1 Estimación de la potencia muscular, mediante las constantes

Estimación de la potencia muscular, mediante las constantes dinámicas de Hill,
para el músculo entrenado
Zelma Quetglas González
Facultad de Cultura Física Pinar del Rio
Omar Iglesias Pérez
Facultad de Cultura Física Pinar del Rio
Resumen
En el deporte moderno, los movimientos en la mayoría de las disciplinas
deportivas requieren de contracciones musculares en un tiempo mínimo, de donde
se deduce que el desarrollo de la potencia muscular es indispensable para el
deportista.
Es evidente que para la individualización del entrenamiento, principio inviolable en
la preparación de los atletas de alto nivel, se requiere en la actualidad de la
aplicación de los avances científicos y de tecnologías de punta. En este trabajo
intentamos para contribuir a la demanda de la realidad deportiva actual, estimar
los valores de potencia, a partir del cálculo de las constantes dinámicas de Hill,
para el músculo que decide el movimiento deportivo que queremos entrenar.
A partir del andamiaje teórico aportado por Hill, establecemos un procedimiento
que permite calcular las constantes dinámicas de la ecuación de Hill para un
músculo humano. Así aplicando las propiedades de las derivadas, sistemas de
tres ecuaciones con tres incógnitas, y el test de salto de Carmelo Bosco, llegamos
a determinar los valores de las constantes a y b para la ecuación de Hill
correspondiente al músculo cuadriceps femoral, que es el músculo cargado en la
fase de impulso en el movimiento al realizar un Squat Jump.
Con los valores de a y b obtenidos mediante el procedimiento experimental,
determinamos la ecuación que nos permitiría estimar la potencia para el músculo
entrenado en aquellos ejercicios que cumplen con la ley de Hill, facilitando la
individualización en el entrenamiento para el desarrollo de la potencia muscular,
aspecto indispensable en los deportistas de alto rendimiento, dada las exigencias
del deporte moderno.
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Introducción
En el cuerpo humano el movimiento es el resultado de la acción de la fuerza
muscular. La fuerza permite desplazar una resistencia sin tener en cuenta el
problema del tiempo, pero cuando se requiere que sea aplicada en corto plazo de
tiempo, entonces hablamos en términos de potencia muscular.
Correr, saltar, lanzar y elevar constituyen los gestos fundamentales de cualquier
actividad deportiva. Todos ellos requieren contracciones musculares en un tiempo
mínimo, de donde se deduce que el desarrollo de la potencia muscular es
indispensable para el deportista. De hecho aseguramos que la velocidad y la
fuerza son los componentes virtuosos encontrados en grados variables, en casi
todos los movimientos atléticos. Las manifestaciones de la potencia, se refleja en
la carga que se soporta y en la velocidad con que se desplaza, por tal motivo,
elegir una carga para cada sujeto que provoque la potencia necesaria según la
disciplina deportiva, es de vital importancia teniendo en cuenta las exigencias del
deporte moderno, pero es un tema aún no resuelto del todo.
Generalmente la potencia se calcula como el producto de la fuerza por la
velocidad en correspondencia con las leyes de la mecánica clásica pero sucede
que en el atleta como ser humano, hay que tener en cuenta sus propiedades
biológicas. En este trabajo intentamos aproximarnos a la solución de esta
demanda acorde a la realidad deportiva actual, en el mismo nos proponemos
estimar los valores de potencia, a partir del cálculo de las constantes dinámicas de
Hill, para el músculo que decide el movimiento deportivo que queremos entrenar.
Desarrollo
La relación entre la fuerza y la velocidad en la contracción muscular, ya fue
descrita por Hill, expresada en la ecuación:
Donde P representa la carga, v
(P + a )(v + b ) = (P0 + a ) = const
la velocidad de contracción, Po la fuerza
isométrica máxima, a y b son las constantes dinámicas de Hill; a (constante con
unidades de fuerza), b (constante con unidades de velocidad), estas constantes,
caracterizan al músculo en cuestión, son muy difíciles de calcular en una
musculatura humana.
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El cálculo de la potencia se hace a partir del área bajo la curva que se obtiene
mediante la ecuación de Hill, una hipérbola de fuerza contra velocidad:
Así quedó demostrado por Hill la dependencia que existe entre la carga y la
velocidad de contracción del músculo, pero sus cálculos fueron realizados en
condiciones de laboratorio, con músculos aislados en ranas, caracterizando así,
la mecánica de la contracción muscular, pero ello dista de lo que verdaderamente
ocurre en la musculatura humana.
En el modelo de Hill, se plantea que la fuerza y el acortamiento del músculo tienen
una dependencia lineal. Entonces llega a las siguientes expresiones matemáticas:
L = LCE + LSE
Donde Lce es el acortamiento de los elementos contráctiles, Lse es el acortamiento
de los elementos elásticos en serie.
Definiendo la fuerza mediante la siguiente expresión.
P = PCE + PSE = α [ LSE − LSE (0)]
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Donde α es la constante de proporcionalidad.
Cuando toma las variaciones en el tiempo ambas ecuaciones quedarán de la
siguiente forma:
dL dLCE dLSE
=
+
dt
dt
dt
dL
dP
= α SE
dt
dt
Un de los resultados obtenidos en su modelo es el cálculo del calor de
acortamiento:
Calor de acortamiento = a x
Este se cumple debido a la condición de la dependencia lineal entre la fuerza y el
desplazamiento solo para un rango de valores en los cuerpos deformables, para
un rango muy fuerte de fuerza, dicha ecuación pierde validez.
A partir de todas estas consideraciones del modelo de Hill, inferimos que cuando
se aplica la ley de conducción del calor, se puede establecer también la ecuación
de la contracción muscular de Hill del modo siguiente.
Exceso de energia liberada = P x + a x = (P + a ) x
Si se deriva dicha ecuación con respecto al tiempo, se resuelve el binomio del
miembro izquierdo y se aplica factor común, se llega a lo siguiente:
(P + a )(v + b ) = (P0 + a ) = const
(P + a ) dx = (P + a ) v = − b P + c
dt
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A partir de todo este andamiaje teórico aportado por Hill,
estableceremos un
procedimiento que permita calcular las constantes dinámicas de la ecuación de Hill
para un músculo humano.
1. Determinación de los valores de fuerza y velocidad para sustituirlo en la
ecuación de Hill, utilizando la alfombrilla de contactos.
Así, mediante la segunda ley de Newton obtenemos.
r
r
r
( Fm − Fg )dt = dP
(1)
r
r
Donde Fm es la fuerza del grupo muscular que interviene en el movimiento; Fg es
la fuerza de gravedad sobre el centro de masas de todo el cuerpo.
La diferencia de posiciones que experimenta el centro de masas (CM) durante la
fase donde se encuentra sobre la alfombrilla de contacto viene dada por la
siguiente ecuación.
(
∆Y = LF + LT − L2F + L2T − 2 LF LT Cos (α )
)
1
2
(2)
Donde LF , LT son las longitudes del fémur y la tibia respectivamente; α es el
ángulo de inclinación de la rodilla.
Si derivamos la ecuación (2) respecto al tiempo encontramos la ecuación que
relaciona la velocidad en la vertical con la velocidad angular de la rodilla.
r r
V = V0 −
2 LF LT Sen(α )α ′
L2F + L2T − 2 LF LT Cos (α )
(
)
(3)
Donde α ′ es la velocidad del ángulo de inclinación de la rodilla.
Mediante la alfombrilla, lo que podemos obtener solo es tiempo de vuelo ( TV ) y
tiempo de reacción ( TR ), entonces todas las magnitudes vienen dada en función
de estos parámetros.
Para la fase de impulso se obtiene que.
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r gr TV
V =
2
(4)
r
Donde g es la aceleración de la gravedad terrestre.
Simultaneando las ecuaciones (1) y (4) obtenemos la expresión de la fuerza
muscular en función del tiempo de vuelo.
(F
m
− Fg )t = m g
TV
2
(5)
Donde t es el tiempo de impulso.
Para ello se aplica el test de Squat Jump con carga, utilizando 20 Kg, 30Kg y 40
Kg, respectivamente, y a partir del tiempo registrado por el PIC (Procesador de
información computarizado) acoplado a la alfombrilla, se determina el tiempo de
impulso, considerando lo planteado anteriormente, que en el caso del Squat Jump
se conocen las posiciones angulares iniciales y finales del movimiento.
A partir del tiempo calculado, podemos obtener la velocidad de contracción en
función de la velocidad angular de la rodilla, y de esta forma encontrar la fuerza
isométrica máxima. Estos valores de la velocidad y la fuerza, obtenidos mediante
los pasos descritos anteriormente, corresponden a los valores de la fuerza y la
velocidad para la ecuación de Hill en cada uno de los saltos.
Para aplicar este procedimiento se tomó como muestra los lanzadores de la
reserva del equipo de béisbol perteneciente a la academia de Béisbol de Pinar del
Rio, ejecutando el Squat Jump, cuyos resultados se muestran en la Tabla 1
Esta medición se realizo utilizando una alfombrilla de contacto construida en la
fábrica de Componentes Electrónicos, como parte de un proyecto de la facultad
de Cultura Física de Pinar del Río. También se obtuvieron mediciones utilizando el
software HUMAN para procesar los videos de los saltos realizados.
En la Tabla 1 se muestran los resultados obtenidos de velocidades y fuerza.
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Tabla 1: Valores de la velocidad expresados en (m/seg) y de fuerza en (N).
ATLETA
SJ (20Kg)
SJ (30Kg)
SJ (40Kg)
No 1
0, 864 ; 1090
0, 712 ; 1189
0,508 ; 1223
No 2
0,790 ; 985
0,729 ; 1010
0,497 ; 1085
No 3
0,807 ; 1005
0,724 ; 1051
0,601 ; 1105
No 4
0,753 ; 954
0,670 ; 1002
0,455 ; 1054
No 5
0,812 ; 1093
0,758 ; 1145
0,542 ; 1203
No 6
0,752 ; 991
O,693 ; 1067
0,397 ; 1148
2. Establecer un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, para obtener los
valores de las constantes a y b.
(P1 + a )(v1 + b ) = (P0 + a ) = const
(20 Kg)
(P2 + a )(v2 + b ) = (P0 + a ) = const
(30 Kg)
(P3 + a )(v3 + b ) = (P0 + a ) = const
(40 Kg)
Se soluciona el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas resultante, de los
tres test aplicados, pues conocemos: P (dado por el peso del atleta y la carga
suministrada); Po y v , entonces obtendremos los valores de las constantes a y b
para la ecuación de Hill correspondiente al músculo cuadriceps femoral, que es el
músculo cargado en la fase de impulso de este movimiento.
Los valores de a y b obtenidos mediante el procedimiento experimental, los
relacionamos en la Tabla 2.
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Tabla 2: Valores de a expresados en unidades de fuerza (N), y de b en unidades
de velocidad (m/seg).
ATLETA
a (N)
b (m/seg)
No 1
993
0,0 22
No 2
859
0, 017
No 3
897
0.019
No 4
838
0,0183
No 5
921
0.0206
No 6
827
0.0179
Teniendo en cuenta que K = b(Po + a), o sea que el valor de la potencia es
directamente proporcional tanto al valor de a como al valor de b, analizando los
valores de fuerza y de velocidad registrados en la Tabla 1, podemos observar que
existe correspondencia entre ellos y los valores encontrados para a y b.
En aquellos atletas en que se obtuvieron los valores superiores de fuerza y
velocidad, también se registran los mayores valores tanto para a como para b.
Después de hallados los parámetros a y b, iríamos al tercer paso.
3. Determinación de la ecuación para calcular potencia en aquellos ejercicios que
cumplen con la ley de Hill.
Teniendo en cuenta que la fuerza y la velocidad son variables, se aplican las
propiedades de integración y tendríamos:
(P + a )(v + b ) = k
ecuación de Hill
v2
Pot = ∫ Pdv
v1
Si consideramos que los ejercicios cumplen con la ecuación de Hill, entonces
existe una dependencia entre la fuerza y la velocidad, y podemos plantear:
P=
k
−a
v+b
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Entonces quedaría:
Pot = k ln
v2 + b
− a (v 2 − v1 )
v1 + b
Ecuación que nos permitiría estimar la potencia para el músculo entrenado a partir
de los valores de a y b
Conclusiones
A partir de la mecánica clásica, teniendo en cuenta las propiedades
biológicamente fundamentadas que distinguen al sistema biomecánico, y la
ecuación de Hill, llegamos a expresiones que nos permiten determinar las
constantes dinámicas de Hill (a y b), de modo que se pueda caracterizar el
mecanismo de contracción muscular para un músculo determinado en un atleta
específico.
Las estimaciones de la potencia muscular mediante la fórmula descrita,
considerando los valores de las constantes “a” y “b” para cada atleta, estarán mas
próxima a los valores reales, facilitando la individualización en el entrenamiento
para el desarrollo de la potencia muscular, aspecto indispensable en los
deportistas de alto rendimiento, dada las exigencias del deporte moderno
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