Modelos biológicos - Universidad de Alcalá
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Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Modelos biológicos Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz1 1 Departamento de Física y Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Biología) Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Contenidos 1 Introducción 2 Modelos en tiempo continuo Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística 3 Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Índice 1 Introducción 2 Modelos en tiempo continuo Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística 3 Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Introducción Una aplicación muy importante de las sucesiones y de las ecuaciones diferenciales son los modelos de poblaciones. Puesto que ambas herramientas han sido estudiadas en este curso, procederemos a realizar un análisis cualitativo de diferentes modelos de importancia en el ámbito de la Biología. Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística Índice 1 Introducción 2 Modelos en tiempo continuo Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística 3 Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística Población con crecimiento exponencial Hipótesis 1 El crecimiento de la población es proporcional al número de individuos Llamamos N(t) tamaño de la población en el instante t ≥ 0 N(0) = N0 > 0 población inicial dN = rN, N(0) = N0 dt Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística Población con crecimiento exponencial El parámetro r se denomina velocidad de crecimiento intrínseca y es la velocidad de crecimiento per cápita, ya que, r= N 0 (t) N(t) La solución general para este tipo de ecuaciones es, N(t) = N0 ert Además, Si r > 0, la población crece Si r < 0 el tamaño de la población disminuye. Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística Crecimiento restringido Es la forma más simple de crecimiento restringido, y se utiliza para modelar el crecimiento de los peces. Hipótesis 1 Se conoce el tamaño máximo del individuo (restringido) A 2 La velocidad de crecimiento es proporcional a lo que le queda por crecer Llamamos L(t) tamaño del individuo en el instante t ≥ 0 L(0) = L0 > 0 población inicial (la suponemos positiva!!) L0 = k (A − L) Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística Crecimiento restringido: Ecuación de Von Bertalanffy Es la ecuación de Von Bertalanffy L0 = k (A − L) Observa que la velocidad de crecimiento dL dt es positiva decrece linealmente con la longitud mientras L < A que se detiene cuando L = A Separando variables podemos obtener su solución L0 −kt L(t) = A 1 − 1 − e A Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística Ecuación Logística Hipótesis: la tasa de crecimiento es dependiente de la densidad de población decrece linealmente hasta alcanzar el máximo de población que soporta el (eco)sistema Si llamamos N(t) al tamaño de la población en el instante t r la tasa de crecimiento intrínseca K la capacidad de carga. Ejemplo 1 Ejemplo 2 N N (t) = rN · 1 − , K 0 Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz con N(0) = N0 Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística Ecuación Logística En esta ecuación la velocidad de crecimiento per cápita dependa de la densidad de población. N0 N =r · 1− N K Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Índice 1 Introducción 2 Modelos en tiempo continuo Modelo de Malthus Ecuación de Von Bertalanffy Ecuación Logística 3 Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Crecimiento exponencial discreto Este tipo de crecimiento poblacional viene modelado por la ecuación: Nt+1 = R · Nt , con N0 el tamaño de la población en t = 0. Cuando R > 1, el tamaño de la población crecerá indefinidamente, suponiendo que N0 > 0. Este modelo poblacional no es realista, ya que supone que el número de hijos por padre es independiente de la densidad de población. No es realista, ya que llegará un momento en que estos hijos comenzarán a competir por los recursos del entorno, tales como alimentos o lugares de anidamiento. Para modelar una población que dependa de la densidad, debemos modificar la ecuación anterior. Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Ecuación logística discreta El modelo en tiempo discreto más popular para una sola especie es la ecuación logística discreta: Nt Nt+1 = Nt 1 + R · 1 − K Donde R y K son constantes positivas. R es el parámetro de crecimiento y K la capacidad de alojamiento Paradoja enriquecimiento 1 Paradoja enriquecimiento 2 Paradoja enriquecimiento 3 Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Curva de Ricker La ecuación logística discreta tiene la característica biológica poco realista de que a menos que se restrinja el tamaño de la población inicial y el parámetro de crecimiento, pueden aparecer tamaños de población negativos. Un ejemplo de ecuación que tiene las mismas propiedades que la ecuación logística pero que no admite poblaciones negativas, es la Curva de Ricker, Nt Nt+1 = Nt · exp R · 1 − K Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología) Introducción Modelos en tiempo continuo Modelos en tiempo discreto Crecimiento exponencial discreto Ecuación logística discreta Curva de Ricker Claudia Neuhauser. Matemáticas para Ciencias. Ed. Mc Graw Hill. Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Biología)
![Prueba Segundos2[1]](http://s2.studylib.es/store/data/003397536_1-3ac4e8618b6474fb10e9bb3037bc9dd2-300x300.png)
