De las Fuerzas Conservativas y el trabajo.

Las Fuerzas Conservativas y el Trabajo
Carmen Sánchez Díez
De las Fuerzas Conservativas
y el trabajo.
Aplicando la Mecánica Newtoniana
Son las fuerzas que dependen de un potencial, esto es, que realizan el
mismo trabajo entre dos puntos sin que importe la trayectoria seguida. La
energía desarrollada entre dos instantes de tiempo se mantiene invariante.
1. Trabajo realizado por una fuerza:
1.1.
Definición de trabajo:
r
Se define el trabajo realizado por una fuerza F sobre una partícula como el producto
r
interior de la fuerza por el desplazamiento ∆r de la partícula.
r r
W = F .∆r
r r
W = F . ∆r . cosθ
-
Si el desplazamiento es perpendicular a la dirección de la fuerza
es nulo.
si θ =
-
r
F , el trabajo
r r
π
π 
→ W = F . ∆r . cos  = 0
2
2
El desplazamiento de la partícula es en general curvilíneo a lo largo de una
curva R.
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Si usamos un parámetro u para describir la
trayectoria, variando entre dos valores uA y
uB, se tendría en realidad que la trayectoria
es una función de la forma
R: u ∈
[u A , u B ] → (x1 (u ), x2 (u ), x3 (u ) ) ∈ R 3
Es decir, para cada valor u del parámetro
hay un punto ( x1 , x 2 , x3 ) de la trayectoria. Si
consideramos n valores del parámetro, la
variación media será
∆u n =
Si llamamos, para j=0,1,...,n,
uB − u A
n
v j = u A + j.∆u n , de lo cual v j = v j −1 + j.∆u n
Y el trabajo, a lo largo de la trayectoria se obtiene como la suma del trabajo en
cada punto:
r r r r r
r
r
F (r ).∆r = F (r (v j −1 ).(r (v j ) − r (v j −1 ) )
es, decir, el trabajo en cada uno de los puntos v0, v1, ..., vn:
r r
r r
r r
r
r
r
r
r
r
F (r (v0 ).(r (v1 ) − r (v 0 ) ), F (r (v1 ).(r (v 2 ) − r (v1 ) ), ..., F (r (v n −1 ).(r (v n ) − r (v n −1 ) )
y el trabajo total será, en los n puntos del intervalo paramétrico:
n r
r
r
r
WRn = ∑ F (r (v j −1 ).(r (v j ) − r (v j −1 ) )
j =1
Si suponemos continua la trayectoria, es decir, con infinitos puntos en el intervalo
de variación del parámetro, se obtiene el trabajo pasando al límite:
n r
r
r
r
WR = lím ∑ F (r (v j −1 ).(r (v j ) − r (v j −1 ) )
j =1
n→∞
y queda la expresión integral:
r r r
WR = ∫ F (r ).dr
R
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1.2. Cambio de parámetro:
Si cambiamos la parametrización pasando al parámetro u:
u ∈ [u A , u B ] → ( x1 (u ), x 2 (u ), x3 (u ) ) ∈ R 3
R:
r
r
r
r
n r
r r
r (v j ) − r (v j −1 )
r (v j −1 + ∆u n ) − r (v j −1 )
r
∆u n = lím ∑ F (r (v j −1 ).
∆u n
WR = lím ∑ F (r (v j −1 ).
∆u n
∆u n
j =1
j =1
n→∞
n→∞
n
Por tanto queda, en expresión integral:
r
r
uB
uA
r r drr
r r
r r
dr (u )
dr (u )
WR = ∫ F (r ). .du = ∫ F (r (u )).
.du = − ∫ F (r (u )).
.du
du
du
du
R
uA
uB
Lo que nos indica que al invertir el sentido de la trayectoria, el trabajo realizado
cambia de signo.
1.2.
Parámetro temporal:
Si usamos como parámetro el tiempo, es decir, si la trayectoria R se define en función
de los valores en un intervalo temporal:
R:
t ∈ [t A , t B ] → ( x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) ) ∈ R 3
Y se tiene:
r
tB
tB
tB
r r
r r
r
dr (t )
WR = ∫ F (r (t )).
.dt = ∫ F (r (t )).v (t ).dt = ∫ p (t ).dt
dt
tA
tA
tA
Donde es
1.3.
r r
r
p(t ) = F (r (t )).v (t ) , expresión que se denomina potencia.
Parametrización natural:
Para la parametrización natural s, se expresa la trayectoria R de la forma:
R:
s ∈ [s A , s B ] → ( x1 ( s ), x 2 ( s ), x3 ( s ) ) ∈ R 3
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Y es, en este caso:
r
sB
sB
r r
r r
r
r
dr ( s )
WR = ∫ F (r ( s )).
.ds = ∫ F (r ( s )).U T ( s ).ds = ∫ FT (r ( s )).ds
ds
sA
sA
sA
sB
Donde es
r
r r
r
FT ( s ) = F (r ( s )).U T la componente de la fuerza tangencial a la trayectoria
( U T es el vector unitario tangencial).
1.4.
Ejemplo de cálculo del trabajo entre dos puntos:
Ejemplo 1: Cálculo del trabajo WR realizado entre los dos puntos extremos (0,0,0) y
(1,1,1) de la diagonal de un cubo de arista unidad por una fuerza de expresión:
r r
r
r
r
F (r ) = c.( x1 .e1 + x 2 .e2 + x3 .e3 ) (c constante)
a lo largo de dos trayectorias distintas.
-
Primer caso: la trayectoria es la diagonal que une los puntos (0,0,0) y (1,1,1):
Expresión del radio vector:
Podemos tomar el parámetro en el intervalo [0,1]:
u ∈ [u A , u B ] → ( x1 (u ), x 2 (u ), x3 (u ) ) ∈ R 3
r
r
r
r
r
r
r
r
dr (u ) r r r
con lo cual: r (u ) = x1 .e1 + x 2 .e2 + x3 .e3 = u.e1 + u.e2 + u.e3 →
= e1 + e2 + e3
du
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Expresión de la fuerza:
r r
r
r
r
r
F (r (u )) = c ( x1 .e1 + x 2 .e2 + x1 .e3 ) = c.r (u )
Trabajo:
r
r
1
1 r
r r drr
r
r
dr (u )
dr (u )
.du = ∫ c.r (u ).
.du =
W = ∫ F (r ). .du = ∫ F (r (u )).
du
du
du
R
0
0
1
1
r
r
r r r r
3
= ∫ c (u.e1 + u.e2 + u.e3 ).(e1 + e2 + e3 ).du = ∫ c.3u.du = c u 2
2
0
0
-
1
=
0
3
c
2
Segundo caso: la trayectoria sigue tres de las aristas del cubo:
En este caso hemos de calcular el trabajo en los tres tramos y luego sumar los
resultados: primero, a lo largo del eje x, desde (0,0,0) a (1,0,0), en segundo lugar
por la arista paralela el eje y desde el punto (1,0,0) al punto (1,1,0), y finalmente
por la arista paralela al eje z desde el punto (1,1,0) al punto (1,1,1). Veamos:
a) Desde (0,0,0) a (1,0,0):
Expresión del radio vector:
Tomamos también el parámetro en el intervalo [0,1]:
u ∈ [u A , u B ] → ( x1 (u ), x 2 (u ), x3 (u ) ) ∈ R 3
r
r
r
r
dr (u ) r
con lo cual: r (u ) = x1 .e1 = u.e1 →
= e1
du
Expresión de la fuerza:
r r
r
r
r
r
r
F (r (u )) = c ( x1 .e1 + x 2 .e2 + x1 .e3 ) = c.(u.e1 + u.e3 )
Trabajo:
r
r
1
1 r
r r drr
r
r
r dr (u )
dr (u )
WR1 = ∫ F (r ). .du = ∫ F (r (u )).
.du = ∫ c.r (u.e1 + u.e3 ).
.du =
du
du
du
R
0
0
1
1
r
r r
1
= ∫ c (u.e1 + u.e3 ).e1 .du = ∫ c.u.du = c u 2
2
0
0
1
=
0
1
c
2
b) Desde (1,0,0) a (1,1,0):
Expresión del radio vector:
Tomamos como antes el parámetro en el intervalo [0,1]:
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u ∈ [u A , u B ] → ( x1 (u ), x 2 (u ), x3 (u ) ) ∈ R 3
r
r
r
r
r
r
r r
dr (u ) r
= e2
con lo cual: r (u ) = x1 .e1 + x 2 .e2 + x 3 .e3 = e1 + u.e 2 + e3 →
du
Expresión de la fuerza:
r r
r
r r
r
F (r (u )) = c(e1 + u.e2 + e3 ) = c.r (u )
Trabajo:
WR2
r
r
1
1 r
r r drr
r
r
r r dr (u )
dr (u )
= ∫ F (r ). .du = ∫ F (r (u )).
.du = ∫ c.(e1 + u.e2 + e3 ).
.du =
du
du
du
R
0
0
1
1
r
r r r
1
= ∫ c(.e1 + u.e2 + e3 ).e2 .du = ∫ c.u.du = c u 2
2
0
0
1
=
0
1
c
2
c) Desde (1,1,0) a (1,1,1):
Expresión del radio vector:
Aquí también el parámetro se toma en el intervalo [0,1]:
u ∈ [u A , u B ] → ( x1 (u ), x 2 (u ), x3 (u ) ) ∈ R 3
r
r
r
r
r r r
r
dr (u ) r
= e3
con lo cual: r (u ) = x1 .e1 + x 2 .e2 + x3 .e3 = e1 + e2 + u.e3 →
du
Expresión de la fuerza:
r r
r
r
r
r v r
F (r (u )) = c ( x1 .e1 + x 2 .e2 + x1 .e3 ) = c.(e1 + e2 + e3 )
Trabajo:
WR3
r
r
1
1 r
r r drr
r
r r r dr (u )
dr (u )
.du = ∫ c.(e1 + e2 + e3 ).
.du =
= ∫ F (r ). .du = ∫ F (r (u )).
du
du
du
R
0
0
1
1
0
0
r r r r
1
= ∫ c(e1 + e2 + e3 ).e3 .du = ∫ c.du = cu 0 = c
En resumen:
El trabajo total en la trayectoria por las tres aristas resulta ser, por tanto:
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W ' = WR1 + WR2 + WR3 =
1
1
c + c + c = 2c
2
2
mientras que el trabajo realizado a lo largo de la diagonal era:
W = 32 c
por tanto, resulta ser distinto el trabajo realizado a lo largo de cada una de las dos
trayectorias:
W ≠W'
Este es un ejemplo, por tanto, de una fuerza tal que el trabajo realizado para llevar
una partícula de un punto a otro depende de la trayectoria elegida. Existen fuerzas,
como veremos más adelante, en donde la trayectoria elegida no influye en el trabajo.
1.5.
Teorema de las Fuerzas Vivas:
Enunciado: El trabajo realizado por la fuerza neta actuante sobre una partícula es
siempre igual a la variación de su energía cinética.
Demostración:
Consideremos la parametrización temporal:
R:
t ∈ [t A , t B ] → ( x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) ) ∈ R 3
Y sea:
r
r
m.&r&(t ) = F (t )
 r
r
 r (t ) = r 0
 rr& (t ) = vr
0
 0
Se tiene:
r
r
tB
tB
tB
r r
r
r
dr (t )
dv (t ) r
WR = ∫ F (r (t )).
.dt = ∫ dt.m.
v (t ).dt = ∫ m.v (t ).dv (t ) =
dt
dt
tA
tA
tA
1r
= m. v (t ) 2
2
tB
tA
=
1 r
1 r
m.v (t B ) 2 − m.v (t A ) 2
2
2
O sea:
WR = Ec (t B ) − EC (t A )
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2. Trabajo realizado por Fuerzas conservativas:
2.1. Fuerzas conservativas
Un campo de fuerzas se dice conservativo si el trabajo necesario para llevar una
partícula de un punto a otro del campo es independiente de la trayectoria seguida.
Ejemplo:
Sea un campo de fuerzas constante:
Se tiene: W R =
r r
r
F (r ) = r0 = cte
tB
t
t
r r r
r Br
r B r
r r tB r r
r
F
(
r
).
v
(
t
).
dt
r
.
v
(
t
).
dt
r
.
=
=
0 ∫
0 ∫ dr (t ) =r0 .r (t ) t = r0 .( r (t B ) − r (t A ))
∫
tA
tA
tA
Al ser, pues,
A
r r
r
WR = r0 .(r (t B ) − r (t A )) , el
trabajo no depende de la trayectoria
seguida sino de la posición inicial y final de
la partícula. Por consiguiente, el campo es
conservativo.
2.2. Teorema del potencial
r
Para toda fuerza conservativa, F (r ) , existe una función,
gradiente de la función
r
φ (r ) se
r r r
r
dφ (r ) = ∇φ (r ).dr .
La función
r
φ (r ) :
r
φ (r ) ,
tal que
r
F (r ) es el
r
r
r
r r
r r
∂φ (r ) r ∂φ (r ) r ∂φ (r ) r
F ( r ) = ∇φ ( r ) =
e1 +
e2 +
e3
∂x1
∂x 2
∂x3
llama Función potencial, cumpliendo, por consiguiente, la relación:
Demostración:
Veamos en primer lugar que si la fuerza es conservativa, entonces
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r r
r r
F ( r ) = ∇φ ( r ) :
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Bastará hacer que la función potencial sea el trabajo necesario para llevar una
partícula desde un punto A hasta un punto B. Se tiene, entonces, usando la
parametrización natural s:
r
B
B
r r
r r
s
r
dr ( s )
φ (r ) = W AB = ∫ ds.F (r ( s)).
= ∫ ds.F (r ( s )).U T ( s )
ds
A
A
r
r r
s
s
r
dφ (r ) r r
es decir: dφ (r ) = ds.F ( r ( s )).U T ( s ) , por lo cual:
= F (r ( s )).U T ( s )
ds
por otra parte se tiene:
r
r
r
r
dφ (r ) dφ (r ) dr r r dr r r r
=
= ∇φ (r ). = ∇φ (r ).U T ( s )
r .
ds
dr ds
ds
por lo cual, al identificar ambas expresiones:
r r
s
r r r
F (r ( s )).U T ( s ) = ∇φ (r ).U T ( s )
r r
r
r
r
r
de lo cual, se tiene que ( F ( r ( s )) − ∇φ ( r )).U T ( s ) = 0 , y siendo U T (s ) un vector tangente
a la trayectoria, y ésta, a su vez cualquiera, tendrá que ser necesariamente cero la
diferencia
r r
r r
F (r ( s )) − ∇φ (r ) = 0 , y, por tanto:
r r
r r
F (r ( s )) = ∇φ (r )
Veamos ahora el recíproco, es decir, si se verifica
necesariamente, la fuerza es conservativa:
r r
r r
F (r ( s )) = ∇φ (r ) entonces,
La expresión del trabajo para llevar la partícula desde el punto A hasta el punto B es:
r
B
B
B
r r
r r drr ( s ) B r r r
r
r
r
dr ( s )
W AB = ∫ ds.F (r ( s )).
= ∫ ds.∇φ (r ).
= ∫ ∇φ (r ).dr ( s ) = ∫ dφ (r ) = φ (r ( s B )) − φ (r ( s A ))
ds
ds
A
A
A
A
solo depende, pues, del valor final y del valor inicial de la función potencial
r
φ (r ) ,
por
lo cual, es conservativo.
En definitiva tenemos que, por verificarse este teorema, es equivalente afirmar que un
campo es conservativo si el trabajo es independiente de la trayectoria, o bien que un
campo es conservativo si es el gradiente de una función potencial.
Veamos en lo que sigue dos ejemplos de campos de fuerzas en donde dilucidamos su
carácter conservativo mediante el análisis de la posible existencia de una función
potencial.
Ejemplos:
-
Ejemplo de campo conservativo:
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Sea el campo definido por la función fuerza
r r
r
r
F (r ) = c(2 x1 x 2 .e1 + x12 .e2 )
Identificando componentes con las derivadas parciales de un posible potencial:
r r
r r
r
r
r
∂φ
∂φ
∂φ
F (r ) = ∇φ (r ) ⇒ F1 (r ) =
, F2 (r ) =
, F3 (r ) =
∂x1
∂x 2
∂x3
o sea:
∂φ
= 2cx1 x 2
∂x1
∂φ
= cx12
∂x 2
∂φ
=0
∂x3
→
r
φ (r ) = cx12 x 2 + k ( x 2 , x3 )
→
r
φ (r ) = cx12 x 2 + k ( x1 , x3 )
r
v
φ (r ) = k ( x1 , x 2 ) ⇒ φ (r ) no depende de x3
→
por tanto:
r
φ (r ) = cx12 x 2 + k ( x 2 )
2
2
 ⇒ cx1 x 2 + k ( x1 ) = cx1 x 2 + k ( x 2 ) ⇒ k ( x1 ) = k ( x 2 ) = const.
r
φ (r ) = cx12 x 2 + k ( x1 ) 
Por consiguiente el potencial existe y es:
r
φ (r ) = cx12 x 2 + k
por lo cual el campo
-
r r
r
r
F (r ) = c(2 x1 x 2 .e1 + x12 .e2 ) es conservativo.
Ejemplo de campo no conservativo:
Sea el campo definido por la función de fuerza
r r
r
r
F (r ) = c.(( x12 − x 22 ) 2 .e1 + 3x1 x 2 .e2 )
Si existiera potencial tendríamos:
r r
r r
r
r
r
∂φ
∂φ
∂φ
F (r ) = ∇φ (r ) ⇒ F1 (r ) =
, F2 (r ) =
, F3 (r ) =
∂x1
∂x 2
∂x3
pero se tiene que:
r
∂φ
c
= c. x12 − x 22 → φ (r ) = x13 − cx22 x1 + k ( x 2 , x3 )
3
∂x1
r 3c
∂φ
= 3cx1 x 2 → φ (r ) =
x1 x 22 + k ( x1 , x3 )
∂x 2
2
r
∂φ
= 0 → φ (r ) = k ( x1 , x 2 )
∂x3
(
)
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De lo que se deduce que
r
c
3c
φ (r ) = x13 − cx22 x1 + k ( x 2 ) = x1 x 22 + k ( x1 )
3
2
Lo cual implicaría que
k ( x 2 ) − k ( x1 ) =
c 3
3c
x1 − cx22 x1 + k ( x 2 ) − x1 x 22
3
2
Lo cual es imposible, pues no se pueden separar las variables en la diferencia indicada.
2.3. La Trayectoria y las fuerzas conservativas:
r
r r
Teorema: Un campo de fuerzas F = F (r ) es conservativo si, y solo si, el trabajo
realizado a través de cualquier trayectoria cerrada es cero.
Demostración:
a) Si el campo de fuerzas es conservativo, el trabajo realizado entre dos puntos no
depende de la trayectoria seguida, esto es, será WAB( c) = WAB(c’), si llamamos
WAB(c) y WAB(c’) al trabajo realizado desde el punto A hasta el punto B, a lo
largo de la trayectoria c y a lo largo de la trayectoria c’, respectivamente. Se
tendrá, por ejemplo, que el trabajo realizado desde el punto B hasta el punto A
a lo largo de c’ es WBA(c’) = -WAB(c’).
Por lo cual, el trabajo realizado desde
A hasta B por la trayectoria c más el
trabajo realizado desde B hasta A por
la trayectoria c’, define el trabajo
realizado a lo largo de una trayectoria
cerrada, que es nulo:
W AB (c) + WBA (c' ) = W AB (c) − W AB (c' ) = 0
b) Por
otra
parte,
se
tiene
que
si
W AB (c ) + WBA (c' ) = 0 , será entonces:
W AB (c) = −WBA (c' ) ⇒ W AB (c ) = W AB (c' ) , con lo cual el trabajo no depende de la
trayectoria elegida, lo que indica que el campo es conservativo.
r
Teorema: Si el campo F = (F1 , F2 , F3 ) es conservativo y de clase 1, entonces se
cumplen las relaciones
∂F1 ∂F2
=
,
∂x 2 ∂x1
∂F1 ∂F3
=
,
∂x3 ∂x1
∂F3 ∂F2
=
∂x 2 ∂x3
(clase 1: derivable y con derivada continua)
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Demostración:
Por ser
r r
r r
F (r ) = ∇φ (r ) se tiene:
r
F1 (r ) =
r
F2 (r ) =
r
F3 (r ) =
r
∂φ (r )
∂x1
r
∂φ (r )
∂x 2
r
∂φ (r )
∂x3
Haciendo las derivadas con respecto a las demás variables:
r
r
∂F1 (r )
∂  ∂φ (r ) 

=
=
∂x 2
∂x 2  ∂x1 
r
r
∂F1 (r )
∂  ∂φ (r ) 

=
=
∂x3
∂x3  ∂x1 
r
r
∂F3 (r )
∂  ∂φ (r ) 

=
=
∂x 2
∂x 2  ∂x3 
r
r
r
∂ 2φ ( r )
∂  ∂φ (r )  ∂F2 (r )

=
=
∂x 2 ∂x1 ∂x1  ∂x 2 
∂x1
r
r
r
2
∂ φ (r )
∂  ∂φ (r )  ∂F3 (r )

 =
=
∂x3 ∂x1 ∂x1  ∂x3 
∂x1
r
r
r
2
∂ φ (r )
∂  ∂φ (r )  ∂F2 (r )

=
=
∂x 2 ∂x3 ∂x3  ∂x 2 
∂x3
Ejemplo:
r r
r
r
Veamos que el campo F ( r ) = c.(( x1 − x 2 ) .e1 + 3 x1 x 2 .e2 ) , del cual sabemos, por un
ejemplo anterior, que no es conservativo, no verifica esta condición:
Puesto que es
2
2 2
r
∂F1 (r )
= −2cx2
r
r
∂F1 (r ) ∂F2 (r )
∂x 2
r
⇒
≠
∂F2 (r )
∂x 2
∂x1
= 3cx2
∂x1
Teorema: El recíproco del teorema anterior no es cierto, es decir, pueden verificarse
las igualdades
∂F1 ∂F3
=
,
∂x3 ∂x1
∂F1 ∂F2
=
,
∂x 2 ∂x1
∂F3 ∂F2
=
∂x 2 ∂x3
Y el campo puede no ser conservativo.
Demostración: Bastará un contraejemplo. Veamos el siguiente:
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Carmen Sánchez Díez
r r

x
x
r
r 
F (r ) = c.− 2 2 2 .e1 + 2 1 2 .e2 
x1 + x 2 
 x1 + x 2
Veamos en primer lugar que son iguales las derivadas parciales:
x 2 − x12
∂F1
= 2
,
2
∂x 2
x12 + x 22
(
x 2 − x12
∂F2
= 2
2
∂x1
x12 + x 22
)
(
)
Y veamos ahora que, sin embargo, no es conservativo, esto es, no existe una función
r
potencial φ (r ) tal que
r r
v r
F ( r ) = ∇φ ( r )
Veámoslo primero usando coordenadas cartesianas:
F1 (r ) =
F1 (r ) =
F1 (r ) =
O sea,
∂φ
⇒
∂x1
∂φ
⇒
∂x 2
− x2
dx1 + ϕ ( x 2 , x3 )
x + x 22
x
φ (r ) = ∫ 2 1 2 dx1 + ϕ ( x1 , x3 )
x1 + x 2
φ (r ) = ∫
2
1
∂φ
= 0 ⇒ φ (r ) = cte + ϕ ( x1 , x 2 )
∂x3
− x2
.dx1 + ϕ 1 ( x 2 )
+ x 22
x
φ (r ) = ∫ 2 1 2 .dx 2 + ϕ 1 ( x1 )
x1 + x 2
φ (r ) = cte
∫x
φ (r ) =
2
1
De lo cual se deduce que nunca podrá ser
r r
v r
F ( r ) = ∇φ ( r )
Veámoslo ahora usando coordenadas polares:
Si fuera conservativo tendría que ser nula la siguiente integral a lo largo de cualquier
trayectoria cerrada:
r
r r
dr (θ )
= ∫ dθ .F (r (θ )).
=0
dθ
0
2π
W AA
Se tienen las relaciones:
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x1 = R. cosθ ,
x 2 = R.senθ
x + x = R2
r r
r
r
c
F (r (θ )) = (− senθ .e1 + cosθ .e2 )
R
r
r
r
r (θ ) = R. cos θ .e1 + R.senθ .e2
r
r
r
dr (θ )
= − R.senθ .e1 + R. cosθ .e2
dθ
2
1
2
2
Y por consiguiente:
r
2π
r r
dr (θ )
R
 R

2
2
d
.
F
(
r
(
)).
d
.
c
.
.
sen
c
.
.
cos
c
.
θ
θ
= ∫ θ
θ+
θ  = ∫ dθ = 2π c ≠ 0
∫
d
R
R
θ


0
CIRC
CIRC
Por tanto, no es conservativo.
Ejemplo:
r
r
El campo F = cte es conservativo, es decir, existe una función potencial tal que
r
 ∂φ ∂φ ∂φ 

F = (F1 , F2 F3 ) = 
,
,
x
x
x
∂
∂
∂
2
3 
 1
En efecto:
r
∂φ
= F1 ⇒ φ (r ) = F1 .x1 + ϕ ( x 2 , x3 )
∂x1
r
∂φ
= F2 ⇒ φ (r ) = F2 .x 2 + ϕ ( x3 )
∂x 2
r
∂φ
= F3 ⇒ φ (r ) = F3 .x3 + cte
∂x3
Por tanto, es:
r
φ (r ) = F1 .x1 + F2 .x 2 + F3 .x3 + cte.
Proposición: Si una fuerza es central y conservativa, la función potencial
depender de la distancia al centro de la fuerza.
φ
solo puede
Demostración:
r
r
rB
r r
r r r rB
r
dr (θ ) B r r
= ∫ dθ .F (r (θ )).
= ∫ F (r (θ )).dr (θ ) = ∫ ∇φ (r ).dr = ∫ dφ = φ (rB ) − φ (rA )
dθ
rA
rA
rA
rA
rB
W AB
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2.4. El Teorema de Conservación de la Energía:
Cuando una partícula está sometida a fuerzas conservativas y no conservativas, la
variación de energía mecánica entre dos instantes t1 y t2 es igual al trabajo realizado
por las fuerzas no conservativas a lo largo de la trayectoria real de la partícula entre
esos dos instantes de tiempo.
Si las fuerzas no conservativas no existen, o bien realizan un trabajo nulo, entonces la
energía mecánica se conserva.
Demostración:
Llamemos:
1 r 2
m.v (t )
2
r
Energía Potencial en el instante t: E p (t ) = −φ ( r (t ))
Energía Cinética en el instante t:
E c (t ) =
Energía Mecánica en el instante t:
E M (t ) = E c (t ) + E p (t ) =
r
1 r 2
m.v (t ) − φ (r (t ))
2
Trabajo realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de la trayectoria γ:
r
r
Wγc (t o , t f ) = φ (r (t f )) − φ (r (t o ))
Trabajo total realizado a lo largo de la trayectoria γ:
Wγ (t 0 , t f ) = E c (t f ) − Ec (t o )
Trabajo realizado por las fuerzas no conservativas:
[
] [
]
r
r
Wγnc (t o , t f ) = Wγ (t o , t f ) − Wγc (t o , t f ) = E c (t f ) − E c (t o ) − φ (r (t f )) − φ (r (t o )) =
r
r
= E c (t f ) − φ (r (t f )) − [Ec (t o ) − φ (r (t o ))] = Ec (t f ) + E p (t f ) − Ec (t o ) + E p (t o ) =
[
]
[
] [
]
= E M (t f ) − E M (t o )
O sea, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es la diferencia entre la
energía mecánica final y la energía mecánica inicial:
Wγnc (t o , t f ) = E M (t f ) − E M (t o )
Si no existen fuerzas no conservativas, o bien es nulo el trabajo realizado por las
fuerzas no conservativas, entonces:
E M (t f ) − E M (t o ) = 0 ⇒ E M (t o ) = E M (t f )
Es decir, si solo hay fuerzas conservativas, la energía mecánica total se conserva.
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3. Bibliografía:
ALONSO, S.M.; FINN, E.J. FISICA, Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. 1987
SEARS-ZEMANSKY-YOUNG, FISICA UNIVERSITARIA, Editorial Fondo Educativo
Interamericano.
BURBANO DE ERCILLA, S.; OTROS, FISICA GENERAL, Editorial Mira Editores. 1993
TIPPLER, P.A., FISICA, Editorial Reverté.
GARTENHAUS, S., FISICA, Ed. Interamericana.
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