Tema 3. Circuitos Resistivos

Anuncio
Tema 3. Circuitos Resistivos
1
Sistemas y Circuitos
© Francisco J. González, UC3M 2009
3.1 Elementos en Circuitos
i (t )
‰ Elementos de circuitos
+
• Dos terminales
v(t )
Tanto la tensión como la
corriente son variables
que tienen signo.
z
Dispositivo
(R, L,C)
(Generador)
−
• Potencia (instantánea)
i (t )
+
p(t ) = v(t )i (t )
„
„
3A
Si p(t)<0, el dispositivo genera
−
5V
p (t ) = −15 W
© Francisco J. González, UC3M 2009
-5 V
p (t ) = −15 W
+
−
Consume
−
Dispositivo
(R, L,C)
(Generador)
−
+
p (t ) = 15 W
v (t )
−3 A
3A
+
5V
Si p(t)>0, el dispositivo consume
Genera
Sistemas y Circuitos
Genera
2
3.1 Elementos en Circuitos
‰ Activos
• Generadores ideales: mantienen su valor nominal
independientemente de lo que haya conectado a sus terminales
− Tensión
v(t )
+
VS
−
constante
+
−
− Corriente
i (t )
5V
5A
+
−
Tanto la tensión como la
corriente son variables que
tienen signo.
2A
z
2A
Permitido
…
© Francisco J. González, UC3M 2009
No Permitido
…
3
Sistemas y Circuitos
3.1 Elementos en Circuitos
‰ Activos
• Generadores dependientes:
− su valor nominal depende de otra magnitud en el circuito
• Generadores de tensión dependientes de
Tensión
α vx (t )
+
Corriente
−
ρ iy (t )
+
−
• Generadores de corriente dependientes de
Corriente
β is (t )
© Francisco J. González, UC3M 2009
Tensión
μ vr (t )
Sistemas y Circuitos
4
3.1 Elementos en Circuitos
‰ Pasivos
• Relaciones tensión-corriente en
‰ Tanto la tensión como la corriente
son variables que tienen signo.
− Resistencias (ley de Ohm)
+
v(t )
+
+
i (t )
0.5 A
R
10RΩ
5V
−0.5 A
−
−
10RΩ
5V
−
v(t ) = Ri (t )
+
−
0.5 A
−5 V
10RΩ
10 RΩ
5V
+
−
© Francisco J. González, UC3M 2009
0.5 A
5
Sistemas y Circuitos
3.1 Elementos en Circuitos
‰ Pasivos
• Relaciones tensión-corriente en
− Resistencias (ley de Ohm)
+
i (t )
v(t ) = Ri (t )
v(t )
R
400
−
v(t ) = 220 2 sin(2π 50t ) V
300
200
100
R = 10Ω
i (t ) = 22 2 sin(2π 50t ) A
0
-100
-200
-300
-400
© Francisco J. González, UC3M 2009
0
0.01
0.02
0.03
Sistemas y Circuitos
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
6
3.1 Elementos en Circuitos
‰ Pasivos
400
200
− Resistencias (ley de Ohm)
100
i (t )
+
0
i (t )
v(t ) = Ri (t )
v(t )
300
• Relaciones tensión-corriente en
v(t )
-100
R
-200
-300
−
-400
v(t ) = 220 2 sin(2π 50t ) V
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
10000
p (t )
R = 10Ω
8000
i (t ) = 22 2 sin(2π 50t ) A
6000
v 2 (t ) 2
p (t ) = v(t )i (t ) =
= i (t ) R [W]
R
Consume
4000
Š p(t)>0,
2000
» resistencias siempre consumen
0
-2000
© Francisco J. González, UC3M 2009
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
7
Sistemas y Circuitos
3.1 Elementos en Circuitos
‰ Circuitos
• Nodos (nudos), ramas, lazos y mallas
Rama esencial:
…
Rama
une dos nodos esenciales
Malla
L1
L2
R2
v(t )
+
C2
C3
R1
−
Lazo
L3
C4
C1
Nodo
Nodo esencial:
…
punto donde se conectan tres o más elementos
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
8
3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff
‰ Resolución de circuitos
• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en
cada nodo
‰ Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK)
• “La suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es 0 A”
ia
ia − ib − ic − id = 0
ib
id
ic
−ia + ib + ic + id = 0
Corrientes entrantes (+)
Corrientes de salida (-)
…
…
Corrientes entrantes (-)
Corrientes de salida (+)
…
…
ia = ib + ic + id
Suma Corrientes entrantes = Suma Corrientes de salida
© Francisco J. González, UC3M 2009
9
Sistemas y Circuitos
3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff
‰ Resolución de circuitos
• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en
cada nodo
‰ Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK)
• “La suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es 0 A”
−3A 12A
1A
Corrientes entrantes (+)
Corrientes de salida (-)
−3 − 12 + 16 − 1 = 0
−16A
…
…
3 + 12 − 16 + 1 = 0
Corrientes entrantes (-)
Corrientes de salida (+)
…
…
−3 = 1 + 12 − 16
Suma Corrientes entrantes = Suma Corrientes de salida
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
10
3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff
‰ Resolución de circuitos
• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en
cada nodo
‰ Ley de Voltajes (Tensiones) de Kirchhoff (LVK)
• “La suma algebraica de todas las tensiones en un lazo es 0 V”
− El sentido en el que se recorre el lazo es arbitrario.
vL 3 (t ) + vC 2 (t ) + vL 2 (t ) − vC1 (t ) = 0 …Subidas tensión (+)
L1
R2
vC 2 (t )
C2
−vL 3 (t ) − vC 2 (t ) − vL 2 (t ) + vC1 (t ) = 0
+
+
vL 3 (t )
L2
vL 2 (t )
−
C4
Bajadas tensión (-)
…
−
+
+
L3
vC1 (t )
−
−
Subidas tensión (+)
Bajadas tensión (-)
…
…
vC1 (t ) = vL 3 (t ) + vC 2 (t ) + vL 2 (t )
C1
Suma caídas tensión = Suma subidas de tensión
© Francisco J. González, UC3M 2009
11
Sistemas y Circuitos
3.3 Circuitos resistivos
‰ Resistencia equivalente
• Serie:
R1
I
R2
R3
+ V1 = IR1 − +V2 = IR2 − +
RN
+ VN
−
V3
−
− Ley de Tensiones de Kirchhoff
I Req
+
N
∑
k =1
−
Vk = I ( R1 + R2 +
Req = R1 + R2 +
© Francisco J. González, UC3M 2009
+ RN ) = IReq
N
+ RN = ∑ Rk
Sistemas y Circuitos
k =1
12
3.3 Circuitos resistivos
‰ Resistencia equivalente
• Paralelo: Ley de Corrientes de Kirchhoff
+
V
−
I
R1
R2
R3
+
V
−
RN
Req =
1
1
1
+
+
R1 R2
I
⎛1 1
V⎜ +
+
⎝ R1 R2
Req
1
+
RN
=
+
1 ⎞ V
⎟=
RN ⎠ Req
1
N
∑
k =1
1
Rk
− Paralelo de dos resistencias
R1
Req
R2
© Francisco J. González, UC3M 2009
Req =
1
RR
= 1 2
1
1
R
1 + R2
+
R1 R2
Sistemas y Circuitos
13
3.3 Circuitos resistivos
‰ Circuito divisor de tensión
R1
+
+
R2
V
V2
−
−
V2 =
⎛ R2 ⎞
V
R2 = ⎜
⎟V
R1 + R2
⎝ R1 + R2 ⎠
⎛ R2 ⎞
⎜
⎟ ≤1
⎝ R1 + R2 ⎠
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
14
3.3 Circuitos resistivos
‰ Circuito divisor de corriente
I
I1
I1 + I 2 = I
R1
I2
R2
I1 R1 = I 2 R2
R
I1 + I1 1 = I
R2
⎛ R2 ⎞
I1 = ⎜
⎟I
⎝ R1 + R2 ⎠
⎛ R1 ⎞
I2 = ⎜
⎟I
R
+
R
2 ⎠
⎝ 1
⎛ R2 ⎞
⎜
⎟ ≤1
⎝ R1 + R2 ⎠
© Francisco J. González, UC3M 2009
⎛ R1 ⎞
⎜
⎟ ≤1
⎝ R1 + R2 ⎠
Sistemas y Circuitos
15
Signo en voltajes
‰ ¿Por qué un voltaje puede ser negativo?
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
16
Elementos en circuitos
‰ Resistores
+
i (t )
v(t ) = Ri (t )
v(t )
R
−
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
17
Elementos en circuitos
‰ Bobinas…
+
v(t )
i(t )
L
−
v(t ) = L
di(t )
dt
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
18
Elementos en circuitos
‰ Condensadores
v(t )
+
−
i(t ) = C
i(t )
C
dv(t )
dt
© Francisco J. González, UC3M 2009
19
Sistemas y Circuitos
3.4 Resolución de circuitos
‰ Método de las tensiones en nodos
1. Marcar y etiquetar los nodos esenciales
a
R1
v(t )
+
+
−
Datos: v(t ), i (t ), R1, R 2, R3, R 4
+
R2
va
−
b
R3
c
vb
R4
i (t )
−
2. Elegir nodo de referencia (su voltaje relativo es 0 V)
…
Generalmente, se elige aquel al que se conectan más ramas
3. Definir voltajes en nodos respecto al nodo de referencia
4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
20
3.4 Resolución de circuitos
‰ Método de las tensiones en nodos
4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo
a
R1
+
V
+
+
R2
va
−
−
R1
+
+
i1
V
−
a
R4
vb
I
−
c
R3
+
i
R2 3
va
b
R3
Nodo a:
…
vb
i2
−
−
i1 − i2 + i3 = 0
V − va
v
i1 =
i2 = a
R1
R2
i3 =
⎛ 1
⎛ 1 ⎞ V
1
1 ⎞
+ ⎟ − vb ⎜ ⎟ =
va ⎜ +
R
R
R
2
3 ⎠
⎝ 1
⎝ R3 ⎠ R1
1 ecuación, 2 incógnitas
…
© Francisco J. González, UC3M 2009
vb − va
R3
21
Sistemas y Circuitos
3.4 Resolución de circuitos
‰ Método de las tensiones en nodos
4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo
a
R1
+
V
+
+
R2
va
−
−
R3
+
+
i3
va
−
Nodo b:
…
R4
i4
−
© Francisco J. González, UC3M 2009
c
vb
R4
I
−
I
b
vb
b
R3
I − i3 − i4 = 0
v −v
v
i3 = b a
i4 = b
R3
R4
⎛ 1 ⎞
⎛ 1
1 ⎞
−va ⎜ ⎟ + vb ⎜ + ⎟ = I
⎝ R3 ⎠
⎝ R3 R4 ⎠
1 ecuación, 2 incógnitas
…
Sistemas y Circuitos
22
3.4 Resolución de circuitos
‰ Método de las tensiones en nodos
5. Resolver ecuaciones
…
Nº Ecuaciones = Nº nodos esenciales -1
R1
R3
a
b
+
V
+
+
R2
va
−
−
I
−
c
⎛ 1
⎛ 1 ⎞ V
1
1 ⎞
va ⎜ +
+ ⎟ − vb ⎜ ⎟ =
⎝ R1 R2 R3 ⎠
⎝ R3 ⎠ R1
Si conocemos va y vb
conoceremos todas las tensiones
y corrientes en el circuito
…
⎛ 1 ⎞
⎛ 1
1 ⎞
−va ⎜ ⎟ + vb ⎜ + ⎟ = I
⎝ R3 ⎠
⎝ R3 R4 ⎠
© Francisco J. González, UC3M 2009
R4
vb
23
Sistemas y Circuitos
3.4 Resolución de circuitos
‰ Método de las corrientes en mallas
1. Marcar y etiquetar las mallas
R1
v(t )
+
−
Datos: v(t ), i (t ), R1, R 2, R3, R 4
R3
Ia
Malla a
R2
R4
Ib
Ic
Malla b
i (t )
Malla c
2. Definir corrientes de malla
…
Se elige arbitrariamente el sentido en el que circulan
3. Aplicar Ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla
4. Resolver ecuaciones
…
© Francisco J. González, UC3M 2009
Nº Ecuaciones = Nº Mallas
Sistemas y Circuitos
24
3.4 Resolución de circuitos
‰ Método de las corrientes en mallas
3. Aplicar Ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla
R1
V
R3
+
−
Ia
Datos: v(t ), i (t ), R1, R 2, R3, R 4
Malla a
Malla a:
…
Malla b:
…
Malla c:
…
R2
R4
Ib
Ic
Malla b
Malla c
4.
−V + I a R1 + ( I a − I b ) R2 = 0
( I b − I a ) R2 + Ib R3 + ( Ib − I c ) R4 = 0
Ic = −I
I
Resolver ecuaciones
I a ( R1 + R2 ) − I b R2 = V
− I a R2 + I b ( R2 + R3 + R4 ) = − IR4
2 ecuaciones, 2 incógnitas
…
3 ecuaciones, 3 incógnitas
…
© Francisco J. González, UC3M 2009
25
Sistemas y Circuitos
3.5 Transformación de generadores
‰ Transformación de generadores :
• Procedimiento por el cual una fuente de tensión en serie con una
resistencia se transforma en un generador de corriente en paralelo con un
resistencia.
• El comportamiento de ambos circuitos respecto de los terminales a y b es
idéntico.
i
RS
i
a
a
VS
+
VS = I S RP
vab
IS
RP
RS = RP
vab
b
b
Pendiente -RS
vab
Cortocircuito (vab=0)
Circuito abierto (i=0)
VS
RS
© Francisco J. González, UC3M 2009
vab
VS Característica v-i
i
Pendiente -RP
Característica v-i
I S RP Cortocircuito (vab=0)
i
IS
Sistemas y Circuitos
26
3.6 Superposición
‰ Linealidad en circuitos resisitivos
Anulamos el generador de corriente→ 0 A.⇔ circuito abierto
Anulamos el generador de tensión→ 0 V ⇔ cortocircuito
i1 = i1′ + i1′′
© Francisco J. González, UC3M 2009
27
Sistemas y Circuitos
3.7 Equivalente de Thèvenin
‰ Un circuito lineal conteniendo resistencias y generadores
dependientes y/o independientes puede reemplazarse por un
generador independiente de tensión en serie con una resistencia
• Tensión y resistencia de Thèvenin
Circuito A
a
RTH
VTH
RL
+
−
b
© Francisco J. González, UC3M 2009
ia
RL
b
Sistemas y Circuitos
28
3.7 Equivalente de Thèvenin
‰ Un circuito conteniendo resistencias y generadores
independientes y/o dependientes puede reemplazarse por un
generador independiente de tensión en serie con una
resistencia.
Circuito A
a
ia
RTH
VTH
RL
+
−
I SC
RL
b
b
‰ Procedimiento
1. Calcular la tensión en circuito abierto: Vab = VTH
2. Calcular la corriente en cortocircuito: Iab = ISC
V
3. La resistencia deThèvenin es RTH = IOC
SC
© Francisco J. González, UC3M 2009
29
Sistemas y Circuitos
3.7 Equivalente de Norton
‰ Un circuito lineal conteniendo resistencias y generadores
dependientes y/o independientes puede reemplazarse por un
generador independiente de corriente en paralelo con una
resistencia
• Corriente y resistencia de Norton
Circuito A
a i
a
RL
RN
RL
b
b
© Francisco J. González, UC3M 2009
IN
Sistemas y Circuitos
30
3.7 Equivalente de Norton
‰ Un circuito conteniendo resistencias y generadores
independientes y/o dependientes puede reemplazarse por un
generador independiente de corriente en paralelo con una
resistencia.
Circuito A
a i
a
IN
RL
RN
RL
b
b
‰ Procedimiento
1. Calcular la corriente en cortocircuito: ISC = IN
2. Calcular la tensión en circuito abierto: VAB = IN RN
V
3. La resistencia de Norton es RN = OC
IN
© Francisco J. González, UC3M 2009
31
Sistemas y Circuitos
3.7 Equivalente Thèvenin
‰ Máxima transferencia de potencia:
• ¿Cuánto ha de valer RL para que la potencia que disipe sea
máxima?
RTH
VTH
ia
+
−
RL
b
PRL
2
⎛ VTH ⎞
PRL = ⎜
⎟ RL
⎝ RTH + RL ⎠
PRL MAX
0
© Francisco J. González, UC3M 2009
RL , MAX
RL
Sistemas y Circuitos
32
3.7 Equivalente Thèvenin
‰ Máxima transferencia de potencia:
• ¿Cuánto ha de valer RL para que la potencia que disipe sea
máxima?
RTH
VTH
ia
2
+
−
RL
⎛ VTH ⎞
PRL = ⎜
⎟ RL
⎝ RTH + RL ⎠
b
PRL
⎛ ( R + RL )2 − RL i2 ( RTH + RL ) ⎞
= VTH2 ⎜ TH
⎟
4
⎜
⎟
dRL
( RTH + RL )
⎝
⎠
dPRL
2
= 0 → ( RTH + RL ) − RL i2 ( RTH + RL ) = 0
dRL
dPRL
dPRL
dRL
=0
dPRL
0
© Francisco J. González, UC3M 2009
RTH
RL
dRL
= 0 → RTH = RL
Sistemas y Circuitos
33
3.7 Equivalente Thèvenin
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
34
Ejercicios de Repaso
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
35
Ejercicios de Repaso
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
36
Ejercicios de Repaso
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
37
Descargar