habrá en cada turno?
b) Se quieren armar cajas con la mayor cantidad de botellas y latas de gaseosas. Si
hay 60 botellas y 48 latas. En todas las cajas debe haber la misma cantidad de
botellas y latas. ¿Cuántas cajas se necesitan y cuantas botellas y latas se
colocarán en cada caja?
c) Tres amigos están haciendo gimnasia en una plaza y tienen diferentes programas
de entrenamiento. Uno da vueltas caminando, otro trotando y otro corriendo. El
primero tarda 10 minutos en dar una vuelta, el segundo tarda 6 minutos y el tercero
tarda 2 minutos. Si comienzan a la misma hora, y quieren saber si se pueden ir
juntos a los 40 minutos, ¿podrán? ¿y a la hora?
d) Don Juan, el dueño del kiosco de la esquina de la escuela, tiene una caja de
bolitas. Para venderlas, las quiere colocar en bolsitas que contengan la misma
cantidad. Si coloca 2 en cada bolsita, le queda una suelta. Pero si coloca 3 en cada
una le sobran 2. En cambio si coloca 4 les sobran 3. Al fin descubre que si coloca 5
no le sobra ninguna. ¿Cuántas bolitas había en la caja de Don Juan si se sabe que
había más de 80 y menos de 100? Escriban cómo lo pensaron.
PARA RECORDAR:
El mínimo común múltiplo entre dos o más números es el menor
de todos los múltiplos comunes a esos números, sin tener en cuenta
el cero. Es decir, es múltiplo de cada uno de los números y el menor
de todos ellos.
El máximo común divisor entre dos o más números es el mayor de
todos los divisores comunes a esos números. Es decir, es divisor de
cada uno de los números y el mayor de todos ellos.
ACTIVIDAD 7: Juego con cartas
MATERIALES:
Mazo de 51 cartas en donde 48 tienen los números del 1 al 48 y 3 cartas comodines.
ORGANIZACIÓN:
Grupos de cuatro a seis alumnos.
REGLAS DEL JUEGO:
Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: será la
llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa. Comienza el
juego el jugador situado a la derecha del que reparte las cartas. Puede colocar una sola carta a
la derecha o a la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algún divisor en común con
ella (divisor que tiene que explicitar al colocarla); asimismo puede colocar la carta hacia arriba
o hacia debajo de la carta muestra si es múltiplo de la misma. Si no tiene ninguna carta que
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satisfaga las condiciones del punto anterior, roba una carta del montón y la coloca si puede. Si
no, pasa el turno al jugador de su derecha.
El jugador siguiente procede de la misma manera, pero puede hacerlo con cualquiera de las
dos cartas que haya en los extremos horizontales de la cadena que se vaya formando.
El ganador del juego es el primer jugador que coloca todas sus cartas o el que menos cartas
tenga en su poder cuando ya nadie pueda colocar cartas.
Si la carta muestra que aparece es un número primo, las dificultades de colocar cartas son
mayores. En ese caso, además de las posibilidades descritas, se pueden colocar debajo de la
carta muestra, y tapadas por ella, cartas que representen a otros números primos. (Esta regla
puede no explicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de jugadores
−que puede ser toda la clase− comente que hay algunos números que hacen más difícil el
juego, y se llegue a caracterizar que esos son los números primos).
ACTIVIDADES DE CIERRE:
1. Martin en una jugada pone la carta con el número 15.
a) Pone dos posibles cartas arriba y abajo.
b) Pone dos posibles cartas a la derecha y a la izquierda.
c) Si como primer carta que se ubica es la que tiene el número 7. ¿Hay alguna carta
posible para poner a la derecha o izquierda? ¿Cuál es? ¿Por qué?
d) ¿Qué tienen en común las siguientes cartas?
23
47
11
41
2. Juan y Martin están jugando a las cartas, y Juan las ubica así:
2.
3.
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¿Estás de acuerdo como ubico las cartas?
PARA RECORDAR:
Un número primo es un número natural mayor que 1, que tiene únicamente
dos divisores distintos él mismo y el 1.
e)
f)
g)
h)
-
Escribí 4 múltiplos de 18.
Escribí divisores de 36.
Escribí divisores de 21.
Las siguientes afirmaciones son verdaderas. Explicá por qué.
El 0 es múltiplo de todos los números.
Todos los números son múltiplos de 1.
La cantidad de múltiplos es infinita.
La cantidad de divisores de un número no es infinita.
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