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CASOS MÀS FRECUENTES DE INDETERMINACIÓN. RESUMEN
Problema
Cálculo
práctico de
límites
Procedimiento
Si una función es continua para
calcular lím f (x) , en realidad
xa
calculamos f(a)
Casos de
indetermina
ción 0/0
Ejemplo
Calcula:
x 1 2 1 1


x2 x  4
24 6
lím
 Si aplicando el método anterior Calcula:
obtenemos el valor 0/0, factorizamos
x7
numerador
y
denominador, lím
2
x 7 x  8 x  7
simplificamos los factores comunes
y calculamos el límite de lo que Haciendo x=7 se obtiene 0/0. Factorizando el denominador:
resta.
lím
x 7
x7
1
1
 lím

x

7
(x  1)( x  7)
x 1 6
 En aquellos casos en que Calcula:
aparezcen funciones irracionales
x
(radicales), basta con multiplicar y lím
dividir por la expresión radical x  0 1  1  x
conjugada.
Para x=0 tenemos 0/0. Multiplicando y dividiendo la función por su
conjugada:



x
1 1 x
x 1 1 x
lím
*
 lím

x  0 1  1  x 1  1  x x  0 12  1  x 2





x 1 1 x
lím
 lím  1  1  x  1  1  2
x 0 1  1  x
x 0
Casos de
indetermina
ción / 
 Si obtenemos /  dividimos Calcula:
numerador y denominador por el “x”
4 x 2  6x  1
de mayor grado y simplificamos lím
x  2 x 2  x  9
teniendo en cuenta que cualquier
constante entre una potencia “x” es
2
igual a cero cuando “x” tiende a Para x=  tenemos /  . Dividiendo todo por x :
infinito.
2
4x
6x
1
6
1
 2  2
4  2
2
x x 2
x
x  lím
lím x
x  2x 2
x


1 9
x
9
2  2


x x
x2
x2 x2
 Aplicamos el paso anterior, en Calcula:
aquellos casos donde aparezcan
funciones irracionales (radicales)
x2  x
x
lím
x 
Para x=  tenemos /  . Dividiendo todo por x:
lím
x 
x2  x
 lim
x
x 
1
lim
x 
1
1
x2
1
x2  x
x
 lim
x
x 
x
x2  x
x

1
Casos de
indetermina
ción   
 Si obtenemos    , en la Calcula:
mayoría de los casos basta con

efectuar las operaciones indicadas.
 1
Si tenemos una resta de fracciones,
simplemente se hace la resta para
obtener un cociente de polinomios
que ya sabemos resolver.




 1

3
  lim 

lim 


x 1 1  x 1  x 3   x 1 1  x 1  x 1  x  x 2  






 (1  x  x 2 )  3 


x2  x  2
  lim 

lim 



2
2
x 1 (1  x)(1  x  x )  x 1 (1  x)(1  x  x ) 
 ( x  2)(x  1) 


  lim   ( x  2)   1
lim 
x 1 (1  x)(1  x  x 2 )  x 1 (1  x  x 2 ) 
3
 En otros casos, sobre todo en Calcula:
aquellos en donde aparezcan
lím x 2  3x  x
radicales, basta con multiplicar y
x 
dividir por la expresión radical
conjugada.
Para x=  tenemos    . Multiplicando y dividiendo por la
conjugada:
 2

 x  3x  x 
2
2
  lim x  3x  x 
lím x 2  3x  x  
 2

2
x 
 x  3x  x  x   x  3x  x


A partir de este punto se obtiene una indeterminación /  , en tal
sentido se continúa resolviendo el límite bajo esta forma. Por ello
procedemos a dividir todo por x :
x 2  3x  x 2
lim
 lim
x   x 2  3x  x x  
3
3
lim

x  1  1 2
3x
x
3
 lim
x 2  3x x x   1  3  1

x
x
x2