Espacios con producto interno

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Espacios con producto interno
Estudiamos espacios vectoriales reales con producto interno (p.i.)
Un espacio vectorial V se dice con producto interno, si existe una operación  : V  V 
IR, que a cada par de vectores u y v en V asigna un escalar (u, v)  IR, que satisface:
i)
 v  V (v, v)  0 y (v, v) = 0  v = 0V
ii)
 u, v  V (u, v) = (v, u)
iii)
 u, v, w  V y r IR (u + rv, w) = (u, w) + r(v, w)
De estas tres propiedades se deduce que también vale:
iv)
 u, v, w  V y r IR (w, u + rv) = (w ,u) + r(w, v), pues, por ii):
(w, u + rv) = (u + rv, w) y esto último es igual a, por iii):
(u + rv, w) = (u, w) + r(v, w), de donde, aplicando una vez más la propiedad ii)
dos veces, se sigue: (w, u + rv) = (w ,u) + r(w, v)
El producto interno no es otra cosa que la generalización del producto escalar en IRn, de
hecho es ése el primer ejemplo de p.i.
Ejemplos:
i)
El producto escalar en IRn es un p.i. Las tres propiedades de p.i. se cumplen
obviamente y se deja al estudiante pensar sobre las mismas.
ii)
En C([a, b]), el conjunto de funciones reales continuas definidas en el intervalo

[a, b] se define el siguiente p.i.: “ f, gC([a, b]) (f, g) =
b
f(x) g(x) dx ”,
a
operación que en efecto satisface las tres condiciones de la definición de p.i.,
pues:
i)
 f  C([a, b]) (f, f) =
b
 [f(x)]
2

b
f(x) f(x) dx =
a
b
 [f(x)]
2
dx  0 y (f, f) =
a
dx = 0  f es la función nula, es decir, el vector nulo
a
del e.v. C([a, b])
ii)

b
 f, g, h  C([a, b]) y r  IR (f, g + rh) =

 f, g  C([a, b])
(f, g) =

b
f(x) g(x) dx =
a
iii)

b

b
g(x) f(x) dx = (g, f)
a
{[f(x) g(x)]  [ f(x) rh(x)]} dx =
a

b
b
f(x) [g(x)  rh(x)] dx =
a
f(x) g(x) dx +
a
f(x) g(x) dx + r
a

b

b
f(x) rh(x) dx =
a
f(x) h(x) dx = (f, g) + r(g, h).
a
En particular con este producto interno para las funciones f(x) = x2 y
g(x) = (x - 1)2 en C([0,1]) (f, g) =

1
f(x) g(x) dx =
0

1
0
(x 4 - 2x 3  x 2 ) dx =
x5
5
1
2
0
x4
4
1
1

0

1
x 2 (x - 1)2 dx =
0
x3
1
1 1 1
=   =
.
3 0 5 2 3 30
Un producto interno en IRn diferente al producto escalar es aquél definido
para todo par de vectores u = (u1, ... , un) y v = (v1, ... , vn) en IRn por
(u, v) = a1u1v1 + ... + anunvn, en donde a1, ... , an son números reales positivos.
Por ejemplo; en IR3, para un par de vectores u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3)
resulta (u, v) = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3 un producto interno, pues:
i)
(u, u) = u12 + 2 u22 + 3 u32  0 y (u, u) = u12 + 2 u22 + 3 u32 = 0 
iii)

ii)
iii)
u= 0
(u, v) = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3 = v1u1 + 2v2u2 + 3v3u3 = (v, u)
(u + rv, w) = (u1 + rv1)w1+ 2[(u2 + rv2)w2] + 3[(u3 + rv3)]w3 =
(u1w1) + r(v1w1) + 2[(u2w2) + r(v2w2)] + 3[(u3w3) + r(v3w3)] =
(u1w1 + 2u2w2 + 3u3w3) + r(v1w1 + 2v2w2 + 3v3w3) = (u, w) + r(v, w)
Así como con el producto escalar en IRn dos vectores son ortogonales si su producto
escalar es cero, se generaliza a espacios vectoriales con p.i.:
Definición.
Sea V un espacio vectorial con p.i.
Dos vectores u y v en V se dicen ortogonales (notación u  v), u  v = 0.
Por ejemplo; las funciones senx y cosx en C([0, ]) con el p.i. (f, g) =


f(x) g(x) dx
0
son ortogonales, en símbolos: senx  cosx, pues (senx, cosx) =


senx cosx dx =
0

1
sen 2 x = 0.
2
0
Otra generalización que se hace es la que tiene que ver con la norma de un vector.
Recordamos que en IRn la norma de un vector v viene dada por || v || = v  v , en
donde la expresión subradical es el producto escalar del vector v consigo mismo. La
noción de norma de un vector se generaliza en la siguiente ...
Definición
Sea V un espacio vectorial con producto interno (.,.).
Se define la norma de un vector v en V como || v || = ( v, v ).
Por ejemplo, la norma de la función cosx en C([0, ]) con el p.i. (f, g) =


f(x) g(x) dx es
0
|| cosx || =
(cos x, cos x) =

 cos x
0
2
dx =

.
2
Definición
Sea V un espacio vectorial con producto interno.
Un conjunto de vectores {v1, ... , vk} de V se dice ortogonal, si para cada i  j los
vectores vi y vj son ortogonales. Es decir: Para todo i  j vale vi  vj o (vi, vj) = 0.
Ejemplos.
i)
Con el producto escalar en IRn la base canónica es un conjunto ortogonal.
Otro conjunto ortogonal, ahora en IR2, con el producto escalar es
{(1, 1), (1, -1)}, así como {(1, 1), (1, -1), (0, 0)}
ii)
Con el p.i. en IR3: “ u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)  IR3
(u, v) = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3”, resultan ortogonales los vectores u = (2, -1, 0) y
v = (1, 1, 0) y ortogonal el conjunto {(2, -1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}
iii)
{senx, cosx} es un conjunto ortogonal en C([0, ]) con el producto
(f, g) =

b
f(x) g(x) dx
a
iv)
En un e.v. con p.i. todo conjunto formado por un vector es ortogonal.
De las propiedades de p.i. se deduce la siguiente ...
Proposición
En un e.v. con p.i. se cumplen las siguientes propiedades:
i)
 uV (u, 0V) = 0 (y claro que también (0V, u) = 0)
ii)
 u, vV (-u, v) = -(u, v) (también (v, -u) = -(v, u) = -(u, v))
D.:
i)
(u, 0V) = (u, 0V + 0V) = (u, 0V) + (u, 0V) y sumando -(u, 0V) a ambos extremos
de esta cadena de igualdades se tiene (u, 0V) = 0.
ii)
(-u, v) = ((-1)u, v) = (-1)(u, v) = -(u, v)
La anterior proposición se usa para probar el siguiente ...
Teorema
En un e.v. con p.i. todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es l.i.
D.:
Sean {v1, ... , vk} un conjunto ortogonal de vectores no nulos y r1v1 + ... + rkvk = 0V una
c.l. lineal de estos vectores. Para cada i = 1, ... , k, operamos a izquierda y a derecha de
la igualdad con el p.i. por el vector vi y se tiene: (1): (r1v1 + ... + rkvk, vi) = (vi, 0v) = 0.
Ahora bien,
(2): (r1v1 + ... + rkvk, vi) = (r1v1, vi) + ... + (rivi, vi) + … + (rkvk, vi) =
r1 (v1, vi) + ... + ri (vi, vi) + … + rk (vk, vi) = ri(vi, vi) = ri|| vi ||2, pues (vi, vj) = 0 si i  j y
(vi, vi) = || vi ||2  0 si i = j, ya que se trata de un conjunto ortogonal de vectores no nulos.
Para cada i = 1, ... , k :
(1) : (r1v 1    rk v k , v i )  (0 V , v i )  0

2
(2) : (r1v 1    rk v k , v i )  ri ( v i , v i )  ri || v i ||
se sigue ri || vi ||2 = 0, como vi  0V, entonces || vi ||  0 para todo i = 1, ... , k, de donde
ri = 0 para todo i = 1, ... , k y {v1, ... , vk} es l.i.
Definición
Un conjunto ortogonal de vectores unitarios se dice conjunto ortonormal.
El estudiante debe observar, que en virtud del teorema anterior todo conjunto ortonormal
de vectores es l.i., pues un conjunto ortonormal es uno ortogonal de vectores no nulos, ya
que son vectores de norma 1.
Ejemplos:
i)
La base canónica de IRn con el producto escalar es un conjunto ortonormal.
Con el producto escalar el subconjunto de IR3: {(1, 1, 0), (1, -1, 0), (0, 0, 1)} es
ortogonal, más no ortonormal, sin embargo, siempre que se tenga un conjunto
ortogonal de vectores no nulos, basta dividir cada vector de este conjunto entre
su norma para obtener así un conjunto ortonormal. Dividiendo cada vector del
conjunto {(1, 1, 0), (1, -1, 0), (0, 0, 1)} se obtiene el conjunto ortonormal:


  1

1
1
 1

,
, 0 , 
, , 0 , (0, 0,1) . Es importante subrayar, que



2
2
  2

 2

dividiendo entre su norma a cada vector de un conjunto ortogonal de vectores
no nulos, se obtiene un conjunto ortonormal.
ii)
Si {v1, ... , vn} es un conjunto ortogonal de vectores no nulos de un e.v. con
p.i., entonces dividiendo cada vector del conjunto entre su norma, se tiene un
 v
v 
conjunto ortonormal:  1 ,..., n  . Por ejemplo, ya vimos que el
|| v n ||
|| v 1 ||
subconjunto {senx, cosx} del e.v. C([0, ]) con el p.i. (f, g) =


f(x) g(x) dx es
0
un conjunto ortogonal y que || cosx || =
(senx, senx) =


0
sen 2 x dx =


. También || senx || =
2
 (1 - cos x) dx
2
=
0

x0 

=
2


=
2

, de donde dividiendo cada función entre su propia norma se tiene el
2
2 cosx 
 2 senx
,
conjunto ortonormal: 
 . Otro conjunto ortonormal, esta vez

π
π 
 1 2 


de IR3 con el producto escalar es:   1 2  ,
 0 


1 2 


1 2  ,


 0 


 0 
 
 0   . Este conjunto
 1 
 
pudo haber sido “normalizado” a partir del conjunto ortogonal
 1 
 
  1 ,
 0 
 
iii)
 1
 
 1 ,
0
 
 0 
 
 0   , es decir, pudo haber sido obtenido dividiendo entre su
 1 
 
norma cada vector del conjunto ortogonal dado.
En un e.v. con p.i. todo conjunto formado por un vector unitario es ortonormal.
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