00301

Memorias II Congreso Latinoamericano de Ingeniería Biomédica, Habana 2001, Mayo 23 al 25, 2001, La Habana, Cuba
DETECCIÓN DE DETERMINISMO NO LINEAL EN LA
VARIABILIDAD DE LA FRECUENCIA CARDIACA
1
2
3
R. Carvajal , M. Vallverdú , R. Baranowski , P. Caminal
2
1
Escuela de Informática. Universidad Autónoma de Sinaloa. Apartado Postal 1345,
C.P. 82000, Mazatlán, Sinaloa, México. [email protected]
2
Centro de Investigación en Ingeniería Biomédica. Departamento de ESAII,
Universidad Politécnica de Cataluña. Barcelona, España
3
Instituto Nacional de Cardiología. Varsovia, Polonia
RESUMEN
En este trabajo se analizan las señales de variabilidad de la
frecuencia cardiaca de 16 pacientes con cardiomiopatía
hipertrófica con el método de los surrogate data, con el
objeto de detectar la presencia de determinismo no lineal
en la señal. Se utiliza como índice no lineal, la dimensión
de correlación. Los resultados indican que existen
diferencias significativas entre los datos originales y los
surrogate data en todos los pacientes, lo que evidencia la
existencia de determinismo no lineal en esta señal.
Palabras clave: análisis no lineal, caos, variabilidad de la
frecuencia cardiaca.
1. INTRODUCCIÓN
El análisis de la variabilidad de la frecuencia cardiaca
(VFC), es un factor relevante en la diagnosis y tratamiento
de diversos casos clínicos. Esta señal es obtenida del
electrocardiograma y está definida como el tiempo que
transcurre entre intervalos R-R subsecuentes.
A finales de los 80’s, A.L. Goldsberger y B.J. West
desarrollaron una hipótesis sobre la naturaleza fractal y el
posible comportamiento caótico de la VFC [7]. Esto
implicaría que esta señal sería determinista y de naturaleza
no lineal, que son características de los sistemas caóticos.
A partir de entonces se ha discutido ampliamente en la
comunidad científica si la VFC puede ser considerada como
un proceso determinista no lineal y posiblemente caótico
[6], [18] o si se las irregularidades son debidas a ruido [5],
[9].
En 1992, J. Theiler y colaboradores [17] desarrollan un
método para detectar determinismo de naturaleza no lineal
en series de tiempo, conocido como el método de los
surrogate data, el cual es utilizado y aceptado actualmente
como el mejor método para la detección de determinismo
no lineal [13].
Kaplan [10] ha señalado la importancia de este estudio ya
que si se aplican técnicas de análisis lineal no pude
capturarse toda la información de la serie de tiempo, si el
sistema es dinámico no lineal, ya que las técnicas clásicas
de análisis de las series de tiempo, como el análisis
espectral, suponen los sistemas dinámicos lineales y
estacionarios. También menciona sobre la no linealidad en
la interacción entre la inervación simpática y
parasimpática de nodo seno auricular.
Estudios recientes [6], [14], utilizando el método de los
surrogate data, han detectado determinismo no lineal en la
VFC de individuos sanos.
En este trabajo se utiliza el método de los surrogate data
para analizar las señales VFC de 16 pacientes con
cardiomiopatía hipertrófica (CMH).
2. METODOLOGÍA
Las señales VFC fueron obtenidas de registros
electrocardiográficos Holter de 24 horas de la base de datos
del Instituto Nacional de Cardiología de Polonia, en
Varsovia, muestreados a 256 Hz. Los intervalos RR fueron
extraídos utilizando el software descrito en [11]. No se
aplicó ningún filtrado a la señal. Para el análisis de la VFC
se seleccionaron segmentos de las series RR de 4 horas, de
las 2 a las 6 a.m. cuando los pacientes dormían, teniéndose
aproximadamente 15,000 latidos por paciente.
El método de los surrogate data se basa en el lenguaje
de la prueba estadística de hipótesis. Se especifica como
hipótesis nula un proceso lineal. Se genera un conjunto de
series de surrogate data, las cuales tienen las mismas
propiedades que la serie de tiempo observada (media,
varianza y espectro de Fourier), pero que son aleatorios tal
como lo especifica la hipótesis nula, para ello se realiza lo
siguiente:
a) Se calcula la transformada de Fourier para frecuencias
positivas y negativas.
b) Para aleatorizar las fases se multiplica cada amplitud
compleja por eiφ, donde φ es escogido independientemente para cada frecuencia del intervalo [0, 2π].
c) Para que la transformada inversa de Fourier sea real
(que no tenga componentes imaginarios), se simetrizan
las fases, tal que φ ( f ) = φ ( -f ).
d) La transformada inversa de Fourier son los surrogate
data.
Una vez generados las series de surrogate data se elige un
índice no lineal como estadístico discriminador y se aplica a
cada una de las series, así como a la serie de tiempo
original. Para la prueba de hipótesis se utiliza un tipo de
prueba de t:
ζ≡
QD − µ H
σH
950-7132-57-5 (c) 2001, Sociedad Cubana de Bioingeniería, artículo 00301
(1)
donde QD es el valor del índice no lineal para la serie
original y µH y σH son la media y la desviación estándar del
índice no lineal para los surrogate data.
Como índice no lineal, en este trabajo se eligió a la
dimensión de correlación Dc. La dimensión es una medida
estadística de la autosimilitud de la geometría de un
conjunto de puntos en el espacio de fases. Esta cantidad
está relacionada con el número de variables independientes
que serían necesarias para describir el sistema (grados de
libertad).
De una serie temporal (yi , i = 1, …, N), se construyen N
puntos en un espacio de fases m - dimensional (dimensión
de inmersión) de acuerdo al teorema de Takens [15],
obteniéndose :
tiende hacia un valor constante (saturación), el cual es el
valor de la dimensión de correlación Dc.
Para obtener el valor de la Dc se ajusta una función
exponencial de la forma [2], [3], [4]:
d (m) = Dc (1 − e − km )
(6)
donde la Dc corresponde al valor de saturación y la k es la
constante de la exponencial (Figura 1). Los valores de Dc y
k son estimados usando el método de Levenberg-Marquardt
[12].
Obtención de la Dimensión de Correlación Dc
5
Dc*
4.5
→
(
x i ≡ y i , y i + τ , y i + 2 τ , ... , y i + ( m − 1) τ
)
4
(2)
donde τ es el lag o retardo en el tiempo expresado en
número de latidos. En el espacio de fases la Integral de
Correlación Cm(r) está definida por :
1
Cm ( r ) = lim 2
N →∞ N
→
→



Θ
r
−
x
−
x
∑ 
i
j 

j =1
N
i =1
(3)
donde N es el número de puntos muestra, en este caso el
número de latidos, Θ"z) es la función Heaviside :
Θ("z) = 0 si z < 0
Θ" z) = 1 si z > 0
y || xi - xj || es la distancia entre un par de puntos muestras
dentro del atractor. Esta distancia es calculada generalmente
como la norma euclideana :
→
→
xi − x j =
∑ (x
d
k =1
i ,k
− x j ,k
)
d(m) 3
-km
d(m) = Dc* (1 - e )
2.5
2
1.5
N
∑
3.5
1
0
5
20
Fig. 1. Ajuste de una curva exponencial
para estimar el valor de Dc
Para todos los cálculo efectuados en este trabajo se utilizó
como lag el valor del primer mínimo relativo de la función
de autocorrelación de la señal VFC [1] y la dimensión de
inmersión utilizada fue de 20, de acuerdo a los criterios
citados en [15].
Para cada una de las señales VFC analizadas se generaron 5
series de surrogate data, y se determinó la Dc para cada
todas las series.
3. RESULTADOS
2
(4)
donde d es la dimensionalidad del espacio de fase.
Grassberger y Procaccia [8] han demostrado que la Dc
puede ser obtenida con la siguiente ecuación :
10
15
Dimensión de Inmersión (m)
Los resultados obtenidos de aplicar el método de los
surrogate data a las señales VFC de los 16 pacientes con
CMH, se presentan en la Figura 2 y en la Tabla I.
25
 log ( C ( r )) 
Dc = lim 2 m

r →0
 log 2 ( r ) 
(5)
Dc
20
15
10
5
0
donde Cm(r) es la integral de correlación, la cual mide el
número de puntos muestras xj que están correlacionados
con cada uno de los puntos restantes, en una esfera de radio
r, alrededor de los puntos xi.
El log2(Cm(r)) se grafica versus el log2(r). La pendiente de
la recta resultante, obtenida de una regresión lineal en
valores bajos de r (ecuación 5), produce la dimensión de
correlación. Se calcula la Cm(r) para cada una de las
dimensiones de inmersión (m) sucesivas y se determinan las
pendientes en la región de escalamiento de la gráfica
logarítmica que corresponde a la región de la gráfica que
tiene un claro comportamiento lineal, obteniéndose una
secuencia de d(m). Conforme m se incrementa d(m)
Pacientes
VFC original
Surrogate data
Fig. 2. Valores de Dc encontrados para las señales VFC de los
pacientes HCM y el promedio para las cinco series de surrogate data.
Tabla I
Resultados para los 16 pacientes analizados
Id
1
2
QD
8.2
9.1
µΗ ± σΗ
18.9 ± 1.9
22.2 ± 2.2
ζ
5.59
5.93
P
0.017
0.014
8.8
10.4
9.4
5.1
10.2
8.6
7.1
8.3
7.5
9.7
10.2
9.2
10.0
9.4
21.4 ± 0.8
22.7 ± 1.8
18.6 ± 1.3
22.9 ± 1.9
18.7 ± 1.0
19.4 ± 1.5
20.9 ± 2.2
22.9 ± 2.3
22.4 ± 1.6
20.1 ± 1.6
21.5 ± 1.3
19.2 ± 0.8
20.3 ± 0.5
21.2 ± 1.0
16.89
7.03
7.04
9.56
8.54
7.26
6.27
6.46
9.38
6.76
8.50
12.14
19.72
11.57
0.0003
0.008
0.008
0.002
0.004
0.007
0.011
0.010
0.003
0.009
0.004
0.001
0.0002
0.001
Dimension de Correlación (Dc
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
3
5 7 9 11 13 15 17 19
Dimensión de Inmersión (m)
.
En este trabajo se analizaron las señales VFC de 16
pacientes con CMH, para conocer si en estas señales hay
evidencias de determinismo no lineal, como ya se ha
encontrado en sujetos sanos [14], [16], con el método de los
surrogate data.
Observando los resultados obtenidos al aplicar el método de
los surrogate data a las señales VFC de los pacientes con
CMH analizadas, puede observarse que los valores de la
dimensión de correlación para las series originales son
claramente inferiores a los resultados obtenidos para las
cinco series de surrogate data generadas para cada
paciente, obteniéndose diferencias estadística-mente
significativas con valores de p entre 0.0002 y 0.017.
Estos resultados indican que, al igual que en sujetos sanos,
existe un determinismo subyacente de carácter no lineal en
las señales que se estudiaron, que corresponden a pacientes
con CMH.
Si bien está claro que existe una naturaleza no lineal en
estas señales VFC, podríamos considerar, de acuerdo a los
resultados obtenidos en los valores de la Dc, que esta señal
presenta una alta dimensionalidad (valores de Dc entre 5 y
11 en todos los casos), por lo que no se trata de un sistema
caótico de bajo orden (Dc < 5).
Si bien, algunos autores como Thayer y Moulden [16], no
reportan valores para la Dc de los surrogate data, debido a
que al calcular este valor, en las curvas de la integral de
correlación vs. dimensión de inmersión (ver Figura 3) no se
aprecia claramente el plateau correspondiente para la
determinación de la Dc, en este trabajo si pudo ser
determinada debido a la metodología utilizada para la
determinación de la Dc, esto es utilizando un ajuste
exponencial (ver ecuación 6).
Finalmente podemos concluir que de acuerdo a los
resultados obtenidos, hay evidencias que en la señal VFC de
pacientes con CMH, hay evidencias de determinismo de
naturaleza no lineal.
Dimension de Correlación
(Dc)
4. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
14
12
10
8
6
4
2
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19
Dimensión de Inmersión (m)
Fig. 3. Gráfica de los resultados en el cálculo de la Dc, para el
paciente CMH 9, donde se puede apreciar como la señal VFC
presenta un claro plateau, mientras que los surrogate data, no
presentan esta característica
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnología de México, y por los
programas de apoyo CICYT (TIC 97-0945-C02-01) y
FEDER (2FD97-1197-C02-02) del gobierno de España. El
Dr. Baranowski participó en este trabajo gracias a una beca
de la Sociedad Europea de Cardiología.
REFERENCIAS
[1] R. Carvajal, A. Voss, N. Wessel, M. Vallverdú, P. Caminal, “Estudio
del retardo τ adecuado para el cálculo de la dimensión de correlación
de la señal HRV”, Proc. XVI Congreso SEIB, pp. 167-170, 1998.
[2] R. Carvajal, M. Vallverdú, J.J. Zebrowski, R. Baranowski, P.
Caminal, “Dimensión de Correlación de la Variabilidad del Ritmo
Cardiaco en sujetos sanos y pacientes con diversas patologías
cardiacas”. Proc. I Congreso Latinoamericano de Ing. Biomédica,
pp. 261-264. 1998.
[3] R. Carvajal, M. Vallverdú, “Análisis de complejidad de la
variabilidad del ritmo cardiaco”, Proc. Jornadas Investigación en
Ing. Biomédica, CREB-UPC, pp. 93-98, 1999.
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variabilidad de la frecuencia cardiaca en casos normales y
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shows a circadian periodicity as documented of the correlation
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vol. 149, pp. 409-412, 1998.
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Physica D, vol. 58, pp. 77-94, 1992.
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vol. 34, pp. 379-380, 1996.
DETECTION OF NON LINEAR DETERMINISM IN THE
VARIABILITY OF CARDIAC FREQUENCY
ABSTRACT
In this paper, 16 heart rate variability signals of patients with hypertrophic cardiomyopathy are analyzed
using the surrogate data method, in order to detect non linear determinism into the signal. Correlation
dimension is used as non linear index. Results show that there are significant differences between raw
data and surrogate data in all patients analyzed, suggesting that there is non lineal determinism in this
signal.
Keywords: Non linear analysis, chaos, heart rate variability.