Cuadratura Numérica

Cuadratura Numérica
Javier Segura
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Tema:
Integración numérica.
Contenidos
Fórmulas de Newton-Cotes: Error en las fórmulas de
Newton-Cotes. Fórmulas compuestas de Newton-Cotes. Error;
Evaluación recurrente. Extrapolación de Richardson e
integración de Romberg. Integración Gaussiana.
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Fórmulas de Newton-Cotes
Introducción
Definición
Dada una función f (x) integrable en [a, b] y una aproximación a la
integral dada por
Z
b
f (x)dx ≈
I(f ) =
a
n
X
wi f (xi )
i=0
donde a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b, diremos que
Q(f ) =
n
X
wi f (xi )
i=0
es una regla de cuadratura de n + 1 puntos que aproxima la integral
definida. A los números wi se les llama pesos de la regla de
cuadratura.
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Fórmulas de Newton-Cotes
Introducción
Definición
Se define el error de truncamiento para la regla de cuadratura como
E(f ) = I(f ) − Q(f )
y se dice que el grado (o grado de precisión de una regla de
cuadratura es K cuando la regla da el resultado exacto de la integral
para todos los polinomios de grado menor o igual que K , pero no así
para mayores grados.
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Fórmulas de Newton-Cotes
Introducción
Fundamento de las fórmulas de Newton-Cotes: utilización del
polinomio interpolador que pasa por un determinado número de
puntos como aproximante del integrando f (x).
Fórmula de Lagrange del polinomio interpolador para n + 1 puntos de
interpolación:
f (x) ≈
n
X
f (xi )Li (x)
i=0
Entonces, la fórmula de Newton-Cotes de n + 1 puntos sería:
Z
xn
f (x)dx ≈
x0
n
X
wi f (xi )
i=0
siendo
Z
xn
wi =
Li (x)dx
x0
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Fórmulas de Newton-Cotes
Reglas simples
Regla trapezoidal:
Tomamos sólo dos puntos de interpolación (n = 1).
x1 + f (x ) x − x0 de modo que la
f (x) ≈ P1 (x) = f (x0 ) xx −
1 x −x
0 − x1
1
0
aproximación es:
Z
x1
Z
x1
f (x) ≈
I(f ) =
x0
Z
P1 (x)dx =
x0
0
1
1
(f0 h(1 − s) + f1 sh) h ds
h
donde se ha considerado el cambio x = x0 + sh, 0 ≤ s ≤ 1 y
denotamos fi = f (xi ).
Entonces:
I(f ) =
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h
(f0 + f1 )
2
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Fórmulas de Newton-Cotes
Reglas simples
Regla de Simpson: La regla de Simpson es la que se obtiene al
interpolar en tres puntos: x0 = a, x1 = (a + b)/2 y x2 = b mediante el
polinomio de grado 2.
Z
x2
Z
x2
f (x)dx ≈
I(f ) =
Z
P2 (x)dx =
x0
x0
0
2
2 X
s
∆i f0 h ds
i
i=0
Tenemos pues que
Z
I(f ) ≈ h
0
2
s(s − 1) 2
1
∆ f0 ds = h 2f0 + 2∆f0 + ∆2 f0
f0 + s∆f0 +
2
3
Es decir,
Z
x2
f (x)dx ≈
I(f ) =
x0
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h
(f0 + 4f1 + f2 )
3
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Fórmulas de Newton-Cotes
Reglas simples
Teorema
Sea f (x) suficientemente diferenciable (con continuidad) en [x0 , xn ],
xk = x0 + kh, k = 0, ..., n, entonces ∃cn ∈ (x0 , xn ) tal que:
Z x1
h
h3 (2)
1
f (x)dx = (f0 + f1 ) −
f (c1 ) si f (2)
n = 1 (trapezoidal):
2
12
x0
es continua; el grado del método es 1
Z x2
h
h5 (4)
2
n = 2 (Simpson):
f (x)dx = (f0 + 4f1 + f2 ) −
f (c2 ), si
3
90
x0
f (4) es continua; el grado del método es 3
3
n = 3 (Simpson 3/8):
Z x3
3h
3h5 (4)
f (x)dx =
(f0 + 3f1 + 3f2 + f3 ) −
f (c3 ) si f (4) es
8
80
x0
continua; el grado es 3.
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Fórmulas de Newton-Cotes
Reglas compuestas
Derivación de las reglas compuestas: subdividir el intervalo [a, b]
en intervalos más pequeños y aplicar reglas de Newton-Cotes de
orden bajo.
Dado un intervalo [a, b] podríamos considerar una partición
equiespaciada de este intervalo
a = x0 < x1 < ... < xn = b , xk = x0 + ih , i = 0...n , h = (b − a)/n
y aplicar la regla trapezoidal en cada uno de estos subintervalos:
Z xk
h
f (x)dx ≈ (f (xk −1 ) + f (xk ))
2
xk −1
de forma que
Z
b
Z
xn
f (x)dx =
a
f (x)dx =
x0
n−1 Z
X
i=0
n−1
xi+1
f (x)dx ≈ Tn (f ) ≡
xi
J. Javier Segura
X
h
(f0 +fn )+h
fi
2
i=1
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Fórmulas de Newton-Cotes
Reglas compuestas
Teorema (Regla trapezoidal compuesta)
Sea f (x) con derivada segunda continua en [a, b], y sea la partición
del intervalo a = x0 < x1 < ... < xn = b, xi = x0 + ih, i = 0, 1, ..., n,
entonces
Z b
n−1
X
h
f (x)dx = (f0 + f1 ) + h
fi + EnT (f )
2
a
i=1
donde fi ≡ f (xi ) y
∃τ ∈ [a, b] : EnT (f ) = −
(b − a)3 00
(b − a)h2 00
f (τ )
f (τ ) = −
12
12n2
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Fórmulas de Newton-Cotes
Reglas compuestas
Teorema (Regla de Simpson compuesta)
Sea f (x) con derivada cuarta continua en [a, b], y sea la partición del
intervalo a = x0 < x1 < ... < xn = b, xi = x0 + ih, i = 0, 1, ..., n = 2m,
entonces
Rb
a
f (x)dx
= h (f0 + fn ) + 2h
3
3
m−1
X
i=1
f2i +
m
4h X
f2i−1 + EnS (f )
3
i=1
= h (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + ... + 2fn−1 + 4fn−1 + fn ) + EnS (f )
3
donde fi ≡ f (xi ) y
∃τ ∈ [a, b] : EnS (f ) = −
(b − a)h4 (4)
(b − a)5 (4)
f (τ ) = −
f (τ )
180
180n4
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Fórmulas de Newton-Cotes
Regla trapezoidal: evaluación recurrente
Consideramos los nodos:
a ≤ x0 < x1 < ... < xn , n = 2m , m ∈ N
la cuadratura trapezoidal con espaciado h (h = xi+1 − xi ), T (f , h), se
puede entonces escribir
Z
n−1
b
f (x)dx ≈ T (f , h) =
a
hX
(fi + fi+1 )
2
i=0
Por otra parte
T (f , 2h) = h
m−1
X
(f2i + f2i+2 )
i=0
de modo que
m
X
T (f , 2h)
T (f , h) =
+h
f2i−1
2
i=1
J. Javier Segura
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Fórmulas de Newton-Cotes
Regla trapezoidal recurrente
Algoritmo para la regla trapezoidal recurrente
Input: > 0, f (x), b, a.
Rb
Output: a f (x)dx
(1) h = b − a, I = h (f (a) + f (b))
2
(2) ∆ = 1 + ; n = 0
(3) Repetir mientras ∆ > (4) n=n+1;h=h/2
(5) In = I/2 + h
n−1
2X
f (a + (2i − 1)h)
i=1
(6) ∆ = |In − I|
(7) I = In
(6) Ir a (3)
J. Javier Segura
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Fórmulas de Newton-Cotes
Regla trapezoidal recurrente
Si denotamos por S(f , h) la regla de Simpson con espaciado h se
cumple que
S(f , h) =
T (f , h) − T (f , 2h)
4T (f , h) − T (f , 2h)
= T (f , h) +
3
3
donde
T (f , h) = h (f0 + f2m ) + h
2
2m
X
fi
i=0
T (f , 2h) = h(f0 + f2m ) + 2h
m
X
f2j
j=1
S(f , h) = h (f0 + f2m ) + 2h
3
3
J. Javier Segura
m−1
X
j=1
m
4h X
f2i +
f2i−1
3
Cuadratura Numérica
j=1
Integración de Romberg
La integración de Romberg se puede fundamentar en la fórmula de
Euler- Maclaurin:
Z
b
f (x)dx = T (f , h) + E T (f , h) , E T (f , h) = −(τ2 h2 + τ4 h4 + ...)
a
donde la serie para el término de error es asintótica y los coeficientes
son
B2k (2k −1)
τ2k =
(f
(b) − f (2k −1) (a))
(2k )!
donde B2k son constantes (números de Bernouilli).
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Integración de Romberg
Construcción de reglas de cuadratura de orden 2k + 2 a partir de
reglas de orden 2k :
Fijado un paso inicial h (h = b − a, por ej.), denotaremos por R(i, k )
la regla de cuadratura de paso
hi = h/2i−1 , i = 1, 2, ...
y de orden 2k . De esta forma R(1, 1) será la regla de trapezoidal con
paso h.
Sabemos por la fórmula de Euler-Maclaurin
Z
I(f ) =
b
f (x)dx = T (f , h)+a2 h2 +a4 h4 +... = R(1, 1)+a2 h2 +a4 h4 +...
a
lo que podemos utilizar para volver a derivar la relación entre las
reglas de Simpson y trapezoidal.
J. Javier Segura
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Integración de Romberg
Construcción de reglas de cuadratura de orden 2k + 2 a partir de
reglas de orden 2k :
I(f ) = R(1, 1) + a2 h2 + a4 h4 + ...
I(f ) = R(2, 1) + a2 (h/2)2 + a4 (h/2)4 + ...
de la última ecuación
4I(f ) = 4R(2, 1) + a2 h2 + 4a4 (h/2)4
y restándole a esta ecuación la primera llegamos a
I(f ) =
4R(2, 1) − R(1, 1)
b4 (h/2)4 + ...
+a
3
4R(2, 1) − R(1, 1)
de modo que podemos escribir R(2, 2) =
, es
3
decir, que S(f , h/2) = (4T (f , h/2) − T (f , h))/3, es la regla de
Simpson.
J. Javier Segura
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Integración de Romberg
Generalización:
Tras realizar k − 1 procesos como éste (cancelación del término
dominante en la expansión del error de truncamiento) y llegar a una
regla de orden 2k :
I(f ) = R(i, k ) + b2k hi2k + b2k +2 hi2k +2 + ...
tenemos que
I(f ) = R(i + 1, k ) + b2k (hi /2)2k + b2k +2 (hi /2)2k +2 + ...
y procediendo como antes:
I(f ) =
4k R(i + 1, k ) − R(i, k ) b
2k +2
+ b2k +2 hi+1
(hi+1 = hi /2)).
4k − 1
con lo que
R(i + 1, k + 1) =
4k R(i + 1, k ) − R(i, k )
, i = 1, 2, ... ; k = 1, 2, ..., i
4k − 1
J. Javier Segura
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Integración de Romberg
También podemos escribir esta expresión como
R(i, k ) − R(i − 1, k )
∇ R(i, k )
≡ R(i, k ) + i k
,
k
4 −1
4 −1
i = 2, 3, ... , k = 1, 2, .., i − 1
R(i, k + 1) = R(i, k ) +
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
Integración de Romberg
Esquema de cálculo:
paso\orden
h
h/2
h/4
h/8
2
R(1, 1)
R(2, 1)
R(3, 1)
R(4, 1)
..
.
4
6
8
R(2, 2)
R(3, 2)
R(4, 2)
..
.
R(3, 3)
R(4, 3)
..
.
R(4, 4)
..
.
...
Trapezoidal
Simpson
n=4
n=6
J. Javier Segura
Cuadratura Numérica
...
Integración de Romberg
Algoritmo de integración de Romberg
Input: > 0, f (x), b, a, m, nf
R
Output: I ≈ ab f (x)dx
P
(1) h = (b − a)/m, I(0) = h (f (a) + f (b)) + h m−1
f (a + ih)
i=1
2
(2) ∆ = 1 + ; i = 1
(3) Repetir mientras (∆ > , i < nf )
(4)
i=i+1;h=h/2
(5)
I(i − 1) = I(i − 2)/2 + h
(6)
k =0
(7)
Repetir mientras (∆ > , k < i − 1)
(8)
j=1
f (a + (2j − 1)h)
k =k +1
∆k = (I(i − k ) − I(i − 1 − k ))/(4k − 1); ∆ = |∆k |
(9)
I(i − k − 1) = I(i − k ) + ∆k
(10)
(11)
P2i−2 m
Ir a (7)
(11) Ir a (3)
(12) I = I(i − k )
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Integración Gaussiana
Idea fundamental: elección “adecuada” de los nodos de
interpolación.
Z
b
f (x)dx ≈ Q(f ) =
a
n
X
wi f (xi )
i=1
2n (wi , xi ) que se pueden intentar fijar de manera que la regla de
cuadratura Q(f ) sea exacta para polinomios de grado lo mayor
posible.
J. Javier Segura
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Integración Gaussiana
Teorema
Sea Pn (x) un polinomio de grado n tal que
Z b
k
x Pn (x)w(x)dx = 0 , k = 0, ..., n − 1
a
donde w(x) es una función peso en [a, b]. Sean x0 , ..., xn los ceros de Pn (x) (todos en [a, b]). Entonces
Z b
a
G
f (x)dx ≈ Qn (f ) =
n
X
wi f (xi )
i=1
R
donde wi = ab Li (x), siendo Li (x) de la base de los polinomios interpoladores de Lagrange (Li (xj ) = δij ). La
G
regla de cuadratura Qn+1
(f ) es exacta para los polinomios de grado menor o igual que 2n − 1 y se verifica que
Z b
∃η ∈ (a, b) :
a
G
f (x)dx = Qn (f ) + γ
f
(2n)
(η)
(2n)!
siendo γ una constante que se puede obtener aplicando la regla de cuadratura a un polinomio de grado 2n.
J. Javier Segura
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