Definición de derivada

Matemáticas II
Derivadas
1
Definición de derivada
x
en el punto x = 2.
x2 1
Comprueba aplicando las reglas de derivación que tu resultado es correcto.
1. Halla, utilizando la definición, la derivada de la función f ( x) 
Solución:
La derivada pedida vale: f ´(2)  lím
h 0
f (2) 
f (2  h)  f (2)
h
2
2h
; f ( 2  h) 

5
( 2  h) 2  1
 f (2  h)  f (2) 
 3h  2h 2
2h
2 10  5h  2(h 2  4h  5)
=


5(h 2  4h  5)
5h 2  20h  25
( 2  h) 2  1 5
Por tanto:
 3h  2h 2
2
 3h  2h 2
3
f (2  h)  f (2)
lím 5h  20h  25  lím 3

f ´(2)  lím
2
h

0
h

0
h0
h
25
h
5h  20h  25h

Derivando la función se tiene:
x 2  1  x·2 x
1 x2
f ´(x) 

( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
1  22
3

.
2
2
25
(2  1)
Efectivamente, coinciden.
Si x = 2, f ´(2) 
2. Aplicando la definición demuestra que la función f ( x)  x  2 no es derivable en x = 2.
Da también un razonamiento gráfico.
Solución:
 x  2, x  2
Como se sabe: f ( x)  x  2 = 
 x  2, x  2
Haciendo las derivadas laterales en x = 2 se tiene:
h
f (2  h)  f (2)
h
f ´(2  )  lím
 lím  lím
 1
Por la izquierda:
h0
h0 h
h0 h
h
h
f (2  h)  f (2)
h
f ´(2  )  lím
 lím  lím  1
Por la derecha:
h0
h0 h
h0 h
h
Como no coinciden, la función no es derivable en x = 2.
En la representación gráfica puede observarse que la función
tiene un pico en x = 2.
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2
3. Aplicando la definición, determina los valores de a y b para que la función
 x 2  2 x si x  0
f ( x)  
sea derivable en el punto x = 0.
 ax  b si x  0
Representa gráficamente la función hallada.
Solución:
Continuidad:
Si x  0, f ( x)  x 2  2 x  0
Si x  0+, f ( x)  ax  b  b
 b=0
Derivabilidad:
Por la izquierda:
f ´(0  )  lím
h 0
Por la derecha:
f ´(0  )  lím
h 0
f (h)  f (0)
h 2  2h
 lím
2
h 0
h
h
f (h)  f (0)
ah  b
ah
 lím
 lím
 a  a = 2.
h 0
h 0 h
h
h
 x 2  2 x si x  0
Por tanto, la función pedida es f ( x)  
si x  0
 2x
Su gráfica, que se obtiene dando valores es la siguiente.
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4. (CVJ06) Una persona camina a la velocidad constante de 3 m/s alejándose horizontalmente
en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a 10 m de altura. Sabiendo
que la persona mide 1,70 m, calcular:
a) La longitud de la sombra cuando la persona está a 5 m de la base del farol.
b) La velocidad de crecimiento de la sombra a los t segundos de comenzar a caminar
Solución:
La situación puede esquematizarse en el siguiente dibujo.
a) Si s es la longitud de la sombra cuando está a
5 m, por el teorema de Thales se tiene:
10 5  s
 10s  8,5  1,7s 

1,7
s
8,5
 s
 1,024 m
8,3
b) A los t segundos de empezar a caminar la persona está a 3t m del farol. Si la longitud
de la sombra en ese instante mide x m, se cumple:
10 3t  x
5,1t
 10 x  5,1t  1,7 x  x 
m

8,3
1,7
x
La variación de la sombra (velocidad de crecimiento) en el instante t viene dada por la
dx 5,1
derivada de x con respecto a t,
m/s

dt 8,3
5. (CVS06) Un incendio se extiende en forma circular uniformemente. El radio del círculo
quemado crece a la velocidad constante de 1,8 m/min.
a) Obtener el área quemada en función del tiempo t transcurrido desde el comienzo del
incendio.
b) Calcular la velocidad de crecimiento del área del círculo quemado en el instante en que el
radio alcance 45 m.
Solución:
El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de 1,8 m/min significa que
dr
 1,8  dr  1,8dt  r  1,8t
dt
Con esto:
a) El área quemada en función de t será S  r 2  ·1,82 t 2  3,24t 2
dS
 6,48t .
b) La velocidad de crecimiento del área viene dada por
dt
El radio alcanza los 45 m cuando 45 = 1,8t  t = 25 minutos.
dS (25)
 6,48 ·25  162
Por tanto, la velocidad de crecimiento en el instante t = 25 será
dt
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4
Práctica de derivadas
6. Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) f ( x)  3x 5  4 x 2  7


4
2x 3  1
c) f ( x)  2
x  4x
2
f) y  2
3x  5 x
Solución:



b) f ( x)  3x  2 x 2 · 4 x 2  1
3
2
3
4
 4  5
3
x
x
x
2
x  3x
g) y  2
x 2
d) f ( x) 

 1  3x  2 x ·34 x
2x  1
x 2  3x
3x
h) y  2
( x  1) 5
e) y 
3
a) f ´(x)  4 3x 5  4 x 2  7 ·(15x 4  8x)

b) f ( x)  3  4 x · 4 x 2
3
2
2

2
 1 ·8x
6 x 2 ( x 2  4 x)  (2 x 3  1)(2 x  4)
2( x 4  8 x 3  x  2)
=
( x 2  4 x) 2
( x 2  4 x) 2
6 12 20
d) f ´(x)   4  5  6
x
x
x
2
2( x  3x)  (2 x  1)(2 x  3)  2 x 2  2 x  3

e) y´
( x 2  3 x) 2
( x 2  3 x) 2
 2·(6 x  5)
10  12 x
f) y´

2
2
(3x  5 x)
(3x 2  5 x) 2
c) f ´(x) 
(2 x  3)( x 2  2)  ( x 2  3x)·2 x 3x 2  4 x  6

g) y´
( x 2  2) 2
( x 2  1) 2
3( x 2  1) 5  3x·5( x 2  1) 4 ·2 x
3( x 2  1)  3x·5·2 x
 27 x 2  3
h) y´
=
=
( x 2  1)10
( x 2  1) 6
( x 2  1) 6
7. Para las funciones dadas en el problema anterior, halla el valor de f ´(0) en el caso en que
esté definida. Si no está definida, indica el motivo
Solución:
En principio, basta con sustituir.
a) f ´(0) = 0
b) f ´(0) = 3.
c), d) y f) No existe. La función no está definida en ese punto.
g) f ´(0) = 6
h) f ´(0) = 3
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8. Deriva y simplifica:
a) y  ( x 2  5x) 3
b) y  3 (5 x 2  2 x) 2
Solución:
3( x 2  5 x) 2 ·(2 x  5) 3( x 2  5 x)(2 x  5) 3
a) y´

 (2 x  5) x 2  5 x
2
3
2
2
2 ( x  5 x)
2 x  5x
2(10 x  2)
2
b) y  3 (5 x 2  2 x) 2 = (5x 2  2 x) 2 / 3  y´ (5 x 2  2 x) 1 / 3 (10 x  2) =
3
33 5 x 2  2 x
9. Para las funciones del problema anterior, indica los puntos en los que la derivada vale 0.
Solución:
3
a) (2 x  5) x 2  5 x  0  x = 5, x = 5/2 o x = 0.
2
En los tres puntos hallados hay dificultades.
En x = 5/2 la función no está definida. Por tanto, en ese punto no es derivable.
En x = 5 hay problemas, pues la función sólo está solo está definida por la izquierda. Por
tanto, en ese punto la función no es derivable.
El razonamiento es análogo para x = 0, donde sólo esta definida por la derecha.
En consecuencia, la derivada no se anula nunca.
2(10 x  2)
 0  x = 1/5
b)
33 5 x 2  2 x
10. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):
a) y  log( 4 x 2  x  2)
b) y  log( x 3  5x) 7
1
c) f ( x)  log 2
d) f ( x)  log x  2 x
x


Solución:
a) y´
8x  1
log e
4x 2  x  2
3x 2  5 21x 2  35
 3
b) y  log( x 3  5x) 7  7 log( x 3  5x)  y´ 7· 3
x  5x
x  5x
1
1
c) f ( x)  log 2  f ( x)   log x 2  2 log x  f ´(x)  log e
x
x

1
1 
·1 
 log e
d) f ´(x) 
x2 x 
x
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11. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):
a) y  ln 3x 6  2 x
b) y  ln(3x 6  2 x)
c) f ( x)  ln cos 2 x
d) f ( x)  ln cos x 2




Solución:
1 18 x 5  2
9x 5  1
1
ln(3x 6  2 x)  y´ · 6
 6
2 3x  2 x 3x  2 x
2
5
1
18 x  2
9x5  1
b) y´
=
· 6
2 ln(3x 6  2 x) 3x  2 x
(3x 6  2 x) ln(3x 6  2 x)
 sen x
c) f ( x)  ln cos 2 x   f ( x)  2 ln cos x  f ´(x)  2
 2tag x
cos x
 sen x 2 ·2 x
d) f ( x)  ln cos x 2  f ´(x) 
 2 xtag x 2
2
cos x
a) y  ln 3x 6  2 x 


12. Aplicando las fórmulas de derivación y las propiedades de los logaritmos, calcula,
simplificando el resultado, las siguientes derivadas:
 1 
a) y  ln x 3  5 x
b) y  (1  x)·ln(1  x)
c) y  ln 
d) y  5 log x 2

 2x  3 
Solución:
1 6x 2  6
3x 2  3
1
ln( 2 x 3  6 x)  y´ · 3
 3
2 2x  6x 2x  6x
2
1
b) y  (1  x)·ln(1  x)  y´ ln(1  x)  (1  x)·
 ln(1  x)  1
1 x
2
 1 
c) y  ln 
 = ln 1  ln( 2 x  3)  y´
2x  3
 2x  3 
10
d) y  5 log x 2 = 10 log x  y´ log e
x
a) y  ln 2 x 3  6 x = ln( 2 x 3  6 x)1 / 2 
13. Aplicando logaritmos halla la derivada de:
a) f ( x)  x ln x
b) f ( x)  e x 
ex
Solución:
2
a) Aplicando logaritmos: ln f ( x)  ln x ln x  ln x ln x  ln x  .
2
f ´(x) 2
Derivando:
 ln x  f ´(x)  x ln x · ln x
x
f ( x) x
b) Aplicando logaritmos: ln f ( x)  ln e x   e x ln e x  xe x .
ex
f ´(x)
 e x  xe x  f ´(x)  e x  (e x  xe x )
Derivando:
f ( x)
ex
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14. Deriva:
a) f ( x)  x 2 ln(3x  4)
b) f ( x)  ( x  1) ln( x 2  1)
c) f ( x) 
ln( x 2  1)
x3
Solución:
3x1
3
= 2 x ln(3x  4) 
3x  4
3x  4
2x
2x
b) f ( x)  ( x  1) ln( x 2  1)  f ´(x)  ln( x 2  1)  ( x  1) 2
= ln( x 2  1) 
x 1
( x  1)
2x
·x 3  3x 2 ln( x 2  1)
2
2
2 x 2  3( x 2  1) ln( x 2  1)
ln( x  1)
( x  1)
c) f ( x) 
 f ´(x) 
=
x6
x 4 ( x 2  1)
x3
a) f ( x)  x 2 ln(3x  4)  f ´(x)  2 x ln(3x  4)  x 2
15. Deriva:
2
a) y  2 3 x 1
d) y 
ex
x2
b) y  e  x
2
3
e) y  e 2
x3 2 x
c) y  x 2 e 2 x 1
f) f ( x)  ( x  3)e x
2
3 x
Solución:
2
a) y´ 6 x·2 3 x 1 ln 2
b) y´ 2 xe  x
c) y´ 2 xe 2 x1  x 2 ·2e 2 x1  2 x(1  x 2 )e 2 x1
d) y´
e) y´
2(3x 2  2)
2 x  2x
3
e2
x3 2 x
3x 2  2
=
x  2x
3
e2
x3 2 x
b) f ( x)  cos 2 e x
d) f ( x)  sen ( x 3  3x) 2
e) f ( x)  sen ( x 3  3x)
g) f ( x) 

x
sen x
h) f ( x) 

2
3
e x ·(x  2)  e x e x ( x  1)

( x  2) 2
( x  2) 2
f) f ´(x)  e x
16. Deriva:
a) f ( x)  x 2 e cos x
2
2
3 x
 ( x  3)·(2 x  3)e x
2
3 x
c) f ( x)  cos 2 x 3
1
f) f ( x)  cos 2
x
sen 2 x
x2 1
Solución:
a) f ´(x)  2 xe cos x  x 2 sen x·e cos x = xe cos x 2  xsen x 
b) f ´(x)  2 cos e x ·(sen e x )·e x =  2e x ·sen e x ·cos e x
c) f ´(x)  2 cos x 3 ·(sen x 3 )·3x 2 =  6 x 2 ·sen x 3 ·cos x 3
d) f ´(x)  2 ( x 3  3x)(3x 2  3) cos( x 3  3x) 2
e) f ´(x)  2 sen( x 3  3x) ·cos(x 3  3x)·(3x 2  3) = 6( x 2 - 1)sen( x 3  3x)·cos(x 3  3x)
sen x  x cos x
2 
1 
f) f ´(x)   3   sen 2   2 x 3 sen( x 2 )
g) f ´(x) 
sen 2 x
x 
x 
2sen x·cos x·(x 2  1)  2 xsen 2 x
h) f ´(x) 
2
x2 1




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17. Deriva:
a) y  tag ( x 3  2)
b) y  tag ( x  2) 3
d) f ( x)  xtag ( x  1)
f) f ( x)  tagx 2

8
c) y  tag 3 ( x  2)

2
Solución:
a) y´ 3x 2 (1  tag 2 ( x 3  2)) 
3x 2
cos 2 ( x 3  2)
b) y´ 3( x  2) 2 (1  tag 2 ( x  2) 3 )
c) y´ 3tag 2 ( x  2)(1  tag 2 ( x  2)) = 3tag 2 ( x  2)  3tag 4 ( x  2))
d) f ´(x)  tag ( x  1)  x(1  tag 2 ( x  1))
f) f ´(x)  2 tagx 2 · 1  tag 2 x 2 ·2 x = 4 x tagx 2 · 1  tag 2 x 2






18. A partir de la derivada de la tangente halla la de f ( x)  cotag x . Halla también la
derivada de y  cotag (3x 2  2) .
Solución:
cos x
.
sen x
 sen x·sen x  cos x cos x
1
Derivando: f ´(x) 

 cosec 2 x
2
2
(sen x)
sen x
Por definición de cosecante: f ( x)  cotag x =
Para y  cotag (3x 2  5x  2)  y´ (6 x  5)· cosec 2 (3x 2  5x  2) .
19. Deriva:
a) y  arcsen x 3
b) y  arcsen (cosx)
c) y  arccos(cos x)
d) y  arccos(1  x)
e) y  arctag x
f) y  arctag (e x )
2
Solución:
3x 2
a) y´
1 x6
 senx
 senx
b) y´

 1
1  (cos x) 2  senx
Nota: Por definición y  arcsen (cosx)  sen y = cos x  y = /2  x o y = x  /2.
Por tanto, y´= ±1
 senx
senx

 1
c) y´ 
1  (cos x) 2  senx
Nota: Por definición y  arcsen (cosx)  sen y = cos x  y = /2  x o y = x  /2.
Por tanto, y´= ±1
2
1
1
2 xe x
1
1
·

d) y´ 
e) y´
f) y´
2
1 x 2 x
x( x  2)
1  e2x
1  (1  x) 2
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Derivadas
9
20. (NAJ04) Halla la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado:
a) y  ln senx 2
b) y  x ln x
Solución:
1
1 1
ln senx 2  y´ ·
·cos x 2 ·2 x  x cot agx 2
2
2
2 senx
2
ln x
ln x
b) Aplicando logaritmos: y  x
 ln y  ln x   ln y  ln x·ln x  ln x 
2 ln x
2 ln x
y´
1
Derivando:
 y´ x ln x ·
 2ln x ·  y´ y·
x
x
y
x
a) y  ln senx 2  y  ln( senx 2 )1 / 2 
21. (CLJ00) Calcula, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la función:
1  cos x
f ( x)  ln
1  cos x
Solución:
Por las propiedades de los logaritmos:
1  cos x
 f ( x)  ln(1  cos x)  ln(1  cos x)
f ( x)  ln
1  cos x
Derivando:
sen x
 sen x (1  cos x) sen x  (1  cos x) sen x 2 sen x
2
f ´(x) 




2
2
1  cos x 1  cos x
1  cos x
sen x sen x
22. Halla, simplificando el resultado, la función derivada de f ( x)  arctag
1  cos x
, para
1  cos x
0x
Solución:
Recordamos que si y  arctag f ( x)  y´
f ´(x)
.
1  ( f ( x)) 2
Por tanto,
1
1
senx(1  cos x)  (1  cos x)( senx)
·
·
=
2
1  cos x
(
1

cos
x
)
1

cos
x
1
2
1  cos x
1  cos x
1  cos x
1
2senx
1  cos x 2senx
·
·
·
=
=
=
2
2
1  cos x (1  cos x)
4 1  cos x 1  cos x
2
1  cos x
2senx
senx
senx 1
=



4 1  cos x 1  cos x 2 1  cos 2 x 2senx 2
f ´(x) 
De otro modo. Una de las fórmulas de trigonometría es: tag
En consecuencia, f ( x)  arctag
x
1  cos x

.
2
1  cos x
1
1  cos x
x x

 arctag tag    f ´(x) 
2
1  cos x
2 2

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Matemáticas II
Derivadas
10
23. Si f ( x)  x 2  1 y g ( x)  senx 2 halla la derivada de las funciones F ( x)  f ( g ( x)) y
G( x)  g ( f ( x)) , aplicando la regla de la cadena.
Solución:
Para F ( x)  f ( g ( x))  F´(x)  f ´(g ( x))·g´(x)
Como f ´(x)  2 x , se tendrá que f ´(g ( x))  2 g ( x)  2senx 2 .
Por otra parte g´(x)  2 x cos x 2 .
Por tanto,
F´(x)  f ´(g ( x))·g´(x) = 2senx 2 ·2 x cos x 2 = 4 xsenx 2 cos x 2
Como g´(x)  2 x cos x 2 , se tendrá que g´( f ( x))  2 f ( x) cos f ( x)  2( x 2  1) cos( x 2  1) 2 .
Por otra parte f ´(x)  2 x .
Por tanto,
G´(x)  g´( f ( x))· f ´(x) = 2( x 2  1) cos( x 2  1) 2 ·2 x = 4 x( x 2  1) cos( x 2  1) 2
2


24. Halla la derivada n-ésima de f ( x)  ln x .
Solución:
1
1
2
 2·3
 f ´´(x)  2  f ´´´(x)  3  f 4) ( x)  4 
x
x
x
x
n 1
(1) ·(n  1)!
 2·3·4
 … f n ) ( x) 
f 5) ( x) 
5
xn
x
De f ( x)  ln x  f ´(x) 
Nota: Si escribimos f ´(x)  x 1 las sucesivas derivadas se obtiene con mayor facilidad, pues:
f ´´(x)  1·x 2  f ´´´(x)  1·(2) x 3  f 4) ( x)  (1)(2)(3) x 4  …
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Derivadas
11
Funciones definidas a trozos
25. (MAS06) a) (1 punto). Calcular los valores de a y b para que la función
si x  0
 3x  2
 2
f ( x)   x  2a cos x si 0  x  
 ax 2  b
si x  

sea continua para todo valor de x.
b) (1 punto). Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el
apartado anterior.
Solución:
a) Hay dos puntos conflictivos: x = 0 y x = . En ambos casos la función está definida, siendo
f(0) = 2a y f() = a2 + b. Para que sea continua, además, debe tener límite en esos puntos y
coincidir con su valor de definición.
En x = 0:
Si x  0, f ( x)  3x  2  2
Si x  0+, f ( x)  x 2  2a cos x  2a.
Ambos límites coinciden cuando a = 1.
En x = :
Si x  , f ( x)  x 2  2a cos x  2  2a = 2  2
Si x  +, f ( x)  ax 2  b  a2 + b = 2 + b.
Ambos límites coinciden cuando b = 2
La función continua es:
si x  0
 3x  2
 2
f ( x)   x  2 cos x si 0  x  
 x2  2
si x  

b) Salvo en x = 0 y x = , su derivada es
3
si x  0


f ´(x)  2 x  2senx si 0  x  

2x
si x  

Para x = 0:
Si x  0, f ´(x)  3  3
Si x  0+, f ´(x)  2 x  2senx  0.
Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en x = 0.
Para x = :
Si x  , f ´(x)  2 x  2senx  2
Si x  +, f ´(x)  2 x  2
Como las derivadas laterales coinciden, la función es derivable en x =.
Por tanto, la función obtenida será derivable en R  {0}.
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Derivadas
12
3  ax 2 , si x  1
26. (MAS95). Dada la función f ( x)  
 2 /( ax), si x  1
a) ¿Para qué valores del parámetro a es continua?
b) ¿Para qué valores de a es derivable?
Solución:
a) El único punto conflictivo es x = 1. Para que sea continua en x = 1 los límites laterales
deben coincidir con su valor de definición.
Si x  1, f ( x)  3  ax 2  3  a
2
2
Si x  1+, f ( x) 

ax
a
2
Como deben ser iguales: 3  a   a 2  3a  2  0  a = 1 o a = 2
a
La función es continua cuando a = 1 o a = 2.
b) Será derivable en x = 1 si las derivadas laterales coinciden: f ´(1) = f ´(1+). Salvo en x = 1
la función derivada es:
si x  1
  2ax,
f ( x)  
2
 2 /( ax ), si x  1
Si x  1, f ´(x)  2ax  2a
2
2
Si x  1+, f ´(x)  2 
a
ax
2
Son iguales cuando  2a    a 2  1  0  a = 1 o a = 1
a
Por tanto, la función es derivable sólo para a = 1.
Observación: Para a = 2 la función es continua pero no derivable. Para a = 1 la función no
es continua, luego tampoco puede ser derivable.
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Derivadas
13
si x  0
 5  2 sen x
27. (ICJ00) Dada la función f ( x)   2
 x  ax  b si x  0
a) ¿Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f (x)?
b) Determina a y b para que f(x) sea derivable en x = 0.
Solución:
a) El único punto conflictivo es x = 0.
Continuidad en x = 0:
Si x  0–, f(x)  5
Si x  0+, f(x)  b  b = 5
 5  2 sen x si x  0
Por tanto, para cualquier valor de a, f ( x)   2
es continua,.
 x  ax  5 si x  0
b) Salvo en x = 0, la derivada de la función es:
 2 cos x si x  0
f ( x)  
 2 x  a si x  0
Derivabilidad en x = 0:
Si x  0–, f ´(x)  2
Si x  0+, f ´(x)  a  a = 2
si x  0
 5  2 sen x
La función f ( x)   2
es continua y derivable en todo R.
 x  2 x  5 si x  0
28. (PVJ04). Dada la función:
 sen( x) si x  0
f ( x)  
2
 x  ax si x  0
¿Existen valores de a para los cuales f sea derivable en toda la recta real?
En cualquier caso razonar la contestación y si es afirmativa encontrar dichos valores.
Solución:
El único punto que presenta dificultades es x = 0. En ese punto hay que estudiar, en primer
lugar la continuidad, después la derivabilidad
Continuidad en x = 0:
Si x  0, f(x) = sen x  0
Si x  0+, f ( x)  x  ax 2  0
Como los límites laterales coinciden, la función es continua para cualquier valor de a.
Derivabilidad.
 cos x si x  0
Salvo para x = 0, la función derivada es f ´(x)  
1  2ax si x  0

Si x  0 , f´(x) = cos x  1
Si x  0+, f ´(x)  1  2ax  1
Como las derivadas laterales son iguales, independientemente del valor de a, la función dada
es derivable para cualquier valor de a.
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Derivadas
14
29. En qué puntos no son derivables las funciones:
a) f ( x)  x 2  x
b) f ( x)  cos x
En cada caso indica el porqué.
Solución:
 x2  x
x  1
 2
2
a) La función f ( x)  x  x puede definirse a trozos así: f ( x)   x  x  1  x  0
 x2  x
x0

x  1
 2x  1

Su derivada, salvo en x = 1 y en x = 0, es: f ´(x)   2 x  1  1  x  0
 2x  1
x0

En x = 1, f ´(1 )  1  f ´(1 )  1  no es derivable en ese punto.
En x = 0, f ´(0  )  1  f ´(0  )  1  no es derivable en x = 0.
Nota: Si se hace su gráfica puede observarse que en esos puntos la función presenta sendos
picos.
b) f ( x)  cos x , cuya gráfica es
no es derivable en x 

2
 k .
 cos x   / 2  x   / 2
Al mismo resultado se llega si definimos f ( x)  cos x = 
,
 cos x  / 2  x  3 / 2
Naturalmente la función se repite con período .
30. (IBS00). Se considera la función f(x) = arctag x. Demuestra que existe al menos un
número x  (0, 1) tal que f ´(x) = x.
Solución:
f(x) = arctag x  f ´(x) 
1
1 x2
1
x
1 x2
Esta función cumple las hipótesis del teorema de Bolzano en el intervalo [0, 1], pues es
1
continua en él y además, F(0) = 1 y F (1)   . En consecuencia, existe un punto x  (0, 1)
2
tal que F(x) = 0.
Pero
1
1
x =0 
 x  f ´(x) = x
F(x) = 0  F ( x) 
2
1 x
1 x2
Como queríamos demostrar.
Consideramos ahora la función F ( x)  f ´(x)  x . Esto es, F ( x) 
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Derivadas
15
Derivación implícita
31. Si y es una función de x, derivable, que verifica la ecuación 2 x 2  6 xy  y 2  18  0 ,
halla y´ por derivación implícita. Comprueba que el punto (1, 2) pertenece a la gráfica de la
ecuación y halla y´ en ese punto.
Solución:
Derivando directamente en la expresión 2 x 2  6 xy  y 2  18  0 se tiene:
2x  3y
3x  y
Observa que el sumando 6 xy se deriva implícitamente como un producto: 6 xy ´ 6 y  6 xy´
4 x  6 y  6 xy´2 yy` 0  2 y´(3x  y)  2(2 x  3 y)  y´ 
El punto (1, 2) es de la curva, pues 2·12  6·1·2  2 2  18  0 .
2·1  3·2
8
La derivada en ese punto valdrá: y´(1, 2)  
 .
3·1  2
5
32. Para cada una de las siguientes ecuaciones, halla el valor de y´ en el punto (1, 2) de su
gráfica:
a) x 2  2 y 2  9
b) x  2 y  3  0
c) y 2  2 xy  x 2  2 x  1  0
Solución:
a) x 2  2 y 2  9  2 x  4 yy´ 0  y´ 
b)
x  2y  3  0 
1

2 y´
x
1
 y´(1, 2)  
4
2y
 0  y´ 
x
 y´(1, 2)  
1
2 2
y  x 1
c) y 2  2 xy  x 2  2 x  1  0  2 yy´2 y  2 xy´2 x  2  0  y´

yx
y´(1, 2)  2
2 x
2 y
2 y
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