ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO. Ejercicios de la unidad 11 Posición

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ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO.
Ejercicios de la unidad 11
(pasar ejercicios 1-5 de Ejercicios 1º Física.doc)
Posición
1.-
Escribe el vector de posición y calcula sus módulos correspondientes para los
siguientes puntos: P1 (4,2,–1), P2 (–3,1,0) y P3 (1,0,–5); Las unidades de las
coordenadas están en el Sistema Internacional.
2.-
Sea r(t) = (3t – 4) i + 3 j – 2 k, en unidades del SI, el vector de posición de un móvil
Calcula r(t) para t = 2 y t = 5 s así como el vector desplazamiento entre ambos
instantes.
3.-
Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento
expresado por la ecuación: r(t) = [(t2 – 5 t – 2) i + (3 t +1) j] m.
4.-
Las ecuaciones paramétricas de un móvil son: x = 2 t – 1, y = 2 t2 + t – 4 , en
unidades SI. Obtén la ecuación de la trayectoria y decide qué tipo de curva es.
5.-
El vector de posición de una partícula es: r(t) = (2 t2 + t – 1) i + (t +2) j, en unidades
Sl. Determina: a) El vector de posición en los instantes t = 1 y t = 3 s. b) El vector
desplazamiento entre los instantes anteriores y su módulo. c) La ecuación de la
trayectoria en unidades SI. Dibuja aproximadamente esta trayectoria.
Velocidad
6.-
Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) el espacio recorrido
es siempre igual al módulo del vector desplazamiento; b) el espacio recorrido es
siempre igual al módulo del vector desplazamiento sólo en los movimientos lineales;
c) la velocidad y la rapidez instantáneas son magnitudes idénticas; d) el módulo de la
velocidad instantánea es siempre igual a la rapidez instantánea; e) el módulo de la
velocidad media es siempre igual a la rapidez media; f) un móvil cuya rapidez es
distinta de cero puede tener el módulo de su vector velocidad media igual a cero entre
dos puntos de su trayectoria.
7.-
Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2,5 s y t = 3,5 s, así como su
módulo en el movimiento: r(t) = [(t2 + 4 t – 2) i + (3t – 1) j] m.
8.-
Un móvil se desplaza en línea recta a lo largo del eje x ocupando las siguientes
posiciones a cada instante de tiempo:
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
x (m)
0
8
32
72
112
152
192
Contesta: a) A partir de los datos, ¿cuántos movimientos distintos observas? b) ¿Cuál
será la ecuación de la posición en función del tiempo en cada tramo? c) ¿Cual es el
vector posición en los instantes t = 1 s y t = 9 s? d) ¿Cual es el vector desplazamiento
y el vector velocidad media entre los puntos del apartado anterior?
9.-
Un movimiento viene determinado por las siguientes ecuaciones paramétricas:
x(t) = 5 – t; y(t) = 3 t2 – 2 t + 7; en unidades del S.I.. Expresa en forma cartesiana
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a) los vectores de posición para t = 3 s y t = 5 s. b) el vector desplazamiento entre
ambos puntos. c) Calcula, bien usando derivadas, o bien de forma aproximada
utilizando t = 0,01 s las componentes del vector velocidad para t = 3 s y su módulo.
d) Escribe la ecuación de la trayectoria.
10.- Un móvil sigue el recorrido ABC indicado en
el gráfico (las distancias se miden en metros).
a) Calcular el vector desplazamiento en cada uno
de los dos tramos. b) Si el tiempo que tarda en
completar el tramo AB es de 5 s y el BC de
10 s, calcula el vector velocidad media de cada
tramo así como la velocidad media total;
c) Calcula los módulos de todas las velocidades
obtenidas en el apartado anterior.
11.- Calcular la velocidad instantánea, usando derivadas y de manera aproximada
utilizando intervalos t = 0,01 s, en el instante t = 3s, así como su módulo para un
móvil cuya ecuación del vector posición es: r(t) = [(t2 + t – 2) i + (4t – 1) j] m
Aceleración
12.- Razona si un motorista que lleve una velocidad constante a lo largo de un circuito
cerrado sufrirá aceleración.
13.- Calcular la expresión del vector aceleración, usando derivadas o de manera
aproximada utilizando intervalos t = 0,01 s, del movimiento cuyo vector velocidad era
v(t) = [(2 t2 – 1) i + (3 t + 2) j] m/s en el instantes t = 5 s, así como su módulo.
14.- Un móvil va por un circuito circular de 50 m de radio. El módulo de la velocidad
aumenta según la ecuación: v(t) = (4 t – 2) m/s. Calcula: a) la aceleración tangencial;
b) la aceleración normal; c) el módulo del vector a a los 3 s.
15.- Un móvil se desplaza por el plano XY según las ecuaciones paramétricas: x = t 3 + 4;
y = 2 t2 – t +5, en unidades del SI. Calcula: a) la expresión de la velocidad y de la
aceleración del móvil; b) Calcular el módulo de la velocidad y de la aceleración para
t = 12 s.
16.- La ecuación de posición de un móvil es: r(t) = (2 t2 + 2) i + [(8/3) t3 – 1] j + (t + 2) k (se
expresa la posición en metros al expresar el tiempo en segundos). Calcular: a) el
vector velocidad y su módulo en función de “t”; b) el vector aceleración y su módulo
en función de “t”; c) la aceleración tangencial y la normal en función de “t”; d) el radio
de curvatura para t = 2s.
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SOLUCIONES (Elementos del Movimiento).
1.-
P1 (4,2,–1): r1 = (4 i + 2 j – k) m ;
P2 (–3,1,0): r2 = (–3 i + j) m ;
P3 (1,0,–5): r3 = (i – 5 k) m ;
2.-
r(t=2 s) = [(3 · 2 – 4) i + 3 j – 2 k] m = (2 i + 3 j – 2 k) m
r(t=5 s) = [(3 · 5 – 4) i + 3 j – 2 k] m = (11 i + 3 j – 2 k) m
|r1| = [42 + 22 + (–1)2 ]1/2 m = 4,58 m
|r2| = [(–3)2 + 12]1/2 m = 3,16 m
|r3| = [12 + (–5)2]1/2 m = 5,10 m
r = r(t=5 s) – r(t=2 s) = (11 i + 3 j – 2 k) m – (2 i + 3 j – 2 k) m =
= {(11 – 2) i + (3 –3) j +[–2 – (–2)] k} m = 9 i m
3.-
r(t) = [(t2 – 5 t – 2) i + (3 t +1) j] m; Ec. Paramétricas: x = (t2 – 5 t – 2) m ; y = (3 t + 1) m
Despejamos “t” en una de las ecuaciones: t = (y –1)/3
y sustituimos en la otra:
(y –1)2
(y –1)
y2 –2y + 1 5y – 5
y2 –2y + 1 – 15y + 15 – 18
x = –––––– – 5 –––––– – 2 = ––––––––– – ––––– – 2 = ––––––––––––––––––––––
32
3
9
3
9
y2 – 17 y – 2
x = ––––––––––
9
Ecuación de la trayectoria:
4.-
x = 2 t – 1, y = 2 t2 + t – 4
Despejamos “t” en la primera ecuación: t = (x +1)/2 y sustituyendo en la segunda:
Ecuación de la trayectoria:
y
5.-
1 2 3
x  x 3
2
2
Se trata de una parábola
a) r(t) = [(2 t2 + t – 1) i + (t +2) j] m
r(t= 1s) = [(2 ·12 + 1 – 1) i + (1 +2) j] m = (2 i + 3 j) m
r(t= 3s) = [(2 ·32 + 3 – 1) i + (3 +2) j] m = (20 i + 5 j) m
b) r = r(t=3s) – r(t=1s) =(20 i + 5 j) m – (2 i + 3 j) m = (18 i + 2 j) m
|r| = (182 + 22 )1/2 m = 18,11 m
c) x = 2 t2 + t – 1 ; y = t +2  t = y – 2
x = 2 (y – 2)2 + y – 2 – 1 = 2 y2 – 8 y + 8 + y – 2 – 1 = 2 y2 – 7 y + 5
Ecuación de la trayectoria: x = 2 y2 – 7 y + 5
6.-
a) FALSO. En un circuito cerrado, cundo un móvil pasa dos veces por el mismo punto, al ser
la posición de ambos momentos la misma, el vector desplazamientos y por tanto su módulo son
nulos. Sin embargo, el espacio recorrido es la longitud del circuito multiplicado por el número
de vueltas
b) FALSO. Sería cierto sólo si no se cambiara de sentido. Si el móvil cambia de sentido no lo
es. Por ejemplo, si lanzamos un objeto hacia arriba y éste cae de nuevo al punto de partida, el
módulo del vector desplazamiento sería nulo, mientras que el espacio recorrido sería el doble
de la altura máxima que ha alcanzado.
c) FALSO. La velocidad instantánea es una magnitud vectorial mientras que la rapidez es una
magnitud escalar.
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d) VERDADERO. Al tratarse de desplazamientos infinitesimales, la trayectoria viene a
coincidir con la dirección del vector desplazamiento de forma que |r|  s, por lo que sus
respectivas derivadas con respecto al tiempo coincidirán.
e) FALSO. Al hablar de desplazamiento en intervalos no infinitesimales, en general |r|  s,
por lo que sus respectivas derivadas con respecto al tiempo tampoco coincidirán.
f) VERDADERO. Siempre que el móvil pase dos veces por el mismo punto |r| = 0, y por
tanto vm = 0, mientras que s  0 ya que la rapidez es distinta de 0.
7.-
r(t) = [(t2 + 4 t – 2) i + (3t – 1) j] m
r(t= 2,5 s) = [(2,52 + 4·2,5 – 2) i + (3·2,5 –1) j] m = (14,25 i + 6,5 j) m
r(t= 3,5 s) = [(3,52 + 4·3,5 – 2) i + (3·3,5 – 1) j] m = (24,25 i + 9,5 j) m
r = r(t=3,5s) – r(t=2,5s) = (10 i + 3 j) m
r (10 i + 3 j) m
vm = ––– = –––––––––––– = (10 i + 3 j) m/s
t
3,5 s – 2,5 s
8.-
|vm| = (102 + 32)1/2 m/s = 10,44 m/s
a) 2 movimientos. Hasta t = 6 s, cada t = 2s el desplazamiento por el eje x es cada vez mayor.
A partir de t = 6 s, cada 2s se desplaza siempre 40 m.
b) Primer movimiento: r(t) = 2t2 i m
;
Segundo movimiento: r(t) = 72 + 20 (t – 6) i m = (20 t – 48 ) i m
c) r(t= 1s) = 2 ·12 i m = 2 i m
r(t= 9s) = (20 · 9 – 48) i m = 132 i m
d) r = r(t=9s) – r(t=1s) = 132 i m –2 i m = 130 i m
r 130 i m
vm = ––– = –––––––– = 16,25 i m/s
t
9s–1s
9.-
x(t) =; y(t) = 3 t2 – 2 t + 7
a) r(t= 3s) = [(5 – 3) i + (3 · 32 – 2 · 3 + 7) j] m = (2 i + 28 j) m
r(t= 5s) = [(5 – 5) i + (3 · 52 – 2 · 5 + 7) j] m = 72 j m
b) r = r(t=5s) – r(t=3s) = 72 j m – (2 i + 28 j)m = (–2 i + 44 j) m
c)
dr d [(5 – t ) i + (3 t2 – 2 t + 7) j) m
v = ––– = ––––––––––––––––––––––––––– = [– i + (6 t – 2) j] m/s
dt
dt
v(t= 3s) = [– i + (6 · 3 – 2) j] m/s = (– i + 16 j) m/s ; |v| = [(–1)2 + 162]1/2 m/s = 16,03 m/s
r(t= 3s) = (2 i + 28 j) m
r(t= 3,01s) = [(5 – 3,01) i + (3 · 3,012 – 2 · 3,01 + 7) j] m = (1,99 i + 28,1603 j) m
r = r(t=3,01s) – r(t=3s) = (–0,01 i + 0,1603 j) m
r (–0,01 i + 0,1603 j) m
v  ––– = –––––––––––––––––– = (– i + 16,03 j) m/s; |v|  [(–1)2 + 16,032]1/2 m/s = 16,06 m/s
t
3,01 s – 3 s
d) t = 5 – x  y = 3 · (5–x)2 –2·(5–x) +7 = 75 – 30 x + 3 x2 –10 + 2 x + 7 = 3 x2 – 28 x +72
y = 3 x2 – 28 x +72
5
10.- a) rA = 2 j m; rB = (4 i + 4 j) m ;
rAB = rB – rA = (4 i + 2 j) m ;
b)
rC = (6 i + j) m
rBC = rC – rB = (2 i – 3 j) m
rAB
(4 i + 2 j) m
vm(AB) = –––––– = –––––––––– = [(4/5) i + (2/5) j] m/s
t
5s
rBC (2 i –3 j) m
vm(BC) = –––––– = –––––––––– = [(1/5) i – (3/10) j)] m/s
t
10 s
rAC (6 i – j) m
vm(AC) = –––––– = –––––––––– = [(6/15) i – (1/15) j] m/s
t
15 s
c) |vm(AB)| = [(4/5)2 + (2/5)2]1/2 m/s = 0,89 m/s
|vm(BC)| = [(1/5)2 + (–3/10)2]1/2 m/s = 0,36 m/s
|vm(AC)| = [(6/15)2 + (–1/15)2]1/2 m/s = 0,41 m/s
11.- r(t) = [(t2 + t – 2) i + (4t – 1) j] m
dr d [(t2 + t – 2) i + (4t – 1) j] m
v = ––– = ––––––––––––––––––––––––––– = [(2t + 1) i + 4 j] m/s
dt
dt
v(t= 3s) = [(2·3 + 1) i + 4 j]m/s = (7 i + 4 j) m/s ; |v| = [72 + 42]1/2 m/s = 8,06 m/s
r(t= 3s) = [(32 + 3 – 2) i + (4·3 – 1) j] m = (10 i + 11 j) m
r(t= 3,01s) = [(3,012 + 3,01 – 2) i + (4·3,01 – 1) j] m = (10,0701 i + 11,04 j) m
r = r(t=3,01s) – r(t=3s) = (0,0701 i + 0,04 j) m
r (0,0701 i + 0,04 j) m
v  ––– = ––––––––––––––––––– = (7,01 i + 4 j) m/s ; |v|  [7,012 + 42]1/2 m/s = 8,07 m/s
t
3,01 s – 3 s
12.- SÍ. Al llevar una velocidad constante a lo largo de un circuito cerrado, obviamente se refiere a
la rapidez, ya que si se tratara del vector velocidad no podría volver al punto de partida. Al no
haber cambio en el módulo de la velocidad no existirá aceleración tangencial. Sin embargo,
como en un circuito cerrado existen curvas, en todas ellas existirá aceleración tangencial cuyo
valor dependerá del radio de las mismas (v2/R).
13.- v(t) = [(2 t2 – 1) i + (3 t + 2) j] m/s
dv d [(2 t2 – 1) i + (3 t + 2) j] m/s
a = ––– = ––––––––––––––––––––––––– = [4t i + 3 j] m/s2
dt
dt
a(t= 5s) = (4·5 i + 3 j)m/s2 = (20 i + 3 j) m/s2 ; |a| = [202 + 32]1/2 m/s = 20,22 m/s2
v(t= 5s) = [(2 · 52 – 1) i + (3 · 5 + 2) j] m/s = (49 i + 17 j) m/s
v(t= 5,01s) = [(2 · 5,012 – 1) i + (3 · 5,01 + 2) j] m/s = (49,2002 i + 17,03 j) m/s
v = v(t=5,01s) – v(t=5s) = (0,2002 i + 0,03 j) m/s
6
v (0,2002 i + 0,03 j) m/s
a  ––– = ––––––––––––––––––– = (20,02 i + 3 j) m/s ; |a|  [20,022 + 32]1/2 m/s = 20,24 m/s2
t
5,01 s – 5 s
14.- v(t) = (4 t – 2) m/s
a)
dv (4 t – 2) m/s
b)
v2 (4 t – 2)2 m2/s2
at = ––– = –––––––––– = 4 m/s2 ;
an = –– = ––––––––––– =
dt
dt
R
50 m
c)
8
8
2 m
–– t2 + –– t + –– ––
25
25
25 s2
2
|a(t= 3s)| =
8
2  m
 8
4 2    32   3   2 = 5,60 m/s2
25
25  s
 25
15.- r(t) = [(t3 + 4) i + (2 t2 – t + 5) j] m
a) v(t= 12 s) = [3·122 i + (4·12 – 1) j]m/s = (432 i + 47 j) m/s ;
|v(t= 12 s)| =
4322  47 2 m = 434.55 m/s
s
dv [3t2 i + (4t – 1) j] m/s
a = ––– = ––––––––––––––––––– = (6t i + 4 j) m/s2
dt
dt
b) v(t= 12 s) = [3·122 i + (4·12 – 1) j]m/s = (432 i + 47 j) m/s ;
4322  47 2 m = 434.55 m/s
s
a(t= 12 s) = [6·12 i + 4 j]m/s2 = (72 i + 4 j) m/s2 ;
|v(t= 12 s)| =
722  4 2 m
= 72,11 m/s2
s
16.- r(t) = (2 t2 + 2) i + [(8/3) t3 – 1] j + (t + 2) k
|a(t= 12 s)| =
a)
dr d {(2 t2 + 2) i + [(8/3) t3 – 1)] j + (t + 2) k} m
v = ––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = (4 t i + 8 t2 j + k) m/s
dt
dt
|v| =
b)
dv
(4 t i + 8 t2 j + k) m/s
a = ––– = ––––––––––––––––––– = (4 i + 16 t j) m/s2
dt
dt
|a| =
c)
64 t 4  16 t 2  1 m = (8 t2 + 1) m/s
s
256 t 2  16 m s 2
d|v| (8 t2 + 1) m/s
at = ––– = –––––––––– = 16 t m/s2
dt
dt
|a|2 = at2 + an2  a n  a 2  a t 2  (256 t 2  16)  (16 t) 2 m s 2 = 4 m/s2
d)
v2
an = ––– 
R
v(t=2s)2 (8 ·22 + 1)2 m2/s2
R(t= 2s) = ––––––– = –––––––––––––– = 272,25 m
an
4 m/s2