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Ecuación hiperbólica
de transmisión de calor en sólidos
Leguiza, Pedro Daniel1 - Camprubí, Germán Edgardo1 - López Molina, Juan Antonio2
1.Departamento de Matemática - Facultad de Agroindustrias - UNNE.
Cdte. Fernández 755 - (3700) Pcia. R. Sáenz Peña - Chaco - Argentina.
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2.Departamento de Matemática Aplicada - Escuela Técnica Superior de Ingenieros Agrónomos - UPV.
Camino de Vera 14 - Valencia - España.
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ANTECEDENTES
Ordinariamente para modelizar la transmisión del calor en sólidos se utiliza la ecuación clásica del calor debida
a Fourier. Esta ecuación en derivadas parciales es de tipo parabólico y tiene el inconveniente desde el punto de
vista físico que predice una velocidad infinita de propagación del calor, la cual es imposible, al menos en la concepción habitual del comportamiento de la materia.
Pese a esta contradicción, la ecuación parabólica del calor no produce errores apreciables en los fenómenos ordinarios de la Ingeniería, lo que explica su utilización continua.
Sin embargo, el continuo avance de la técnica ha conducido al estudio de problemas tales como la transmisión
de altos flujos de calor en intervalos de tiempos extremadamente pequeños (por ejemplo mediante irradiación
por laser) en los que el error cometido con la ecuación de Fourier no es despreciable y se aparta mucho de los
resultados experimentales.
Es pues necesario manejar una formulación diferente para la ecuación del calor. Para ello se viene proponiendo una ecuación modificada de tipo hiperbólico.
La s antiguos trabajos de 1967 de Maxwell [1] sobre la teoría cinética de los gases tuvieron gran influencia en las
ideas iniciales, ya que la transferencia del momento cinético a través de las colisiones entre moléculas sugería un
posible mecanismo para la transmisión del calor con velocidad finita mediante ondas. Estas conjeturas recibieron un fuerte impulso tras los especuladores trabajos experimentales de [2] en 1944, que probó que el calor se
transmitía en el helio líquido a 1.4K (grados Kelvin) con una velocidad de 19 m/s.
A partir de este momento diferentes teóricos ([3], [4] y [5] y [6]) postularon con más o menos fundamento intuitivo una nueva ecuación del calor basada en una modificación de la Ley de Fourier que eliminaba las paradojas
anteriores pero introducía un aspecto repelente a primera vista cual es el carácter ondulatorio de la propagación
del calor. A pesar de todo, el fenómeno de existencia de ondas térmicas quedó físicamente de manera firme por
vez primera con los estudios sobre el estado sólido de [7] en 1963 y [8] en 1967, que demostraron la necesidad
de velocidad finita de propagación desde un punto de vista microscópico, y con estas aportaciones teóricas
procedentes de la teoría de la relatividad ( [9] y [10]).
Desde entonces se han venido estudiando numerosos casos de conducción del calor mediante la ecuación hiperbólica, aunque la inmensa mayoría de ellos son en situaciones unidimensionales que, hasta la fecha, son las únicas que permiten obtener soluciones analíticas.
Además, hoy en día se dispone de deducciones basadas en razonamientos macroscópicos (que por tanto son
intelegibles sin ser especialistas en física del estado sólido) que conducen a la obtención de la nueva ecuación
hiperbólica del calor eliminando así los postulados no justificados que se usaban en la época de publicación de
los trabajos de Morse y Fesbach, Cattaneo y Vernotte.
Objetivo
Desarrollar matemáticamente una ecuación diferencial del calor en derivadas parciales de tipo hiperbólico.
DISCUSION DE RESULTADOS
Se parte de la relación cuantitativa entre flujo de calor y gradiente de temperatura dada por la Ley de Fourier,
pero se supone que el flujo de calor como consecuencia de la temperatura existente en cada instante t se produ-
ce no en ese momento t, sino en un instante posterior t + τ, donde τ, parámetro de relajación, es una constante
característica de cada material, que refleja el tiempo que tarda el calor en transmitir y producir el flujo calorífico.
Así, la ley de Fourier modificada adopta la expresión matemática
q( X , t + τ ) = − k ( X , t )∇T ( X , t )
(1)
Haciendo un desarrollo de Taylor de segundo orden en función de τ para el flujo queda:
q( X , t + τ ) = q ( X , t ) + τ
∂q ( X , t )
+ o(τ 2 )
∂t
donde o(τ2) representa el resto de Taylor con la propiedad de que
o(τ 2 )
lim 2 = 0
s→0 τ
Llevando esta expresión a la Ley de Fourier modificada (1) se obtiene
q( X , t ) + τ
∂q ( X , t )
+ o τ 2 = − k∇T ( X , t )
∂t
( )
y dado que τ debe ser muy pequeño (pues en otro caso la ecuación clásica basada en que τ = 0 habría producido
grandes contradicciones con la experiencia), se puede tomar como aproximación aceptable la ecuación
q( X , t ) + τ
∂q ( X , t )
= − k∇T ( X , t )
∂t
(2)
Por otro parte, en cada instante t y en cada punto x se verifica la ecuación de la energía
-div q( X , t ) + S ( X , t ) = ρ ( X , t )C ( X , t )
∂T ( X , t )
∂t
(3)
(recordar que su deducción es independiente de la relación entre flujo de calor y temperatura). Para obtener la
ecuación final que debe verificar la temperatura, vamos a eliminar el flujo q(X , t) entre las ecuaciones (2) y (3).
Para ello, aplicando el operador divergencia en la Ley de Fourier modificada (1) obtenemos
div q( X , t ) + τ div
∂q
( X , t ) = − div (k∇T ( X , t ) ) ; (4)
∂t
y derivando respecto al tiempo la ecuación de la energía (3)
−
∂
∂q
∂S ∂ 
∂T

+  ρ ( X , t )C ( X , t )
( X ,t)
divq ( X , t ) = −div ( X , t ) = −
∂t
∂t
∂t ∂t 
∂t

Ahora, despejando divq(X ,t) en la ecuación de energía (3) y sustituyendo su valor y el resultado anterior (4) se
llega a
∂S


div(k ( X , t )∇T ( X , t ) ) +  S ( X , t ) + τ
( X ,t) =
∂t


∂
∂T ( X , t ) 
∂T
= τ  ρ ( X , t )C ( X , t )
( X ,t)
 + ρ ( X , t )C ( X , t )
∂t 
∂t
∂t

que es la ecuación general del calor bajo las nuevas hipótesis.
De ahora en adelante, para no complicar más los cálculos, supondremos que la densidad y el calor específico
del cuerpo son independientes de la posición y del tiempo, es decir, que son constantes. En ese caso la ecuación del calor queda en la forma
 ∂ 2T ( X , t ) 
∂T
∂S


 + ρC
( X , t )  = τρC 
( X ,t)
kdiv∇T ( X , t ) +  S ( X , t ) + τ
2
∂t
∂t



 ∂t
y si además no hay generación interna de calor en el cuerpo, S(X, t) = 0, llegamos a
α∇ 2T ( X , t ) =
siendo α =
k
ρC
∂T ( X , t )
∂ 2T ( X , t )
+τ
∂t
∂t 2
que es una constante del material llamada difusidad.
Esta ecuación se diferencia de la ecuación clásica del calor en el término:
τ ∂ 2T ( X , t )
α
∂t 2
lo que confiere un carácter matemático diferente. La nueva ecuación es hiperbólica. La diferencia principal en
las propiedades generales de las soluciones es que, en general (es decir, salvo condiciones muy restrictivas), no
existen soluciones definidas en todo el dominio t>0, x∈ I, (siendo I el dominio abierto de las variables espaciales). Por ejemplo, en el caso unidimensional, incluso el problema referente a la ecuación hiperbólica de las ondas
∀x ∈ (0, L ), t > 0
∂u 2 ∂u 2
=
∂x 2 ∂t 2
∀t > 0 u (0, t ) = u ( L, t ) = 0
∀x ∈ (0, L ) u ( x,0) = f ( x)
∀x ∈ (0, L )
∂u
( x,0) = g ( x)
∂t
no tiene solución definida en todo el dominio (0, L)x(0,∞) si g(x) o las derivadas f ‘(x), f’’(x) y g’(x) son únicamente continuas a trozo, sino en el complemento de las rectas características. Otro ejemplo, esta vez en el dominio (0,∞)x(0,∞) no acotados respecto a la variable espacial.
CONCLUSIONES
Analizando las soluciones obtenidas a partir de la Ecuación Hiperbólica del Calor y abusando de la expresión, se
dicen que existen soluciones discontinua en el dominio en cuestión como forma lingüística breve de describir el
fenómeno anterior.
Pero lo trascendental de esta situación es que, esas funciones, a pesar de no ser soluciones estrictamente hablando en todo el dominio debido a su discontinuidad en ciertos puntos, tienen significado físico real y por tanto
deben ser tenidas en cuenta. Pero para hacer esto de forma rigurosa es necesario ampliar el concepto de solución con lo que llegamos de forma inedulible al concepto de soluciones generalizadas o débiles, o dicho de otra
forma, a las soluciones consideradas como distribuciones de Schwwartz. Por supuesto, que desde esta perspectiva, la frase “soluciones discontinuas” es completamente correcta y no representa abuso de lenguaje.
BIBLIOGRAFIA
[1] MAXWELL, J.C.: On the dynamic theory of gases, Phil. Trans. R. Soc. Lond. 157,49-88, (1867)
[2] PESHKOV, V.: Second sound in heliumII, J. Phys. VIII, USSR, 381-386, (1944)
[3] MORSE, P.M., FESHBACH, H.: Methods of theoretical Physics, Vol. I. McGraw-Hill, New York, (1953).
[4] VERNOTTE, P.: Les paradoxes de la théorie continue de l´équation de la chaleur,Comptes Rendus 246,
3154-3155, (1958).
[5] VERNOTTE, P.: Some posible complications in the phenomena of thermal conduction, comptes Rendus
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[6] CATTENEO, C.: A form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation,. Compes Rendus 247, 431-433, (1958)
[7] CHESTER, M.: Second sound in solids,Phys. Rev 131, 2013-2015, (1963)
[8] WEYMANN, H. D.: Finite speed of propagation in heat conduction, difusion and viscous shear motion;
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[9] KELLEY, D. C.: Diffusion: a relativistic appraisal. Am. J. Phis. 36, 585-591, (1968) CATTENEO, C.: A
form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation,. Compes
Rendus 247, 431-433, (1958)
[10] VAN KAMPEN, N. G.: A model for relativistic heat transfer, Psisica 46, 315-332, (1970).