Integración numérica aplicada al MEF

Método de los Elementos Finitos
para Análisis Estructural
Integración numérica aplicada al
Método de los Elementos Finitos
Método de Newton-Cotes
Q
Ajustar la función mediante un polinomio e integrarlo
+1
I =
∫ f (ξ)d ξ = ∑ H f (ξ )
−1
i
i =1,n
I = f (−1) + f (+1)
Grado 1, n=2, regla del trapecio
Grado 2, n=3, regla de Simpson
f( )
-1
Grado 3, n=4
I =
f( )
+1
i
f (−1) + 4 f (0) + f (+1)
3
Parábola
-1
I=
f (−1) + 3(−1/ 3) + 3 f (1/ 3) + f (+1)
4
Error: O(hn) (h: separación entre los puntos)
1
+1
Cuadratura de Gauss
Q
Q
Q
Q
No se especifica a priori la posición de los puntos: alcanzar la
mayor precisión posible.
2n parámetros a definir (Hi, ξi) → polinomio de grado 2n-1
n puntos integran de forma exacta un polinomio de grado 2n-1
Error: O(h2n)
Nº puntos (n)
ξi
Hi
Integ. exacta
n=1
0.0000
2.0000
1
n=2
-0.57735
1.0000
3
+0.57735
1.0000
-0.77459
0.55555
0.00000
0.88888
+0.77459
0.55555
± 0.86113
0.34785
± 0.33998
0.65214
n=3
n=4
2
5
7
Cuadraturas de Gauss n=1 y n=2
Q
Las más utilizadas en la práctica
n=1
ξ1=0
H1=2
Integración exacta: polinomios orden 1
3
n=2
ξi=±0.577
Hi=1
Integración exacta: polinomios orden 3
Integración en rectángulos
Q
Aplicación en ambas direcciones ξ, η
+1 +1
I =
∫ ∫ f (ξ, η) d ξ d η
−1 −1
+1
∫ f (ξ, η) d ξ = ∑ H f (ξ , η) = g(η)
i =1,n
−1
i
+1
I =
∫ g(η) d η = ∑ H
−1
4
j =1,n
j
g(η j ) =
i
∑ ∑HH
i =1,n j =1,n
i
j
f (ξi , η j )
Integración en triángulos
Coordenadas de área (no independientes):
1 1−L
I =∫
0
∫
f (L1, L2 , L3 ) dL1 dL2
0
I = ∫∫ f (L1, L2 , L3 ) dL1 dL2 =
5
Nº puntos (n)
1
3
Orden
1
2
4
3
∑W
i =1,n
i
f (L1i , L2i , L3i )
Coordenadas
1/3 , 1/3 , 1/3
1/2 , 1/2 , 0
0 , 1/2 , 1/2
1/2 , 0 , 1/2
1/3 , 1/3 , 1/3
0.6 , 0.2 , 0.2
0.2 , 0.6 , 0.2
0.2 , 0.2 , 0.6
Wi
0.5
1/6
1/6
1/6
-27/96
25/96
25/96
25/96
Integración en tetraedros
I = ∫∫∫ f (L1, L2 , L3 , L4 ) dL1 dL2 dL3 =
6
Nº puntos (n)
1
4
Orden
1
2
5
3
∑W
i =1,n
i
f (L1i , L2i , L3i , L4i )
Coordenadas
1/4 , 1/4 , 1/4 , 1/4
a , b , b , b
b , a , b , b
b , b , a , b
b , b , b , a
a = 0.585410
b = 0.138196
1/4 , 1/4 , 1/4 , 1/4
1/3 , 1/6 , 1/6 , 1/6
1/6 , 1/3 , 1/6 , 1/6
1/6 , 1/6 , 1/3 , 1/6
1/6 , 1/6 , 1/6 , 1/3
Wi
1/6
1/24
1/24
1/24
1/24
-2/15
3/40
3/40
3/40
3/40
Orden de integración necesario
Q
Q
Número de puntos de integración en cada dirección
Valores típicos para elasticidad
)
)
X
X
X
7
m=1 orden de las derivadas en la energía U
p: orden del polinomio completo de las funciones N
Elementos lineales (2 nudos por lado)
p=1
Elementos parabólicos (3 nudos por lado) p=2
Elementos cúbicos (4 nudos por lado)
p=3
O(h) 1x1
O(h3) 2x2
O(h5) 3x3
Orden de integración. Singularidad de K
1 punto de integración = 3 relaciones de deformación independientes (en 2D)
Relaciones
independientes en K
Grados de libertad
>
1x3=3
Singularidad de K
>
2x3=6
Singularidad de K
8 x 2 – 3 = 13
>
4 x 3 = 12
Singularidad de K
13 x 2 – 3 = 23
<
8 x 3 = 24
4 x 2 –3 = 5
6 x 2 –3 = 9
8