Optimización estocástica

Optimización estocástica del orden al bat de un equipo de baseball
Optimización Estocástica del Orden al Bat
1
Motivación
El objetivo de un partido de baseball es anotar más carreras que el equipo rival.
El manager de un equipo decide el orden en el cual sus jugadores batearán
durante el partido con la intención de tratar de maximizar el número de
carreras que podrían anotar durante el juego.
Una de las cuestionas únicas del baseball como deporte es que todos los
jugadores del equipo tienen las mismas oportunidades de contribuir para
anotar carreras, ya que todos se paran a batear en seguidilla bajo el siguiente
esquema:
Jugador #1
Jugador #2
Jugador #3
Jugador #9
Jugador #1
El proceso sigue hasta que el equipo contrario logre poner fuera (out) a 3 de los
jugadores ofensivos por entrada (inning). Cuando esto ocurre termina la
entrada. Para la siguiente entrada, el jugador que sigue continua el orden.
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Motivación
De forma empírica los managers de Grandes Ligas ordenan su lineup (orden al
bat) siguiendo algunos criterios, los cuáles se resumen básicamente en los
siguientes aspectos:
•
•
•
•
El jugador más rápido debe ser el primero en batear.
El tercero en batear será el de mejor efectividad al bateo.
El cuarto en batear usualmente es el slugger o bateador de poder.
Los siguientes en batear los ordenan regularmente de «mejor» a «peor», por
lo cual los últimos en batear son casi siempre los «peores» bateadores, por
ejemplo el pitcher.
Estos criterios funcionan casi como una regla general en los equipos de
Grandes Ligas, sin embargo resulta interesante comprobar si en realidad los
criterios antes mencionados maximizan el número de carreras que un equipo
puede anotar por partido, lo cual motiva la realización de este proyecto.
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3
Modelación estocástica
El baseball es un deporte que se puede modelar estocásticamente debido a la
simpleza del juego y a la gran cantidad de estadísticas que se compilan para
cada jugador. De manera general, cuando un jugador se para a batear existen 8
diferentes resultados:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Que el jugador sea out porque al batear la pelota ésta salió hacia el aire y
fue atrapada por un defensivo sin que cayera al suelo.
Que el jugador sea out porque al batear la pelota ésta salió rodando por el
suelo y el equipo defensivo le hizo out en primera base.
Que el jugador sea ponchado, es decir, que el pitcher le tiró 3 strikes.
Que al bateador le sea otorgada la primera base por 4 bolas malas o sea
golpeado por la pelota.
Que el jugador llegue quieto (safe) a primera base derivado de su batazo
(hit sencillo).
Que el jugador llegue a segunda base derivado de su batazo (hit doble).
Que el jugador llegue a tercera base derivado de su batazo (hit triple).
Que el jugador anote carrera derivado de su batazo (homerun).
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Modelación estocástica
El resultado de cada jugada es desconocido (de ahí lo estocástico del
fenómeno), sin embargo las estadísticas que se compilan para cada jugador
pueden ayudar a modelar el fenómeno.
De una manera parsimoniosa se propone utilizar una función de distribución
discreta general para modelar el fenómeno, es decir, cada uno de los posibles
resultados tiene una probabilidad no negativa de ocurrir y la probabilidad de
todos los eventos debe sumar 1, como sigue:
pi ≥ 0
p1 + p 2 + p3 + p 4 + p5 + p 6 + p 7 + p8 = 1
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Modelación estocástica
Debido a que en el baseball se compilan los resultados de cada jugada y a que
las temporadas constan de 162 partidos para cada equipo, los jugadores suelen
terminar cada temporada con un gran número de apariciones al bat (plate
appearances, PA) durante la misma, resultando en un tamaño de muestra
considerable para poder estimar las probabilidades mencionadas en el punto
anterior. Así, los jugadores suelen tener entre 300 y 700 apariciones al bat
durante una temporada. Las probabilidades de cada evento se estiman de
manera directa con las fórmulas que siguen:
p1 =
FO
PA
p2 =
GO
PA
p3 =
K
PA
p4 =
BB + HBP
PA
p5 =
p6 =
p7 =
3B
PA
p8 =
HR
PA
1B
PA
2B
PA
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Modelación estocástica
Una vez calculadas las probabilidades discretas de cada evento (p1…p8) para
cada jugador, se vuelve relativamente sencillo modelar el fenómeno con @Risk
a través del uso de la función =RiskDiscrete, construyendo la siguiente matriz
de parámetros:
La función propia de @Risk, =RiskDiscrete(x1:x8,p1:p8) arrojará un valor
discreto x dentro del espacio muestral (‐2, ‐1.5, ‐1, 0, 1, 2, 3, 4) donde cada
posible valor tiene una probabilidad distinta de ser seleccionado denotada por
las p1..p8 de cada jugador.
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Modelación estocástica
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Ejemplo: Edgar Martínez fue un bateador excepcional, tanto que a pesar de no
ser gran jugador defensivo tuvo una larga carrera como bateador designado, es
decir que solo bateaba sin tomar parte en el campo defensivo. Durante la
temporada 2001, una de sus más productivas, éstas fueron sus estadísticas:
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Modelación estocástica
La siguiente gráfica muestra de una manera comparativa los parámetros
(p1..p8) de 2 jugadores diferentes, donde se aprecia claramente que Wilson
tiene mayores probabilidades de generar un out que Martínez.
Wilson / Inn1
-2.05
2.0
4.35
0.0%
0.0%
100.0%
100.0%
0.0%
0.0%
1.8
1.6
1.4
Wilson / Inn1
Mínimo
Máximo
Media
Desv Est
Valores
1.2
1.0
-2.00
4.00
-0.670
1.41
5000
Martínez / Inn1
Mínimo
Máximo
Media
Desv Est
Valores
0.8
0.6
-2.00
4.00
-0.424
1.50
5000
0.4
0.2
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0.0
Optimización Estocástica del Orden al Bat
9
Modelación estocástica
Sin embargo, los códigos para cada jugada no tienen mucho sentido por sí
solos, es decir, el promedio o la varianza no tienen ningún significado, no
pueden ser interpretados. En realidad, solo son números que sirven para
clasificar cada jugada en una categoría diferente. Lo importante es traducir
estos números en lo que sucede después en un partido de baseball derivado de
estas jugadas.
Para esto se creó una hoja de cálculo donde se lleva un control de la situación
de bases y outs dependiente de cada jugada. Es decir, dependiendo del
resultado de la simulación de cada jugador se lleva un control de las bases que
estarían ocupadas y de los outs que se han generado.
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Modelación estocástica
Un ejemplo de este proceso se muestra a continuación:
Contador de outs por entrada
Variable aleatoria que define el resultado de la jugada
Fin de entrada #1
Fin de entrada #2
Control de bases ocupadas (1) y desocupadas (0) antes de la jugada.
Control de bases ocupadas (1) y desocupadas (0) después de la jugada.
Contador de entradas
El proceso continúa hasta que el contador de Contador de carreras entradas llega a 9.
anotadas
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Modelación estocástica
Algunos supuestos tuvieron que ser considerados para simplificar la
modelación, que en ocasiones no suceden de la misma manera en un partido
real de baseball, pero para simplificar se asumió lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Si el resultado de la jugada es ponche (K) o Flyout (FO) ningún corredor
avanza bases adicionales.
Si el resultado de la jugada es out rodado (GO) los corredores en base
avanzan una base.
Si el resultado de la jugada es base x bolas (BB) solo los corredores
forzados avanzan una base, por ejemplo, un corredor en 3ª base no
anotaría carrera a menos que las bases estén llenas.
Si el resultado de la jugada es hit sencillo (1B) los corredores avanzan una
sola base, independientemente de la base en la que se encuentren.
Si el resultado de la jugada es hit doble (2B) los corredores avanzan dos
bases.
Si el resultado de la jugada es hit triple (3B) o cuadrangular (HR) todos los
corredores en base anotan carrera.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Modelación estocástica
Si el bateador se poncha (K) o es out por elevado (FO).
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Modelación estocástica
Si el bateador es out por rola (GO).
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Modelación estocástica
Si el bateador recibe base por bolas (BB).
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Modelación estocástica
Si el bateador pega hit sencillo.
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Modelación estocástica
Si el bateador pega hit doble.
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Modelación estocástica
Si el bateador pega hit triple.
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Modelación estocástica
Si el bateador pega homerun.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Modelación estocástica
Es decir que se asume que cada corredor avanzará solamente las bases básicas
sin ningún movimiento adicional que en ocasiones ocurre (en ocasiones con un
hit sencillo un corredor desde segunda anota carrera). También se asume que
la defensiva no comete errores, pero que tampoco hacen doubleplays.
Sin embargo existe otro elemento importante en la definición del orden al bat
que tiene que ver con las bases robadas. Normalmente los primeros
bateadores son los más rápidos, es decir, los que pueden robar más bases.
El modelo cuenta con un módulo adicional sobre robos de base. Para modelar
de forma estocástica los robos de base se necesitan 3 variables adicionales que
son las siguientes:
1.
2.
3.
Bases robadas (Stolen Bases , SB)
Out en intento de robo (Caught Stealing, CS)
Oportunidades de robo de base (Stolen Base Opportunities, SBO)
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Modelación estocástica
Con base en las estadísticas anteriores se construyen 2 parámetros adicionales
para cada jugador que son:
SB prop =
SBeff =
SB + CS
SBO
SB
SB + CS
Se refiere a la propensión de
robar bases, es decir, qué tan
frecuentemente el jugador
intenta un robo de base
cuando tiene la oportunidad
de hacerlo, y
Que se refiere a la eficiencia al
robar bases, es decir, la
proporción de intentos de robo
en que consigue robarse la
base.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
21
Modelación estocástica
Una vez construidos dichos parámetros para cada jugador se simulan 2
variables aleatorias Bernoulli para cada fenómeno:
1.
2.
Bernoulli (SBprop), para el fenómeno de intentar robarse la base
Bernoulli (SBeff), para el fenómeno de si fue exitoso el robo o no.
De modo que se añade al modelo celdas que controlan los robos de base de la
siguiente forma, previo al resultado de la siguiente jugada:
Si existe un corredor en primera base (el robo más común es el de segunda
base) y no existe corredor en segunda base, y si la Bernoulli del intento es igual
a 1, y si la Bernoulli del éxito es igual a 1, entonces, el corredor en primera es
movido a segunda antes del inicio de la siguiente jugada (Robo exitoso, SB).
Si existe un corredor en primera base, y no existe corredor en segunda, y si la
Bernoulli del intento es igual a 1 y la Bernoulli del éxito es igual a 0, entonces se
borra el corredor de primera (Out en robo, CS).
Optimización Estocástica del Orden al Bat
22
Modelación estocástica
Un partido de baseball normalmente dura 9 entradas, por lo cual el proceso
anterior continúa indefinidamente hasta que el contador de entradas llega a 9.
Otra particularidad del baseball es que no tiene un tiempo fijo.
Tampoco existe un número de veces al bate que los jugadores pueden batear.
Existe un mínimo que equivale a 3 outs x 9 entradas = 27 apariciones a batear
de todo el equipo, siendo 9 bateadores, cada uno de ellos como mínimo
bateará en 3 ocasiones. Sin embargo no existe ningún límite superior. Los
jugadores seguirán bateando tantas veces como sea necesario hasta que
generen los 27 outs.
La variable de salida (=RiskOutput) será el contador total de carreras. Se crea
una celda que cuente el total de carreras del proceso anterior y esa celda se
define como variable de salida de @Risk.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Ejemplo de aplicación
Uno de los equipos más sorprendentes que ha existido en la historia fueron los
Seattle Mariners en la temporada 2001. No eran considerados favoritos y sin
embargo ganaron 116 de los 162 partidos que disputaron (71.6%), lo cual
representa un récord. Por eso resulta interesante aplicar el modelo anterior
usando las estadísticas de los jugadores de los Seattle Mariners durante ese
año. La tabla a continuación muestra los 9 jugadores que ocuparon de manera
primordial cada posición y las estadísticas que ellos tuvieron.
Fuente: Baseball Reference. http://www.baseball‐reference.com/teams/SEA/2001.shtml
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Ejemplo de aplicación
La siguiente tabla muestra ahora los parámetros de cada jugador (p1..p8)
donde puede compararse con colores a los mejores y a los peores en cada
categoría. A manera de semáforo, de color rojo están representados los peores
mientras de color verde los mejores.
Puede apreciarse que algunos jugadores son buenos en ciertas categorías,
mientras otros jugadores son los mejores en otras. El problema es, entonces,
cómo utilizar las fortalezas de cada jugador de la mejor manera con el fin de
anotar más carreras.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Ejemplo de aplicación
Si simulamos 5,000 iteraciones del proceso anterior sería como si el equipo jugara 5,000
diferentes partidos con ese orden. La siguiente gráfica muestra el histograma de las 5,000
iteraciones usando el orden al bat que se mostró en la lámina anterior, es decir, un orden
en el cual primero batea el cátcher, después el primera base, y así sucesivamente hasta el
bateador designado. En promedio, este orden anota 4.89 carreras por partido.
TotalRuns
0.14
0.00
5.0%
11.00
90.0%
5.0%
0.12
0.10
TotalRuns
0.08
Mínimo
0.00
Máximo 21.00
Media
4.89
Desv Est 3.37
0.06
0.04
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
0.00
0
0.02
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Proceso de optimización
Una alternativa (no muy sensata, por cierto) sería la de hacer prueba y error con diferentes
órdenes al bat y comparar el promedio de carreras por partido que hace cada orden.
Jugador 1
…
Jugador 2
Jugador 1
Jugador 9
…
Jugador 2
Jugador 9
Orden al bat #1
2,000 iteraciones (partidos)
Promedio de Carreras Anotadas por Juego (PCAJ1)
Orden al bat #2
2,000 iteraciones (partidos)
Promedio de Carreras Anotadas por Juego (PCAJ2)
Si PCAJ1 > PCAJ2 entonces descartamos el orden #2
Si PCAJ1 < PCAJ2 entonces descartamos el orden #1
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Proceso de optimización
El siguiente algoritmo ejemplifica la forma en que podemos calcular el número de
diferentes combinaciones de órdenes al bat que se pueden armar con 9 jugadores.
#1
#3
#2
Para la primera posición existen 9 posibles jugadores que la pueden ocupar.
#5
#4
#7
#6
#9
#8
Combinaciones totales = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 9! = 362,880
Una vez establecido ese jugador, para la segunda posición existen 8 posibles jugadores que la pueden ocupar.
Así, sucesivamente hasta que al haber definido la posición #8, queda definido automáticamente el jugador que ocupe la posición #9, por lo cual hay 1
posibilidad.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Algoritmos genéticos
Evidentemente, el proceso de prueba y error sería muy tedioso y poco efectivo. Una mejor
alternativa es el uso de algoritmos genéticos.
Un algoritmo genético es una búsqueda heurística que imita el proceso de evolución
natural. Este algoritmo es usado rutinariamente para generar soluciones útiles para
problemas de optimización. Los algoritmos genéticos pertenecen a una clase de
algoritmos inspirados en la evolución natural utilizando conceptos como herencia,
mutación, selección y mestizaje.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Algoritmos genéticos
En un algoritmo genético una población de cadenas (llamadas cromosomas) que llevan de
forma codificada candidatos a soluciones para un problema de optimización (llamados
individuos, criaturas o fenotipos), evolucionan hacia mejores soluciones.
Tradicionalmente, las soluciones son representadas de forma binaria como cadenas de 0 y
1, pero se puede utilizar otro tipo de codificación. La evolución normalmente empieza con
una población de individuos generados al azar en generaciones. Para cada nueva
generación, se evalúa la aptitud de cada individuo en la población y se seleccionan
múltiples individuos de manera estocástica (basándose en su aptitud) y posteriormente
modificados (combinados o incluso posiblemente mutados de manera aleatoria) para
formar una nueva población. La nueva población se utiliza en la siguiente iteración.
Normalmente el algoritmo termina cuando se han producido un número determinado de
generaciones o cuando se satisface un cierto nivel de aptitud en la población. Si el
algoritmo se detiene por el primer criterio podría no haberse encontrado “la” solución
óptima.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Algoritmos genéticos
El siguiente esquema representa el algoritmo de una manera general:
CROMOSOMA 1
1010011010
CROMOSOMA 2
1010011010
CROMOSOMA DESCENDIENTE
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Optimización estocástica
De modo que se aplicó el proceso de optimización estocástica basada en algoritmos
genéticos al modelo de simulación de carreras anotadas de un equipo de baseball.
La variable a optimizar es estocástica, ya que considerará el promedio de las iteraciones del
modelo estocástico. Es decir, el algoritmo buscará maximizar el Promedio de Carreras
Anotadas por Partido (PCAJ) de los diferentes órdenes al bat de una manera inteligente.
El RiskOptimizer del Decision Tools incluye diferentes métodos de solución, a través de los
cuáles se modifican las celdas ajustables. En este caso, las celdas ajustables son los
jugadores y el orden en el cual batearán, por lo cual se propone el método de solución de
orden («order»).
Celdas ajustables
Buscador (=ConsultaV) de nombre del jugador y parámetros (p1..p8)
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Resultados de Optimización
El modelo se dejó corriendo por un tiempo aproximado de 3 horas y media, y generó 1,649
diferentes simulaciones, representando el 0.5% del total de combinaciones posibles, con
2,000 iteraciones por simulación. Es decir, el equipo «jugó» 3,298,000 diferentes juegos
(iteraciones). La siguiente gráfica resume el proceso de optimización, donde puede
apreciarse los pasos en los que se encontró una mejor solución.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Resultados de Optimización
La siguiente tabla muestra de manera gráfica
con colores las soluciones encontradas, es
decir el orden al bat que mejora el promedio
de carreras anotadas, los colores representan a
los diferentes jugadores con el fin de
identificar patrones de manera más fácil.
Codificación:
1. Wilson, C
2. Olerud, 1B
3. Boone, 2B
4. Guillén, SS
5. Bell, 3B
6. McLemore, LF
7. Cameron, CF
8. Ichiro, RF
9. Martínez, DH
Optimización Estocástica del Orden al Bat
34
Resultados de Optimización
Como puede apreciarse el orden al bat que
«maximizó» el promedió de carreras anotadas
por juego (PCAJ) es el siguiente:
Mejor orden:
1. Martínez, DH
2. McLemore, LF
3. Olerud, 1B
4. Ichiro, RF
5. Boone, 2B
6. Bell, 3B
7. Guillén, SS
8. Cameron, CF
9. Wilson, C
Con este orden al bat, el promedio (PCAJ) se
mejoró a 5.1625 carreras por partido, de las
4.89 carreras por partido que anotaba el orden
por posición mostrado en láminas anteriores.
Proyectado a 162 partidos la diferencia es de
16 carreras (808 vs. 792).
Optimización Estocástica del Orden al Bat
35
Resultados de Optimización
Al analizar las características de los jugadores ya en el orden que maximiza el número
de carreras, podemos apreciar los siguientes patrones:
Los primeros en batear son los de
mejor vista o paciencia, es decir,
los que reciben más bases x bolas.
En la parte media del orden se
ubican los que menos se
ponchan.
Contrario a la creencia popular de que el cuarto
en batear tiene que ser el que más homeruns
pega, se ubica el bateador que más sencillos
pega, aprovechando que normalmente tiene
corredores en base.
Los últimos en batear son los
que menores probabilidades
tienen
de
embasarse,
particularmente el último no
tiene ningún parámetro
verde.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
36
Otro ejemplo
A manera de prueba, supongamos un equipo compuesto por Albert Pujols, el
mejor bateador de la actualidad, y por 8 «diferentes» Mario Mendoza. La
siguiente gráfica muestra la diferencia abismal entre ambos jugadores.
Fuente: Baseball Reference. http://www.baseball‐reference.com/
Optimización Estocástica del Orden al Bat
37
Otro ejemplo
Si el orden al bat del equipo anterior fuera con los 8 Mendoza bateando
primero y Pujols al final tendría la siguiente distribución de carreras anotadas,
que como se puede observar, anotaría en promedio 1.93 carreras por juego.
TotalRuns
0.00
0.8
6.00
5.0%
90.0%
5.0%
0.7
0.6
0.5
TotalRuns
Mínimo
0.00
Máximo 14.00
Media
1.93
Desv Est 1.93
Valores
5000
0.4
0.3
0.2
0.1
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
0.0
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Otro ejemplo
Un ejercicio interesante en un ejemplo tan drástico como este sería: ¿En qué posición
debe batear mi mejor bateador, cuando los demás son muy malos? El problema en
realidad sería muy sencillo de resolver usando prueba y error por que solo hay 9
posiciones en las cuáles lo podemos «probar», pero como el modelo no «sabe» que los
otros 8 jugadores son el mismo (o igual de malos) dejamos al optimizador correr y estos
son los resultados:
Después de aproximadamente
una hora y 578 simulaciones
diferentes, la mejor solución la
encontró desde la simulación
número 19, ubicando a Pujols
en la posición número 1 como lo
muestra la gráfica de diversidad,
sin embargo, con este orden el
equipo anotaría en promedio
1.9915 carreras por partido,
mejorando apenas las 1.93
carreras que se anotarían en
promedio con Pujols de noveno.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
39
Otro ejemplo
Otro ejercicio interesante sería asumir que el equipo tiene 4 jugadores buenos (Pujols) y
5 muy malos (Mendoza). Algunas teorías señalan que es mejor poner a los buenos
bateadores juntos para aprovechar que se puedan embasar al mismo tiempo. Otras
teorías señalan lo contrario, sugiriendo intercalar a los buenos jugadores entre los
malos. Un equipo compuesto por 5 Mendoza al principio y 4 Pujols al final anotaría en
promedio 3.787 carreras por partido. Busquemos con el optimizador cual de las 2
teorías maximiza las carreras anotadas.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
40
Otro ejemplo
Se dejó corriendo el optimizador por aproximadamente 2 horas, y después de 1,008
simulaciones diferentes los resultados se presentan a continuación:
Codificación:
1. Pujols
2. Pujols
3. Pujols
4. Pujols
5. Mendoza
6. Mendoza
7. Mendoza
8. Mendoza
9. Mendoza
Como puede apreciarse, la solución óptima, la cual por cierto anotaría en promedio
4.086 carreras por partido, fue encontrada desde la simulación número 92, y contiene a
los 4 Pujols juntos al principio del orden al bat. Es decir que la teoría de agrupar a los
mejores jugadores juntos maximiza el número de carreras, más si éstos se juntan al
inicio del orden. Proyectado a una temporada de 162 partidos, el equipo con los 4
mejores bateadores al inicio anotaría 662 carreras, contra 619 que anotaría el orden al
revés.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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Conclusiones y hallazgos
• Es posible establecer el orden al bat de un equipo de baseball que maximice el
promedio de carreras por juego que ese equipo pueda anotar de manera estocástica,
a través de un optimizador inteligente.
• Es conveniente utilizar a los bateadores con mejor ojo (los que más bases por bolas
reciben) al inicio del orden.
• No necesariamente el cuarto en batear debe ser el slugger, como lo demostró la
optimización realizada a los Seattle Mariners del 2001.
• Los equipos que tengan un solo buen bateador maximizan el promedio de carreras
que pueden anotar si lo colocan como primer bateador.
• Los equipos que tengan la mitad de buenos bateadores y la mitad de malos
bateadores maximizan el promedio de carreras que pueden anotar juntando a los
buenos bateadores al inicio del turno, es decir que no conviene intercalaros con los
malos bateadores.
Optimización Estocástica del Orden al Bat
42
Gracias! M. en C. Luisarturo Castellanos
[email protected]
www.catriskmexico.com
Optimización Estocástica del Orden al Bat
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