COMPETENCIA: Interpretar y resolver con seguridad, situaciones problemáticas

COMPETENCIA: Interpretar y resolver con seguridad, situaciones problemáticas
escolares y sociales, utilizando las ecuaciones de segundo grado.
CONTENIDOS:
1. Ecuaciones de segundo grado:
■ Ecuación general:
Ax2 + bx + c = 0
■ Ecuaciones incompletas:
- Puras
ax2 + c = 0
X= +/-
- Mixtas ax2 + bx = 0
x ( a x+ b ) = 0
■ Métodos de solución:
− Por factoreo
− Por complementación de cuadrados
−fórmula general:
- Discriminante
Δ = b2 – 4ac
ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Estimadas estudiantes, el orden de los contenidos es el que se muestra, pero resulta
que todas las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, sean estas completas
( ax2 + bx + c = 0 ) o incompletas ax2 + c = 0
resolver usando la fórmula
y
x ( a x+ b ) = 0 ) se pueden
Por tanto en este resolveremos las ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula y
cuando nos presentemos a clases explicaré otros métodos
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al
cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo
de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un
procedimiento general para hallar las soluciones.
Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente
El procedimiento consiste en llevar la ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0, cuyas
letras (coeficientes a, b, c) son las correspondientes en la fórmula
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la
raíz.
Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,
b y c; y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.
Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe
realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con
calculadora o cualquier proceso manual.
Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en
la solución.
Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se
pueden hallar las raíces de forma más fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas
de factorización. Estos casos serán estudiados al regreso a clases
Tipos de soluciones: Reales e imaginarias
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas
raíces, a saber:



Dos raíces reales distintas
Una raíz real (o dos raíces iguales)
Dos raíces imaginarias distintas
El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante.
Se define al discriminante D como:
Δ = b2 - 4.a.c
Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se
generan dos raíces reales distintas
Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.
Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos
raíces imaginarias o complejas.
Ejemplos. Verificación de las soluciones
A continuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos
posibles ya mencionados.
1) Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x,
de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se
aplica la fórmula:
=
=
Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con
calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que
el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:
Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense X1 y X2 a
las dos soluciones, que serán:
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen
una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados
satisfacen la ecuación se le denomina verificación.
Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se
esperaba en el segundo miembro.
Probando X = -2/5, se tiene
Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra.
Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las
raíces de - 5x2 + 13x + 6 = 0
2) Resolver: 6x - x2 = 9
No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada
y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los
cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada. Trasponiendo y
cambiando de lugar resulta: - x2 +6x - 9 = 0. Ahora se identifican letras:
a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente:
Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces
iguales a 3, es decir,
x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6.3 - 32 =
18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.
3.- Resolver: -6x + 13 = - x2
Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 -6x + 13 = 0; Identificando
letras: a = 1 ; b = -6 ;
c = 13. Aplicando la resolvente se tiene:
¡Oops!
El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada de un
número negativo porque este es un resultado que no pertenece a los números, se
dice entonces que la ecuación cuadrática no tiene solución real y su solución
pertenece a los números complejos. Sin entrar en detalles que escapan del alcance
del presente documento, la raíz de -16 es 4i, siendo i la base de los números
complejos o imaginarios, es decir:
. Las raíces quedan entonces:
Separando las dos respuestas, las soluciones serán: X1 = -3 + 2.i; X2 = -3 - 2.i. La
comprobación requeriría operaciones con números complejos en forma binómica. Por
lo tanto no haremos ese tratamiento matemático.
4. Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0.
. a = 1; b = -5; c = 6.
La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2.
5. Resolver la ecuación 3x2 + 3x - 18 = 0.
Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos los términos
entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más sencilla:
x2 + x - 6 = 0
a = 1; b = 1; c = -6
6. Resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0.
Resolución:
1. En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1.
2. Aplicando la fórmula:
3. La ecuación no tiene solución real , ya que el discriminante es negativo.
7. Resolver la ecuación 10x2 + 5(4x + 2) = 0.
Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma
ax2 + bx + c = 0.
10x2 + 20x + 10 = 0. Esta ecuación puede simplificarse dividiendo entre 10:
x2 + 2x + 1 = 0
Luego:
a = 1, b = 2, c = 1
Se aplica la fórmula:
Por ser el discriminante cero, la ecuación tiene una solución doble:
x1 = x2 = -1
Resolución:
Se eliminan paréntesis:
2. se hace entera. El m.c.m. de los denominadores es 20:
5 × 3x2 - 4(2x - 4) = 20(2x - 1);
15x2 - 8x + 16 = 40x - 20;
15x2 - 8x + 16 - 40x + 20 = 0;
15x2 - 48x + 36 = 0
Dividiendo toda la ecuación entre 3, resulta: 5x2 - 16x + 12 = 0.
Aplicando ahora la fórmula:
Las dos soluciones son:
Problemas que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
Los siguientes ejercicios son planteamientos que generan una ecuación de segundo
grado. Primero debe plantearse la lógica del problema, llamando x a una de las
variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la
variable, de acuerdo al planteamiento y finalmente, se resuelve la ecuación.
No existe un procedimiento general para manejar la parte lógica de este tipo de
problemas, sólo la experiencia va dando la experticia necesaria para plantearlos. El
lector interesado puede consultar el libro "Algebra" de Aurelio Baldor, considerado por
muchos como un libro muy útil.
NOTA IMPORTANTE
Las ecuaciones incompletas también se pueden resolver por la fórmula, para ello se le
asigna el valor de cero al coeficiente del término que hace falta.
Por ejemplo en 4x2 - 16 = 0
a= 4
b= 0
( el término que hace falta)
c= -16
En la ecuación :
5x2 + 3x = 0
a= 5
c= 0 (Término que hace falta)
b= 3
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1) La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle
ambos números
Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos
incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y
otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
x = Primer número // Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el
otro será:
10 - x = Segundo número
Merece la pena explicar mejor esto: Si entre su amigo y usted tienen $ 1000, y su
amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es
decir 1000 - 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no
sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1000 - x
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
números resulta 58, entonces:
x2 + (10 - x )2 = 58
Esta es la ecuación a resolver
Para resolverla, hay que aplicar algunas técnicas de álgebra elemental y luego
reordenar para aplicar la resolvente. La operación indicada entre paréntesis es el
cuadrado de un binomio. Es un error muy común entre los estudiantes (muy difícil de
erradicar, por cierto) que escriban: ( a - b )2 = a2 - b2 , lo cual es incorrecto.
La expresión correcta es: ( a - b )2 = a2 - 2.a.b + b2
Desarrollando la ecuación se tiene:
x2 + 102 – 2(10x) + x 2 = 58
x2 + 100 - 20x + x 2 = 58
Ordenando y agrupando:
2x2 - 20.x+ 42 = 0 ;
Dividiendo entre 2 toda la ecuación:
x2 - 10x+ 21 = 0
Aplicando la fórmula cuadrática
resulta x1 = 3 y x2 = 7.
( Verifíquelo, resolviendo)
El problema genera (aparentemente) dos soluciones, así que hay que probar con
ambas posibilidades.
Supóngase que se toma la primera (x = 3). Revisando el planteamiento inicial, se
observa que: Primer número: x = 3 ; Segundo número = 10 - 3 = 7.
Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo
número = 10 - 7 = 3. En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos
números, la única respuesta es:
Los números buscados son 3 y 7.
2) El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de
la sala.
En este caso, si hay diferenciación entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado
con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable x. Este problema
permite fácilmente que la x se coloque en cualquiera de las dos incógnitas, largo o
ancho. Supóngase que:
x = ancho de la sala // El largo es 3 metros mayor que el ancho, así que:
x + 3 = largo de la sala. // El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
x. (x + 3) = área de la sala. Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3). (x + 5) = nueva área de la sala
La nueva área es el doble de la primera, así que planteamos la ecuación:
(x + 3). (x + 5) = 2. x. (x + 3)
Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0
Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0
Esta es la ecuación a resolver.
Se aplica la resolvente y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3. (Verifíquelo, resolviendo)
La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser
negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original era 5 metros. Mirando
las condiciones iniciales, se deduce que el largo es: x + 3 = 8 metros.
Así que el área original era 8m.5m = 40 m2.
3.- Halle el área y perímetro del triángulo
rectángulo mostrado. Las dimensiones
están en metros
Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras: "El
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La
hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos; se plantea entonces
la ecuación:
(x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:
x2 + 2(3x) + 32 + x2 – 2(4x) + 42 = (2x)2 - 2(2x)(5) + 52
x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 = 4x2 - 20x + 25
Reagrupando: x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0
Finalmente:
-2 x2 + 18x = 0
Esta es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9. (Verifíquelo, resolviendo)
La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es
posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con
catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.
El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos
catetos que están a 90°, por lo tanto el área es A = 12 (5 / 2) = 30 m2.
El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.
Para resolver ecuaciones incompletas, por otro método, guíate por los
siguientes ejemplos
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas
En algunas ecuaciones cuadráticas, no encontraremos alguno de los términos.
Veamos en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Resolver: 4x2 - 16 = 0
En este primer ejemplo falta el término que contiene solamente a la variable "x" o
variable de primer grado, entonces debemos proceder de la siguiente manera:
4x2 – 16 =0
4x2 = 16
Pasamos el -16 al otro lado de la igualdad empleando operaciones inversas.
x2 = 16
4
x2 = 4
Pasamos el 4 a dividir al otro lado de la igualdad.
√x2 = √4
Ahora sacamos la raíz cuadrada en ambos términos (para eliminar el
exponente de "x")
x = ±2
Tendremos dos respuestas, una la raíz positiva y otra la raíz negativa.
Ejemplo 2:
Resolver:
5x2 + 3x = 0
En este segundo ejemplo, nos falta el término numérico o término independiente.
Entonces procedemos de la siguiente manera:
5x2 + 3x = 0
x(5x + 3) = 0
Factorizamos de acuerdo a nuestras posibilidades. En este caso la
letra "x" (empleamos factor común monomio).
x(5x + 3) = 0
Igualamos a 0 (cero) cada uno de los factores; tanto el primero,
como el segundo
x=0
Para encontrar la primera respuesta o raíz igualamos el primer factor
a 0 (cero).
5x + 3 = 0
x = -3
5
La otra respuesta viene de igualar el segundo factor a 0 (cero). en
este caso hemos tenido que resolver una ecuación de primer grado,
para lo cual hemos empleado operaciones inversas.
A continuación les presento una serie de ejercicios. Los cuales deberán resolver
y entregar en su cuaderno de tareas un día después de presentarse a clases,
para que el día que nos presentemos podamos esclarecer dudas.
GUIA DE EJERCCIOS
I. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1. x 2  100
2. x 2  225  0
3. x 2  1225
4. x 2  50
5. x 2  10  71
6. x 2  23  167
7. 6x 2  27  5x 2  73
8. 7 x 2  252
9. 2x 2  35  1315 3x 2
10. x (2x  3)  3(5  x )  83
11. (2x  5)(2x  5)  11
12. (7  x) 2  (7  x) 2  130
13. (3x  4)(4x  3)  (2x  7)(3x  2)  214
14. 8(2  x) 2  2(8  x) 2
15.
2x 2  8
2
3
16.
x2 6 x2  4

5
2
4
17.
5x  3 7  x

x
x2
18.
x 2  5x  11
x  7 x  83
2

5
7
19. x 2  3x  0
20. 6x 2  42x  0
21. x 2  ax  0
22. ( x  2)(x  3)  6
23. (x  2)(x  5)  9x  10
24. (2x  6)(2x  6)  (2x  9)(3x  4)
25. (x  3) 2  8x  9  0
26. x 2  18x  80  0
27. x 2  4x  96  0
28. x 2  17x  52  0
29. x 2  7 x  12  0
30. 4x 2  5x  6  0
31. 6x 2  5x  1  0
32. 3x 2  10x  25  0
33. 7x 2  16x  9  0
34. x 
35.
15
8
x
x 18
 5  0
3 x
36.
x 8
x 1

x  2 2x  10
37.
x  7  x 1
Resuelve los siguientes problemas verbales:
1) ¿Cuál es el número cuyo producto con su triple es 5 veces el número?
2) El cuadrado de la suma de un número y 3 es 9. ¿Cuál es el número?
3) La diferencia entre el cuadrado de un número y él mismo es 0. ¿Cuál es el número?
4) Determina la medida de los lados de un triángulo rectángulo, si sus valores son
números enteros consecutivos.
5) Los lados de un rectángulo están representados por x - 5 y x - 3. Determina la
medida de ellos, sabiendo que el área del rectángulo es 15
6) La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los
números. Respuesta: 7 y 2.
7) Encuentre dos números tales que su suma sea 21 y su producto 104. Respuesta:
13 y 8.
8) Encuentre dos números consecutivos positivos enteros pares cuyo producto es 168.
Respuesta: 12 y 14.
9) A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado
de la edad de B equivale a 317 años. Hallar ambas edades. Respuesta: 14 y 11.
10) Un número es el triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los
números. Respuesta: 45 y 15.
11) El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces, el número menos
2. Hallar el número. Respuesta: 7 y 1.
12) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5cm. Halle la medida de los catetos
sabiendo que su suma es 6cm. Respuesta: 4,87 y 1,13.
13) Se rodea por un camino de ancho uniforme un terreno rectangular de dimensiones
26m y 30m. Se sabe que el ´área del camino es de 240m2. Determine el ancho del
camino. Respuesta: 2.