Tema 4: Dinámica del punto
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Tema 4: Dinámica del punto FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 1 Situación en la asignatura Introducción Punto Material 3 – Cinemática del punto 4 – Dinámica del punto Sólido Rígido Ondas Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 2 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 3 Introducción La Dinámica estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos Junto con la Cinemática, permite determinar los movimientos de los cuerpos Estas causas se caracterizan con la magnitud física de fuerza Una fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de equilibrio o movimiento de un cuerpo, o de producir en él estados de tensión Se representa con un vector La masa de un cuerpo determina la “intensidad” con que una fuerza afecta a su estado de movimiento Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 4 Concepto de fuerza Es la causa que cambia el estado de reposo o movimiento de un cuerpo Es vectorial: magnitud, dirección y sentido Puede provocar diferentes efectos Acelerar un cuerpo: empujar un coche Deformar un cuerpo: estirar un muelle Provocar una rotación: rueda girando No producir ningún efecto: empujar un edificio La representación de una fuerza es un vector F Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 F=mg 5 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 6 Leyes de Newton Fueron enunciadas por Isaac Newton en 1687: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Primera Ley o Ley de Inercia Introduce el concepto de inercia y sistema de referencia inercial Segunda Ley Relaciona fuerza, masa y aceleración Tercera Ley o Principio de acción y reacción Relaciona las fuerzas mutuas que ejercen los cuerpos Esta relacionada con la conservación de la cantidad de movimiento Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 7 Primera Ley de Newton Todo punto material libre, no sometido a ninguna interacción, se mantiene indefinidamente en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme respecto a un sistema de referencia inercial Un sistema de referencia inercial (SRI) es un sistema en reposo o con velocidad constante Su rotación es cero Un sistema que se traslada con velocidad uniforme respecto a un SRI también es un SRI Todos los SRI miden la misma aceleración para un punto material cualquiera Z1 P 1 SRI aP2 1=aP2 0 SRI Y1 O1 X1 Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 0 v0 1t r a s=(cte) O X0 Y0 8 Segunda Ley de Newton Todo punto material sometido a una fuerza experimenta una aceleración en la misma dirección y sentido en que actúa la fuerza y de módulo proporcional al módulo de la fuerza La magnitud m es la masa inercial de la partícula Mide la resistencia de la partícula a cambiar su estado de movimiento (su inercia) La fuerza se mide en Newtons en el S.I. : 1 N = 1 kg m s-2 v Si se conoce la fuerza proporciona una ecuación diferencial para describir el movimiento Si se conoce la aceleración y la masa permite medir la fuerza Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 a F 9 Tercera Ley de Newton Si un punto material B ejerce una fuerza (FA B) sobre otro punto material A, entonces A responde con otra fuerza sobre B (FB A) de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario A B Cada fuerza se aplica en cuerpos diferentes La aceleración que adquiere cada partícula depende de su masa inercial Aceleración de la masa Aceleración de la Tierra Tierra Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 10 Principio de superposición Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma vectorial de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las fuerzas por separado Cuando la partícula está sometida a n fuerzas se generaliza Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 11 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 12 Punto libre Punto libre 3 grados de libertad Z r (x,y,z) X P Y Fuerzas activas Son conocidas antes de resolver el problema Ejemplos de fuerzas activas Fuerza gravitatoria Fuerza de un muelle Fuerzas eléctricas y magnéticas Las fuerzas dependen del tiempo, la posición y la velocidad: Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 13 Fuerza gravitatoria Propiedades Siempre atractiva Proporcional al producto de las masas Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia Dirigida en la dirección que une las dos masas Constante de gravitación universal Cumple la tercera ley Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 14 Campo gravitatorio A cada punto del espacio alrededor de la masa M se le asigna un vector g (aceleración de la gravedad) La fuerza sobre una masa en un punto alrededor de la masa M es Se dice que la masa M crea un campo de fuerzas en el espacio Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 15 Campo gravitatorio: cerca de la superficie terrestre En los puntos cerca de la superficie la aceleración de la gravedad es uniforme Usando Taylor Cerca de la superficie la dirección también es uniforme Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 16 Fuerzas activas: Fuerza elástica de un muelle Ley de Hooke: Estirado k es la constante elástica (N/m) l0 es la longitud natural l es la elongación P O Relajado Si la longitud natural es cero P O Un muelle calibrado permite medir la Contraído intensidad de una fuerza (Dinamómetro) O Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 P 17 Punto vinculado Está sujeto a vínculos: limitaciones impuestas a su posición o movimiento Bilaterales: cumplen una ecuación de ligadura Y Esclerónomo: no aparece explícitamente el tiempo Reónomo: aparece explícitamente el tiempo Geométrico: no aparece explícitamente la velocidad Cinemático: aparece explícitamente la velocidad Liso: no hay rozamiento R X Rugoso: sí hay rozamiento Grados de libertad r = 3- h (h es el número de vínculos) Las fuerzas de reacción vincular (f.r.v.), i, hacen que el vínculo se cumpla Se adaptan a las fuerzas activas: no son completamente conocidas a priori. Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 18 Punto vinculado: Principio de liberación Todo punto material sometido a vínculos puede ser tratado como si estuviese libre de ellos si se sustituyen dichos vínculos por fuerzas de reacción vincular Y Y R R Liberación X X Las f.r.v. cumplen la misma función que los vínculos sustituidos: se oponen a cualquier estado de reposo o movimiento incompatible con ellos Son perpendiculares a los vínculos geométricos cuando el vínculo es liso Las f.r.v. son incógnitas del problema. Son desconocidas a priori Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 19 Dinámica del punto material Punto libre No hay ligaduras Las fuerzas que actúan sobre él son fuerzas activas, Fi (muelle, gravedad, etc) Punto vinculado Tiene vínculos que restringen los movimientos posibles Las fuerzas sobre él son fuerzas activas, Fi y fuerzas de reacción vincular, i Las fuerzas dependen del tiempo, la posición y la velocidad: Descripción del movimiento Ecuación diferencial Ecuaciones de ligadura Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 Condiciones iniciales 20 Comportamiento experimental de la fuerza de rozamiento deslizamiento inminente 2 1 región estática región dinámica Región estática No se produce deslizamiento (vínculo prohibitivo) Región dinámica Se produce deslizamiento (vinculo resistivo) Disipación de energía y deterioro de las superficies Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 21 Leyes de Coulomb Situación estática El módulo máximo de la fuerza de rozamiento estático es proporcional a la fuerza normal El módulo máximo de la fuerza de rozamiento no depende del área de la superficie de contacto e es el coeficiente de rozamiento estático, depende de la naturaleza de las superficies de contacto Situación dinámica El módulo de la fuerza de rozamiento dinámico es proporcional a la fuerza normal e >d El módulo de la fuerza de rozamiento no depende de la velocidad (modelo de Coulomb) Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 22 Deslizamiento inminente El equilibrio de un sólido puede romperse por deslizamiento o por vuelco deslizamiento inminente 2 1 Condición de no deslizamiento La fuerza de rozamiento sólo es el en condiciones de deslizamiento inminente e puede ser infinitamente grande (cremallera) Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 23 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 24 Teoremas de conservación Existen una serie de magnitudes físicas que, según en que circunstancias, se mantienen invariantes en el tiempo Energía Cantidad de movimiento o momento lineal Momento cinético Desde el punto de vista matemático son integrales primeras Las ecuaciones que definen el movimiento son ecuaciones diferenciales de segundo grado Las magnitudes conservadas involucran derivadas de primer grado (la velocidad) Estas magnitudes dan información sobre el comportamiento del sistema sin tener que resolver las ecuaciones de movimiento Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 25 Trabajo mecánico F(t) Trabajo mecánico de una fuerza sobre una partícula v(t) (t) dr r(t) El signo depende del sentido relativo Z O X Y si F ⊥ dr no hay trabajo mecánico Se mide en Julios (J) En un recorrido finito el trabajo total es la suma de los trabajos infinitesimales F(t) F(t) v(t) dr r(t) A Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 Z X O B Y 26 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 27 Energía cinética Teniendo en cuenta la definición de velocidad y la Segunda Ley de Newton F v dr r(t) En un recorrido finito el trabajo total es la variación de la magnitud entre paréntesis F vA dr B A Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 vB 28 Energía cinética Definición de la energía cinética de una partícula Se mide en Julios (J) Teorema de la energía o de las fuerzas vivas Versión local Versión finita Definición de potencia instantánea Se mide en Watios(W) Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 Versión instantánea 29 Conservación de la energía cinética Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o perpendicular a su trayectoria, su energía cinética se conserva constante a lo largo del tiempo Ejemplos Partícula libre Movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra Movimiento de la Tierra respecto al Sol (considerando la órbita circular) Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 30 Energía potencial Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un punto material que se desplaza entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida dr dr 2 F dr A B F dr 1 F F La diferencia de energía potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por la fuerza conservativa cuando la partícula se mueve entre esos dos puntos, cambiando el signo El orígen de la energía potencial es arbitrario Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 31 Energía potencial gravitatoria 2 Trabajo realizado por Fg en un desplazamiento infinitesimal B dr Fuerza gravitatoria (cerca de la superficie de la Tierra) dz F dr dr Z A F F dr 1 z F g Diferencia de energía potencial entre dos puntos Fijando una referencia arbitraria en z=0 Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 32 Energía potencial de un muelle ideal Fuerza del muelle Trabajo realizado por Fg en un desplazamiento O P infinitesimal Fijando una referencia de energía potencial en l0 Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 33 Fuerza a partir de energía potencial Energía potencial gravitatoria → Fuerza gravitatoria Energía potencial elástica → Fuerza elástica Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 Esta operación se llama hacer el gradiente de la función potencial 34 Energía mecánica Se define como la suma de la energía cinética y la energía potencial total (una energía potencial por cada fuerza conservativa) Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre una partícula son conservativas su energía mecánica se conserva Demostración Si hay fuerzas no conservativas el trabajo que realizan varía la energía mecánica Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 35 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 36 Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es el producto de su masa por su velocidad [p] = kg m s-1 Teorema de la cantidad de movimiento Es un enunciado alternativo de la Segunda Ley de Newton Impulso mecánico (Teorema de la cantidad de movimiento en forma elemental y finita) Es útil cuando la partícula sufre una fuerza en un intervalo de tiempo pequeño Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 37 Conservación de la cantidad de movimiento Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula se conserva su cantidad de movimiento Demostración Si la dirección de la fuerza es constante, se conserva la cantidad de movimiento en las direcciones perpendiculares a la fuerza Ejemplo Z p v0 px F=mg px p X Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 38 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 39 Momento cinético El momento cinético de un punto material respecto a un punto O es el producto vectorial [L] = kg m2 s-1 O P Teorema del momento cinético Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 40 Conservación del momento cinético Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o es central con centro en un punto fijo O, su momento cinético respecto a O es constante Demostración Si el momento de la fuerza es perpendicular a un vector n, se conserva la proyección del momento cinético sobre n Ejemplo: en el movimiento central se conserva el momento cinético O P En este caso Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 41 Coordenadas polares Movimiento en un plano Relación entre las coordenadas Y uy u u ux y x X Relación entre los vectores u señala la dirección del desplazamiento cuando varía y es constante ● u señala la dirección del desplazamiento cuando varía y es constante ● Derivadas de los vectores: los vectores de la base dependen de la coordenada Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 42 Coordenadas polares: variables cinemáticas y dinámicas Relación entre las coordenadas Y uy u u ux y x Posición X Momento cinético Velocidad Aceleración Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 43 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 44 Equilibrio del punto material Un punto material está en equilibrio mecánico si la resultante del conjunto de fuerzas que actúan sobre él es nula Punto libre 3 grados de libertad Fuerzas activas Punto vinculado El movimiento posible está restringido Menos de 3 grados de libertad Fuerzas activas Fuerzas de reacción vincular Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 45 Punto sobre una superficie lisa Las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la superficie 2 grados de libertad La f.r.v. es normal a la superficie Condición de equilibrio P Las incógnitas son y las dos coordenadas que fijan la posición de equilibrio en la superficie Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 46 Punto sobre una curva lisa Las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la curva 1 grado de libertad La f.r.v. es perpendicular a la curva Condición de equilibrio P Las incógnitas son N, B y la coordenada que fija la posición de equilibrio en la curva Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 47 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Estática del punto Oscilaciones Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 48 Oscilaciones Movimiento periódico: la posición, velocidad y aceleración del cuerpo se repiten cada cierto intervalo de tiempo Ejemplos Barca en el mar Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido Voltaje e intensidad en circuitos de corriente alterna En general cualquier objeto desplazado ligeramente de una posición de equilibrio realiza un movimiento periódico Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 49 Dinámica del MAS Cuerpo unido a un muelle Constante del muelle k Fuerza restauradora proporcional al desplazamiento Segunda Ley de Newton en una dimensión Ecuación diferencial del MAS Si la ecuación de un movimiento tiene esa forma, es un MAS Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 50 Representación matemática del MAS Significado físico de las constantes A es la amplitud es la frecuencia angular es la constante de fase La constante de fase indica cuando “comienza” la función Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 51 Representación matemática del MAS Problema Ecuación diferencial Condiciones iniciales Solución general Forma 1 Forma 2 Relación Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 52 Período y frecuencia Período: es el tiempo necesario para completar una oscilación [T] = s Frecuencia: número de oscilaciones por T segundo [f] = Hz = s-1 Frecuencia – frecuencia angular Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 T 53 Ejemplos: muelle vertical Muelle de longitud natural Una masa colgando en equilibrio Se tira de la masa y se suelta MAS Problema de movimiento Solución La frecuencia no depende de la amplitud ni de la velocidad inicial Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 54 Aplicaciones del muelle El hecho de que la frecuencia no dependa de la amplitud ni la velocidad inicial tiene aplicaciones interesantes Medida de masas a partir del período de oscilación El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa en el segundo viaje del Skylab (1973) En los instrumentos musicales la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda o se apriete la tecla de un piano Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 55 Condiciones iniciales Aplicación de las condiciones iniciales x Representación gráfica A0 x t − A0 Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 56 Velocidad y aceleración Posición A T T 2 3T 2 Amplitud máxima: -A Velocidad Aω Velocidad máxima: T 2 T 3T 2 Desfase de /2 con la posición -Aω Aceleración Aω2 Aceleración máxima: T 2 -Aω2 T 3T 2 Desfase de /2 con la velocidad Desfase de con la posición Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 57 Velocidad y aceleración A x T 2 T 3T 2 x -A Aω T 2 T 3T 2 x -Aω x Aω2 T 2 T 3T 2 x -Aω2 Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 58 Energía: muelle Despreciando el rozamiento la energía mecánica es constante Posición y velocidad Energía cinética: Energía potencial: Energía mecánica Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 59 Energía mecánica: muelle No depende de la masa La energía se trasvasa continuamente de cinética a transversal y viceversa Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 E= Ec 1 2 kA 2 60 Energía mecánica: muelle E= Ec 1 2 kA 2 x E= Ec E= Ec 1 2 kA 2 1 2 kA 2 x E= Ec E= Ec x 1 2 kA 2 1 2 kA 2 Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 x x 61 Energía mecánica: muelle E= Ec 1 2 kA 2 x E= Ec E= Ec 1 2 kA 2 1 2 kA 2 x E= Ec E= Ec x 1 2 kA 2 1 2 kA 2 Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 x x 62 Resumen Concepto de fuerza Leyes de Newton Ley de inercia Segunda Ley Principio de ación y reacción Principio de superposición Dinámica del punto material Punto libre Fuerzas libres: gravedad, muelle Vínculos Fuerzas de reacción vincular Leyes del rozamiento seco Ecuación diferencial, ligaduras y condiciones iniciales Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 63 Resumen Magnitudes cinéticas Trabajo, energía Cantidad de movimiento Momento angular Estática del punto Condición de equilibrio Punto libre Punto vinculado Oscilaciones Oscilador armónico Ecuación Solución Energía Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2010/11 64
