Documento 496840

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Física de Semiconductores
Curso 2008
Ing. Electrónica, 3er. Año, V cuat.
Trabajo Práctico 1: Ecuación de Schrödinger (Segunda parte)
Ejercicios propuestos
1- El escalón de potencial es un caso de interés porque la solución de la ecuación de
Schrödinger contradice el comportamiento clásico de una partícula.
V(x)
E > Vo
Vo
E < Vo
V= 0
Región I
Región II
x=0
x
El escalón de potencial consiste en una región I, x < 0, donde la energía potencial es
nula, seguida de una región II donde la energía potencial es constante de valor Vo. La
función V(x) presenta una discontinuidad en x = 0.
a) Plantear el sistema, las condiciones de contorno y analizar las soluciones de los dos
casos que se pueden presentar:
 energía de la partícula E < Vo
 energía de la partícula E > Vo
En ambos casos indicar qué podría esperarse como solución según la mecánica clásica.
2- Para un escalón de potencial como el de la figura anterior se suele definir la distancia
de penetración d a la distancia que recorre la partícula desde x = 0 hasta x= d = 1/ , de
modo que el exponencial e -x = e –1, de donde resulta:
d

2 m (Vo - E)
De acuerdo con la definición anterior calcular d y comparar resultados para:
 Una partícula de polvo de masa m = 4x10-14 Kg que se mueve a una velocidad
v= 10-2 m/s y golpea sobre un escalón de potencial de altura igual al doble de la
energía cinética de la partícula.

Un electrón (m=9.1x10-31 Kg) que incide sobre un escalón de potencial tal que
Vo-E= 4 eV.
3- Un electrón de energía 2.1 eV penetra un escalón de potencial de altura 2.4 eV.
Determinar la probabilidad relativa de encontrar al electrón a una distancia: a) 12 Å,
b) 48 Å, comparada a la probabilidad de que la partícula incida sobre el borde de la
barrera.
4- Una partícula que se acerca a una barrera de potencial de altura y espesor finitos,
como la mostrada, tiene una determinada probabilidad de penetrar la barrera y aparecer
del otro lado, lo cual estaría totalmente prohibido según la mecánica clásica.
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En mecánica cuántica este efecto se denomina penetración de la barrera de potencial o
efecto túnel. El efecto túnel es un fenómeno importante en dispositivos
semiconductores porque además de los dispositivos que basan su funcionamiento en
dicho efecto, como el diodo túnel, también lo hacen los contactos óhmicos que
proporcionan la conexión entre un semiconductor y el mundo exterior, en los circuitos
integrados.
Cuando la energía de las partículas que inciden sobre la barrera de potencial es menor
que la altura de la misma, las partículas que hayan atravesado la barrera, una distancia
mayor que a (ancho de la barrera), tendrán una energía cinética igual a su energía total
y se moverán hacia la derecha con igual velocidad que las partículas incidentes. Estas
partículas transmitidas han atravesado una región clásicamente prohibida.
V(x)
Vo
x
a
Vo
V(x)
2
1
3
x
Si E < Vo se presenta un caso como el siguiente:
V(x)
E < Vo
I
Vo
II
incidentes
III
transmitidas
reflejadas
x=0
x
x=a
Plantear el sistema, las condiciones de contorno y analizar las soluciones de la ecuación
de Schoedinger dividiendo el sistema en tres regiones: I (x < 0), II (0 <x< a) y III (x> a).
5- El coeficiente de transmisión T para una barrera de potencial de altura Vo y ancho a
puede ser evaluado por la siguiente expresión, válida para E << Vo.:
 E   E  - 2a
T  16 
 1 e
 Vo   Vo 
,
2 m (Vo - E)
h2
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a) Estimar la probabilidad de efecto túnel de que una partícula con masa efectiva m* =
0.067 mo (electrón en GaAs), donde mo es la masa del electrón en reposo, atraviese
una barrera rectangular de altura Vo = 0.8 eV y ancho 15 Å. La energía de la
partícula es 0.2 eV.
b) Repetir si la partícula fuera un electrón en Silicio de masa efectiva m* = 1.08 mo.
6- (Opcional): Para la función potencial mostrada en la figura las partículas incidentes
que llegan desde la izquierda poseen una energía total E > V2. Las constantes k en cada
región se definen:
k1 
2mE
2m
2m
, k2 
(E - V1) , k3 
(E - V2)
2
2


2
Suponiendo un caso especial para el cual k2 a = 2  n, n = 1, 2, 3,…, encontrar las
expresiones, en términos de k1, k2, k3 del coeficiente de transmisión T.
El coeficiente de transmisión T se define como la relación del flujo de partículas en la
región III al flujo de partículas incidentes en la región I.
E > V2
V2
V1
I
k1
x=0
II
k2
III
k3
x=a
Ejercicios para el alumno
1- Un electrón a una velocidad de 105 m/s atraviesa un escalón de potencial de altura
Vo = 2 E. Calcular la distancia de penetración d para la cual la magnitud de la
función de onda cae e-1 de su valor respecto del borde de la barrera (x=0).
2- Un protón (m= 1.67x10-27 Kg) incide sobre una barrera de potencial de altura 10
MeV y ancho a= 10-14 m. La partícula tiene una energía de 3 MeV. Calcular la
probabilidad que la partícula penetre la barrera de potencial, suponiendo válida la
expresión usada en el ejercicio 5.
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Repetir para el caso de un electrón y comparar resultados.