Práctica 4. Transformaciones lineales

Práctica 4. Transformaciones lineales
1. Determine cuáles de las siguientes son transformaciones lineales:
(a) T : R2 → R2 , T ([x1 x2 ]T ) = [x1 1 + x2 ]T .
(b) T : R2 → R2 , T ([x1 x2 ]T ) = [x2 x1 ]T .
(c) T : C → C, T (z) = z, considerando a C primero como C-espacio vectorial y luego como R-espacio
vectorial.
(d) T : Rn×n → R, T (x) = tr(x).
(e) T : Rn → R, T (x) = v T x para v ∈ Rn fijo.
R1
(f) T : C[0, 1] → R, T (f ) = 0 f (t)dt.
(g) T : C 2 (R) → C(R), T (f ) = f 00 − f . (C 2 (R) es el espacio de funciones dos veces derivables con
continuidad.)
2. Sea T : R3 → R3 la transformación lineal definida por T (x) = Ax. Describa geométricamente la
transformación si A es cada una de las siguientes matrices:


1 0 0
(a)  0 0 0 
0 0 0


1 0
0
(b)  0 1
0 
0 0 −1


−1
0 0
(c)  0 −1 0 
0
0 1


cos(α) −sen(α) 0
(d)  sen(α) cos(α) 0 , α ∈ R
0
0
1
3. Encuentre bases de Nu(T ) e Im(T ) para las siguientes transformaciones lineales:
(a) T : P2 → R3 , T (p) = [p(0) p0 (0) p00 (0)]T , con t0 ∈ R.
1
1
(b) T : R2×2 → R2×2 , T (x) = Ax − xA, con A =
.
2 −1
(c) T : Rn×n → Rn×n , T (x) = x + xT .
4. Sea T : V → W una transformación lineal. Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas, justificando la respuesta.
(a) Si {v1 , . . . , vr } es l.d. entonces {T (v1 ), . . . , T (vr )} es l.d.
(b) Si {T (v1 ), . . . , T (vr )} es l.d. entonces {v1 , . . . , vr } es l.d.
(c) Si {v1 , . . . , vr } es l.i. entonces {T (v1 ), . . . , T (vr )} es l.i.
(d) Si {T (v1 ), . . . , T (vr )} es l.i. entonces {v1 , . . . , vr } es l.i.
(e) Si Nu(T ) = {0}, la ecuación T (v) = w tiene a lo sumo una solución.
(f) La ecuación T (v) = w siempre tiene solución si Nu(T ) = {0}.
(g) Im(T ) = W y Nu(T ) = {0} si y sólo si la ecuación T (v) = w tiene solución única para cada
w ∈ W.
(h) La transformación T es inversible si y sólo si Im(T ) = W y Nu(T ) = {0}.
(i) Si dim(V ) = dim(W ) = n, Nu(T ) = {0} si y sólo si Im(T ) = W .
(j) Si dim(V ) = dim(W ) = n entonces T es inyectiva si y sólo si T es sobreyectiva.
(k) Si dim(V ) > dim(W ), T no puede ser inyectiva.
(l) Si dim(V ) < dim(W ), T no puede ser sobreyectiva.
(m) Si V es de dimensión finita y T es biyectiva, W es de dimensión finita y dim(V ) = dim(W ).
5. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno, sea S un subespacio de V
y sea PS : V → V la aplicación que asigna a v ∈ V su proyección ortogonal sobre S. Demuestre que
PS es una transformación lineal. ¿ Quiénes son Nu(PS ) e Im(PS )?
6. Sea T : K m → K n , con T (v) = Av y A ∈ K n×m , K = R o C. Demuestre que Im(T ) coincide
con col(A), el espacio columna de A, y que Nu(T ) coincide con Nul(A). Deduzca a partir de esto
último que si A tiene rango k, entonces dim(Nu(T )) = m − k.
7. Sea T : R3 → P2 lineal tal que para ciertos α, β ∈ R,
T ([1 1 1]T ) = 2β + αt, T ([0 − 1 1]T ) = αt + βt2 , T ([0 0 1]T ) = β + (α − 1)t
(a) Halle α y β para que T no sea inyectiva.
(b) Halle bases de Nu(T ) y de Im(T ) en función de α y β.
(c) Halle la imagen del subespacio U = {x ∈ R3 : x1 + x3 = x2 + x3 = 0}, según los valores de α y
β.
8. Sean u ∈ R3 no nulo y la transformación lineal T : R3 → R3 definida por T (v) = u × v, donde
× indica el producto vectorial en R3
(a) Halle Nu(T ) e Im(T )


0 −1 0
√
√ T
(b) Para u = [0 1/ 2 1/ 2] halle B base de R3 tal que [T ]B =  1
0 0 .
0
0 0
9. Sean A ∈ K n×m y B ∈ K k×n , K = R o C. Demuestre lo siguiente:
(a) col(BA) ⊆ col(B).
(b) col(BA) = col(B) si rango(A) = n.
(c) Nul(A) ⊆ Nul(BA).
(d) Nul(A) = Nul(BA) si rango(B) = n.
(e) rango(BA) ≤ mı́n(rango(B), rango(A)).
(f) Si rango(A) = n entonces rango(BA) = rango(B).
(g) Si rango(B) = n entonces rango(BA) = rango(A).
(Sugerencia: considere las transformaciones lineales T (v) = Av y S(u) = Bu y tenga en cuenta
el ejercicio 6)
10.
(a) Sea B = {v1 , v2 , v3 } base de un R-espacio vectorial V . Halle todos lo valores de r ∈ R para los
cuales existe una transformación lineal T : V → R3 tal que
T (v1 + v2 + 2v3 ) = [1 1 − 1]T , T (v1 + rv2 + 2v3 ) = [1 1 2]T , T (2v1 − v2 + rv3 ) = [2 2 − 5]T
para los valores de r para los cuales T es única, hallar bases de Nu(T ) y de Im(T )
(b) Para la transformación del item anterior, considere r = 3 y defina f ∈ L(R3 , V ) biyectiva tal
que T ◦ f sea la proyección ortogonal sobre Im(T ) (con producto interno canónico)
11. Sea T : R3 → R4 , T (x) = Ax con


1
2 −1
 0
0
1 
.
A=
 3
6 −3 
−1 −2
0
(a) Encuentre un par de bases ordenadas B y B 0

1
 0
[T ]BB 0 = 
 0
0
(b) ¿ Existen bases ordenadas B y B 0 tales que

[T ]BB 0
1
 0
=
 0
0
tales que

0 0
1 0 
.
0 0 
0 0
0
1
0
0

0
0 
?
1 
0
¿ Por qué?
12. Considere las matrices
A=
1 −1
2
−1
1 −2
B=
3 −1 2
6 −2 4
(a) Encuentre matrices inversibles U1 y V1 tales que
1 0 0
U1 AV1 =
.
0 0 0
(b) Idem (a) pero con B en lugar de A.
(c) Encuentre matrices inversibles C y D tales que CAD = B.
13. Sea T : R3 → R2 , T (x) = Ax con
A=
2 −1
2
−1
1 −2
.
Encuentre bases B y C de R3 y R2 , respectivamente, tales que
0 1 2
[T ]BC =
.
2 1 2
14.
(a) Halle la representación matricial respecto de la base canónica de la transformación T : R3 → R3
que es la reflexión respecto de la recta S = {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0, x1 − x2 − 2x3 = 0}.
(b) Halle la representación matricial respecto de la base canónica de la transformación T : R3 → R3
que es la reflexión respecto del plano S = {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0}
(c) Halle la representación matricial respecto de la base canónica de la transformación T : R3 → R3 ,
que es una rotación de 45◦ en sentido antihorario alrededor del eje S = {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 =
0, x1 − x2 + 2x3 = 0} .
(d) Encuentre una transformación lineal T : R3 → R3 , T 6= ±I, tal que d(x, S) = d(T (x), S)
∀x ∈ R3 , si S = gen{[1 1 1]T }. (Considere el p.i. canónico.)
(e) En R3 , si R es la reflexión respecto del eje x1 y Q es la rotación en sentido antihorario con ángulo
φ, halle la matriz de R ◦ Q y de la rotación en 2φ, ambas en base canónica.
15. Sean B = {v1 ; v2 ; v3 } una base ordenada de cierto espacio V y C = {w1 ; w2 ; w3 ; w4 } una
base ordenada de otro espacio W . Considere la transformación lineal T : V → W que satisface:
T (v1 ) = w1 + w2 + w3 − w4 , T (v2 ) = w1 − w2 + 2w3 + 3w4 y T (v3 ) = 2w1 + 3w3 + 2w4 .
(a) Encuentre bases para Nu(T ) e Im(T ).
(b) Halle todos los v ∈ V tales que T (v) = 2w2 − w3 − w4 .
(c) Encuentre la representación matricial de T respecto de las bases B 0 = {v1 ; 2v2 + v3 ; v2 + v3 } y
C 0 = {w1 ; w2 ; w3 + w4 ; w3 − w4 } (¿ Por qué B 0 y C 0 son bases?).
16.
(a) Encuentre la inversa de la transformación T : R3 → R3 ,
T ([x1 x2 x3 ]T ) = [x1 − x2 + x3 2x1 x1 + x2 ]T .
(b) Encuentre la inversa de la transformación T : P2 → R3 , T (p) = [p(t0 ) p0 (t0 ) p00 (t0 )]T , con
t0 ∈ R.
17. Sea V = {f : R → R/f (x) = a cos(x) + b sen(x), a, b ∈ R} ⊂ C ∞ (R). Sea T : V → V la
transformación lineal definida por T (f ) = f 00 − 2f 0 − 3f .
(a) Determine la matriz de T en base B = {cos(x), sen(x)}. Es T un isomorfismo?
(b) Cuántas soluciones en V tiene la ecuación diferencial f 00 (x) − 2f 0 (x) − 3f (x) = cos(x)?
18.
(a) Sea V = gen{ex , e−x } y T : V → V definida por T (f ) = f 0 . Halle [T ]B para B = {cosh(x), senh(x)}.
(b) Sea T : P2 → P2 dada por T (p(t)) = p(2t − 1). Halle [T ]E y [T ]B para E = {1, t, t2 } y
B = {1, t − 1, (t − 1)2 }.
19. Sean f ∈ L(P1 , R2×2 ) dada por
f (p) =
−p(−1) 2p(0) + 2rp0 (1)
3p(0) + 3rp0 (1)
p(−1)
y T ∈ L(R2×2 ) biyectiva.
(a) Halle todos los valore de r ∈ R tales que T ◦ f resulta inyectiva.
(b) En el item anterior considere r = −1. Halle un subespacio S ∈ R2×2 tal que
Im(f ) ⊕ S = {A ∈ R2×2 /tr(A) = 0}
.