Los numeros como herramienta
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LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil Los números como herramienta Duhalde y González Cuberes “El número es algo que la mente le impone a la realidad” A. Karmiloff‐Smith Ya hemos visto que la matemática nace por la necesidad de resolver problemas de índole cotidiana, y que son los problemas los que permitirán construir un aprendizaje significativo de ella. Gagg1 decía en 1959 que la matemática debía enseñarse con sentido y recreativamente, en lugar de hacerlo al vacío. Estas palabras nos hacen pensar en cómo se adquiere el sentido del número y esto nos lleva a reflexionar acerca de su uso y de cuáles son sus funciones. Para ello tengamos en cuenta los dos aspectos del número que están íntimamente ligados a su utilidad: • La cardinalidad, se refiere a la cantidad de elementos de una colección. Este principio está basado en la acción de correspondencia y no necesita la acción de contar. Para comparar la cardinalidad de dos conjuntos es suficiente ponerlos en correspondencia. • La ordinalidad, se refiere al lugar que ocupa el número dentro de una serie ordenada. Para ello necesitamos un sistema ordenado de números que nos permita contar. Así, el término de la sucesión numérica, aplicado al último objeto contado de la colección, se llama número ordinal. Es importante tener en cuenta que un aspecto no se da sin el otro; siempre que se encontró la existencia de alguna herramienta numérica, se encontraron ambos aspectos. El proceso de contar Como hemos dicho, la acción de contar no sólo constituyó para la humanidad el medio para desarrollar los conceptos numéricos y de cálculo, sino que significó un elemento fundamental en la elaboración del número abstracto. Cabe preguntarnos entonces, ¿qué es contar?, ¿qué acciones realizamos cuando contamos?, ¿qué valor tiene este proceso en la educación matemática de los nenes pequeños? A través de la historia reconocemos el papel importante que cumplió el contar en el desarrollo de la ciencia matemática, como también el largo proceso que llevó construir un sistema numérico que permitiera tal acción. Sin embargo, hoy los chicos nacen en una cultura donde la serie numérica oral y escrita es accesible a ellos, y aunque les signifique un esfuerzo aprenderla, ya está construida2. Veamos ahora los pasos que siguen los chicos en la construcción de la serie numérica, cómo empiezan a utilizarla para contar, y cómo logran coordinar la ordinalidad con la cardinalidad pese a que, la actividad de contar, hace prevalecer el aspecto ordinal del número. Respecto de este tema Brissiaud3 sugiere: no utilizar el conteo hasta los cuatro años y tratar de fomentar el uso de las llamadas colecciones de muestra –en 1 2 Gagg, J. C.: Beginning the three R’s, London, Evans, 1966 Los chicos pueden trabajar sobre cuatro campos numéricos diferentes: los números visualizables o perceptibles, los números familiares, los números frecuentados y los grandes números. Brissiaud, R.:. obra citada. 3 Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 1 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil particular los dedos‐ para representar las colecciones pequeñas. El objetivo que se persigue es que el niño comience el tratamiento de los números intuitivos4 en su aspecto cardinal. Esto le permitirá reconocer una muestra de cuatro dedos, por ejemplo, sin necesidad de numerarlos uno a uno. Para el trabajo numérico con cantidades mayores, en cambio, el proceso de contar se vuelve fundamental. Frente a las disputas que existieron entre los pedagogos que estaban a favor del contar y aquéllos que apoyaban la utilización de colecciones de muestra organizadas –constelaciones‐, este autor afirma que ambas posturas no son antagónicas sino que, por el contrario, se complementan en tanto: ‐ la percepción visual global es una forma de tratamiento muy rápida; ‐ la acción de contar, es una forma secuencial que tiene lugar en el tiempo5 Sin embargo cabe señalar que el reconocimiento de pautas numéricas en los niños es, todavía, un tema no resuelto. Algunos autores6 afirman que los niños perciben pequeñas colecciones antes de contar; desde esta postura, recién en el período operacional el número sería reconocido como una totalidad compuesta de unidades. Otros investigadores, como Baroody, Ginsburg y Gelman, afirman que antes de reconocer directamente pautas numéricas los niños deben realizar numerosas experiencias de contar. Según esta línea de pensamiento, los preescolares ya reconocerían el número como una totalidad compuesta de unidades. No importa cuál sea la postura que se adopte, en todos los casos hay un reconocimiento de que las pautas numéricas representan un progreso muy importante para la comprensión del número. Para concretar el proceso de contar es indispensable recurrir a la serie numérica oral y a la serie numérica escrita. El conteo viene contando A riesgo de parecer reiterativas recordemos que las nenas y los nenes llegan al Jardín con conocimientos de la serie numérica oral. Al respecto Gagg7 señala que muchos chicos de edad preescolar, generalmente a instancias de su familia, pueden contar hasta cien, sin embargo necesitan descubrir qué significan los números. Les llevará mucho tiempo darse cuenta de que cien significa diez veces diez, dos veces cincuenta, un décimo de mil, dos más que noventa y ocho, cuatro veces veinticinco, seis menos que ciento seis, y tantos otros. Veamos entonces los distintos momentos por los que pasan los chicos, que podemos resumir en tres etapas.8 Primera etapa: Se caracteriza por una aproximación global que se expresa exclusivamente en forma oral. Los primeros contactos que tienen los nenes con los números están relacionados con una designación global. Así observamos que ante la pregunta “¿cuántos años tienes?,” no responden uno‐dos‐tres sino que dicen tres. Esto ocurre debido a que en el entorno familiar se utilizan los números en un nivel oral, designando las cantidades de manera global y no secuenciada: “dame tres caramelos”, “trae dos vasos”, “te compré un cepillo de dientes”. Progresivamente estos números se organizan en la serie oral. 4 Números intuitivos o perceptivos: esta denominación es utilizada para los números que van del 1 al 5, sean percibidos globalmente o a partir del subitizing, tema que será tratado en el capítulo 8. 5 Brissiaud, R.: obra citada. 6 7 8 Steffe, Von Glasersfeld y otros, en Baroody, A.: obra citada Gagg, J.C.: obra citada. Las etapas han sido tomadas de Parra, C. y otros: Número, espacio y medida, Buenos Aires, Documento Curricular de la Dirección Nacional de Gestión de Programas y Proyectos, 1994. Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 2 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil Segunda etapa: se refiere a los aspectos algorítmicos de la escritura. Las criaturas comienzan a descubrir las reglas de la sucesión oral y escrita. Para ello es necesario que construyan una serie numérica larga. Tercera etapa: se observa cuando los chicos comienzan a construir agrupamientos de a diez, las reglas del sistema decimal de numeración y el valor posicional de las cifras del número. Esta etapa excede los aprendizajes matemáticos del Jardín. Vayamos ahora a ver estas cuestiones en profundidad. La serie oral: el recitado Además de la presentación global de número, los familiares enseñan el recitado de la serie de modo que, alrededor de los dieciocho meses, los niños comienzan a contar de uno en uno, ya que a los años pueden contar hasta dos, tres o más. Pese al desarrollo del conocimiento de la serie numérica oral, suelen omitir algunos números y dicen: 1‐2‐3‐5; otras veces no parten del número uno y dicen: 7‐8‐9‐10 o bien “se comen” una parte de la serie: 1‐2‐3‐4‐5‐6‐10‐11‐12‐13. Finalmente logran coordinar la serie completa de manera más o menos extensa, lo que dependerá de cada chico y de su entorno socioeconómico y cultural. Si bien parecería que esta etapa del contar representa un contar de memoria, y por esa razón podría juzgarse carente de sentido, al ampliarse la serie oral –en especial a partir del número quince‐ los chicos van descubriendo ciertas reglas numéricas que les permiten continuar el recitado de la serie aunque no conozcan el nombre del número que sigue. Así sucede cuando, conociendo los dieses y los veintes, después del veintinueve suelen decir veintidiez y, si un adulto corrige diciendo “es treinta”, pueden retomar el recitado expresando “treinta y uno, treinta y dos…” Vale tener en cuenta que, en nuestro idioma y en algunos otros, los nombres de los números a partir del once y hasta el quince presentan dificultad, y hay que recordarlos debido a que no responden a ninguna regla. Esto explica que muchos chicos reciten bien la serie oral hasta el quince o más, pero cuando la utilizan para contar, después de diez, puede que digan “dieciuno, diecidos…”, mientras otros los saltean.9 Por otra parte, la serie oral le permite al chico descubrir cuál es “el siguiente de” un número. De esta manera puede llegar a comparar cantidades y decir que cuatro es más que tres porque ha sido nombrado después. Observamos así que ha comenzado a comprender que el término más alto en la serie significa más que el anterior. Así podrá comparar colecciones muy próximas –números seguidos‐ en cantidades mayores, aunque la diferencia no sea visualmente perceptible como ocurría con los números intuitivos. Posteriormente se irá construyendo la relación “anterior a”. Adquiridas las nociones de siguiente y anterior pueden recitar la serie hacia adelante a partir de un número dado y posteriormente a descontar, es decir, a contar para atrás a partir de un número dado. Esta técnica es más difícil que la anterior. Otro aspecto a considerar en la serie numérica oral es aquel que permite separar una cantidad de otra. Así, si se pide que separen tres objetos de una colección de ocho, suelen contarlos todos. No siempre los pequeños se detienen en el número pedido. Esta tarea presenta dificultades para los niños, ya que implica: ‐ retener en la memoria la cantidad solicitada; ‐ asignar un nombre de la serie a cada uno de los objetos; ‐ detener el proceso en el momento en que llega a la cantidad solicitada. 9 Estas dificultades no se presentan en las lenguas asiáticas dado que las diferentes designaciones orales de los números sólo llegan hasta diez. A partir del diez se combinan las anteriores designaciones, por ejemplo los chinos designan al once como diez‐uno, al treinta como tres‐diez. Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 3 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil Aun cuando cuenten bien, hay chicos que fallan porque no tienen en cuenta el objetivo de la actividad, y no la retienen en la memoria de corto plazo.10 A veces, luego de realizada la tarea, si se les pregunta “¿cuántos te pedí?” no pueden recordar. En otros casos presentan tanta atención al proceso de contar, que no pueden coordinarlo con la acción de separar. Hasta aquí hemos descrito el recitado de la serie, avancemos ahora en el proceso de contar. La serie oral: el número de etiqueta11 A medida que van construyendo la serie oral comienzan a contar, es decir, establecen una correspondencia uno a uno, o biunívoca, entre los objetos de una colección y los nombres de los números, en el orden dado. Además, el último nombre asignado a un objeto designa la cantidad total de objetos de la colección. Es diferente el tipo de objetos contados; y el orden en que sean contados los diferentes objetos respecto de su valor cardinal. Todo esto se refiere a los principios de Gelman y Gallistel enunciados en el capítulo anterior. Por lo expuesto, para llegar a contar, los niños tienen que salvar numerosos obstáculos. Paralelamente al recitado de la serie numérica las criaturas comienzan a etiquetar objetos. Esto es, le asignan a cada objeto de una colección el nombre de un número, como si éste fuese el nombre del objeto, sin llegar a cuantificar la colección. Si le pedimos a una nena que cuente una colección de seis objetos comenzará contando “uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis”. Si posteriormente le preguntamos “¿cuántos hay?” y responde: “uno‐dos‐ tres‐cuatro‐cinco‐seis”, aun cuando manifiesta el principio de orden estable y el de biunivocidad, todavía no ha logrado darse cuenta del principio de cardinalidad. Por eso no identifica que seis no es sólo el nombre asignado al último objeto, sino que representa la cantidad total de elementos de la colección. El verdadero contar Cuando los chicos pueden: ‐ establecer la correspondencia uno a uno; ‐ mantener el orden de las palabras numéricas; ‐ etiquetar cada objeto una sola vez sin omitir ninguno; ‐ considerar que el último número mencionado representa la cantidad total de elementos de la colección, y que éste es independiente del orden en que se numeren los elementos podemos decir que ha logrado el verdadero contar. Es importante reiterar que la acción de contar hace prevalecer el aspecto ordinal del número por sobre el cardinal. Los errores se pagan, en la acción de contar Decíamos que eran muchas las dificultades por las que atraviesan los niños en la construcción del número; tales dificultades son responsables de no pocos errores. Veamos los errores vinculados con la correspondencia biunívoca en la acción de contar: 10 11 Éste es un concepto que será planteado al referirnos al procesamiento de la información. Volveremos a hablar sobre este tema cuando tratemos las funciones del número. Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 4 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil • • • errores de secuencia: se producen por el hecho de decir la serie oral de forma incorrecta, ya sea por doble recuento u omisión; errores de partición: no se establece un orden que permita llevar un control entre los objetos contados y no contados, por lo que quizá cuenten un objeto más de una vez. Es importante aclarar que cuando los objetos están ordenados en hilera se reducen notablemente los errores de partición; pero este procedimiento no es utilizado espontáneamente por los chicos; errores de coordinación: en esta situación no se coordina el recitado de la serie y la acción de establecer la correspondencia biunívoca con los objetos a contar. A veces, los chicos señalan con el dedo más rápido que lo que les lleva recitar la serie, dado el esfuerzo para recordarla. Otras veces la recitan demasiado rápido por querer demostrarle al adulto lo bien que la saben y otras muy lento, debido al esfuerzo que hacen para recordarla. A pesar de que los resultados finales pueden ser los mismos, es importante observar el proceso que realizan los niños al contar para poder detectar la causa del error y corregirlo realizando las actividades apropiadas. La serie no es una novela: reconoce números escritos y representa cantidades Ya dijimos que en un comienzo los preescolares se manejan con la serie oral; sin embargo, gracias a la interacción social los chicos suelen interesarse por la serie escrita. Para que la jardinera pueda diseñar situaciones de aprendizaje es importante que reconozca la función que cumple el trabajo con la tira o banda numérica. Puede ser una tira de papel, cartón u otro material, dividida en cuadros. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 En ellos aparecerán escritos los números en forma ordenada. A medida que los chicos van conociendo más números se podrá ir extendiendo la tira. Con respecto a la serie escrita tendremos en cuenta dos tipos de procesos: • Codificar: consiste en encontrar la cifra escrita que corresponda a la cantidad expresada mediante palabras o gráficos. • Decodificar: implica reconocer y expresar oralmente un número escrito. Las actividades específicas de codificación y decodificación de cantidades se presentan en la resolución de problemas donde se soliciten cantidades por escrito: ‐ Supongamos que a la hora de la merienda hay que pedir por escrito los vasos de leche que hacen falta y que éstos son nueve, por ejemplo. Los chicos que saben contar dirán que tienen que pedir nueve, pero quizá no sepan escribirlo. En tal caso la banda numérica los ayudará a contar y, al llegar a nueve, se detendrán. Luego de observar su escritura podrán copiar dicho número. Ésta es una posible manera de arribar a la codificación. ‐ En el caso de la decodificación se les puede entregar una tarjeta que represente el objeto solicitado –pinceles o botones‐ acompañado del símbolo numérico que designe la cantidad de elementos Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 5 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil solicitados, siete por ejemplo; los niños que no conocen el símbolo, pero saben contar, utilizando la banda contarán y sabrán que se lee siete. Hasta aquí nos basamos en la suposición de que los niños pueden realizar pedidos usando un solo número. Sin embargo, como se muestra a continuación, los chicos no siempre utilizan la última palabra enunciada al contar. Veamos las respuestas que dio un grupo de niños franceses en una sala equivalente a nuestra tercera sección. Se les solicitó que pidieran al maestro, en forma escrita, tantas gomas como perros (siete) había dibujados en una tarjeta y se obtuvieron las siguientes clases de peticiones:12 Tipo A B1 1 2 3 4 5 6 7 8 Tipo B B2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B3 1 2 3 4 5 6 7 Tipo C C1 7 C2 1 2 3 4 5 6 7 7 Es importante observar que en las peticiones de tipo A y B los niños representan las cantidades por colecciones de muestra. En el caso A es una colección de pelotas, en cambio, en todos los casos B, aunque dibujan una colección, ésta es numérica. En los casos B1 y B2 los niños copian la serie de los números excediendo la cantidad solicitada, luego cuentan los perros, las cifras y, finalmente, tachan o separan los que están de más. En B3 anotan la serie de los números hasta la cantidad solicitada. En las peticiones de tipo C, sin importar el procedimiento usado, al final las cantidades se hallan representadas por una sola cifra. Esta experiencia nos permite concluir que existe una tendencia muy fuerte por parte de los niños a representar las cantidades mediante una colección de números. ¿La función hace al número en la vida cotidiana? Todos enfrentamos en la vida diaria situaciones que demandan una resolución, el número, en algunas de ellas, resulta ser el instrumento más eficaz. Esto nos lleva a ver las diferentes maneras en que se pueden utilizar los números. A medida que las situaciones se van ampliando y complejizando, los niños se ven obligados a encontrar nuevas respuestas y a extender el campo numérico, y sólo lo harán en relación con un texto en el que los familiares y las maestras los acompañen. Comunicar cantidades y retenerlas en la memoria Comunicamos cantidades: cuando decimos cuántos días faltan para que terminen las clases; cuando pedimos en el kiosco tres alfajores; al preguntar un precio. Aparece así el número como memoria de la cantidad. Organizar una colección equivalente a otra que no está a la vista, algo sencillo para los adultos, puede ser complejo para los nenes; si pedimos que vayan a buscar tantas cucharitas como jarros hay en la 12 Experiencia ofrecida por Brissiaud en la obra ya citada. Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 6 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil mesa, no es muy común que cuenten los jarros para tomar una referencia. Recurrirán a distintos procedimientos que no tienen en cuenta el número tales como: representar la cantidad –con los dedos o con dibujos‐ estableciendo una correspondencia; o trayendo grupos de cucharas y retirando las sobrantes. Como vemos, no es frecuente que utilicen el conteo y recuerden la última cantidad nombrada pero, aun cuando no aparezca el número, estas situaciones involucran la cardinalidad. Hay contextos donde el número cumple el papel de etiqueta numérica que, si bien implica una comunicación, no expresa una cantidad, por ejemplo: cuando se designan los canales de televisión, los números telefónicos o los jugadores de un equipo de fútbol. Existen otras situaciones en que los números son utilizados como etiqueta y también para expresar cantidades: en el calendario, como en las páginas de los libros, los números representan etiquetas; en un caso cada número es el nombre de un día del mes y en el otro señala cada página. En estos casos, el número puede servir para saber cuántos días/páginas faltan para terminar el mes/el libro. En contextos como éstos el número se presenta como etiqueta y, a su vez, en su aspecto cardinal. Memoria de la posición El número también es utilizado para determinar la posición de un elemento en una serie ordenada; en tal caso expresa el uso de la memoria de la posición. En los juegos de competencia, por ejemplo, es suficiente recordar la posición en que llegó uno de los competidores sin necesidad de recordar todo el orden completo. En este caso prevalece la ordinalidad. Realizar comparaciones Recurrimos también al número cuando queremos relacionar cantidades para compararlas, estableciendo relaciones de equivalencia‐no‐equivalencia entre colecciones. Al tratar el número como memoria de la cantidad veíamos que, en el caso de formar colecciones equivalentes, no es frecuente que los pequeños usen los números. Cuando se trata de comparar colecciones, los niños no siempre se dan cuenta de que es suficiente conocer el número de una de ellas para formar la otra. A través de las actividades de comparación los chicos comienzan a pasar del uso de términos absolutos tales como “muchos”, “pocos” o “más”,13 “menos” a términos que expresan relaciones, tales como “más que”, “menos que”, “uno más que”, “uno menos que”. En este proceso, el contar les permite construir relaciones de equivalencia‐no‐equivalencia entre dos conjuntos y también descubrir el orden de magnitud entre los números de la serie numérica: cuáles son mayores‐menores, cuál es el anterior‐siguiente. Partición y distribución de una colección Otra función del número está relacionada con la descomposición de colecciones. En este caso, la comparación no se refiere a dos colecciones distintas, sino a la relación desde un punto de vista cuantitativo entre las partes y el todo, entre las subcolecciones y la colección total: una colección de nueve se puede partir en dos colecciones de 3 y 6, 4 y 5, 7 y 2 elementos. Esto favorece la aproximación a colecciones cuyo 13 Durante muchos años el Jardín privilegió entre sus objetivos la conquista de los cuantificadores. Todo tipo de experiencias, más o menos apropiadas, se aplicaron a ese fin. Recién ahora se comienza a comprender que la mayor parte de los cuantificadores nacen de las situaciones más primitivas de contacto entre el bebé y las personas que se ocupan de criarlos. Esto no impide que se presente como un contenido y aplique en la resolución de problemas. Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 7 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil número supera los números perceptivos o intuitivos y necesitan del conteo uno‐a‐uno para ser cuantificadas: una colección de siete se puede descomponer a los fines perceptivos en cuatro y tres. Las actividades de partición acercan a la reversibilidad, en tanto luego de repartir, si reúno las partes, vuelvo a tener el todo. Vemos así que el partir y el repartir no nos obliga a pensar en partes iguales. De todas maneras se pueden realizar particiones en subcolecciones equivalentes. De este modo los chicos se irán familiarizando con el resultado de la suma de dos números iguales y con el concepto de doble: cuatro y cuatro son ocho, ocho y ocho dieciséis, como nos recuerda “la farolera”. Otras acciones de reparto se relacionan con la compensación de las diferencias. Ante dos colecciones con distinto número de elementos, realizar las transformaciones necesarias para igualarlas: agregar o quitar. Se estimula este proceso cuando se ofrecen oportunidades para anticipar los cambios a realizar. Como vemos estas actividades también están ligadas a la idea de cálculo, aspecto éste que pasaremos a desarrollar a continuación. El cálculo, una función muy particular Así como el número está presente en la vida cotidiana de los niños, también el cálculo ocupa un lugar muy importante; numerosas situaciones de cálculo son resueltas por ello antes de haber recibido enseñanza formal al respecto. En la resolución de problemas que implica acciones de agregar y quitar, los chicos progresan mediante la utilización de distintos procedimientos que, en un principio, se basan en procedimientos informales. A continuación presentamos las distintas estrategias que pueden usar las nenas y los nenes: • Estrategias concretas: implica la representación de colecciones con dedos u otros objetos físicos. Por ejemplo: mostramos cuatro bloques e inmediatamente después los ocultamos en una caja. Luego ante su vista agregamos tres más. Si le preguntamos al niño “¿cuántos bloques hay ahora en la caja?” seguramente recurrirá –como la mayoría de los pequeños‐ a representar las cantidades con los dedos u otros objetos. De este modo, contando de uno en uno, llegan a formar cada una de las colecciones que representan los sumandos. A continuación vuelven a contar todo, empezando desde uno para obtener la suma. Rápidamente los pequeños descubren que les resulta más fácil obtener el resultado si forman las dos colecciones utilizando pautas digitales14 y luego proceden a contar todo. En realidad trataremos de que las nenas y los nenes no armen la colección de dedos uno a uno, sino que lleguen a mostrar de una vez tantos dedos como sea el número o los números a representar. • Estrategias de conteo interiorizadas: implicar volver a contar todo, pero de manera interiorizada. Cuando el nene lleva un conteo mental de las cantidades, ante situaciones que se resuelven con sumas de números pequeños (2 + 3), el nene contará pensando “1, 2,…” y luego continuará diciendo para sí, “3 es uno más, 4 es dos más y 5 es tres más” y así obtiene el cinco como resultado. Este procedimiento resulta muy poco práctico en el caso de que el segundo sumando sea grande. Reconozcamos el trabajo que le costaría resolver de esta forma “2 + 7”, cuando no reconoce todavía la propiedad conmutativa.15 Sin embargo, en este caso también puede recurrir a los dedos: cuenta el primer 14 Llamamos pautas digitales a los gestos que utilizamos para representar con los dedos ciertos números, por ejemplo: cuando flexionamos el pulgar y mostramos cuatro dedos extendidos para indicar 4. 15 Propiedad conmutativa de la suma: el orden en que se consideran los sumandos no modifica el resultado. Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 8 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil sumando interiormente y luego prosigue la cuenta, señalando cada nuevo número pronunciado con un dedo. Sobreconteo: esta estrategia interiorizada será adoptada más adelante. Si en la caja hay 5 objetos y se agregan3, el nene comenzará a contar partiendo de 5, cardinal del primer sumando, que lo transformará en el ordinal “cinco”. Contrariamente a lo que pasaba con la regla del valor cardinal, en este caso deberá transformar “los cinco” en “el cinco”. En un primer momento, al utilizar la estrategia de sobreconteo, si el primer sumando es más chico “2 + 6”, comienzan a partir de él “2”, pero paulatinamente se van dando cuenta de que ahorran pasos empezando a contar a partir del mayor. Calcular mentalmente: hay niños que ante situaciones de cálculo se quedan pensando unos segundos y contestan de inmediato el resultado. Estos niños han memorizado algunas combinaciones básicas de sumar y empezaron a descubrir algunas reglas del sistema de numeración y propiedades de las operaciones como la conmutativa, asociativa y otras. Ante la suma “5 + 7”, la reemplazan mentalmente en “5 + (5 + 2)”, descomponiendo “7” en “5 + 2”. Luego agrupan “5 + 5”, resultando que ya han memorizado, y a continuación resuelven “10 + 2” que ya han descubierto que es “12”. Los cálculos de la forma “agregar 1” o “quitar 1”: los cálculos donde hay que agregar o quitar uno son aquéllos que los niños resuelven mentalmente con más facilidad. Ello depende de la familiarización que tengan con la serie numérica. Ante un problema que se resuelve con la suma “3 + 1” basta recordar cuál es el siguiente en el recitado de la serie. Lo mismo si la situación requiere de la sustracción “7 ‐ 1”, simplemente se deberá recordar cuál es el anterior a “7” en la secuencia de los números. Estas operaciones, que parecen tan simples, cambian completamente cuando la operación requiere sumarle a 1 otra cantidad (por ejemplo 7). Esta situación se convierte en muy dificultosa ya que los nenes no pueden invertir los sumandos. La causa de esto es que todavía no han tenido oportunidad de tratar la suma como reunión, lo que no les permite concluir la conmutatividad. Tengamos en cuenta que la adición se relaciona con dos acciones diferentes, reunir y agregar. La sustracción: en problemas de sustracción donde el minuendo es un número mayor que uno, los niños también van progresando en el uso de distintas estrategias que se relacionan con acciones de quitar. Estrategias concretas: este procedimiento implica tres acciones sucesivas: representar el minuendo con material concreto o con los dedos; quitar un número de elementos igual al sustraendo –en el caso de los dedos, bajarlos‐ y, finalmente, contar los elementos que sobran. Estrategias mentales: de a poco los niños comienzan a dejar las estrategias concretas por otras como el retrocontar o descontar. O sea nombrar la serie numérica en forma regresiva a partir del minuendo, tantas unidades como indica el sustraendo. Si le pedimos a un nene que resuelva “5 – 3” descontará a partir de cinco, tres números –pensando o diciendo‐ “4 – 3 – 2” y podrá darse cuenta de que el resultado es 2. Este procedimiento es más dificultoso que el que se usa para sumar, ya que para hallar el resultado basta usar la serie numérica en el orden convencional. Por el contrario, para restar se necesita una familiaridad con el contar hacia atrás; el hecho de llevar la cuenta de los números que se tienen que descontar hace que a menudo se recurra a los dedos. A medida que los números utilizados son mayores, los niños van recurriendo a otro tipo de estrategias que implican contar hacia adelante: para resolver “15 – 12”, no es práctico descontar 12 de 15, por el contrario resulta simple contar cuánto le falta a 12 para ser 15. Si fuera “8 – 2” es más fácil retrocontar que contar, porque se abrevian pasos. Es importante destacar que los nenes y las nenas del Jardín resuelven muchas situaciones utilizando combinaciones básicas de adición y sustracción que ya han sido memorizadas, pero esto depende Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 9 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil exclusivamente del campo numérico en el que estén trabajando. Es así que seguramente responderán mediante el cálculo mental a todas las operaciones relacionadas con las acciones de agregar uno o quitar uno, y también a aquéllas relacionadas con los números intuitivos. Una mención especial requiere la expresión de las operaciones mediante símbolos, el hecho de que el niño resuelva situaciones de agregar y de quitar, no implica que esté preparado para utilizar los símbolos +, ‐, =; ni tampoco que sean motivo de una enseñanza prematura. Respecto del uso de los símbolos y en particular del signo menor Lerner,16 dice que éste representa un conflicto para los chicos en tanto sólo disponemos de esa única expresión para restar. La subjetividad de la criatura no le permite comprender que un único signo pueda representar diferentes acciones: comer o regalar caramelos, perder o gastar el dinero. No les resulta fácil creer que la misma marca gráfica sirva para situaciones tan disímiles, en tanto no pueden abstraer las propiedades comunes a las mismas y tomar en cuenta solamente sus efectos cuantitativos. Todas tienen en común la acción de separar y, por consiguiente, disminuir una cantidad. Antes de dejar el tema del cálculo creemos necesario hacer una reflexión. En el lenguaje cotidiano generalmente usamos la palabra calcular aun cuando se trata de la acción de contar. Si la maestra pregunta cuántas nenas y nenes faltaron, con seguridad los chicos, con la ayuda de los dedos, irán diciendo: Marina, Abel, Pablo, Samantha, Gonzalo, y responderán “cinco”. Brissiaud, precisamente aclara que calcular es “establecer una relación directa entre cantidades a partir de sus representaciones numéricas y sin pasar por la construcción física de una o varias colecciones cuyos elementos se cuentan”. En este ejemplo, quizá la maestra pensó que estaba proponiendo un cálculo, los chicos estaban ausentes y no constituían una colección visible. Sin embargo los chicos contaron, representando a cada compañero con un dedo. Esto fue posible dado el campo numérico utilizado. Volviendo a la definición de Brissiaud sólo hubieran calculado si al total, veinticinco chicos, digamos, le hubieran restado mentalmente los veinte presentes. En tal sentido, a estas edades las criaturas sólo pueden resolver mediante el cálculo aquellos problemas relacionados con los números intuitivos; con cantidades más grandes necesitan recurrir al conteo o al sobreconteo. Para que la cosa tome color: reflexiones didácticas Como verá, a lo largo del texto iremos retomando varias cuestiones. Una de ellas, y quizás de las más importantes, se refiere a que de ninguna manera forzaremos el ingreso al conocimiento matemático sin tomar en cuenta lo que los chicos saben y aquello que pueden aprender con la ayuda de la maestra. Otro tema que no hay que olvidar es que el número no aparecerá desprendido del resto de los contenidos matemáticos, ni tampoco de los que corresponden a otras áreas disciplinares. Una “experiencia directa” organizada para recorrer el barrio o la manzana dónde está situado el Jardín permitirá trabajar los números como etiqueta –cuando observan carteles indicadores‐; para comunicar cantidades –escribir o hablar con algún funcionario para que se reemplacen los dos árboles de la cuadra atrás del Jardín, que se perdieron con el temporal‐ o bien realizar un censo de las construcciones vecinas; o bien apreciar la ordinalidad a través de la secuencia de los números de de los edificios de una cuadra que caminan para llegar a un destino y anticipar cuántas cuadras habrán de recorrer hasta regresar, esto se puede complejizar si se decide volver por otro camino. Es probable que a usted se le ocurran muchas otras actividades, lo importante es que existan momentos para debatir, justificar, comparar resultados y buscar diferentes procedimientos para aplicar en situaciones iguales o parecidas. Sin duda las situaciones didácticas que se 16 Lerner, D.: Acción y conocimiento matemático. Medellín, Psicología Educativa N° 10, CEIPA, 1986. Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 10 LOS NÚMEROS COMO HERRAMIENTA Pensamiento Matemático Infantil proyecten desde la perspectiva de las ciencias sociales y naturales darán lugar, además, al tratamiento del espacio y la medida, temas que abordaremos en los capítulos que siguen. Por otra parte en el Apéndice hemos recopilado algunos juegos cuya presentación admita el tratamiento de las funciones del número y el resto de temas abordados hasta aquí. Materiales y Lecturas de Apoyo para la Asignatura CREN Preescolar /Marzo 2011 acho 11
