Los efectos de calendario desde una perspectiva frecuencial(1)

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 48, Núm. 161, 2006, págs. 135 a 174
Los efectos de calendario desde una
perspectiva frecuencial(1)
por
JUAN BÓGALO
y
ENRIQUE M. QUILIS
Instituto Nacional de Estadística
RESUMEN
En este trabajo se analizan las principales características de los
efectos de calendario (ciclo semanal, efecto de Pascua, efecto de laboralidad, etc.) desde una perspectiva espectral, con el fin de diseñar
procedimientos no paramétricos de detección y corrección. Estos procedimientos recurren a filtros lineales específicos, diseñados desde el
dominio de la frecuencia y pueden ser utilizados de manera conjunta
con métodos paramétricos (p.e., como herramienta de diagnóstico de
la desestacionalización) o de forma independiente.
Palabras clave: efectos de calendario, análisis espectral, ciclo semanal,
efecto de Pascua, efecto de laboralidad, estacionalidad, filtros lineales, filtros de Butterworth, filtros de corte, desestacionalización.
Clasificación AMS: 62M10, 62M15, 62P20
(1) Los autores agradecen las conversaciones mantenidas con Ana Abad, Alfredo Cristóbal, Rafael Frutos, Agustín Maravall, Francisco Melis y Silvia Relloso sobre diversos
aspectos de la modelización, detección y corrección de los efectos de calendario. Las
opiniones formuladas en este trabajo corresponden a los autores, sin que el INE coincida
de forma necesaria con ellas.
136
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
1. INTRODUCCION
Un elevado número de fenómenos económicos poseen una pauta sistemática
de recurrencia semanal, de forma que sus niveles oscilan dependiendo del día
particular de la semana que se considere. Los ejemplos son numerosos: ventas
del comercio minorista, producción industrial, consumo de energía, flujos de
importaciones y exportaciones, matriculaciones y otros registros administrativos,
ingresos tributarios, utilización de servicios telefónicos y telemáticos, etc. Estas
fluctuaciones, denominadas "ciclo semanal", pueden ser notables en términos
cuantitativos y presentar un carácter bastante estable aunque no necesariamente
determinista, véase Espasa y Cancelo (1996) y van Wijk y van Selow (1999) para
un análisis pormenorizado de series económicas diarias.
Por otra parte, la medición estadística de estos fenómenos se realiza con una
frecuencia menor (p.e., mensual o trimestral), mediante la agregación temporal(2)
de los datos diarios. De esta manera, el ciclo semanal ya no es directamente
observable, si bien sus efectos se aprecian de una manera indirecta a través del
solapamiento (aliasing) de estas oscilaciones con las propias de la frecuencia a la
que han sido agregadas, véase Cleveland y Devlin (1980) y Melis (1992) para un
tratamiento detallado del solapamiento.
Una peculiaridad de esta agregación temporal es que no es uniforme, de manera que los periodos de baja frecuencia (meses, trimestres, años) no siempre
tienen el mismo número de observaciones diarias. Este efecto se denomina
"duración" en el caso mensual y trimestral y "año bisiesto" en el anual y es una de
las características más llamativas del calendario gregoriano que se utiliza para
consignar el paso del tiempo.
Esta peculiaridad no es la única del calendario. En efecto, existe una correspondencia imperfecta entre dicho calendario y el lunar, que condiciona la celebración de determinadas efemérides, siendo el ejemplo más notable el de la Pascua,
cuyo efecto se registra de forma variable en los mismos meses o trimestres de
años distintos, debido a la variabilidad de su celebración (entre el 22 de marzo y el
25 de abril).
Asimismo, la correspondencia es también imperfecta entre las fechas del calendario y los días de la semana, ya que los años no comienzan siempre el mismo
día de la semana, resultado de que la duración de los años no es un múltiplo
exacto de la duración de las semanas. Este hecho da lugar a que algunas celebraciones no siempre tengan lugar el mismo día de la semana en los diversos
(2 ) Agregación temporal en un sentido amplio: suma, promedio o interpolación.
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
137
años, generando una práctica de traslación, sustitución y ampliación (total o
parcial) de días no laborables o festivos(3)
Todos estos efectos (ciclo semanal, duración, Pascua móvil, fiestas sustituibles) se denominan "efectos de calendario" ya que, pese a su naturaleza y relevancia dispar, deben su existencia, de manera directa o indirecta, a la estructura
específica de la unidad de medida temporal utilizada para cuantificar los procesos
económicos. Estos efectos pueden tener un impacto notable sobre las propiedades estadísticas de las series, por lo que las tareas de modelización, predicción y
extracción de señales (p.e., desestacionalización) han de tenerlos en cuenta de
una manera u otra.
Existen diversos enfoques para identificar y corregir estos efectos. Así, se ha
propuesto el uso de modelos de regresión con errores ARIMA como marco combinado de detección y corrección, véase Liu (1980, 1983), Hillmer (1982), Hillmer
et al. (1983), Bell y Hillmer (1983, 1984) y Salinas y Hillmer (1987), entre otros.
Los regresores empleados reflejan las consideraciones a priori que el analista
considera relevantes para describir los diversos fenómenos de calendario. Ishiguro y Akaike (1981), Kitagawa y Gersch (1984) y Dagum y Quenneville (1989)
representan los efectos de calendario como componentes inobservables dentro de
un planteamiento estructural en el espacio de los estados, realizando su estimación a través del filtro de Kalman. Alternativamente, Cleveland y Devlin (1980,
1983) emplean un enfoque espectral para la detección y métodos de regresión
robusta para la corrección. Finalmente, Souskup y Findley (1999, 2000) combinan
ambos enfoques en el marco de la desestacionalización.
En este trabajo se identifican los efectos de calendario mediante métodos espectrales, haciendo un uso relativamente intenso de filtros lineales diseñados
desde el dominio de la frecuencia tanto para extraer la señal relevante como para
corregir, si es menester, los efectos de calendario. Este enfoque, esencialmente
espectral y no paramétrico, puede ser utilizado como un análisis exploratorio de
naturaleza no paramétrica antes de realizar una modelización explícita, como
método de diagnóstico adicional en un proceso de extracción de señales, como
hacen Souskup-Findley, o de manera independiente, siguiendo el planteamiento
de Cleveland-Devlin.
La estructura del trabajo es la siguiente. En la segunda sección se examinan,
desde el dominio de la frecuencia, las propiedades de los diversos efectos de
calendario: ciclo semanal, duración, Pascua móvil, año bisiesto y fiestas sustituibles. Asimismo, se examina el concepto de laboralidad como forma de integrar
(3)
Este último fenómeno se conoce coloquialmente como "puente".
138
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
todos estos efectos. A continuación, en la tercera sección, se describe un procedimiento de detección basado, principalmente, en el análisis estadístico del espectro de la serie corregida de efectos tendenciales, estacionales y, eventualmente,
de observaciones atípicas. A continuación se expone la corrección de los efectos
de calendario que hayan sido detectados. Esta corrección recurre a filtros lineales
diseñados desde el dominio de la frecuencia y, en particular, del tipo Butterworth y
de eliminación selectiva (comb). La quinta sección detalla una aplicación de la
metodología a datos reales de la economía española y, la sexta, ofrece las princ ipales conclusiones.
2. EFECTOS DE CALENDARIO
En esta sección se exponen las principales características espectrales de los
efectos de calendario con el objeto de caracterizar sus propiedades desde una
perspectiva frecuencial. En particular, se analiza el ciclo semanal, la Pascua móvil,
los años bisiestos, las fiestas fijas pero sustituibles y, como combinación de todas
ellas, la laboralidad.
2.1
Ciclo Semanal
Un elevado número de series económicas observadas mensual o trimestralmente son el resultado de la agregación temporal de series diarias. A su vez,
éstas poseen una pauta de variación que está relacionada con efectos o características de cada uno de los siete días que componen la semana. Esta pauta
intrasemanal no es directamente observable debido a la frecuencia de muestreo
(mensual o trimestral) que genera las series observadas. No obstante, como se
demostrará a continuación, su efecto se manifiesta de una manera indirecta, a
través del solapamiento de la frecuencia de las oscilaciones de los datos diarios
con la frecuencia en que se ha producido la agregación temporal (mensual o
trimestral). La exposición que sigue toma como punto de partida el modelo desarrollado por Cleveland y Devlin (1980) para series mensuales, extendiéndolo al
caso trimestral.
Sea X(T) una serie diaria cuyo índice de tiempos T varía de forma continua. Se
asume que existe una oscilación C(T) de periodicidad semanal exacta,
C(T)=C(T+7), y cuya integral sobre un intervalo de 7 días es nula. En consecuencia, C(T) actúa como una pauta “estacional” si se identifica los días con los meses
y las semanas con los años. Además del factor oscilatorio C(T), se supone que
existe un efecto fijo B≥0 y un factor residual R(T) que incluye, de forma genérica,
todos los elementos presentes en la serie diaria no relacionados con el ciclo
semanal como, por ejemplo, la tendencia o las oscilaciones vinculadas con el ciclo
139
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
económico o con la estacionalidad. En consecuencia, el modelo para la serie
diaria es:
X( T) = B + C(T) + R(T)
[1]
Sea T0 el inicio del primer mes (trimestre) y sea Tt el tiempo, en días, acumulado al final del mes t. Entonces, la serie agregada mensual (trimestral) es:
x( t) =
Tt
Tt
Tt− 1
Tt −1
∫ X(T)dT = ∫ (B + C(T) + R(T))dT = b(t) + c(t) + r(t)
t = 1,2,...
[2]
Las series b(t), c(t) y r(t) son los agregados temporales de B, C(T) y R(T), respectivamente. Por tanto, el componente de calendario en x(t) inducido por el
proceso de agregación será b(t) + c(t), donde b(t) es proporcional al número de
días en el mes (trimestre) t.
Por otra parte, el número de días en un año no bisiesto (365) no es múltiplo
exacto de la duración de la semana (7), de forma que aparece una semana con un
día perteneciente a un año y los seis restantes a otro, lo que produce que los
meses comiencen cada año en una día de la semana diferente y consecutivo al
del año precedente. Por tanto, en principio, b(t)+c(t) posee un periodo de 7 años.
Esta periodicidad, sin embargo, se compone con la generada por la presencia de
los años bisiestos cada 4 años(4), de manera que el periodo completo de b(t)+c(t)
es de 28 años, esto es, 336 meses (112 trimestres). De este modo, el espectro de
b(t) + c(t) se concentra en las frecuencias 2πj/336, para j = 1, 2, … 168 en series
mensuales (2πj/112, para j = 1, 2, … 56 en series trimestrales). Sin embargo, dado
el elevado número de frecuencias vinculadas con el ciclo semanal es necesario
determinar cuáles son relevantes desde un punto de vista cuantitativo.
Teniendo en cuenta que B+C(T) es una función oscilatoria con periodo igual a
7 días, se puede escribir:
B + C( T) =
∞
∑γ
k =0
k
 kT

cos 2π
+ φk 
7


[3]
donde γk es la amplitud de la onda asociada con la frecuencia de k/7 ciclos/día y φk es
la fase. Entonces, para los efectos de calendario temporalmente agregados:
(4)
En el apartado 2.3.1 se analizan los efectos producidos por los años bisiestos.
140
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
b(t) + c(t) =
∞
∑ γ h (t)
[4]
k k
k =0
donde
hk (t) =
∫
Tt
Tt −1
 kT

cos 2π
+ φk dT .
7


[5]
Si se considera, como condición de normalización, que B+C(T) es simétrica
respecto a T=0, se obtiene que φk = 0. Este resultado no influye en el cálculo del
espectro de hk(t) pero sí lo simplifica.
De la ecuación [4], para k=0, se obtiene:
h0 ( t) = Tt − Tt−1 = D t
[6]
Por lo tanto, h0(t) es el número de días en el mes (trimestre) t, esto es, su duración (Dt).
Análogamente, de la ecuación [4], para k > 0, se obtiene:
hk (t) =
sin(w k Tt ) − sin(w k Tt−1)
,
wk
con w k =
2π k
.
7
[7]
El espectro de hk(t) se calcula para valores reducidos de k (k = 0, 1, 2) ya que
Cleveland y Devlin (1980) demuestran que la amplitud γk es insignificante para
valores mayores de k. El espectro de hk(t) para series agregadas mensuales y
trimestrales se muestran en los gráficos 1 y 2, respectivamente. Las series hk(t)
han sido generadas para el periodo comprendido entre 1901 y 2096: 196 años,
múltiplo exacto del periodo completo del ciclo semanal (28 años).
141
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Gráfico 1
ESPECTRO DEL CICLO SEMANAL PARA SERIES MENSUALES hK (t)
3,0
k=0
k=1
k=2
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
1
2
3
4
5
6
ciclos/año
Gráfico 2
ESPECTRO DEL CICLO SEMANAL PARA SERIES TRIMESTRALES hk (t)
k
2,0
k=0
k=1
k=2
1,5
1,0
0,5
0,0
0
0,5
1
ciclos/año
1,5
2
142
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Los valores del espectro de hk(t) mayores que 0.20, tanto para series agregadas mensuales, como trimestrales y anuales, se muestran en la tabla 1. Las
frecuencias correspondientes a esos valores del espectro son las frecuencias
críticas del ciclo semanal, siempre que no coincidan con una frecuencia estacional
ya que en ese caso aparece un problema de equivalencia observacional entre
ambos efectos.
Tabla 1
VALORES DEL ESPECTRO DEL CICLO SEMANAL hK (t) MAYORES QUE 0,20
Mensuales
Trimestrales
Frecuencia Espectro k
Anuales
Frecuencia Espectro k
Frecuencia Espectro k
0.5000
0.21
0
0.5000
1.02
0
0.3571
1.32
0.6964
2.65
1
0.5893
0.29
1
0.5000
0.25
0.8333
0.65
0
0.6786
0.22
2
0.7143
0.75
0.8631
0.47
1
1.0000
0.14
0
1.0000
0.25
1.0000
0.21
0
1
0
2
0
Las frecuencias más importantes aparecen en negrita y en cursiva las que coinciden con las
estacionales.
Las frecuencias se expresan como fracciones de π.
El efecto de calendario también puede present arse en las series anuales. En efecto, repitiendo el esquema seguido para las agregaciones mensuales y trimestrales de
datos diarios se obtiene el espectro de hk(t) que se presenta en el gráfico 3:
143
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Gráfico 3
ESPECTRO DEL CICLO SEMANAL PARA SERIES ANUALES hk (t)
k
2,0
k=0
k=1
k=2
1,5
1,0
0,5
0,0
0
0,25
0,5
ciclos/año
El gráfico 1 permite apreciar cómo, en las series mensuales, el ciclo semanal
básico (vinculado con una periodicidad de 7 días) se concentra en la frecuencias
0.6964π (0.3482 ciclos/mes) y, en menor medida, en 0.8631π (0.4316 ciclos/mes)
y apenas tiene repercusión sobre las frecuencias estacionales.
Cada frecuencia del espectro está asociada a un determinado número de ciclos por semana. El parámetro k indica ese número de ciclos por semana. Por
tanto, es esperable que para cada valor de k apareciera una única frecuencia
relevante como ocurre en los casos trimestral y anual. Sin embargo, sorprende el
hecho que, para el caso mensual, las dos frecuencias más relevantes estén
asociadas a k=1. La frecuencia asociada a k=2 más relevante, en el caso mensual, es 0.6071π con un valor del espectro igual a 0.16, inferior al valor correspondiente a la segunda frecuencia más relevante asociada a k=1.
Todo lo contrario ocurre en las series trimestrales, como se observa en el gráfico 2. Así, el ciclo semanal aparece fuertemente concentrado en las frecuencias
estacionales, sobre todo en la fundamental (4 trimestres), De menor relevancia
cuantitativa son los que se solapan con las frecuencias 0.5893π (0.2946 ciclos/trimestre) y 0.6786π (0.3393 ciclos/trimestre). Una conclusión importante es
que el caso de k=0, asociado a la duración del mes (trimestre), tiene exclusivamente una influencia estacional.
144
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Respecto a las series anuales (gráfico 3), las frecuencias más importantes son
0.3571π (0.1786 ciclos/año) y 0.7143π (0.3571 ciclos/año) y no, como podría
pensarse a priori, la asociada al año bisiesto de 0.25 ciclos/año.
Se han deducido las frecuencias del ciclo semanal generando una serie hk(t)
para datos mensuales, trimestrales y anuales siguiendo el método que Cleveland
y Devlin (1980) utilizan sólo para datos mensuales. Sin embargo, dichos autores
deducen las frecuencias del ciclo semanal para datos anuales mediante agregación temporal de la serie hk(t) mensual. Su método consiste en generar 11 subseries mensuales (3 subseries trimestrales) tal y como se describe a continuación.
Sea hkm(s) la serie anual correspondiente a la subserie del mes (trimestre) m
de hk(t) tal que:
hkm(s) = hk (γ(s − 1) + m)
[8]
con m = 1, 3, … 12 (m = 1, 3, 4 para trimestres) y γ=12 (caso mensual) ó γ=4
(caso trimestral). Para un valor de k dado, se forman las 11 (3) subseries hkm(s) a
partir de hk(t), se calculan sus correspondientes espectros y se promedian.
En los cálculos anteriores, se excluye el mes de febrero porque este mes tiene
un número exacto de ciclos semanales (4), excepto en los años bisiestos. Por la
misma razón, en el caso trimestral, se excluye el segundo periodo, sin la excepción del año bisiesto, de tal forma que los espectros de estas subseries no aportan
información alguna sobre el fenómeno objeto de estudio.
El espectro medio de las subseries mensuales y trimestrales se ha representado en los gráficos 4 y 5, respectivamente. En ambos se observa que las frecuencias importantes de calendario son las mismas que las representadas en el gráfico
3 si bien con diferente intensidad. Como se verá más adelante, tanto el método
como sus resultados van a ser de gran ayuda a la hora de determinar si el efecto
del ciclo semanal en una serie dada es significativo o no.
145
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Gráfico 4
ESPECTRO MEDIO DE LAS SERIES ANUALES hKm(s), DE SUBSERIES
MENSUALES
4,0
k=1
k=2
3,0
2,0
1,0
0,0
0
0,25
0,5
ciclos/año
Gráfico 5
ESPECTRO MEDIO DE LAS SERIES ANUALES hKm( s), DE SUBSERIES
TRIMESTRALES
k
1,0
k=1
k=2
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
0,25
ciclos/año
0,5
146
2.2
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Pascua
En diversas culturas existen unas festividades, usualmente de naturaleza religiosa, cuya ubicación en el calendario gregoriano no es fija, esencialmente porque
están ligadas total o parcialmente al calendario lunar. Tal es el caso del Año
Nuevo chino, de la Pascua judía, del Ramadán musulmán o de la Pascua cristiana. Estas celebraciones pueden tener un impacto importante sobre diversos
aspectos de la actividad económica porque abarcan varios días anteriores a la
efemérides principal. Sin pérdida de generalidad, se centrará la exposición en la
Pascua cristiana, en adelante simplemente “Pascua”.
La Pascua, o domingo de Resurrección, es una fiesta móvil ya que, según el
concilio de Nicea del año 325, debe ser el primer domingo siguiente a la primera
luna llena posterior al equinoccio de primavera. Por tanto, la Pascua siempre cae
en domingo y en una fecha comprendida entre el 22 de marzo y el 25 de abril.
Para analizar las propiedades espectrales del efecto de Pascua se genera una
serie artificial, Pt(τ), definida como el porcentaje de los τ días anteriores al domingo de Pascua que corresponden al mes (trimestre) t. De esta forma, Pt(τ), tomará
un valor distinto de cero en los meses de marzo y/o abril (primer y/o segundo
trimestres) y nulo en los restantes. Los valores más usuales de τ son 3, 6 y 9.
Según el calendario lunar la Pascua es un fenómeno estacional pero, al ajustarse al calendario gregoriano, pierde parte de esa estacionalidad y aparecen en
el espectro otras frecuencias relevantes, véase Stewart (2001). Además, con las
reglas del calendario gregoriano, el ciclo de fechas de la Pascua tiene un periodo
de casi seis millones de años sufriendo, debido a la evolución astronómica, revisiones (la última efectuada en el año 1900 y la próxima se prevé para el 2200).
Por todo ello, la serie Pt(τ) se ha generado para un elevado número de años:
desde 1901 hasta 2096 (196 años), de forma que tiene la misma longitud que las
series del ciclo semanal antes estudiadas y recoge el efecto de Pascua contemporáneo a nuestras series económicas.
En el gráfico 6 se ha representado el espectro de la serie Pt(τ) con τ = 6 para
el caso trimestral. Se aprecia cómo el efecto de Pascua tiene un acusado carácter
estacional y que también se manifiesta en otras frecuencias, principalmente de
tipo irregular.
147
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Gráfico 6
ESPECTRO SERIE Pt (6) TRIMESTRAL
10
8
6
4
2
0
0
1
2
ciclos/año
Con el fin de diseñar procedimientos de detección y corrección del efecto de
Pascua que no interfieran con otras señales (tendencia, estacionalidad) conviene
eliminar los elementos tendenciales y, sobre todo, estacionales del efecto de
Pascua. Con el fin de aislar los elementos no vinculados con la estacionalidad (ni
con la tendencia), se aplica el filtro (1-Bs), con s=4 ó 12, de manera que se resaltan las señales no estacionales (no tendenciales), que son el objeto principal del
estudio. El filtro (1-Bs) posee una función de ganancia con ceros en las frecuencias estacionales y tendencial, de manera que satisface el requisito de extracción
antes señalado. Además de su sencillez su función de ganancia otorga un tratamiento homogéneo a las frecuencias no estacionales, cosa que no ocurre, p.e.,
con el filtro de agregación móvil U(B)=1+B+…+B s-1.
La serie P t(τ) se extiende hasta 2097 para conservar el mismo número de años
después de diferenciarla. A continuación, se calcula el espectro de la serie Pt(τ)
para los valores de τ=3, 6 y 9 y se representan los resultados en los gráficos 7
(caso mensual) y 8 (caso trimestral).
148
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
s
Gráfico 7: Espectro de (1-B )Pt(tau) mensual, s=12.
Tau = 3
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
ciclos/año
4
5
6
4
5
6
4
5
6
Tau = 6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
ciclos/año
Tau = 9
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
ciclos/año
Del examen del gráfico 7 se deduce la existencia de dos frecuencias para el
efecto de Pascua intercaladas entre las estacionales, de forma que aparecen diez
frecuencias fundamentales para el caso mensual.
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
149
Gráfico 8: Espectro de (1-Bs )Pt(tau) trimestral, s=4.
Tau = 3
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
ciclos/año
Tau = 6
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
ciclos/año
Tau = 9
12
10
8
6
4
2
0
0
1
ciclos/año
2
150
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Para el caso trimestral, tal y como se aprecia en el gráfico 8, las frecuencias
fundamentales del efecto de Pascua están intercaladas entre las dos frecuencias
estacionales, de forma similar al caso mensual. También se puede observar que
el efecto de Pascua tiene mayor intensidad en las series trimestrales que en las
mensuales.
En el caso anual Pt(τ)=1, por lo que carece de sentido su análisis espectral.
Por tanto, se emplea el método de las subseries anuales, tal y como se utilizó con
el ciclo semanal, para calcular el espectro de Pt(τ) sólo para las subseries correspondientes a marzo y abril (primer y segundo trimestre), ya que el resto de periodos no aportan información por ser inmunes al efecto de Pascua. Como se verá
más adelante, este procedimiento se mostrará muy útil para detectar la presencia
del efecto de Pascua en una serie dada.
El espectro medio de las subseries anuales, con τ = 6, se puede observar en
el gráfico 9. Este gráfico es válido tanto para el caso mensual como para el trimestral, ya que las subseries del primer y segundo trimestre son, respectivamente,
idénticas a las de marzo y abril. Del análisis de este gráfico se desprende que
para las subseries anuales aparece una única frecuencia fundamental que coinc ide prácticamente con la segunda frecuencia del ciclo semanal.
Gráfico 9
ESPECTRO MEDIO DE LAS SUBSERIES ANUALES DE P t(6)
5
4
3
2
1
0
0
0,25
ciclos/año
0,5
151
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Con el fin de sintetizar los principales resultados, en la tabla 2 se recogen todas las frecuencias fundamentales del efecto de Pascua.
Tabla 2
FRECUENCIAS FUNDAMENTALES DEL EFECTO DE PASCUA
Mensuales
Frecuencia
Espectro
Trimestrales
Frecuencia
Espectro
0.2279
0.4964
0.6837
9.3740
0.2721
0.6948
0.8163
11.1484
0.3946
1.3642
0.4388
1.6353
0.5612
2.4082
0.6054
2.6793
0.7279
3.3487
0.7721
3.5471
0.8946
3.9336
0.9388
4.0062
Subseries Anuales
Frecuencia
0.7347
Espectro
3.5597
El valor del espectro correspondiente se ha calculado con τ = 6.
2.3
Otros efectos
Los efectos de calendario abarcan otras situaciones que pueden tener incidencia sobre las series económicas, bien porque modifican el intervalo de medida,
bien porque el impacto se distribuye de forma variable.
2.3.1
Año bisiesto
La duración del año solar es, aproximadamente, 365.24 días. Debido a que en
el calendario no se utilizan fracciones de días, cada cuatro años (omitiendo los
años que sean múltiplos de 100 pero no de 400) se añade al mes de febrero un
día más para compensar el desfase con el año solar. El año en que se realiza este
ajuste se denomina bisiesto. Para analizar el efecto del año bisiesto desde una
perspectiva espectral se genera la siguiente variable mensual:
1 si t = febrero con 29 días
Bt = 
0 resto
[9]
152
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Si se extiende dicha variable durante un periodo de 28 años, la serie mensual
obtenida da lugar a un espectro como el que aparece en el gráfico 10.
Gráfico 10
ESPECTRO DEL EFECTO DEL AÑO BISIESTO
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
4
5
6
ciclos/año
Se aprecia, en primer lugar, la débil magnitud de la señal asociada a [9], especialmente si se la compara con la del ciclo semanal o la de la Pascua móvil. En
segundo lugar, el efecto del año bisiesto está asociado a una pluralidad de frecuencias, distribuidas de forma bastante uniforme. De esta manera, su impacto se
reparte entre la tendencia, la estacionalidad y la irregularidad.
2.3.2
Fiestas fijas eventualmente sustituibles
En España el calendario de días no laborables es fijado de forma administrativa, interviniendo en el mismo todos los niveles de las Administraciones Públicas:
nacional, regional y municipal. De esta manera, el calendario laboral es el resultado de una compleja superposición de tres calendarios básicos. En todos ellos
figura de manera preeminente una serie de fechas que se consideran festivas de
forma fija pero que, si caen en domingo, son susceptibles de sustitución bien
porque se celebren el lunes siguiente bien porque se traslade el carácter de
festivo a otra efemérides. El primer tipo de traslado es un efecto esencialmente
estacional mientras que el segundo guarda, al menos teóricamente, una cierta
semejanza con la Pascua móvil.
153
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Con el fin de centrar el análisis, se va a considerar un caso concreto. Se trata
de la festividad, propia del municipio de Madrid, de la Virgen de la Almudena, que
se celebra el día 9 de noviembre. Si ese día cae en domingo, se declara no
laborable el 9 de septiembre, festividad de Santa María de la Cabeza. De esta
manera, se define la siguiente variable mensual:
Ft = A t + C t
1 si t = noviembre y el día 9 es domingo
con A t = 
[10]
0 resto
1 si t = septiembre y el día 9 de noviembre no es domingo
y con C t = 
0 resto
Si se genera dicha variable durante un periodo de 28 años, la serie mensual
obtenida da lugar a un espectro como el que aparece en el gráfico 11. Se puede
apreciar cómo el efecto sobre el espectro de una fiesta fija con sustitución eventual es marcadamente estacional, poseyendo las restantes frecuencias una señal
virtualmente inapreciable.
Gráfico 11
ESPECTRO DEL EFECTO DE UNA FIESTA FIJA
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
ciclos/añ
o
4
5
6
154
2.4
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Combinación de los efectos de calendario: efecto de laboralidad
Los efectos de calendario pueden afectar a los niveles de un gran número de
series económicas debido al impacto que ejercen sobre la aplicación de los factores productivos al proceso de generación del output . Por esta razón, se considera
la posibilidad de recoger este impacto mediante una única variable, llamada
"laboralidad", que se define como el número de días no festivos existentes en un
período dado (mes o trimestre). La construcción de esta variable requiere la
disponibilidad previa de un calendario laboral relevante, lo que puede ser difícil en
ciertos casos. Asumiendo que dicho calendario está disponible, la mencionada
variable puede calcularse mediante la siguientes expresiones:
Ft = α1D 6, t + D 7,t + FFt + FS t + α 2FPt
0 ≤ α1 ≤ 1 0 ≤ α 2 ≤ 1,
[11]
siendo D6,t y D7,t el número de sábados y domingos; FFt, FSt y FP t son, respectivamente, las fiestas fijas, sustituibles y parciales ("puentes"), todo ello referido al
periodo t (mes o trimestre). Los sábados pueden ser considerados de forma
íntegra (α1=1), parcial (0<α1<1) o nula (α1=0). Lo mismo ocurre con los "puentes".
En consecuencia, el número de días laborables (Lt) queda definido como la diferencia entre la duración del mes correspondiente (Dt) y el número de días festivos (Ft):
L t (α1 , α2 ) = D t − Ft .
[12]
Naturalmente, la determinación de los valores apropiados para α1 y α2 requiere
la combinación de consideraciones estadísticas y de información a priori por parte
del analista acerca de la variable objeto de análisis, en la misma línea que la
elección del calendario laboral adecuado. Asimismo, debe resaltarse que el efecto
de la Pascua móvil está repartido entre D7,t (domingos) y FFt (fiestas fijas) y que,
adicionalmente, el efecto de laboralidad así definido engloba el impacto de los
años bisiestos a través de Dt y, eventualmente, de D7,t.
Con el fin de conocer, en la práctica, qué efectos recoge la variable Lt hay que
calcular su espectro. Para ello, se ha calculado según el calendario laboral de la
Comunidad de Madrid, excluyendo cualquier fiesta local así como los sábados y
fiestas parciales (α1=α2=0), desde el año 1991 hasta 2004. Asumiendo que los
criterios seguidos en ese intervalo se mantienen fijos, se extiende hasta el año
2018, de forma que abarca un periodo de 28 años para recoger tanto el ciclo
semanal de 7 días como el del año bisiesto de 4 años. El espectro de esta serie
se muestra en el gráfico 12.
155
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Gráfico 12
Espectro
efectoLABORALIDAD,
laboralidad, L Lt .
ESPECTRO
DELdel
EFECTO
t
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
ciclos/año
De la observación del gráfico 12 se extraen algunas conclusiones. En primer
lugar, el efecto de laboralidad es de naturaleza esencialmente estacional. En
segundo lugar, está bastante identificado con el ciclo semanal aunque no de
manera predominante. Finalmente, no recoge satisfactoriamente el efecto de
Pascua ya que el espectro en sus frecuencias críticas no es significativo (véase el
gráfico 7 y la tabla 2). A modo de resumen, en la tabla 3 se presentan las diez
frecuencias más significativas del efecto laboralidad.
Tabla 3
FRECUENCIAS MAS SIGNIFICATIVAS DEL EFECTO LABORALIDAD
Frecuencia
Espectro
Observaciones
0.1667
0.3333
17.7968
1.6399
Frecuencia estacional
Frecuencia estacional
0.4405
0.5000
0.9497
3.6151
Frecuencia crítica del efecto de Pascua
Frecuencia estacional
0.6667
1.7592
Frecuencia estacional
0.6964
0.8036
7.1938
1.2466
Primera frecuencia crítica del ciclo sem anal
Frecuencia marginal del ciclo semanal
0.8333
1.1881
Frecuencia estacional
0.8631
1.0000
0.6675
2.0633
Segunda frecuencia crítica del ciclo sem anal
Frecuencia estacional
156
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
La interpretación de los parámetros α1 y α2 depende de las características específicas de la serie objeto de análisis. Así, por ejemplo, para una empresa concreta el parámetro α1 depende del tipo de actividad económica, de las características del sector y α2 es función de la gestión interna de la empresa. Introducir
valores no nulos para ambos parámetros supone, en la práctica, establecer a
priori un ciclo semanal de forma artificial, por lo que es la señal asociada al ciclo
semanal es más potente y su naturaleza estacional no varía significativamente,
como se aprecia en la siguiente tabla:
Tabla 4
ESPECTRO DEL EFECTO LABORALIDAD ASOCIADO A DETERMINADAS
FRECUENCIAS
Frecuencias
α2 = 0
α1 = 1
α1 = 0 α1 = ½ α1 = 1
α2 = ?
α2 = ½ α2 = 1
Estacionalidad fundamental (π/6)
17.80
15.67
13.72
15.90
17.11
21.26
Ciclo Semanal (0.6964π)
7.19
12.15
19.65
19.13
18.88
18.22
3. DETECCIÓN
En esta sección se analiza cómo detectar, desde una perspectiva espectral, la
presencia de efectos de calendario en series económicas de frecuencia mensual o
trimestral. La exposición se centrará, sin pérdida de generalidad, en los efectos
vinculados con el ciclo semanal y la Pascua móvil.
El proceso de detección consta de cinco etapas principales: determinación de
las frecuencias críticas, extracción de la señal relevante mediante filtros lineales,
corrección eventual de atípicos, estimación del espectro y criterio de detección. A
continuación se expone cada una de estas fases.
3.1
Determinación de las frecuencias críticas
En la sección anterior se analizaron las características espectrales de los diversos efectos de calendario. De esta manera se ha obtenido, entre otras cosas,
una relación de las frecuencias más relevantes vinculadas con los citados efectos,
véanse las tablas 1 y 2.
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
157
Como ya se ha comentado, el objetivo consiste en estimar y corregir una serie
de los efectos de calendario sin afectar a sus señales estructurales: tendencia y
estacionalidad. Dado que algunas de las frecuencias críticas coinciden con las
que están asociadas a la estacionalidad, la relación de las mismas es la que se
ofrece en la tabla siguiente:
Tabla 5
FRECUENCIAS CRÍTICAS DE LOS EFECTOS DE CALENDARIO
Mensuales
Trimestrales
Frecuencia
Tipo
Frecuencia
Tipo
0.2279
Pascua
0.5893
Ciclo semanal
0.2721
Pascua
0.6786
Ciclo semanal
0.3946
Pascua
0.6837
Pascua
0.4388
Pascua
0.8163
Pascua
0.5612
Pascua
0.6054
Pascua
0.6964
Ciclo semanal
0.7279
Pascua
0.7721
Pascua
0.8631
Ciclo semanal
0.8946
Pascua
0.9388
Pascua
En adelante, designaremos como w*=(w1,w2,...,wk) al vector de frecuencias críticas vinculadas con los efectos de calendario de una serie mensual (k=12) o
trimestral (k=4).
3.2
Extracción de la señal relevante
Una de las características más usuales de las series temporales económicas
es la presencia de una importante señal tendencial y/o estacional. Estas señales,
habitualmente no estacionarias, dominan la variabilidad total de la serie, de manera que otros efectos, como los de calendario, resultan difíciles de detectar. Por lo
tanto, resulta fundamental disponer de una serie purgada de dichas señales con el
fin de diseñar procedimientos adecuados de detección.
158
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Este proceso de filtrado se puede efectuar de manera paramétrica o no paramétrica. En el primer caso, se identifica, estima y diagnostica un modelo y se
diseñan los filtros lineales de manera compatible con dicho modelo. Este es, por
ejemplo, el enfoque propuesto, entre otros, por Burman (1980), Hillmer et al.
(1983) y Maravall (1987) e implementado en los programas TRAMO y SEATS
(Gómez y Maravall, 1996).
El enfoque no paramétrico consiste en diseñar filtros lineales que gocen de
unas adecuadas propiedades espectrales, sin emplear un modelo explícito para
caracterizar al proceso generador de los datos observados. A continuación se
expone el segundo enfoque, posiblemente menos conocido.
Una forma relativamente sencilla de aplicar la opción no paramétrica consiste
en combinar un filtro de paso alto con uno de eliminación selectiva, también
llamado "en peine" (comb ). Formalmente:
z t = HH (B, F) H C (B, F) x t
[13]
siendo xt la serie observada. HH(B,F) y HC(B,F) son, respectivamente, filtros
simétricos de paso alto y de eliminación selectiva. El primero puede ser uno del
tipo Butterworth, véase Oppenheim y Schaffer (1989) y Gómez (1998a) para una
exposición de este tipo de filtros.
HH (B, F) =
(1 − B) d (1 − F)d
,
(1 − B) (1 − F)d + λ(1 + B)d (1 + F)d
d
[14]
siendo F = B -1 y λ un parámetro asociado a la frecuencia de potencia mitad (wc) y
al grado del filtro (d), según:

 π − w c 
λ =  tan2d 

 2 

−1
.
[15]
El diseño específico que se ha realizado para este filtro se detalla en la siguiente tabla:
159
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Tabla 6
CARACTERÍSTICAS DEL FILTRO BUTTERWORTH DE PASO ALTO
Parámetros
Mensual
Trimestral
Banda de paso
[ π/5 , π ]
[ 3π/5 , π ]
Banda de rechazo
[ 0 , π/7 ]
[ 0 , 3 π/7 ]
Potencia mitad
0.1780π
0.5324π
10
7
Orden
La fijación de las bandas de paso y de rechazo determina los parámetros críticos del filtro wc y d, véase Oppenheim y Schaffer (1989). La función de ganancia
correspondiente al caso mensual se aprecia en el siguiente gráfico:
Gráfico 13
FILTRO BUTTERWORTH DE PASO ALTO MENSUAL
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
ciclos/año
Estos filtros se aplican sobre la serie extrapolada en sus extremos mediante un
modelo ARIMA ident ificado y estimado mediante el programa TRAMO.
160
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
El segundo filtro puede ser un filtro de paso en peine desestacionalizador, véase Gómez (1998b) y Melis (2003)(5). Estos filtros se caracterizan por una función
de ganancia con ceros o cortes (notches ) en las frecuencias estacionales
ws=2kπ/s, k=1,2, … ,s/2, y s=4 ó 12 según la periodicidad trimestral o mensual de
la serie. Su expresión general es:
Hc (B, F) = H c (B)Hc (F)
[16]
Hc (B) =
δ(1 + B + Λ + B
s−1
)
(1 + aB + Λ + as −1Bs −1)
,
siendo δ=(1+a+…+as-1)/s. El parámetro a (0<a<1) modula la amplitud de la función
de ganancia en torno a las frecuencias estacionales.
En el siguiente gráfico se considera el caso mensual con a=0.98.
Gráfico 14
FILTRO PEINE DESESTACIONALIZADOR MENSUAL
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
ciclos/año
La combinación de ambos filtros elimina la información contenida tanto en la
tendencia como en la estacionalidad, lo que permite estimar conjuntamente la
(5) También se puede emplear el diferenciador estacional estacional (1−Bs ), con s=4 ó
12 según la frecuencia de la serie.
161
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
señal irregular y los efectos de calendario. Este resultado final se aprecia en el
correspondiente gráfico de su función de ganancia:
Gráfico 15
FILTRO MENSUAL ESTIMADOR DE LA IRREGULARIDAD
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
ciclos/año
3.3 Corrección de atípicos
Las observaciones atípicas pueden distorsionar tanto la detección como la
eventual corrección de los efectos de calendario. Dentro del enfoque paramétrico
antes mencionado, se puede realizar la corrección mediante el enfoque de detección-corrección secuencial de Chang et al. (1988) y Chen y Liu (1993), tal y como
es aplicado en el programa TRAMO, véase Gómez y Maravall (1998).
Por otra parte, dentro del enfoque no paramétrico, se puede seguir la propuesta de Cleveland y Devlin (1980) que tiene la ventaja de que controla el efecto del
ciclo semanal de forma explícita en el proceso de detección de atípicos y, a
continuación, combinarlo con el uso de estimadores robustos para realizar la
corrección final.
El procedimiento consiste en agrupar las observaciones zt en ocho grupos, los
siete primeros formados por las observaciones dependiendo del día de la semana
en que comience cada periodo t y el octavo agrupará las observaciones correspondientes al mes de febrero o al segundo trimestre. La serie z t es la irregularidad
162
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
estimada mediante los procedimientos no paramétricos antes descritos siendo,
por tanto, estacionarios cada uno de los ocho grupos.
Para estas series z t,g , con g=1..8, se determinan cuáles se encuentran fuera de
un determinado intervalo y se realiza una corrección proporcional para ellas. Dicho
intervalo debe ser robusto frente a las observaciones atípicas por lo que una
posibilidad es emplear, como medida de posición, la media recortada(6) (µr) y,
como medida de dispersión, el valor mediano de las desviaciones respecto a la
mediana en valor absoluto (σr)(7), véase García (2000) para una exposición de
estos estimadores robustos. Si la observación se encuentra fuera del intervalo [µr
±τσr], donde τ es un parámetro que determina la amplitud del intervalo de corrección(8), se le aplica un factor de ajuste dependiente del cociente σr/σ, siendo σ la
desviación típica. Formalmente, el criterio de corrección es:
z co
t, g
 z t,g ↔ µ r − τσ r ≤ z t, g ≤ µ r + τσr

=  σr
en los demás casos
 z t, g
σ
[17]
3.4 Criterios de detección
Una vez que se dispone de una serie apropiada para la detección de los efectos de calendario, es necesario calcular el espectro correspondiente. La primera
opción, emplear el periodograma, tiene la ventaja de su sencillez y el inconveniente de su erraticidad y falta de consistencia, véase Otnes y Enochson (1972). Por
ello, siguiendo a Souskup y Findley (1999, 2000), se recomienda el uso adicional
de un estimador consistente del espectro. En este trabajo, se ha optado por el
estimador de Yule-Walker, véase Parzen (1964). Dicho estimador deriva el
espectro a partir de la función de ganancia de un modelo autorregresivo de orden
elevado, y aquí se considera p=42 para el caso mensual y p=14 para el trimestral,
de forma que sean divisores de 336 meses o 112 trimestres(9). La elección de
estos valores se basa en Souskup y Findley (1999). Se calcula el espectro en 168
frecuencias equidistantes en el intervalo (0, π] y en 14 frecuencias para las subseries anuales asociadas a los meses y trimestres correspondientes.
(6)
Usualmente se aplica una censura del 10% en cada cola.
(7) Adicionalmente, este estimador es estandarizado dividiéndolo por el percentil 75 de
la distribución N(0,1).
(8) Habitualmente, τ=3.
(9)
Esto es, ciclos completos de 28 años.
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
163
Básicamente, existen tres formas complementarias de determinar la presencia
de efectos de calendario a partir del espectro de la señal relevante (eventualmente
corregida de atípicos):
a) Examen visual de los gráficos correspondientes: especialmente útil en el caso
de análisis detallado de series económicas.
b) Determinación de un umbral para el espectro (p.e. el percentil 90 ó 95) de
manera que, si el espectro en las frecuencias críticas lo sobrepasa, se considera
significativa la presencia del correspondiente efecto de calendario. Este procedimiento es aconsejable para el procesamiento automático de series. Para el efecto
de Pascua se puede considerar que está presente si al menos una de sus frecuencias críticas es significativa.
c) El método de los espectros promedio de las subseries anuales que, como ya se
ha expuesto, consiste en promediar los espectros de las subseries anuales as ociadas a los meses (trimestres) excluyendo febrero (segundo trimestre), véanse
los gráficos 4 y 5 para el ciclo semanal y el gráfico 9 para el de Pascua.
La combinación de los tres procedimientos reduce sustancialmente los riesgos
de sobredetección o subdetección. Un punto importante, especialmente en el caso
del tratamiento automático de grandes conjuntos de series temporales, es la
determinación más apropiada de los umbrales, con el fin de minimizar los riesgos
contrapuestos asociados tanto a las falsas señales (identificación de efectos de
calendario inexistentes) como a la subdetección (ignorar efectos de calendario
efectivamente presentes). Este aspecto queda fuera del ámbito de este trabajo
pero, a tenor de lo expuesto en Souskup y Findley (1999, 2000), la estrategia más
prometedora puede residir en un calibrado mediante simulación, de tipo bootstrap
o Monte Carlo.
4. CORRECCIÓN
Una vez detectada la presencia de un efecto de calendario, éste se corrige
aplicando a la serie observada un filtro de corte (notch), diseñado de forma que
elimina la información vinculada con la frecuencia de interés. Si el efecto que se
desea eliminar está definido sobre varias frecuencias, se aplican en cascada filtros
de corte que anulan las frecuencias correspondientes.
Este tipo de filtros se emplea para eliminar de forma selectiva la información
contenida en un conjunto de frecuencias específicas, dejando inalteradas todas
las demás, véase Gómez (1998b) y Melis (2003) para una exposición de estos
filtros.
164
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
En particular, se va a utilizar un filtro simétrico cuya expresión es:
H(B, F; c , w n ) = H(B; c , w n ) ⋅ H(F; c , w n )
[18]
siendo B el operador de desfase, tal que Bzt=z t-1 y F=B -1 define al operador de
adelanto. Los componentes parciales del filtro anterior son dos operadores ARMA(2,2) de la forma:
H(B; c , w n ) =
1 − 2 ⋅ c ⋅ cos(w n ) + c 2
1 − 2 ⋅ cos(w n ) ⋅ B + B2
⋅
2 − 2 ⋅ cos(w n )
1 − 2 ⋅ c ⋅ cos(w n ) ⋅ B + c 2 ⋅ B2
[19]
siendo c un coeficiente próximo a la unidad que controla la apertura de la función
de ganancia en torno a la frecuencia de corte wn. Se trata de un filtro cuya función
de ganancia está superiormente acotada en todo el dominio de definición: 0 ≤ g( w) ≤ 1, ∀w ∈ [0, π] y posee ganancia unitaria en la frecuencia cero, de
manera que preserva los niveles de la serie de entrada (input ): g(0) = 1 .
En el siguiente gráfico se aprecia cómo, a medida que c tiende a uno, la función de ganancia del filtro [19] se va cerrando, haciendo más selectiva la eliminación de la información contenida en la frecuencia objetivo wn.
Gráfico 16
FILTRO CORTE PARA DIFERENTES VALORES DE c
1,0
0,8
0,6
0,4
0,85
0,90
0,96
0,98
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
w / pi
La elección apropiada del valor de c depende de la estabilidad del componente
asociado a wn, de manera que cuanto más estable es, más apropiado resulta un
165
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
valor elevado para c. Como esta estabilidad es un rasgo inobservable, la elección
debe basarse en consideraciones a priori y en un conocimiento específico de las
características de la serie. La experiencia práctica con estos filtros sugiere como
valores apropiados 0.96 ó 0.98.
Si el fenómeno que se desea eliminar está definido en varias frecuencias
w*=(w1,w2,...,wk), la corrección se efectúa aplicando en cascada el filtro de corte
para cada una de ellas:
H(B, F; c , w * ) =
k
∏ H(B; c, w ) ⋅ H(F; c, w )
i
[20]
i
i=1
De esta manera, la serie corregida es:

zct = H(B, F; c, w *)x t = 



k
∏ H(B; c, w ) ⋅ H(F; c, w ) x
i
i
t
[21]
i=1
Un esquema de corrección alternativo, de carácter paramétrico, consiste en
aplicar el enfoque basado en modelos de regresión con errores ARIMA. Para el
efecto del ciclo semanal se considerarían como regresores las variables antes
definidas hk(t), con k=1, 2 y 3, con el fin de asegurar la representación completa
de dicho ciclo en todas sus frecuencias de solapamiento, véase McNulty y
Huffman (1989). Para el efecto de Pascua se consideraría como regresor la
variable (1-Bs)P t(τ), que carece de estacionalidad.
5. APLICACIÓN
Con el fin de ilustrar los procedimientos expuestos en las secciones anteriores,
se va a analizar una serie susceptible de poseer tanto el efecto del ciclo semanal
como el de Pascua. En particular, se considera la serie mensual del consumo de
gasolina para automoción, en el intervalo 1976:01-2003:12. Esta serie es un
indicador de actividad económica vinculado, entre otros factores, con las pautas
de consumo de los hogares (transporte diario, salidas de fin de semana, vacaciones, etc.) por lo que sus niveles pueden recoger algunos de los efectos de calendario examinados en este trabajo.
Para estimar su componente irregular, se le aplican los filtros de paso bajo y
de eliminación selectiva en peine (comb ) descritos anteriormente. El filtro en peine
se utiliza con a=0.96, debido a la fuerte estacionalidad evolutiva que posee la
serie. La estimación de su espectro se realiza mediante el procedimiento de Yule-
166
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Walker y es la que aparece en el gráfico 17-1. En este gráfico se indican con 2
líneas verticales oscuras las frecuencias críticas del efecto del ciclo semanal y,
con 10 líneas claras, las del efecto de Pascua.
Examinado el gráfico 17-1 para el efecto del ciclo semanal, se observa que la
primera frecuencia de este efecto es la que más destaca, tomando un valor
(0.0030) mayor que el percentil 99 (0.0020). Asimismo, el espectro presenta un
pico en su segunda frecuencia crítica y su valor (0.000606) es mayor que el
percentil 90 (0.000456) y muy similar al percentil 95 (0.000608). Por todo ello, se
puede concluir que el efecto del ciclo semanal es muy significativo en el consumo
de gasolina.
Para el efecto de Pascua se aprecia que las frecuencias tercera, cuarta, quinta, sexta, novena y décima presentan sendos picos con unos valores del espectro
(0.0006, 0.0011, 0.0019, 0.0012, 0.0005 y 0.0010, respectivamente) mayores que
el percentil 90 y para las frecuencias quinta, sexta y décima superiores al percentil
95. En consecuencia, este efecto también es bastante significativo en el consumo
de gasolina.
Los resultados anteriores son confirmados por el espectro medio de las subseries mensuales que aparece en el gráfico 17-2. Comparándolo con los gráficos 4 y
9 se observa cómo aparecen dos picos muy significativos en las frecuencias
correspondientes al efecto del ciclo semanal y de Pascua, respectivamente.
167
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Gráfico 17
CONSUMO DE GASOLINA. SERIE ORIGINAL
(1) Espectro de la irregularidad
0,0040
0,0030
0,0020
0,0010
0,0000
0
1
2
3
4
5
6
ciclos / año
(2) Espectro medio subseries mensuales
0,0010
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0,0000
0,00
0,25
0,50
ciclos / año
La correción de ambos efectos se realiza mediante filtros de corte aplicados en
cascada sobre la serie original en las frecuencias críticas del ciclo semanal y de la
Pascua, con un valor de c=0.96 debido a la presencia tan significativa de ambos
efectos. El espectro del componente irregular de la serie corregida se muestra en
el gráfico 18-1, donde se ha ampliado la escala para poder comprobar claramente
cómo, en cada una de las frecuencias críticas, el valor del espectro es
prácticamente nulo y en ninguna de ellas se supera el valor mediano (0.000020).
Este resultado es corroborado por el análisis del espectro medio de las subseries
mensuales, gráfico 18-2, donde ninguna de las leves oscilaciones se aleja
significativamente del valor medio global.
168
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Gráfico 18
CONSUMO DE GASOLINA. SERIE CORREGIDA
(1) Espectro de la irregularidad
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0000
0
1
2
3
4
5
6
ciclos / año
(2) Espectro medio subseries mensuales
0,0010
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0,0000
0,00
0,25
0,50
ciclos / año
La metodología expuesta permite realizar una estimación del ciclo semanal
subyacente en la serie mensual agregada. Esta estimación se realiza promediando el efecto del ciclo semanal para cada uno de los siete primeros grupos que
resultan aplicando la clasificación expuesta para la corrección de atípicos. De esta
forma se obtiene para cada día de la semana una desviación sobre la media
semanal. El siguiente gráfico muestra el ciclo semanal estimado para el consumo
de gasolina.
169
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
Gráfico 19
.
CICLO SEMANAL MEDIO
1,00%
0,75%
0,50%
0,25%
0,00%
-0,25%
-0,50%
-0,75%
-1,00%
Dom
Lun
Mar
Mie
Jue
Vie
Sáb
Asimismo, se puede evaluar el efecto de Pascua para los meses de marzo y abril,
que son los más afectado. Se observa claramente que este efecto es mayor en el mes
de abril siempre y cuando la fecha de la Pascua sea posterior al 6 de abril.
Gráfico 20
EFECTO DE PASCUA EN LOS MESES DE MARZO Y ABRIL
5%
4%
3%
2%
1%
0%
-1%
-2%
-3%
Mar
-4%
Abr
-5%
1976
1979
1982
1985
1988
1991
1994
1997
2000
2003
170
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
CONCLUSIONES
Los efectos de calendario constituyen una amalgama compleja y variada de
factores que inciden sobre un gran número de series temporales económicas, de
forma que su presencia ha de ser tenida en cuenta para la modelización estadística y el análisis económico.
Así, el ciclo semanal puede manifestarse en las series mensuales de forma notable y claramente diferenciada de los restantes componentes es tructurales
(tendencia, estacionalidad) de las series. El efecto en el caso trimestral es diferente, ya que la potencia del efecto es sustancialmente menor y se solapa o coincide
con las oscilaciones estacionales. Este hecho explica por qué se identifica con
menos frecuencia en estas series así como la (aparente) paradoja de que se
detecte en una serie mensual pero no en su agregación trimestral.
El ciclo semanal también puede aparecer en las series anuales, si bien su corrección directa es extremadamente delicada, debido a que afecta a elementos de
carácter cíclico y a que la longitud habitual de estas series dificulta cualquier
intento de corrección, tanto paramétrico como no paramétrico.
El análisis del ciclo semanal revela con claridad que el efecto de la duración de
los meses (trimestres) sobre el nivel de la serie es de carácter estacional, por lo
que su eventual corrección debe realizarse mediante procedimientos de desestacionalización.
Por su parte, el efecto de la Pascua móvil es difícil de modelizar, porque carece de una periodicidad diaria precisa y porque su ubicación temporal mezcla
elementos estacionales (ligados al ciclo lunar) con el calendario gregoriano. De
esta manera, su incidencia espectral es relativamente amplia: 10 frecuencias
críticas en el caso mensual y 2 en el trimestral.
En lo que concierne a otros efectos, el año bisiesto es un efecto muy débil
pero afecta de forma bastante uniforme a casi todas las bandas del espectro y
las fiestas fijas eventualmente sustituibles son, esencialmente, un fenómeno
estacional.
La influencia del número de días hábiles(10) sobre el nivel de actividad, estimada mediante el efecto de laboralidad es, básicamente, de carácter estacional y
recoge, de forma marginal, elementos del ciclo semanal. La corrección por días
laborables es, por lo tanto y en lo esencial, un ajuste estacional con dos graves
(10) Para identificarla, se requiere un calendario laboral efectivo (que no tiene por qué
coincidir con el oficial o administrativo), cuya determinación puede ser compleja en numerosas situaciones.
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
171
inconvenientes: asume una pauta determinista usualmente poco realista y deteriora la modelización y extracción de señales que se realice a continuación.
La detección de los efectos de calendario mediante técnicas espectrales puede
ser realizada de forma autónoma o como parte de un sistema de diagnóstico en
un contexto de modelización y extracción de señales basado en modelos. En el
primer caso, el recurso a filtros especialmente diseñados de filtrado selectivo y de
Butterworth de paso alto constituye un procedimiento sencillo y robusto para
estimar la señal irregular y, mediante estimadores espectrales consistentes,
detectarlos.
Igualmente, la corrección de efectos de calendario se puede efectuar de manera autónoma o empleando modelos estadísticos explícitos. En el primer caso,
nuevamente, los filtros selectivos de paso en peine (comb ) son una herramienta
especialmente útil.
Finalmente, las observaciones atípicas pueden distorsionar la detección de los
efectos de calendario. Se pueden diseñar procedimientos robustos de corrección
de atípicos especialmente preparados para operar en el marco de la correccióndetección de efectos de calendario.
REFERENCIAS
BELL , W.R. Y HILLMER, S.C. (1983) «Modeling time series with calendar variation»,
Journal of the American Statistical Association, vol. 78, n. 383, p. 526-534.
BELL , W.R. Y HILLMER, S.C. (1984) «Issues involved with the seasonal adjustment
of economic time series», Journal of Business and Economic Statistics, vol. 2,
p. 291-320.
CLEVELAND, W.S. Y DEVLIN, S.J. (1980) «Calendar effects in monthly time series:
detection by spectrum analysis and graphical methods», Journal of the American Statistical Association, vol. 75, n. 371, p. 487-496.
CLEVELAND, W.S. Y DEVLIN, S.J. (1982) «Calendar effects in monthly time series:
modeling and adjustment», Journal of the American Statistical Association, vol.
77, n. 379, p. 520-528.
CHANG, I., TIAO, G.C. Y CHEN, C. (1988) «Estimation of time series parameters in
the presence of outliers», Technometrics, vol. 30, n. 2, p. 193-204.
CHEN, C. Y LIU, L.M. (1993) «Joint estimation of model parameters and outlier
effects in time series», Journal of the American Statistical Association, vol. 88,
p. 284-297.
172
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
DAGUM , E.B. Y QUENNEVILLE , B. (1989) «Dynamic linear models for time series
components», Statistics Canada, Working Paper TSRA-89-020E.
ESPASA, A. Y CANCELO, J.R. (1996) «Modelling and forecasting daily series of
electricity demand», Investigaciones Económicas , vol. 20, n. 3, p. 359-376.
GARCÍA, A. (2000) Métodos estadísticos robustos y de remuestreo, Universidad
Nacional de Educación a Distancia (UNED), Madrid.
GÓMEZ, V. Y MARAVALL , A. (1996) «Programs TRAMO and SEATS», Documento de
Trabajo n. 9628, Banco de España.
GÓMEZ, V. Y MARAVALL , A. (1998a) «Automatic modeling methods for univariate
series», Documento de Trabajo n. 9808, Banco de España.
GÓMEZ, V. (1998a) «Butterworth filters: a new perspective», Ministerio de Economía y Hacienda, Documento de Trabajo n. D-98008.
GOMEZ, V. (1998b) «MA vs ARMA filters for unobserved components estimation»,
Documento Interno, Ministerio de Economía y Hacienda.
HILLMER, S.C. (1982) «Forecasting time series with trading day variation», Journal
of Forecasting, vol. 1, p. 385-395.
HILLMER, S.C., BELL , W. Y TIAO, G.C. (1983) «Modeling considerations in the seasonal adjustment of economic time series», en Zellner, A. (Ed.) Applied time
series analysis of economic data, U.S. Department of Commerce, Bureau of
the Census, Washington, U.S.A.
ISHIGURO, M. Y AKAIKE, H. (1981) «A bayesian approach to the trading-day adjus tment of monthly time series», Anderson, O.D. (Ed.) Time series analysis,
North Holland, Amsterdam, Holanda.
KAISER, R. Y MARAVALL, A. (2004) «Combining filter design with model-based
filtering», Banco de España, Documento de Trabajo n. 0417.
KITAGAWA , G. Y GERSCH, W. (1984) «A smoothness priors state-space modeling of
time series with trend and seasonality», Journal of the American Statistical Association, vol. 79, n. 386, p. 378-389.
LIU, L.M. (1980) «Analysis of time series with calendar effects», Management
Science, vol. 26, n. 1, p. 106-112.
LIU, L.M. (1983) «Identification of time series models in the presence of calendar
variation», SCA Corporation, Working Paper n. 102.
MCNULTY, M.S. Y HUFFMAN, W.E. (1989) «The sample spectrum of a time series
with calendar variation», Economic Letters, vol. 31. p. 367-370.
LOS EFECTOS DE CALENDARIO DESDE UNA PERSPECTIVA FRECUENCIA
173
MELIS , F. (1992) «Agregación temporal y solapamiento o 'aliasing’», Estadística
Española, n. 130, p. 309-346.
MELIS , F. (2003) «Un desestacionalizador ARMA para series económicas sin
desfase temporal», Boletín Trimestral de Coyuntura, n. 87, p. 145-165.
OPPENHEIM , A.V. Y SCHAFFER, R.W. (1989) Discrete-time signal processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, United States of America.
OTNES, R.K. Y ENOCHSON, L. (1972) Digital time series analysis, John Wiley, New
York, United States of America.
PARZEN, E. (1964) «An approach to empirical time series analysis», Radio Science
Journal of Research, vol. 68D, n. 9, p. 937-951.
SALINAS, T.S. Y HILLMER, S.C. (1987) «Multicollinearity problems in modeling time
series with trading-day variation», Journal of Business and Economic Statistics, vol. 5, n. 3, p. 431-436.
SOUKUP , R.J. Y FINDLEY, D.F. (1999) «On the spectrum diagnostics used by X-12ARIMA», Documento Interno, U.S. Bureau of the Census.
SOUKUP , R.J. Y FINDLEY, D.F. (2000) «Detection and modeling of trading day effects», Documento Interno, U.S. Bureau of the Census.
STEWART, I. (2001) «Estructura temporal cuasi-cristalina de la Pascua», Investigación y Ciencia, n. 295, p. 84-85.
VAN W IJK, J.J. Y VAN SELOW, E.R. (1999) «Cluster and calendar based visualization
of time series data», IEEE Simposium on Information Visualization, San Francisco, Octubre.
174
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
CALENDAR EFFECTS: A FREQUENCY-DOMAIN ANALYSIS
ABSTRACT
In this paper we analyze the main features of calendar effects
(weekly cycle, Easter, working days, etc) from a frequency-domain
perspective, in order to design non parametric procedures for detecting and, eventually, correcting calendar effects. These procedures
use specific linear filters, designed from a frequency-domain point of
view, and can be used jointly with parametric methods (e.gr., as a diagnostic tool for seasonal adjustment) or in an completely independent way.
Key words: calendar effects, frequency-domain, weekly cycle, Easter
effect, working-day effect, seasonality, linear filters, Butterworth
filters, notch filters, seasonal adjustment.
AMS : Classification 62M10, 62M15, 62P20