serie-3

Laplace
Polos Distintos
1.
>> num= [1];
>> den=[1,-7,-18];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r=
0.0909
-0.0909
p=
9
-2
k = []
Donde “r” son los residuos y “p” son los polos. K es el vector que lleva a los coeficientes del cociente de
la división, que en este caso son nulos
Consultando las tablas para encontrar la transformada inversa, tenemos que la función original era
2.
>> num=[3,2];
>> den=[1,0,-25];
r=
1.7000
1.3000
p=
5
-5
k=
[]
Usando tablas:
Polos Complejos
1.
Descomponemos el denominador en los factores para ver cuales son sus raíces complejas, y luego
aplicamos teorema del residuo.
num=[3,4], den=[1,5,12,8]
>> roots(den)
ans =
-2.0000 + 2.0000i
-2.0000 - 2.0000i
-1.0000
Ahora, aplicando el teorema del residuo, encontramos los residuos evaluando
%al multiplicar por s-1, efectivamente eliminamos ese término del denominador, por eso %construí un
nuevo polinomio
>> polyval(num,-1)/polyval(conv([1,2+2i],[1,2-2i]),-1)
ans =
0.2000
>> polyval(num,-2-2i)/polyval(conv([1,2-2i],[1,1]),-2-2i)
ans =
-0.1000 + 0.7000i
>> polyval(num,-2+2i)/polyval(conv([1,2+2i],[1,1]),-2+2i)
ans =
-0.1000 - 0.7000i
>> syms s; pol=collect(((-0.1-0.7i)/(s+2-2i))*((-0.1+0.7i)/(s+2+2i)))
pol =
1/(2*s^2 + 8*s + 16)
Es necesario hacer el paso anterior (multiplicar los dos residuos) porque no conocemos la transformada
inversa para valores complejos. A partir de este dato, podemos completar el trinomio cuadrado y
representarlo en términos de coseno o seno. El otro término consiste solo en el primer residuo, y al
final queda así:
2. >> num=[1,0,-16], den=[1,8,24,32]
num =
1 0 -16
den =
1 8 24 32
>> roots(den)
ans =
-4.0000
-2.0000 + 2.0000i
-2.0000 - 2.0000i
>> polyval(num,-4)/polyval(conv([1,2-2i],[1,2+2i]),-4)
ans =
0
>> polyval(num,-2+2i)/polyval(conv([1,2+2i],[1,4]),-2+2i)
ans =
0.5000 + 1.5000i
>> polyval(num,-2-2i)/polyval(conv([1,2-2i],[1,4]),-2-2i)
ans =
0.5000 - 1.5000i
>> syms s; pol=collect(((0.5+1.5i)/(s+2-2i))*((0.5-1.5i)/(s+2+2i)))
pol =
5/(2*s^2 + 8*s + 16)
Y una vez más, a partir de esta expresión podemos completar el trinomio cuadrado perfecto y luego
obtener la transformada inversa de Laplace al cotejar con tablas
!"
"#$
Polos Repetidos
1. >> num=[1,0];
>> syms s; expand((s-1)^3)
ans =
s^3 - 3*s^2 + 3*s - 1
>> den=[1,-3,3,-1];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r=
0
1.0000
1.0000
p=
1.0000
1.0000
1.0000
k=
[]
Como nota, en el vector de residuos, los resultados están acomodados con respecto al orden del
denominador, de forma creciente.
1
1
s 1 s 1
Al sacar la transformada de Laplace inversa de esta expresión, obtenemos:
2. '
>> num=[1,-4];
>> den=[1,-5,3,9];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r=
0.3125
-0.2500
-0.3125
p=
3.0000
3.0000
-1.0000
k=
[]
Ya factorizado:
0.3125
0.25
0.3125
-3
- 3
-1
Y comparando con las tablas de las transformadas de Laplace:
. 1 / 0
/
Z
Polos Distintos
1.
23.
2 3.23.
>> [r,p,k]=residue([1,0.3],[1,-.75,.125])
r=
3.2000
-2.2000
p=
0.5000
0.2500
k=
[]
Evaluando X(z) en cero para obtener el primer coeficiente y poniendo los resultados:
3.24
2.24
0.34
0.125 4 0.5 4 0.25
Y viendo las tablas de transformada z inversa
. 56 . 7 . 6 869 . 7 . 6 869
. 2.
2
2 2
>> [r,p,k]=residue([5,1],[4,4,-1])
r=
0.8902
0.3598
p=
-1.2071
0.2071
k=
[]
Y evaluando la transformada en 0 obtenemos el primer valor. (-1)
Utilizando además las tablas, podemos concluir que la transformada inversa de la función es:
56 . : 7 . 6 869 . : 7 . 6 869
Polos Complejos
1. 2
2 2
>> syms z; collect((z^2+1)*(z+3)*(z))
ans =
z^4 + 3*z^3 + z^2 + 3*z
;4
41
<
4
44 14 3
>> [r,p,k]=residue([1,-1],[1,3,1,3,0])
r=
0.1333
0.1000 - 0.2000i
0.1000 + 0.2000i
-0.3333
p=
-3.0000
0.0000 + 1.0000i
0.0000 - 1.0000i
0
k=
[]
>> syms z; collect(((0.1-.2i)/(z-i))+((0.1+.2i)/(z+i)))
ans =
(z + 2)/(5*z^2 + 5)
;4 0.1333 0.3333
42
<
4
43
4
54 1
;4 <
0.13334
4 24
0.3333 54 1
43
Utilizando las tablas, podemos ver que la transformada inversa es:
4
1
3> ?@ A@
3
30
2.
2 2
2 .2
;4
4 4 2
< 4
4 1.54 4
>> [r,p,k]=residue([1,-1,-2],[1,1.5,1,0])
r=
1.5000 + 0.1890i
1.5000 - 0.1890i
-2.0000
p=
-0.7500 + 0.6614i
-0.7500 - 0.6614i
0
k=
[]
>> syms z; collect(((1.5+0.1890i)/(z+0.75-0.6614i))+((1.5-0.1890i)/(z+0.75+0.6614i)))
ans =
(75000000*z + 49999770)/(25000000*z^2 + 37500000*z + 24998749)
Dividiendo entre 25000000, y tomando la aproximación.
;4
34 2
2
< 4
4 1.54 1 4
;4 <
34 24
2
4 1.54 1
Utilizando las tablas, podemos ver que la transformada inversa es:
1
1> cos 1.5@E?@ 2A@
3
Polos Repetidos
2
1. 2
>> syms z; expand((z-2)^3)
ans =
z^3 - 6*z^2 + 12*z - 8
>> [r,p,k]=residue([1,0],[1,-6,12,-8,0])
r=
0.0000
-0.0000
1.0000
0
p =Type equation here.
2.0000
2.0000
2.0000
0
k=
[]
1
;4
<
4
4 2
4
4 2
Al sacar la transformada de Laplace inversa de esta expresión, obtenemos:
2.
2
2 2 2'
>> [r,p,k]=residue([1,0],[1,-5,3,9,0])
r=
-0.0625
0.2500
0.0625
0
66 869
p=
3.0000
3.0000
-1.0000
0
k=
[]
Ya factorizado:
;4
0.0625
0.25
0.625
<
4
43
4 3
41
;4 < 0.06254
0.254
0.6254
43
4 3
41
Y comparando con las tablas de las transformadas Z:
. / 7 6 869 . Fourier
Polos Distintos
1.
ST
ST ST
>> num= [1];
>> den=[1,-7,-18];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r=
0.0909
-0.0909
p=
9
-2
k=
[]
66
869 . /6 869
Donde “r” son los residuos y “p” son los polos. K es el vector que lleva a los coeficientes del cociente de
la división, que en este caso son nulos
Consultando las tablas para encontrar la transformada inversa, tenemos que la función original era
2.
ST
ST >> num=[3,2];
>> den=[1,0,-25];
r=
1.7000
1.3000
p=
5
-5
k=
[]
Usando tablas:
Polos Complejos
ST
1. ST ST ST
Descomponemos el denominador en los factores para ver cuales son sus raíces complejas, y luego
aplicamos teorema del residuo.
num=[3,4], den=[1,5,12,8]
>> roots(den)
ans =
-2.0000 + 2.0000i
-2.0000 - 2.0000i
-1.0000
Ahora, aplicando el teorema del residuo, encontramos los residuos evaluando
%al multiplicar por s-1, efectivamente eliminamos ese término del denominador, por eso %construí un
nuevo polinomio
>> polyval(num,-1)/polyval(conv([1,2+2i],[1,2-2i]),-1)
ans =
0.2000
>> polyval(num,-2-2i)/polyval(conv([1,2-2i],[1,1]),-2-2i)
ans =
-0.1000 + 0.7000i
>> polyval(num,-2+2i)/polyval(conv([1,2+2i],[1,1]),-2+2i)
ans =
-0.1000 - 0.7000i
>> syms s; pol=collect(((-0.1-0.7i)/(s+2-2i))*((-0.1+0.7i)/(s+2+2i)))
pol =
1/(2*s^2 + 8*s + 16)
Es necesario hacer el paso anterior (multiplicar los dos residuos) porque no conocemos la transformada
inversa para valores complejos. A partir de este dato, podemos completar el trinomio cuadrado y
representarlo en términos de coseno o seno. El otro término consiste solo en el primer residuo, y al
final queda así:
2.
ST
ST ST ST
>> num=[1,0,-16], den=[1,8,24,32]
num =
1 0 -16
den =
1 8 24 32
>> roots(den)
ans =
-4.0000
-2.0000 + 2.0000i
-2.0000 - 2.0000i
>> polyval(num,-4)/polyval(conv([1,2-2i],[1,2+2i]),-4)
ans =
0
>> polyval(num,-2+2i)/polyval(conv([1,2+2i],[1,4]),-2+2i)
ans =
0.5000 + 1.5000i
>> polyval(num,-2-2i)/polyval(conv([1,2-2i],[1,4]),-2-2i)
ans =
0.5000 - 1.5000i
>> syms s; pol=collect(((0.5+1.5i)/(s+2-2i))*((0.5-1.5i)/(s+2+2i)))
pol =
5/(2*s^2 + 8*s + 16)
Y una vez más, a partir de esta expresión podemos completar el trinomio cuadrado perfecto y luego
obtener la transformada inversa de Fourier al cotejar con tablas
!"
"#$
Polos Repetidos
ST
1. ST
>> num=[1,0];
>> syms s; expand((s-1)^3)
ans =
s^3 - 3*s^2 + 3*s - 1
>> den=[1,-3,3,-1];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r=
0
1.0000
1.0000
p=
1.0000
1.0000
1.0000
k=
[]
Como nota, en el vector de residuos, los resultados están acomodados con respecto al orden del
denominador, de forma creciente.
1
1
s 1 s 1
Al sacar la transformada de Fourier inversa de esta expresión, obtenemos:
2.
ST
ST ST ST'
>> num=[1,-4];
>> den=[1,-5,3,9];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r=
0.3125
-0.2500
-0.3125
p=
3.0000
3.0000
-1.0000
k=
[]
Ya factorizado:
0.25
0.3125
0.3125
-3
- 3
-1
Y comparando con las tablas de las transformadas de Fourier
. 1 / 0
/