CONDICIONES DE CONTORNO

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I Aeronáuticos
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CONDICIONES DE CONTORNO
•
•
•
Los cálculos numéricos deben realizarse en un dominio
“li it d ” a menudo
“limitado”
d conectado
t d a un d
dominio
i i exterior
t i
idealmente ilimitado.
Las condiciones de contorno y la forma del dominio fluido
distinguen a un problema de otro, ya que, las ecuaciones
de conservación son las mismas
De la correcta imposición y tratamiento de las condiciones
de contorno dependen:
–
–
–
–
(JMT)
La unicidad de la solución
La fidelidad de la solución obtenida
La estabilidad del algoritmo de integración
...
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CONDICIONES DE CONTORNO:
PREGUNTAS A CONTESTAR
• ¿Qué
Q éd
datos
t d
deben
b ser explicitados
li it d en ell
contorno? ¿En que número?
• ¿Cuáles variables deben ser calculadas en
los contornos? ¿Cómo hacerlo?
• ¿Cómo deben implementarse el algoritmo
numérico para conservar el orden de
aproximación
p
y las características de
estabilidad del método interior?
(JMT)
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Ecuaciones de Euler
FORMA CONSERVATIVA DE LAS ECUACIONES DE EULER
∂U ∂ F ∂ G ∂ H
+
+
+
=0
∂t
∂x ∂y
∂z
FORMA QUASILINEAL DE LAS ECUACIONES DE EULER
EN VARIABLES PRIMITIVAS
∂ϕ p
∂t
⎡u ρ
⎢0 u
⎢
A = ⎢0
0
⎢
0
⎢0
⎢⎣ 0 ρ a 2
(JMT)
0 0
0 0
u 0
0 u
0 0
0 ⎤
1/ ρ ⎥⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
u ⎥⎦
⎡v
⎢0
⎢
B = ⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣.0
0
ρ
0
v
0
0
v
0
0
0 0
0 ρ a2
v
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
1/ ρ ⎥
⎥
0 ⎥
v ⎥⎦
+A
⎡w
⎢0
⎢
C = ⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ 0
∂ϕ p
∂x
+B
0
ρ
w 0
0 w
0
0
0
0
0
0
0
w
ρ a2
∂ϕ p
∂y
+C
∂ϕ p
∂z
=0
⎡ρ ⎤
⎢ G⎥
ϕ p = ⎢V ⎥
⎢ ⎥
⎣ p⎦
0 ⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
1/ ρ ⎥
w ⎥⎦
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DIIAGONALIZACIÓN
DIAGONALIZACIÓN INDIVIDUAL DE LAS MATRICES JACOBIANAS
∂ϕ p
∂t
−1
x
+ Lx Λ x L
∂ϕ p
∂x
−1
y
+ Ly Λ y L
∂ϕ p
∂y
−1
z
+ Lz Λ z L
∂ϕ p
∂z
•Todas las matrices Jacobianas tienen
autovalores reales y un conjunto de
autovectores asociados.
=0
•NO se pueden diagonalizar simultáneamente
porque los autovalores son distintos.
•Podemos abordar un análisis local
fijá d
fijándonos
en lla di
dirección
ió perpendicular
di l all
contorno (situado en x=cte.).
CONSIDEREMOS UNA SUPERFICIE DE x=cte.
L−1
⎡
⎢
⎢
L = Lx = ⎢
⎢
⎢
⎢⎣
(JMT)
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
∂ϕ p
+ Λ L−1
∂t
0
0
0
1
0
∂ϕ p
∂x
ρ / 2a ρ / 2a ⎤
•Las derivadas según las direcciones
tangentes (y,z) se pueden evaluar mediante
información contenida en el contorno.
+ L−1 R = 0
⎡
⎢
⎥
1/ 2
−1/ 2 ⎥
⎢
0
0 ⎥ , L−1 = ⎢
⎢
⎥
0
0 ⎥
⎢
⎢
ρ a / 2 ρ a / 2 ⎥⎦
⎣
1
0
0
0
0
0
0
0
1
−1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
−1/ a 2 ⎤
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
1/ ρ a ⎥
1/ ρ a ⎥⎦
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Variables características
∂ϕ p
∂ϕ p
−1
−1
L
+ΛL
+ L−1 R = 0
∂t
∂x
•Cuando sea posible se podrán definir las variables
características (ϕc),
) mediante las denominadas ecuaciones
de compatibilidad
•Las ϕc serán constantes a lo largo de líneas dx/dt=λi en el
plano (x-t)
•No siempre es posible definir las ϕc Únicamente cuando
las matrices diagonalizadoras son constantes (subíndice o)
−1
•Cuando R=0, es decir, las variaciones respecto a (y,z) son
despreciables se obtiene:
−1
d ϕc = L d ϕ p + L R dt
MATRIZ DE AUTOVALORES (λi)
VARIABLES CARACTERÍSTICAS
∂ϕ c
∂ϕ c
+Λ
=0
∂t
∂x
(JMT)
ϕc = ⎡⎣ ρ − p / a02 , v, w, u + p / ρ 0 a0 , −u + p / ρ 0 a0 ⎤⎦
⎡
⎢
⎢
Λ = Λx = ⎢
⎢
⎢
⎢⎣
u
.
.
.
.
.
u
.
.
.
.
.
u
.
.
.
. ⎤
.
. ⎥⎥
.
. ⎥
⎥
(u + a )
. ⎥
.
(u − a ) ⎥⎦
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Ecuaciones de Euler en una dimensión
G
ρv
⎧ ρ ⎫
⎧
⎫ ⎧0 ⎫
∂ ⎪
⎪ ∂ ⎪ 2
⎪ ⎪ ⎪
ρ
u
+
ρ
u
+
p
⎨
⎬
⎨
⎬ = ⎨0 ⎬
∂t ⎪
∂x⎪ G
⎪
⎪ ⎪0 ⎪
ρ
E
ρ
v
H
⎩
⎭
⎩
⎭ ⎩ ⎭
en forma característica:
0
0 ⎤
⎧ w1 ⎫ ⎡u
⎧ w1 ⎫ ⎧0⎫
∂ ⎪ ⎪ ⎢
∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎥
0 ⎥
⎨ w2 ⎬ + ⎢ 0 u + c
⎨ w2 ⎬ = ⎨0⎬
∂t ⎪ ⎪
∂x⎪ ⎪ ⎪ ⎪
u − c ⎦⎥
0
⎩ w3 ⎭ ⎣⎢ 0
⎩ w3 ⎭ ⎩0⎭
(JMT)
Las variables
características
definidas son:
1
δp
c2
1
δ w2 = δ u +
δp
ρc
δ w1 = δρ −
δ w3 = δ u −
1
δp
ρc
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Esquema de direcciones características
(C
(Caso
unidimensional)
idi
i
l)
u-c
u-c
u
u+c
u
Nivel n+1
u+c
u
Nivel n
i=1
i=2
i=3
ENTRADA SUPERSÓNICA
(JMT)
i=m-1
i=m
SALIDA SUBSÓNICA
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Esquema de direcciones características
(C
(Caso
unidimensional)
idi
i
l)
u-c
u-c
u
u+c
u
u+c
Nivel n+1
u
Nivel n
i=1
i=2
ENTRADA SUBSÓNICA
(JMT)
i=3
i=m-1
i=m
SALIDA SUPERSÓNICA
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ASPECTOS NUMERICOS
•
•
•
•
(JMT)
Se denominan condiciones de contorno físicas a
q
ecuaciones ((valores)) q
que reemplazan
p
a las
aquellas
ecuaciones características de las ondas entrantes
Se denominan condiciones de contorno numéricas a la
p
correspondiente
p
a las
información adicional aportada
ondas que abandonan el dominio
El método numérico local aplicado en el contorno no
tiene que ser muy exigente para garantizar el orden de
aproximación interior
La estabilidad global tiene que ser garantizada pero se
preserva si la implementación de la condiciones de
contorno se realiza de forma próxima a las ecuaciones
características
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PROCEDIMIENTOS NUMERICOS
•
•
•
•
•
(JMT)
METODOS BASADOS EN LAS ECUACIONES CARACTERISTICAS: Se
especifican los valores de contorno como una ligadura para las ecuaciones
características que permite imponer una ecuación para las variables del calculo que
se debe discretizar con procedimientos similares a los empleados en el interior
METODOS NON-REFLECTING: Se ha realizado mucho esfuerzo en el tema de
implementar condiciones de contorno de este tipo. Surge también la evidencia de
que la imposición
q
p
de condiciones de contorno clásicas (p
(por ejemplo
j p la p
presión
estática en una salida subsónica) es incompatible con una condición tipo noreflexiva
METODOS ANALITICOS: Basados, normalmente, en la solución analítica (por
ejemplo, mediante series de Fourier) de expresiones asintóticas o linealizadas de
l ecuaciones
las
i
d
de E
Euler
l que se empalman
l
con lla solución
l ió numérica
é i en ell contorno
t
METODOS DE EXTRAPOLACION: Se trata de métodos prácticos y sencillos que
como no respetan exactamente la naturaleza de la información propagada pueden
dar lugar a inestabilidades o errores
METODOS HOMENTROPICOS: Suponiendo homentropia local se simplifican las
relaciones características permitiendo un tratamiento mas sencillo de los contornos,
prácticamente como en el caso unidimensional
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Aspectos prácticos: Celdas fantasma
DOMINIO
FLUIDO
•Los cálculos se realizan sobre las
celdas interiores de forma
transparente
•Las condiciones de contorno se
imponen restituyendo las variables
fluidas en las celdas fantasma
DOMINIO
EXTERIOR
(JMT)
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Condiciones de contorno
(Mexit = 1)
(JMT)
Condición de contorno
Condición de contorno
REFLEXIVA
NO-REFLEXIVA
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C.C. Presión Constante
C.C. Presión + Non-Reflecting
Contornos de presión estática (atm)
(JMT)
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Condiciones de contorno en Fluent
• GENERALES: pressure inlet, pressure outlet
• INCOMPRESIBLES: velocity inlet, outflow
• COMPRESIBLES: mass flow inlet
inlet, pressure
far-fild, mass flow outlet
• ESPECIALES: inlet, vent, outlet vent, inttake
fan, exhaust fan
• OTRAS: wall, symmetry axis, periodic
(JMT)
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