CÁLCULO DIFERENCIAL NOMBRE DE CONTENIDO DE LA UNIDAD POR TEMAS
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CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA CÁLCULO DIFERENCIAL NUMERO NOMBRE DE UNIDAD LA UNIDAD 1 NÚMEROS REALES 2 FUNCIONES 3 LÍMITES 4 CONTINUIDAD 5 DERIVADA 6 APLICACIONES DE LA DERIVADA CONTENIDO DE LA UNIDAD POR TEMAS Intervalos Desigualdades Valor Absoluto Definición Clasificación. Graficación Dominio y Rango Concepto de límite. Propiedades. Limites sustitución directa, de formas indeterminadas, trigonométricos, infinitos, al infinito Continuidad de un Intervalo Tipos de Discontinuidad Propiedades. Concepto de derivadas. Interpretación geométrica de las derivadas. Razón de cambio Fórmulas básicas de derivadas. Regla del producto. Regla del cociente Regla de la cadena. Derivadas de las funciones especiales y trascendentes Derivación implícita. Derivadas de orden superior Funciones creciente y decreciente. Criterio primera y segunda derivada Problemas de aplicación Máximos y mínimos GUIA Nº 1 Competencia: Aplicar las propiedades de las desigualdades para calcular el intervalo solución de las inecuaciones INTERVALOS En análisis, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa es decir a él subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real. Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2,-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí. Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados: CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA INTERVALOS ACOTADOS: INTERVALO ABIERTO Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: INTERVALO CERRADO Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa INTERVALO ABIERTO A LA DERECHA Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa INTERVALO ABIERTO A LA IZQUIERDA Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos. INTERVALOS NO ACOTADOS: Los intervalos no acotados se representan mediante una semirrecta. Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él. 1. Está formado por los números reales x mayores que a, excluido a. 2. Está formado por los números reales x mayores que a, incluido a. Se expresa: 3. Está formado por los números reales x menores que a, excluido a. Se expresa: 4. Está formado por los números reales x menores que a, incluido a. Se expresa: Se expresa: CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA EJERCICIOS EN CLASE 1. Dados los intervalos a. 2. A B A 2,7 , B 1,5 y C 0,9 ; hallar el intervalo solución gráfica y analíticamente: b. AC c. BC d. AC e. A B A 1,5 , B 2,3 y C 0,4; hallar el intervalo solución gráfica y analíticamente: BC A B BC AC b. c. d. Dados los intervalos a. ACTIVIDAD PROPUESTA INTERVALOS 1. Hallar las operaciones de los intervalos. Escribirlos en notación de conjuntos y grafica. 1. 3. 5. 2. 1,10 10,29 1,6 2,9 ,1 / 2 3 / 4,8 2 4. 6. 2,9 10, 2,6 / 7 0,1 ,5 6, A 1,5 , B 2,3 y C 0,4; hallar el intervalo solución gráfica y analíticamente: BC A B BC AC b. c. d. Dados los intervalos a. ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Dada la ecuación: TRANSPOSICIÓN: Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que: Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía. En otras palabras, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6) La ecuación quedará así: Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha). CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA SIMPLIFICACIÓN: El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. Realizamos la simplificación del primer miembro y simplificamos el segundo miembro, de tal forma que la ecuación simplificada será: DESPEJAR: Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía. En otras palabras: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo). 2Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía. En otros términos: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo). En la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo): Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número . Sin embargo, debemos simplificar. Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado. En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737) Por tanto, simplificando, la solución es: DESIGUALDADES Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: no es igual < menor que > mayor que menor o igual que mayor o igual que Ejemplos de desigualdades: a) b) c) d) e) Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición. Ejemplos de inecuaciones a) b) c) Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA Ejemplo 1: hallar el intervalo solución de la inecuación Organizar términos, variables en la izquierda y números a la derecha Intervalo solución en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solución es Ejemplo 2: hallar el intervalo solución de la inecuación Organizar términos, variables en la izquierda y números a la derecha. Reducción de términos semejantes en ambos lados y despejar x, como el 3 está multiplicando pasa a dividir. Intervalo solución en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solución es Ejemplo 3: Caso especial variable con signo negativo. Hallar el intervalo solución de . Organizar términos, variables en la izquierda y números a la derecha. Reducción de términos semejantes en ambos lados Como el término de la variable es negativo -13x multiplicamos en ambos lados por (-1) y le damos la vuelta a la desigualdad ≥. Despejar x, como el 13 está multiplicando pasa a dividir Intervalo solución en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solución es Ejemplo 4: Caso especial variable con signo negativo. Hallar el intervalo solución de Organizar términos, variables en la izquierda y números a la derecha. Reducción de términos semejantes en ambos lados Despejar x, como el 7 está dividiendo pasa a multiplicar Como el dos está multiplicando pasa a dividir Como el término de la variable es negativo -x multiplicamos en ambos lados por (-1) y le damos la vuelta a la desigualdad ≤. Intervalo solución en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solución es CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA Ejemplo 5: hallar el intervalo solución de Organizar términos, variables en la izquierda y números a la derecha. Operaciones con fracciones en ambos lados de la inecuación Reducción de términos semejantes en ambos lados Simplificando la fracción Despejar x, como el 6 está dividiendo pasa a multiplicar Como el 4 está dividiendo pasa a multiplicar Como el 20 está multiplicando pasa a dividir Simplificando la fracción Intervalo solución en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solución es VALOR ABSOLUTO Definición: Si ”a” es un número real, el valor absoluto de “a” que se expresa como se define como: PROPIEDADES A continuación se describen algunas propiedades de valor absoluto que se utilizan para resolver ecuaciones e inecuaciones de las formas: Ecuaciones de la forma Inecuaciones de la forma 1. Propiedad Ejemplo 1: 7 Ejemplo 2: Ejemplo3: Esta propiedad la utilizamos para resolver ecuaciones de la forma siendo . Ejemplo 1: hallar los valores de x si Aplicando la primera propiedad planteamos que o Resolviendo la primera ecuación con +5 Resolviendo la segunda ecuación con -5 Por lo tanto la solución es: o . Esto significa que: CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA Ejemplo 2: hallar los valores de x si Aplicando la primera propiedad planteamos que . Esto significa que: o Resolviendo la primera ecuación con +4 Resolviendo la segunda ecuación con -4 Por lo tanto la solución es o 2. Propiedad sí y solo sí Como , entonces Ejemplo1: resolver la inecuación Aplicando: como En este caso, como , entonces . , entonces Despejar x, el -3 pasa a sumar a ambos lados aplicando Intervalo solución en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solución es: Ejemplo 2: resolver la inecuación Aplicando: como En este caso, como , entonces , entonces Despejar x, el +7 pasa a restar a ambos lados aplicando Despejar x, el 2 pasa a dividir a ambos lados Simplificar fracciones en ambos lados cuando sea posible Intervalo solución en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solución es: 3. Propiedad sí y solo sí Ejemplo 1: resolver la inecuación Aplicando se obtiene: . CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA Solución de primera inecuación Despejar x, pasamos el 3 a dividir Primera solución Solución de la segunda inecuación Despejar x, pasamos el 3 a dividir Segunda solución Por lo tanto la solución completa es: Ejemplo 2: resolver la inecuación Aplicando se obtiene: Solución de primera inecuación Despejar x, pasamos el 2 a dividir Primera solución Solución de la segunda inecuación Despejar x, pasamos el 2 a dividir Segunda solución Por lo tanto la solución completa es: EJERCICIOS EN CLASE A. Resolver las siguientes Inecuaciones 1. 3. 2 x 1 3 3 2. 4. 12x 4 8 ACTIVIDAD PROPUESTA 1. 2. 3 x 1 2 x 1 2 2 3 4 3. 4. 3 5x 2 2 3 5. x 1 4 EJERCICIO 1. El intervalo solución de la inecuación es: 2. El intervalo solución de la inecuación a. a. b. b. c. d. c. d. es: CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA