Soluciones a “Ejercicios y problemas”

Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 261
Pág. 1
■ Resuelve problemas con el teorema de Pitágoras
47
Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de perímetro.
l = 28 : 4 = 7 cm
x
7 cm
x = √72 + 72 = √98 ≈ 9,9 cm
La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm.
7 cm
48
Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm.
l = √212 + 202 = √841 = 29 cm
20 cm
P = 4 · 29 = 116 cm
49
Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el lado
oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.
30 m
x = √892 – 802 = √1 521 = 39 m
89 m
x
A = 30 + 110 · 39 = 2 730 m2
2
80 m
110 m
50
l
21 cm
13
P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m
Halla el área de un triángulo equilátero de 60 dam de perímetro.
l = 60 : 3 = 20 dam
x
20 dam
10 dam
51
x = √202 – 102 = √300 ≈ 17,32 dam
A = 20 · 17,32 = 173,2 dam2
2
Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba que es
rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.
532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2
Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo.
A = 45 · 28 = 630 cm2
2
630 = 53 · ah 8 ah = 630 ≈ 11,9 cm
53
La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.
Unidad 13. Áreas y perímetros
13
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
52
Halla el perímetro y el área de esta figura:
Pág. 2
m
10 d
26 dm
x = √262 – 102 = √576 = 24 dm
m
10 d
x
26 dm
A = 24 · 10 = 120 dm2
2
2
A 1/2   = π · 12 ≈ 226,08 dm2
2
2
A 1/2   = π · 5 ≈ 39,25 dm2
2
A = 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2
P = 26 + 2π · 5 + 2π · 12 ≈ 79,38 dm
2
2
53
Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones de un
cubo:
6 cm
a)
b)
6 cm
3 cm
6 cm
3 cm
6 cm
3 cm
a)
6 cm
x = √32 + 32 = √18 ≈ 4,24 cm
x
A = 4,24 · 6 = 25,44 cm2
6 cm
b)
P = 2 · 6 + 2 · 4,24 = 20,48 cm
x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,71 cm
6 cm
A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2
x
Unidad 13. Áreas y perímetros
P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cm
13
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
54
Halla el perímetro y el área de
esta figura:
Pág. 3
4m
5m
13 m
3,5 m
x
1
4m
5m
x = √52 – 42 = √9 = 3
13 m
2
y = √132 – 52 = √144 = 12
y
3,5 m
z = √122 + 3,52 = √156,25 = 12,5 m
3
z
A① = 4 · 3 = 6 m2; A ② = 5 · 12 = 30 m2; A③ = 3,5 · 12 = 21 m2
2
2
2
A = 6 + 30 + 21 = 57 m2
P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m
55
8m
Calcula el perímetro y el área de esta
figura:
12 m
8m
18 m
8m
4m
4m
x = √102 + 42 = √116 ≈ 10,77 m
x
A = 18 · 8 = 144 m2
10 m
8m
18 m
A = 8 + 18 · 4 = 52 m2
2
2
A 1/2  = π · 4 ≈ 25,12 m2
2
A = A + A – A 1/2  = 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2
P = 18 + 8 + 10,77 + 2π · 4 + 12 ≈ 61,33 m
2
Unidad 13. Áreas y perímetros
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
■ Problemas “+” (con Pitágoras)
56
Pág. 4
Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia
de 6 cm de radio. Halla el área del recinto comprendido entre
ambas figuras.
a = √62 – 32 = √27 ≈ 5,2 cm
A = 6 · 6 · 5,2 = 93,6 cm2
2
6 cm
3 cm
A = π · 62 ≈ 113,04 cm2
a
A = A – A = 19,44 cm2
57
En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro:
a)
b)
x
60°
8 mm
10 m
x
x
a)
5m
x
10 m
x
x = √102 – 52 = √75 ≈ 8,7 m
2
A = π · 10 · 60 – 10 · 8,7 ≈ 8,8 m2
2
360
P = 2π · 10 · 60 + 10 ≈ 20,5 m
360
b)
(2x)2 + x 2 = 82 8 5x 2 = 82 8 x ≈ 3,6 mm
x
8 mm
x
x
P = 2 · 8 + 3,6 · 2 = 23,2 mm
Halla el área y el perímetro de la figura roja, obtenida
mediante un corte plano a un cubo de 6 cm de arista.
En primer lugar, hallamos las dimensiones del trapecio isósceles que se ha obtenido:
b'
a
h
c
b
Unidad 13. Áreas y perímetros
cm
58
x
A = 3,6 · 2 · 3,6 · 2 – 3,6 · 2 · 3,6 ≈ 13 mm
2
2
3
13
6 cm
b = √62 + 62 ≈ 8,49 cm; b' = √32 + 32 ≈ 4,24 cm
a = √62 + 32 ≈ 6,71 cm; c = b – b' = 2,13 cm
2
h = √a 2 – c 2 = √6,712 – 2,132 ≈ 6,36 cm
3 cm
13
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
Ahora, ya podemos calcular su área y su perímetro:
Pág. 5
A = b + b' · h = 8,49 + 4,24 · 6,36 ≈ 40,48 cm2
2
2
P = b + b' + 2a = 8,49 + 4,24 + 2 · 6,71 = 26,15 cm
59
Calcula el área y el perímetro de la figura roja:
En primer lugar, hallamos las dimensiones del rombo que se
ha obtenido:
6 cm
3
cm
3
l
d
d'
d = √62 + 62 + 62 ≈ 10,39 cm
d' = √62 + 62 ≈ 8,49 cm
l = √62 + 32 ≈ 6,71 cm
Ahora, ya podemos calcular su área y su perímetro:
A = d · d' = 10,39 · 8,49 = 44,11 cm2
2
2
P = 4l = 4 · 6,71 = 26,84 cm
Unidad 13. Áreas y perímetros
cm