fuerzas de inercia

Fuerzas de inercia
FUERZAS DE INERCIA
Para estudiar las fuerzas de inercia nos valdremos de un ejemplo. Sea un camión con una
plataforma diáfana y un suelo totalmente liso (rozamiento nulo).
(IV)
Observadora
A
Inicialmente el vehículo está
en reposo y la observadora A
ve al niño a su altura
Conductor C
Niño sobre monopatín B
En el interior del camión está el conductor, sentado en su asiento y un niño permanece de
pie, sobre la plataforma. Para visualizar mejor la situación de ausencia de rozamientos se ha colocado al niño encima de un monopatín.
Fuera del camión, en la acera, hay una observadora a la misma altura del niño.
Si el autobús arranca hacia la izquierda con una aceleración a, podemos preguntarnos; ¿se
ha movido el niño?.
El vehículo arranca con una
aceleración a, hacia la izquierda.
a
La pregunta es un tanto ambigua porque tal como sabemos de Cinemática, para analizar el
movimiento debemos elegir previamente un sistema de referencia.
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Así, para el conductor del camión el niño se ha movido hacia la parte trasera cuando ha
arrancado. Sin embargo, para la observadora situada en la acera, el niño no se ha movido del sitio, quien se ha movido ha sido el camión de derecha a izquierda por debajo de los pies del niño.
Ahora podemos preguntarnos: ¿ha actuado alguna fuerza sobre el niño?.
Según el principio de la Inercia, el inicio del movimiento presupone la acción de una
fuerza sobre el niño. Si, de acuerdo con lo expuesto en el párrafo anterior, el niño se mueve con
relación al conductor y está en reposo con relación a la observadora, deducimos que no actúa
ninguna fuerza al analizar el movimiento respecto de un sistema de referencia fijo (inercial), pero
sí “actúa” una "fuerza" al analizar el movimiento con relación a un sistema de referencia no inercial (sometido a aceleración), en este caso el conductor del camión.
Esa "fuerza" que “empuja” al niño hacia la parte trasera del camión desde el punto de vista
del conductor, no es pues una fuerza real sino una fuerza virtual a la que llamaremos FUERZA
DE INERCIA porque la causa del movimiento del niño no es ninguna fuerza sino la inercia del
pasajero a continuar con su estado de movimiento o de reposo según afirma el Primer Principio
de la Dinámica. A pesar de que las fuerzas de inercia no son fuerzas reales, los efectos observados asociados a ellas sí que lo son (fijaros el castañazo que se va a pegar el niño al caer del camión) y tienen una gran importancia en Ingeniería y en el diseño mecánico.
Las fuerzas de inercia pueden visualizarse fácilmente si en el ejemplo del camión, unimos
la cabina con la cintura del niño mediante un muelle, tal como se indica en la figura.
vo = 0
a
Fi
El alargamiento del muelle lo podemos
achacar a la existencia de una fuerza
de inercia Fi
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Al acelerar el autobús, el muelle se estira, (ver figura), debido a la inercia del pasajero a
permanecer en reposo. Intentemos ahora cuantificar el valor de esa fuerza de inercia. A partir de
la Segunda ley de Newton.
F = m·a
F - m·a = 0
Mediante este artificio matemático transformamos el problema dinámico en un problema
estático. El término - m·a, que tiene dimensiones de fuerza, es a lo que nosotros llamamos
“fuerza de inercia”.
F + Fi = 0
Siendo;
Fi = - m·a
Donde:
m es la masa del objeto móvil (niño)
a es la aceleración del sistema (camión)
Las fuerzas de inercia según se observa en el signo de la expresión anterior, llevan siempre sentido contrario a la aceleración. Por eso, cuando un autobús acelera nos vemos impelidos
hacia su parte trasera y cuando frena (aceleración negativa) nos vemos desplazados hacia la parte
delantera del autobús (vídeo desde el interior del coche).
Las fuerzas de inercia son pues unas “fuerzas” percibidas por un observador vinculado a un
sistema no inercial, pero no por un observador situado en un sistema en reposo. Para un observador no inercial (conductor del camión), las fuerzas de inercia actúan
sobre las partes móviles de los sistemas acelerados y su valor es el producto de la masa del objeto móvil (el niño sobre el monopatín) por la
aceleración del sistema.
En el mando de la consola Wii, hay unos acelerómetros, capaces de
“sentir” estas fuerzas de inercia y convertirlas en señales electrónicas.
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La fuerza de inercia, sólo actúa cuando el sistema acelera. Cuando mantiene una velocidad
constante y dirección rectilínea, a = 0 y por tanto Fi = 0. De esa forma, en el “Maglev” por ejemplo, Rafa Nadal puede jugar al tenis en el pasillo del tren a 430 km/h sin que ninguna fuerza de
inercia altere el movimiento de la pelota. (Ejemplo real)
Hay que señalar que la introducción del concepto de fuerza de inercia es un recurso artificioso, pero muy eficaz, que nos permite resolver multitud de problemas de Dinámica, planteando
los problemas como si fueran problemas de Estática.
Ejemplo 2: Un cuerpo cuelga de un hilo, estando ambos en reposo. Si tiro del hilo bruscamente hacia arriba con una aceleración a, éste puede
llegar a romperse como consecuencia de la fuerza de
a
inercia que se suma al peso del cuerpo.
m
Fi = m·a
en sentido contrario a la
aceleración
m
Fi
P
P
Si, P + Fi > T (tensión de rotura del cable)
el cable se rompe
Ejemplo 3: Un hombre está situado de pie sobre una báscula de baño en el interior de un
ascensor. Cuando el ascensor arranca hacia arriba, la aguja se mueve marcando un peso superior
al inicial y al comenzar a descender el ascensor, la báscula marca menos del peso inicial, como
consecuencia de la fuerza de inercia que en el primer caso se suma al peso y en el segundo lleva
sentido contrario al peso.
(2) Arranca
(1) En reposo
(3) Frena
a
a
m
m
m
P
Fi
Fi = m·a
en sentido
contrario a la
aceleración
P
Báscula de baño
Marca: P
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P
Báscula de baño
Marca: P + Fi
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Fi
Báscula de baño
Marca: P - Fi
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Un caso límite, es cuando se rompe el cable del ascensor.
(4) Se rompe el cable
De una forma un tanto artificiosa, justificamos lo que ya
conocemos, el pasajero del ascensor se encuentra en estado de
ingravidez, en caída libre y lógicamente la báscula marca 0.
g
m
Es la misma situación de un paracaidista que se lanzara desde
un avión con una báscula de baño bajo sus pies.
En este caso hemos usado de la fuerza de inercia para
justificar ese valor.
P
Fi = m·g
(cinturón de seguridad)
Báscula de baño
Marca: P - Fi = 0
En la novela de Julio Verne “De la Tierra a la Luna” el autor imagina un cañón de 250 m
de longitud. El proyectil-cabina que aloja a los viajeros alcanza los 16 km/seg a la salida.
Eso supondría una aceleración de.
16.0002 – 0 = 2·a·250
a = 512.000 m/seg2
a = 52.244 g
Los pasajeros estarían sometidos a una fuerza de inercia equivalente a 52.000 veces su
propio peso. Por ejemplo, si el pasajero llevara un sombrero de apenas 250 gr de masa sobre su
cabeza, ello le provocaría un peso adicional sobre la cabeza de.
Fi = 0,25 · 512.000 = 128.000 N = 13,06 Toneladas
Con lo cual, a la Luna llegaría …. una papilla de pasajeros suicidas o simplemente muertos
por su ignorancia sobre las Fuerzas de Inercia.
LA INNOMBRABLE FUERZA CENTRIFUGA
Al estudiar el movimiento circular, demostrábamos que aunque la velocidad del vehículo
fuera constante, el cambio en la dirección del vector velocidad provoca la aparición de una aceleración, denominada aceleración normal.
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Fuerzas de inercia
Su sentido es radial, dirigida hacia el centro de curvatura y su módulo puede expresarse
como:
an =
O
v2
r
ω=
a n = ω2 · r
r
an
2· π
T
90º
v
Imaginemos el vehículo de la figura, al cual observamos desde arriba, a vista de pájaro.
Sobre la caja de ese camión se encuentra un objeto (balón). Inicialmente el vehículo se mueve
con una velocidad constante y una dirección rectilínea.
v
Al tomar la curva en sentido antihorario, la velocidad del camión sigue siendo la misma en módulo,
pero el vector velocidad cambia su dirección, adaptán-
(2)
=
dose a la geometría de la curva.
v
El balón, inicialmente situado en la parte izquierda del vehículo, al tomar la curva, aparece ahora a
la derecha del camión. Visto desde el interior del vehí-
(1)
=
culo en movimiento, pareciera como si una fuerza extraña lo hubiera desplazado hacia la derecha del vehículo.
Sin embargo, un observador situado a vista de pájaro, en reposo, comprueba que el balón
no cambia su trayectoria, mantiene la misma velocidad y la misma dirección iniciales. Es el camión quien se desplaza por debajo de él, provocando ese aparente cambio de posición.
La inercia del balón a mantener su estado de movimiento es la causa que hace pensar al
conductor del vehículo que el objeto se ha desplazado de la posición (1) a la (2). Es la misma situación que analizábamos al comienzo del tema con el niño sobre el monopatín.
Igualmente podríamos achacar ese desplazamiento relativo del balón, desde el punto de
vista de un observador no inercial situado en el vehículo, a la existencia de una fuerza de inercia.
Y al igual como antes.
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Fuerzas de inercia
Fi = - m·a
En el movimiento circular;
Fi = m ·
ω
v2
. Por tanto
r
a la que llamamos “fuerza centrífuga”, Fc.
De nuevo debemos insistir en la artificiosidad de las Fuerzas de
Inercia. Unas fuerzas no reales, cuya introducción a la hora de
plantear ciertos problemas permite resolverlos con gran sencillez .
v
Fc
r
v2
r
an =
O
an
Y tampoco debemos pasar por alto que los derrapes en las curvas, los
golpes contra los laterales del coche en el caso de viajeros, los
desplazamientos de la carga y multitud de aplicaciones ingenieriles
tienen su base en esta, ahora innombrable, “fuerza centrífuga”.
Expresándola en función de la velocidad angular ω. Fi = m · ω2 · r
Todos hemos visto e incluso comprobado los efectos de la fuerza centrífuga; derrapes de
coches y motos, el cubo con agua que no se derrama al hacerlo girar, la lavadora-secadora que
centrifuga la ropa, las centrifugadoras de los laboratorios químicos, las norias, montañas rusas y
otras atracciones de feria, las centrifugadoras para entrenar a pilotos y astronautas, los corredores
de F-1 tomando curvas de varios g de aceleración, pilotos acrobáticos realizando “loopings”,
creación de gravedad artificial en naves espaciales, la forma como se distribuyen las estrellas en
una galaxia.
Son situaciones muy frecuentes en la vida real, que pueden analizarse geométrica y matemáticamente con muchísima sencillez, introduciendo el concepto de “fuerza centrífuga”, a pesar
de su virtualidad. Es un tema polémico ente los profesores de Física, quienes mayoritariamente
rechazan su uso, pero hace apenas dos generaciones, en los libros de texto, incluso universitarios,
se usaba la fuerza centrífuga sin ningún pudor, sabiendo perfectamente cuál es su naturaleza y
sus limitaciones de uso.
Insistamos, de todas formas, en que la fuerza centrifuga, como toda fuerza de inercia, no es
una fuerza real. Esto se manifiesta claramente al cortar la cuerda que une la piedra de masa m
con el centro de giro O. En ese caso la piedra, al verse libre de su ligadura sale disparada en la
dirección de la velocidad, (tangente a la trayectoria) y no en el sentido radial de la fuerza centrifuga.
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Fuerzas de inercia
El muelle se estira más, conforme aumentamos la
velocidad angular ω.
v
m
r
Fc = - m·an
an
ω
O
Pero si se rompiera el muelle, la masa m saldría
disparada en la dirección de v (tangente a la
trayectoria) y no en la dirección de la Fcentrífuga, como
sucede al lanzar una piedra con una honda.
A pesar de su no consideración como fuerza real, si intercaláramos un muelle en medio de
la cuerda que sujeta la piedra, tal como se indica en la figura, observaremos que éste se alarga y
ese alargamiento aumenta al aumentar la velocidad lineal o disminuir el radio de giro, según se
desprende de la expresión matemática de la Fcentrífuga.
Volviendo al ejemplo de la piedra. Si la hacemos girar en un plano perpendicular al suelo,
es fácil comprobar cómo la tensión en la cuerda no es constante, sino que va variando con la
posición, desde un máximo en la posición inferior, a un mínimo en la posición superior, tal y
como se ilustra en la figura.
Fc
v
m (1)
En la posición (1) la tensión que soporta la cuerda vale.
Fc – P
(mínimo)
En la posición (2), la tensión de la cuerda es.
Fc + P
(máximo)
P
an
O
ω
r
Dichas tensiones podrían visualizarse intercalando un muelle entre la
piedra y el centro de giro.
Es justamente la sensación que notamos al subir en la noria. Y en el
despegue y aterrizaje de los aviones.
an
m
(2)
P
v
Si la Fcentrífuga fuera suficientemente intensa podríamos llegar a sentir
durante un momento, el estado de ingravidez total, si P = Fc.
Fc
Una aplicación curiosa de los efectos de la fuerza centrifuga es la creación de gravedad artificial en las estaciones
espaciales permanentes.
Una estación espacial de forma toroidal, girando alrededor del eje central provoca un peso artificial en sus ocupantes
de valor igual a la fuerza centrifuga.
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Fuerzas de inercia
P = Fc
Sustituyendo cada fuerza por su valor.
m·g = m· ω2·r
Fc = m· ω2·r
Despejando la velocidad angular, obtenernos.
ω=
g
r
Por ejemplo, para un radio de 150 m y una velocidad angular de 2,5 vueltas por minuto, se
obtendría un peso artificial indistinguible del que notaríamos en la Tierra. Tan solo al mirar a través de las escotillas de la estación sentiríamos el vértigo de ver girar todo el Cosmos a nuestro
alrededor dos veces y media, cada minuto.
Todo cuerpo celeste orbitando alrededor de otro se comporta como una piedra girando alrededor de nuestra mano donde la tensión de la cuerda ha sido sustituida por la acción de la gravedad.
El radio estable de la órbita se alcanza cuando la fuerza centrifuga Fc y la fuerza de atracción gravitatoria Fg se equilibran.
Fg = Fc
Sustituyendo cada fuerza por su valor.
G·
M· m
v2
m
·
=
r2
r
Dividiendo por m y despejando la velocidad obtenemos.
v=
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G· M
r
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Fuerzas de inercia
Obsérvese que al disminuir el radio de la órbita,
la velocidad orbital aumenta. Los planetas más cercanos al Sol son más veloces, Mercurio en la mitología
latina es el mensajero de los dioses representado con
unas alitas en los pies. Por el contrario, los planetas
exteriores son más lentos.
El efecto de las mareas provoca una disminución en la velocidad orbital de la Luna en
torno a la Tierra, alejándose al ritmo de 3 cm al año. En un futuro muy lejano no existirán eclipses totales de Sol, tan solo eclipses anulares.
LAS EXTRAÑAS Y DESCONOCIDAS FUERZAS DE CORIOLIS
Imaginemos un disco que puede girar libremente en un plano horizontal alrededor de su
eje. Desde su periferia lanzamos un objeto (balón) en dirección radial hacia el centro del disco.
Suponemos nulo el rozamiento entre el objeto y la superficie del disco. El balón inicialmente
está fuera del disco.
Cuando el disco está en reposo, es evidente que el balón sigue una trayectoria radial de
(1) a (2) alcanzando el centro con normalidad.
(2)
(2)
v
(1)
(1)
Pero, si el disco estuviera girando con velocidad angular constante ω, la cosa cambia, La
inercia del balón a mantener su velocidad, tanto en módulo como en dirección, provoca que, para
un observador solidario al disco, pareciera como el balón se desplaza hacia la derecha, según se
indica en la flecha de color rojo.
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Fuerzas de inercia
(VI)
(V)
(IV)
(IV)
(V)
(IV)
(VII)
(IV)
(IV)
(III)
A
(VIII)
ω
(VI)
(VII)
ω
v
v
Fi = - m·a
(II)
(I)
(VIII)
(II)
(I)
El desplazamiento aparente del balón para el observador ligado a una plataforma que está
girando, lo llamamos efecto Coriolis. Podemos achacar este desplazamiento a una fuerza virtual,
una fuerza de inercia llamada “Fuerza de Coriolis”. La fuerza de Coriolis desvía al balón en sentido contrario al sentido de giro. Si la plataforma gira en sentido horario, el balón se mueve en
sentido antihorario, para el observador ligado al sistema no inercial. Lo mismo sucedería si, inicialmente el balón estuviera situado en el eje de giro y el lanzamiento lo efectuamos en dirección
radial, hacia la periferia de la plataforma.
(VI)
(V)
(V)
(IV)
(VII)
(VI)
ω
ω
(VIII)
v
(III)
A
v
(III)
A
(II)
(I)
(VIII)
(II)
(I)
Una variación interesante de esta situación es cuando el balón, inicialmente está situado
sobre la periferia de la plataforma, girando con él y de nuevo lanzamos el balón en dirección radial hacia su eje de giro.
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(VI)
(V)
(V)
(IV)
(VII)
(VI)
ω
(VIII)
ω
(III)
A
(VII)
v’ = ω·R
v
v
(I)
(III)
(II)
(VIII)
(II)
(I)
En este caso el balón, además de la velocidad de lanzamiento radial v, lleva una velocidad
de arrastre v’ = ω·R, en dirección tangencial. La ley de la inercia obliga al balón a mantener esa
misma velocidad, pero sobre la plataforma, conforme nos acercamos al eje de giro, su velocidad
lineal es cada vez menor, pues v = ω·r y r va cambiando desde su valor máximo (R) en la periferia hasta el valor mínimo 0, en el centro.
Esto significa que el balón, por su inercia, “adelanta” al disco conforme se acerca al centro.
En consecuencia, un observador situado sobre la plataforma, vería cómo el objeto se aleja de la
dirección radial en el mismo sentido que la velocidad de giro de la plataforma.
Esta situación es la más interesante para nosotros, porque no olvidemos que vivimos sobre la superficie de un planeta de forma esférica, el cual
gira un ángulo de 2·π radianes cada 23h 56m. Un gigantesco tiovivo donde
cada punto dista del eje de giro una distancia indicada por la expresión.
r = RTierra·cos ϕ
(siendo ϕ la latitud geográfica del lugar)
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Fuerzas de inercia
Esto provoca la aparición de importantes
fuerzas de Coriolis cuando un objeto se mueve con
una cierta velocidad en el entorno de nuestro planeta. El sentido de las fuerzas de Coriolis varían
de un hemisferio a otro según apreciamos en el esquema de la figura adjunta.
Las fuerzas de Coriolis son las responsables, en Meteorología, del sentido de giro de las borrascas y de los anticiclones.
Los anticiclones giran en sentido horario en el
hemisferio boreal y en sentido antihorario en el hemisferio
austral.
Las borrascas giran en sentido antihorario en el hemisferio boreal y en sentido horario en el
hemisferio austral.
En el lanzamiento de proyectiles de largo alcance,
se produce una importante desviación en su trayectoria
que debemos corregir si deseamos dar en el blanco.
En navegación aérea, cuando un avión vuela desde
Empuje de
los motores
Rumbo del
avión
Fuerza de
Coriolis
el ecuador hacia los polos, a lo largo de un mismo meridiano, debe ir compensando la desviación en su rumbo
provocada por la fuerza de Coriolis.
De esa forma, el piloto no orienta el morro del
avión en dirección norte, sino ligeramente inclinado hacia la izquierda (hemisferio boreal), para
que la resultante vectorial del empuje de los motores y de la fuerza de Coriolis esté alineada con
el meridiano. El avión avanza ladeado hacia su destino.
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Fuerzas de inercia
Z
r
ω
B
r
rA / B
r
rB
r
v A , rel
La aceleración de Coriolis viene dada por la expresión.
r
rA
A
r
r r
a Coriolis = 2· ω ∧ v A , rel
O
Y
X
r
v A , rel representa la velocidad del punto A, medida por un observador situado en B, el cual está gi-
r
rando con ω respecto de O. El valor de la aCoriolis depende de la velocidad del punto A respecto del
punto B, situado sobre la Tierra y del ángulo formado por la dirección de esa velocidad en relación al eje
de giro de la Tierra.
r
r
Al tratarse de un producto vectorial, el resultado depende, aparte de los módulos de ω y de v , de
r
r
sus respectivas orientaciones espaciales. A su vez, v depende del valor del vector rA / B . En consecuencia, se trata de un problema de cálculo vectorial tridimensional cuyo resultado no es nada evidente, al
contrario de los ejemplos anteriores de fuerzas de inercia.
Por ejemplo, para una vA = 1.000 m/seg, como ωTierra = 7,29·10-5 rad/seg, la aceleración de Coriolis
máxima vale; aCoriolis = 0,145 m/seg2. Como consecuencia de ello, podemos considerar aproximadamente
que la Tierra es un sistema inercial. Sin embargo, en algunos casos, a pesar de su pequeño valor, actuando
de una forma prolongada, puede llegar a provocar importantes consecuencias dinámicas; vuelo de aviones, lanzamiento de proyectiles, circulación de los vientos, etc.
FOUCAULT Y SU PÉNDULO
El péndulo de Foucault fue usado por este físico francés del siglo XIX para justificar la rotación de
la Tierra. Pesaba 28 kg y medía 67 m
de longitud, con un período de
oscilación de unos 17 seg. Lo instaló
bajo la cúpula del Panteón de París.
La ley de la inercia hace que
el péndulo, en ausencia de fuerzas
exteriores, oscile siempre en un
mismo plano. Sin embargo, para un
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Fuerzas de inercia
observador situado sobre un sistema en movimiento (la Tierra) le parecerá que es el plano de oscilación
del péndulo quien gira alrededor de nuestra posición.
De nuevo, achacaremos ese movimiento aparente a una fuerza de inercia (fuerza de Coriolis). Vídeo péndulo de Foucault sobre un barco.
La velocidad angular de rotación aparente del plano de oscilación del péndulo depende de
la latitud geográfica del punto donde esté situado el péndulo.
ω’ = ω · sen ϕ
El tiempo empleado en dar una vuelta completa es.
T=
24
h
sen ϕ
Y el ángulo girado por el péndulo en 1 hora es.
θ = 15 · sen ϕ
EL EXTRAÑO COMPORTAMIENTO DEL GIRÓSCOPO
El giróscopo fue diseñado por Foucault en 1.952. Se trata de un disco
con un elevado momento de
inercia, girando alrededor de su
eje central y montado a su vez,
sobre una junta Cardan.
Vídeo del Universo Mecánico.
Giróscopo profesional
Rueda de bicicleta
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Fuerzas de inercia
Algunos conceptos físicos elementales
1) Momento de una fuerza respecto de un punto.
r r r
M = r ∧F
2) Momento de inercia.
I = Σ mi · ri2
3) Ecuación fundamental de la dinámica de rotación.
r
r
M = I· α
4) Momentum (cantidad de movimiento).
r
r
p = m· v
r
r d pr d (m · vr )
s
dv
F=
=
= m·
= m· a
dt
dt
dt
5) Momento cinético (angular) de un punto material.
r r
r
L = r ∧ m· v
r r r
L = r ∧p
6) Principio de conservación del momento cinético de un sólido.
Derivando
r
r
r r r r
dL r
dv r
= r ∧ m·
= r ∧ m· a = r ∧ F = M
dt
dt
r
r
r
dL
Si, M es nulo,
=0
L = cons tan te
dt
Ejemplo: velocidad areolar constante (2ª Ley de Kepler)
7) Impulso angular.
r
Impulso lineal = F· dt
r
Impulso angular = M · d t
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r
r
L = I· α · d t
r
r
L = I· ω
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r
r
r ∧ m · v = cons tan te
Fuerzas de inercia
8) Momento cinético (angular) de un sólido.
r
r
r
r
r
dL r
dL
=M
= I· α
d L = I· α · d t
dt
dt
Integrando.
L 2 − L1 = I· (ω2 − ω1 )
r
r
L = I· ω
9) Principio de conservación del momento cinético de un sólido.
r
r
r
dL
Si, M es nulo,
=0
L = cons tan te
dt
r
I· ω = cons tan te
10) Velocidad de precesión.
r
r r
M = Ω∧L
r
r
r M
r
M
Ω= r
Ω= r
I· ω
L
El efecto giroscópico estabiliza el lanzamiento de proyectiles.
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