Mecánica de Fluidos (Maestría) M.I. Juan José Muciño Porras

Mecánica de Fluidos (Maestría)
M.I. Juan José Muciño Porras
Mecánica de Fluidos (Maestría)
M.I. Juan José Muciño Porras
1. INTRODUCCIÓN
Objetivo general del curso: El alumno comprenderá la teoría de la mecánica de los fluidos, haciendo énfasis en la
interpretación del fenómeno físico por medio de símbolos matemáticos. Adquirir los antecedentes para leer la
literatura relacionada. Mostrar los aspectos de la Mecánica de Fluidos más importantes y desarrollar la habilidad para
resolver problemas.
Objetivo específico de este capítulo: El alumno comprenderá los principios físicos que gobiernan los fluidos, mediante el
uso de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos utilizando las relaciones integrales para un volumen de
control y diferenciales para una partícula fluida.
Importancia de la Mecánica de Fluidos
En los programas de maestría en ingeniería hidráulica se incluye la Mecánica de Fluidos, ya que sus
principios y métodos encuentran muchas aplicaciones tecnológicas en campos como:
•
•
•
•
Transporte de fluidos
Generación de energía
Control ambiental
Transporte
El transporte de fluidos es el movimiento de un fluido de un lugar a otro, de tal manera que éste se pueda
emplear o procesar. Como ejemplo cabe citar los sistemas de suministro de agua en ciudades y casas, los
oleoductos, las tuberías de gas natural, productos químicos de uso agrícola y el transporte por tuberías en
plantas químicas.
Respecto a la generación de energía útil, sólo una pequeña parte de ella se genera sin que se requiera para
ello el movimiento de algún fluido. Los dispositivos típicos de conversión de energía, como turbinas de
vapor, motores alternativos, turbinas de gas, centrales hidroeléctricas y molinos de viento, incluyen
muchos procesos de flujo complicados.
En el campo ambiental intervienen movimientos de fluidos. La mayoría de los sistemas de calefacción para
edificios emplean un fluido para transportar energía desde un proceso de combustión, u otra fuente de
calor, hacia los recintos calentados. En los sistemas de acondicionamiento de aire, el aire que circula se
enfría por medio del movimiento de un fluido refrigerante.
Todo el transporte se realiza dentro de un medio fluido (la atmósfera o un volumen de agua), el movimiento
relativo entre el fluido y el dispositivo de transporte genera una fuerza que se opone al movimiento
deseado.
La mecánica de fluidos ahora se enfocará al análisis diferencial, para el ingeniero civil con posgrado, este
análisis se debe dar a nivel micro, ya no a nivel macro como en la licenciatura.
El fluido es un estado de la naturaleza que no soporta o resiste esfuerzos cortantes sin moverse.
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Para la ingeniería civil, los fluidos más comunes son aire y agua como ya se mencionó; pero los desarrollos
que se harán sirven para todo tipo de fluido, siempre y cuando se conozcan las condiciones particulares que
tiene. Éstas no pueden generalizarse ya que efectos como la temperatura, la altitud, etc., influyen de
manera distinta dependiendo del fluido que se trate. Todo requerirá mayor profundidad.
El comportamiento del fluido parece estar “fuera de lo común”. Véanse dos argumentos lógicos que el fluido
es capaz de “desafiar”.
Primer argumento
Sentido común:
A pequeñas causas pequeños efectos.
Ejemplo: El lanzamiento de una pelota de béisbol.
En la gráfica 1, comprobada experimentalmente: una
pequeña variación de la velocidad en el lanzamiento
(indicada a través del Número de Reynolds, que se
explicará posteriormente) produce una enorme
Esto
reducción de CD (coeficiente de arraste).
significa que por una pequeña variación de velocidad en
el lanzamiento la fuerza de arrastre se reduce mucho
y “llega” en mucho menos tiempo (tiene más fuerza).
Por eso los buscadores de grandes ligas están a la
Figura 1. Variación del coeficiente de arrastre (Cengel, 2006) caza de lanzadores que además de lanzar a gran
velocidad tengan control.
Otro ejemplo es la pelota de golf, una pelota igual en peso y del mismo diámetro Φ, pero lisa, llega 3 veces
menos que la pelota de golf, ¿porqué?.
Segundo argumento Sentido común: A causas simétricas efectos simétricos.
Un objeto como un remo, en un desplazamiento axial, produce
vórtices asimétricos, figura 2.
Figura 2. Efectos de capa límite (Cengel, 2006)
Una burbuja de aire en agua, en su ascenso vertical (simétrico) sube en forma espiral. Los sentidos de la
vista y el tacto indican que existimos en un espacio de tres dimensiones en donde, los objetos que en él se
encuentran, también tienen tres dimensiones.
Para determinar el tamaño de los objetos se necesita definir unidades de dimensión, las cuales, junto con
un sistema de referencia previamente establecido, permiten definir la posición de tales objetos en el
espacio.
También se percibe que los objetos están constituidos por “algo” que se llama materia y se dice que “la
cantidad de materia que tiene un cuerpo es su masa”.
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Por otra parte, la memoria permite constatar que los objetos pueden “moverse” porque no permanecen en la
misma posición al transcurrir el tiempo y que también existen movimientos periódicos, porque ciertos
objetos vuelven a ocupar la misma posición cuando ha transcurrido cierta “cantidad” de tiempo. Esta
periodicidad sirve para establecer las unidades de tiempo.
Así resulta que los conceptos de espacio, materia y tiempo no son absolutos e inmutables, sino que es
necesario definirlos en cada caso, según el problema que se desee estudiar.
La llamada “Mecánica Clásica”, acepta que el espacio es euclidiano, de tres dimensiones, invariante lo mismo
que en el tiempo y sin que ninguno de los dos se altere por la presencia de la masa, de modo que la gravedad
se considera como una acción externa.
De acuerdo a la “Mecánica Cuántica” existe un buen número de pequeñísimas ondas – partículas, de las
cuales las más interesantes, por cuanto permiten entender cómo está constituida la materia, son los
protones y los electrones. Los primeros tienen una masa considerablemente mayor y carga eléctrica
positiva y, los segundos, por el contrario, tienen menor masa y carga eléctrica negativa. De ahí se producen
enlaces moleculares.
Sistema Internacional de Unidades (SI)
El Système Internacional d´Unités (SI), se adoptó en la 11ª. Conferencia General de Pesos y Medidas en
1960. En este sistema, todas las cantidades se expresan en términos de siete unidades fundamentales,
éstas son:
Unidades básicas: Longitud: metro (m)
Tiempo: segundo (s) Masa: kilogramo (kg)
Corriente eléctrica: Ampere (A)
Temperatura: Kelvin (K)
Candela: intensidad luminosa (cd)
Cantidad de sustancia Mol (mol).
En adición al sistema básico de unidades se encuentran dos suplementarias: radián (rad) y esteradián (sr).
En la Mecánica de Fluidos, a cualquier nivel de estudio, interesa conocer SIEMPRE el valor de dos
variables:
Velocidad (vector)
Presión (escalar)
Ambas están en función del espacio y del tiempo.


v (x, y, z, t) = v ( r , t)
p (x, y, z, t)

r , vector de posición

Así ( v , p) = f (propiedades del fluido, condiciones geométricas)
Además se tienen:
condiciones de frontera (espacial x, y, z)
condiciones iniciales (temporal t)
De acuerdo con las variables, se definen: campos (espacios donde a cada punto se le puede asignar un
vector o escalar), dándose el atributo de campo vectorial o campo escalar, se verá en el apartado de
cinemática.
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Por ejemplo: sea el flujo que se muestra, en la figura 3.
Figura 3. Ilustración de un campo cinemático.
Si se estudia el escurrimiento de la figura anterior, definido en cierto campo, se conocen las condiciones
de frontera en la sección (1) en cierto tiempo y se desean conocer las condiciones en la sección (2).
Estos son el tipo de problemas que interesa a la mecánica de fluidos.
Propiedades generales de los fluidos.
Para determinar el tamaño de los objetos se necesita definir unidades de dimensión, las cuales, junto con
un sistema de referencia previamente establecido, permiten definir la posición de tales objetos en el
espacio. También se percibe que los objetos están constituidos por “algo” que se llama materia y se dice
que “la cantidad de materia que tiene un cuerpo es su masa”.
•
Definición del flujo (fluido). Los fluidos, son sustancias capaces de fluir y que se adaptan a la
forma de los recipientes que los contienen. Todos los fluidos son compresibles en cierto grado y
ofrecen poca resistencia a los cambios de forma.
Los fluidos, pueden dividirse en líquidos y gases. Las diferencias son:
Los líquidos son prácticamente incompresibles y los gases son compresibles.
Los líquidos ocupan un volumen definido y tienen superficies libres, mientras que una masa dada de
gas, se expansiona hasta ocupar todas las superficies del recipiente que lo contenga.
Densidad de un cuerpo ρ (ro), es la masa del fluido contenida en la unidad de volumen, es decir: ( ρ =
m
), en
V
el sistema internacional, la densidad del agua es =1,000 kg/m3, dimensionalmente [ρ] = [ M L-3]
•
Densidad relativa de un cuerpo. Es un número adimensional dado por la relación de la masa del
cuerpo, a la densidad de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia, por
ejemplo:
densidad de la sustancia
densidad relativa de un líquido =
densidad del agua
densidad de la sustancia
densidad relativa de un gas =
densidad del aire
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Peso específico de un cuerpo γ (gamma), es el peso del fluido por unidad de volumen. En el sistema
internacional, el peso tiene como unidad al Newton y el volumen al metro cúbico. Así, el peso específico del
agua es aproximadamente 9810 N/m3, dimensionalmente [γ ] = [ F L-3 ]
Datos útiles para el hidráulico: Primeramente la relación entre densidad y peso específico:
Además de recordar que:
3
γ agua = 9810 N / m ;
3
γ aire = 11.8 N / m
γ = ρg
γagua / γaire = 800
En el sistema inglés, la unidad para medir el peso, es la libra peso, y para medir el volumen es el pie cúbico.
Entonces, el peso específico del agua en el sistema inglés, será el peso de un píe cúbico; por ejemplo:
1 kg = 2.2 libras
1 m = 3.28 pies
1 m3 =35.3 pies3,
por lo tanto el peso específico del agua en el sistema inglés será igual:
2.2
lb /pie 3 = 62.4 lb /pie 3 .
γ = 1000
35.5
Ejercicio 1.1 La presión de un neumático de automóvil depende de la temperatura del aire contenido en él. Cuando la
temperatura del aire es de 25°C, la lectura del manómetro es de 210 kPa. Si el volumen del neumático es de 0.025 m3,
determine la elevación de la presión cuando la temperatura del aire en él sube hasta 50°C. También determine la
cantidad de aire que debe purgarse para restablecer la presión hasta su valor original, a esta temperatura. Suponga
que la presión atmosférica es de 100 kPa. (Problema 2.12 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel,
2ª edición, 2012, McGraw - Hill)
kJ  kPa ⋅ m3 
kg ⋅ K  kJ 
=
=
La constante
del aire es: R 0.287

 0.287
kPa ⋅ m3
.
kg ⋅ K
Recordando que se debe trabajar la presión en valor absoluto, las condiciones iniciales son:
P1 = Pg + Patm = 210 + 100 = 310 kPa
Si el volumen de la llanta permanece constante y se cumple la ley de los gases para el aire para las dos temperaturas, la
presión final será;
P1V1 P2V 2
T
323K
(310kPa) = 336kPa
=

→ P2 = 2 P1 =
T1
T2
T1
298K
Se tiene entonces un incremento en la presión de:
∆P = P2 − P1 = 336 − 310 = 26.0 kPa
La cantidad de aire necesaria para llegar a la condición inicial es:
m1 =
m2 =
P1V
(310kPa)(0.025m 3 )
=
= 0.0906kg
RT1 (0.287kPa ⋅ m 3 /kg ⋅ K)(298K)
P2V
(310kPa)(0.025m 3 )
=
= 0.0836kg
RT2 (0.287kPa ⋅ m 3 /kg ⋅ K)(323K)
∆m = m1 − m 2 = 0.0906 − 0.0836 = 0.0070 kg
Viscosidad, µ (mu) o viscosidad dinámica de un fluido es por definición, es la resistencia que oponen los
fluidos a moverse. En ausencia de esta propiedad del fluido, se considera ideal. Se define, si el fluido es
Newtoniano mediante la siguiente ecuación:,
τ
du
µ=
τ=µ
du
dy
dy
donde
τ = esfuerzo cortante
du / dy = gradiente de velocidades
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En general se considera la variación de la velocidad respecto a una dirección perpendicular (se orientan los
ejes). En la figura 4.a, se observa τ contra du / dy y la variación es lineal se tiene un fluido newtoniano, los
fluidos más importantes a estudiar como son el agua y el aire, son fluidos newtonianos. Otros fluidos figura
4.b tienen otros comportamientos, entre ellos por ejemplo la sangre, la pasta de dientes, etc.
(a) (b)
Figura 4. (a) Variación de los flujos newtonianos, (b) Comportamiento de otros fluidos
Hay también fluidos no newtonianos, estudiados por la Reología, que siguen modelos a veces más complejos;
uno de ellos es el fluido de Bingham que se comporta como sólido hasta cierto límite. Entre los fluidos no
newtonianos y plásticos se encuentran los fluidos pseudoplásticos, por ejemplo:
- sangre
- polímeros
Ciertos líquidos tienen una curva τ - du/dy inversa (en concavidad) a las plásticas o pseudoplásticas, se
llaman fluidos dilatantes.
Para calcular la viscosidad se analiza el desplazamiento entre dos placas cercanas, de tal forma que la
variación du/dy sea lineal; se mide el par o fuerza que mueve la placa (τ); con la ecuación se calcula µ.
En la práctica se usan dos placas que forman 2 cilindros concéntricos, como se muestra en la figura 5.
Figura 5. Dispositivo para medir la viscosidad
La viscosidad cinemática ν (νυ), se define como:
μ
dimesionalmente ν = [ L2 T-1 ]; a diferencia de la viscosidad dinámica no interviene la masa.
ν=
ρ
El número de Reynolds es función de la viscosidad ν: R =
vD
ν
; R=
v (cm/s) D (cm)
0.01 (cm 2 / s)
es adimensional
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La viscosidad dinámica µ, función de la temperatura en los líquidos y gases.
La viscosidad cinemática ν, es función de la temperatura en los líquidos y lo es de la temperatura y la
presión en los gases.
µagua / µaire = 100
Relaciones:
ρagua / ρaire = 800
νagua / νaire = 1/8
Ejercicio 1.2. Se debe mover un bloque de 50 cm x 30 cm x 20 cm que pesa 150 N a una velocidad constante de 0.8
m/s sobre una superficie inclinada 20°, con un coeficiente de fricción de 0.27. a) Determine la fuerza F necesaria a
aplicar en la dirección horizontal. b) Si se aplica una película de aceite de 0.4 mm de espesor, con una viscosidad
dinámica de 0.012 Pa * s entre el bloque y la superficie inclinada, determine el porcentaje de reducción en la fuerza
necesaria. (Problema 2.75 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, 2ª edición, 2012, McGraw Hill)
La viscosidad absoluta del aceite es µ = 0.012 Pa⋅s = 0.012 N⋅s/m2.
(a) Realizando el diagrama de cuerpo libre,
para una velocidad constante.
∑F
∑F
x
y
V= 0.8 m/s
= 0:
F1 − Ff cos 20° − FN1sen 20° = 0
(1)
= 0:
FN1 cos 20° − Ff sen 20° − W = 0
(2)
Fuerza de fricción: Ff = fFN1
Ff
F1
200
20
(3)
y
F N1
0
x
200
W = 150 N
Sustituyendo (3) en (2) y despejando FN1
W
150 N
=
= 177.0 N
FN1 =
cos 20° − fsen 20° cos 20° − 0.27sen 20°
De (1):
F1 = Ff cos 20° + FN1sen 20° = (0.27 × 177 N) cos 20° + (177 N)sen 20° = 105.5 N
(b) En este caso, lo que cambia es el cálculo de la fuerza
de fricción
F cortante = τagua A = µA (V/h) =
(0.012 N s/m2) (0.5 x 0.2 m2) (0.8 m/s/4x10-4 m) = 2.4 N
∑F
∑F
V= 0.8 m/s
50 cm
0.4
F2
Fcortante =
x
= 0:
F2 − Fcor tan te cos 20° − FN 2 sen 20° = 0
y
= 0:
FN 2 cos 20° − Fcor tan te sen 20° − W = 0
(4)
20
W = 150
(5)
FN
N
De (5) FN 2 = (Fcor tan te sen 20° + W ) / cos 20° = [(2.4 N )sen 20° + (150 N )] / cos 20° = 160.5 N
Sustituyendo en (4),
F2 = Fcor tan te cos 20° + FN 2 sen 20° = (2.4 N) cos 20° + (160.5 N)sen 20° = 57.2 N
Porcentaje de reducción de la fuerza requerida =
F1 − F2
105.5 − 57.2
× 100%
=
× 100%
= 45.8%
F1
105.5
Compresibilidad. En el volumen diferencial al que se aplica un diferencial de presión
dp ≈ - dv
dv
dp ≈ V
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Al definir la proporcionalidad en una relación de dp y dv / V se tiene el concepto del módulo E de
elasticidad. Entonces:
Figura 6. Compresibilidad
dp
[E] =[F L-2]
dv
V
E acero = 2 x 106 kgf / cm2
E acero / E agua = 100
(el agua es 100 veces más compresible que el acero).
E=−
Así:
Tensión Superficial, σ, se presenta al estar en contacto (interfase) dos fluidos y/o un sólido
[σ] = [FL-1]
Figura 7. Efectos de la tensión superficial en la interfase de algunos líquidos
Ejercicio 1.3 Los nutrientes disueltos en el agua los llevan hasta las partes superiores de las plantas diminutos tubos,
en parte debido al efecto de capilaridad. Determine hasta qué altura ascenderá la solución acuosa en un árbol, en un
tubo cuyo diámetro mide 0.002 mm, como resultado del efecto de la capilaridad. Trate la solución como agua a 20º C
con un ángulo de contacto de 15º. (Problema 2.103 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, 2ª
edición, 2012, McGraw - Hill).
La tensión superficial del agua a 20º C es σs = 0.073 N/m. Además se puede considerar que la densidad de la solución
acuosa es de 1000 kg/m3. Finalmente el ángulo de contacto es de 15º. Por capilaridad se puede emplear la ecuación
h=
2 σ s cosφ
2(0.073 N/m)(cos15º )
=
= 14.4 m
ρgR
(1000 kg/m 3 )(9.81m/s 2 )(1x10 −6 m)
Ejercicio 1.4 Un rociador emite al aire un chorro cilíndrico de agua a 20°C. La presión en el interior del chorro es
aproximadamente 200 Pa por encima de la atmosférica. Estimar el diámetro del chorro en mm. (Problema 1.64 de
Mecánica de Fluidos, White, 6ª edición, 2008, McGraw - Hill).
De la Tabla A.5 la tensión superficial del agua a 20°C es 0.0728 N/m. Para un cilindro líquido, la presión interna que
ejerce se da por la ecuación Δp = Y/R. Por lo que, para los datos del problema,
Δp = Y/R = 200 N/m2 = (0.0728 N/m) / R, despejando el valor de R = 0.000364 m, y el diámetro D = 0.00073 m
Ejercicio 1.5 Antiguamente, los montañeses hervían el agua para estimar la altura a la que se encontraban. ¿Qué
altura tendrá una montaña si al alcanzar la cima observamos que el agua hierve a 84 °C? (Problema 1.72 de Mecánica de
Fluidos, White, 6ª edición, 2008, McGraw - Hill).
De la Tabla A-5 a 84°C, la presión de vaporización es aproximadamente p ≈ 55.4 kPa. Se puede interpolar este valor
v
en la altitud estándar, que se encuentra en la Tabla A-6, y se tiene entonces: z ≈ 4800m
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Campos de flujo
Un fluido en movimiento responde a un medio continuo en el cual la posición relativa de los elementos que lo
forman varía en función del tiempo. La cinemática se ocupa de describir este movimiento con base en
ciertas características como la velocidad, aceleración y otras variables cinemáticas cuyos valores dependen
de las coordenadas de posición y tiempo y en consecuencia se deben trabajar vectorialmente, ya que es
necesario tener magnitud, dirección y sentido.
En un fluido que se mueve existen también otras propiedades que pueden cambiar de valor en el tiempo y el
espacio como la presión, masa, temperatura; sin embargo estas propiedades no requieren ser definidas más
que por su magnitud, son entonces cantidades escalares.
Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condición de que la
región del flujo quede ocupada totalmente por el fluido.
Para definir los campos de flujo que ayuden a describir un fluido, se parte del campo de velocidades que a
su vez al derivarse con el tiempo (conocer la variación de la velocidad respecto al tiempo) da como
resultado el campo de flujo de aceleraciones.
Así, partiendo del campo de velocidades, se tiene que:
dv=
Entonces:
En realidad:
∂v
∂v
∂v
∂v
dx +
dy +
dz +
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
dv ∂ v
∂v
∂v
∂v
dw +
dv +
du +
=a
=
dt ∂ x
∂t
∂z
∂y
a = ax i + ay j + az k
Así por ejemplo en el plano, las componentes de la aceleración son en el eje z:
∂w
∂w
∂w
dw ∂ w
=
az =
u+
v+
w+
∂x
∂y
∂z
∂t
dt
Mientras que en forma compacta, la aceleración es:
dv ∂ v
∂v
∂v
∂v
a=
=
u+
v+
w+
∂y
∂z
∂t
dt ∂ x
Como se observa se compone de dos aceleraciones a = aceleración convectiva (en función del espacio x,y,z)
+ aceleración local (en función del tiempo).
Así, el flujo es uniforme cuando la aceleración convectiva es cero, flujo no uniforme es cuando la
aceleración convectiva es diferente de cero.
El flujo permanente se presenta cuando la aceleración local es cero; no permanente cuando la aceleración
local no es nula. Esto es fácil distinguir al no aparecer el tiempo en la expresión de la velocidad.
Ejercicio 1.6 Se da un campo bidimensional, incompresible y estacionario de velocidad por las siguientes componentes
en el plano xy. (Problema 4.19 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, 2ª edición, 2012, McGraw Hill).
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u = 0.20 + 1.3x + 0.85y
v = - 0.50 + 0.95x – 1.3y
Calcule el campo de aceleración (encuentre expresiones para las componentes ax y ay) de la aceleración y
calcule la aceleración en el punto (x,y) = (1,2)
Los componentes de la velocidad son:
u = 0.20 + 1.3x + 0.85y;
v = -0.50 + 0.95x -1.3y.
∂u
∂u
∂u
∂u
+w
= 0 + (0.20 + 1.3x + 0.85y) (1.3) + (-0.50 + 0.95x - 1.3y)(0.85)0 + 0
+u
+v
∂t
∂x
∂y
∂z
∂v
∂v
∂v
∂v
ay =
+u
+v
+w
= 0 + (0.20 + 1.3x + 0.85y) (0.95) + (-0.50 + 0.95x - 1.3y) (-1.3) + 0
∂t
∂x
∂y
∂z
ax =
Operando las componentes de la aceleración quedan así:
ax = - 0.165 + 2.4975x
Y para el punto (1,2), se tiene que
ax = 2.3325
ay = 0.84 + 2.4975y
ay = 5.835
Físicamente, el flujo es uniforme cuando las líneas de corriente son RECTAS y PARALELAS, y permanente
cuando no cambia en el tiempo. Otra forma de expresar el desarrollo anterior es:


dv ∂v 

=
+ (v ⋅ ∇ ) v
dt ∂t
En general, para una propiedad R de interés del flujo se contempla que
dR ∂R 
=
+ (v ⋅ ∇ ) R
∂t
dt
Así el desarrollo de la expresión anterior si el campo de velocidades es una sola dimensión.
R (t, x), u
Por lo que
≡ U
dR ∂ R
∂R
=
+U
∂t
dt
∂x
∂
∂
∂
∂
∂
∂

+v
+w
i+
j+
k ) = (u
)
v ⋅ ∇ = (u i + vj + wk ) ⋅ (
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
así al multiplicar por R siendo función de x.
Por eso
=U
∂R
+0+0
∂x
∂R ∂R
∂R
=
+U
∂t
∂t
∂x
Aceleración total = local + convectiva
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Flujo rotacional e irrotacional
El hecho de que un elemento de fluido pueda rotar a medida que se mueve, hace necesario introducir otra
propiedad para tener una medida cuantitativa de este fenómeno. La rotación de un elemento de fluido se
acostumbra evaluar como la velocidad angular promedio a que giran dos líneas perpendiculares cualesquiera
contenidas en cada uno de los planos. La rotación es una cantidad vectorial que refleja el hecho de que un
elemento de fluido moviéndose en el espacio puede girar en torno a cualquiera de los ejes coordenados.
Matemáticamente se define mediante la ecuación, ver figura 8
 ≠ 0 rotacional rot v = 0 irrotacional
rot v
rot

v = ∇ × v =
i
j
∂
∂x
∂
∂y
k
∂
∂z
u
v
w

v , en general: v = f(x, y, z, t)
Figura 8. Diagrama esquemático de la tendencia a rotar del flujo
Físicamente, una partícula (1) gira por efecto de la diferencia de velocidades.
En la partícula bidimensional (2): no gira.
El flujo laminar es más rotacional que el turbulento. Lo que en rigor no se toma en consideración.
Flujo compresible e incompresible
Si la divergencia div


v ≠ 0 es compresible, en caso contrario div v = 0 incompresible
Recordemos
Entonces


∇ ⋅ v = div v
 ∂u ∂v ∂w
=0
+
+
∇⋅v =
∂x ∂y ∂z
(ver figura 9)
Figura 9. Diagrama de un volumen de control en equilibrio.
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Métodos de análisis
Existen varios métodos para describir el movimiento de un fluido. Los más conocidos son los llamados
métodos de Lagrange y de Euler. Cada uno de estos métodos tiene un esquema matemático de descripción
asociado a él.
El método de Lagrange (1736 – 1812) describe el movimiento del fluido mediante el conocimiento de lo que
le ocurre a cada uno de los elementos que lo forman. Para ello propone encontrar la posición de cada
volumen elemental de fluido en función del tiempo. Este método supone que es posible determinar las
trayectorias en función del tiempo, ver en la figura 10 el seguimiento esquemático de una partícula de
fluido al chocar contra una pared.
Figura 10. Esquemas bajo sistemas lagrangiano y euleriano
Por otra parte el método de Euler (1707 – 1783) consiste en determinar para cada instante el campo de
velocidades en todo el espacio ocupado por el fluido. En cada punto fijo P del espacio de coordenadas
(x,y,z) se observa para cada instante t la velocidad del elemento de fluido que en ese instante pasa por P.
Es más sencillo para un primer estudio de la mecánica de fluidos, como se verá en el capítulo siguiente. Ver
figura 10, al momento de pasar el flujo.
u+
∂u
dx
∂x
du =
∂u
dx
∂x
o respecto al tiempo
du=
∂u
dt
∂t


Según Newton f = m a , es válida en los sistemas inerciales (esto es en reposo o en movimiento con
velocidad constante). Un sistema de referencia no fijo permite analizar más fácilmente un sistema o
fenómeno “giratorio”, ver figura 11.
Ejemplos:
Figura 11. Ejemplos sistemas giratorios, como el impulsor de una bomba o un aspersor para regar
Considérese un marco inercial (fijo) y un sistema “libre” con un desplazamiento y un giro, figura 12.
12
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Figura 12. La importancia del marco inercial de referencia que se aplica en la mecánica clásica.
Sea el punto P1, cuyo vector de posición es r = R+r1.
La variación de r respecto al sistema fijo - en el tiempo - es:
d 0 r d 0 R d 0 r1
=
+
dt
dt
dt
La partícula gira alrededor de una columna. Vector
Ω = Ω x r1
da la aceleración centrípeta de la
partícula. Figura 13. Ejemplo.
Aceleración de Coriolis
Figura 13. Una de las aplicaciones del campo de los rotacionales.
El punto P2 en movimiento, sí tiene aceleración de Coriolis respecto a la Tierra, P1 no tiene.
Tubo de flujo
Una línea de corriente es aquella que puede definirse como la línea cuya velocidad de todos los puntos que
la forman son tangentes a ella, ver figura 14.
Figura 14. Se muestra el vector velocidad que es tangente a la línea de corriente

Todos los componentes del campo de velocidades son tangenciales al vector de posición d r donde


d r = dx i + dy


j + dz k
13
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El producto cruz resulta cero.


v x dr = 0
Campo vectorial definido por líneas de corriente; si se definen dos secciones transversales con curvas
cerradas y las líneas de corriente que pasan por la primera, también pasan por la segunda se tiene un TUBO
DE FLUJO. Ver figura 15.
Es importante hacer énfasis en la denominada línea de corriente, que es una curva que, en todas partes, es
tangente al vector velocidad local instantáneo. Por lo que son útiles como indicadoras de la dirección
instantánea del movimiento del fluido en todo el campo del flujo.
Mediante sencillos argumentos geométricos, con el uso de triángulos semejantes, se sabe que las
componente s de dr deben ser proporcionales a las de V. Por lo que se puede escribir de la siguiente forma
la ecuación de la línea de corriente:
dr dx dy dz
=
=
=
V
u
v
w
Figura 15. Esquema de líneas de corriente que forman un tubo de flujo



Ejemplo 1.7 Considere el campo de velocidad bidimensional, incompresible y estacionario: V = (0.5 + 1.2 x) i + (-2.0 - 1.2y) j
genere una expresión analítica para las líneas de corriente del flujo y trace varias de estas líneas en el cuadrante
superior derecho, desde x = 0 hasta 5 y y = 0 hasta 6. (Problema 4.36 de Mecánica de Fluidos. Fundamentos y
Aplicaciones, Cengel, 2ª edición, 2012, McGraw - Hill).
El campo de velocidad



V = (0.5 + 1.2 x) i + (-2.0 - 1.2y) j , puede de
acuerdo a la ecuación de las líneas de corriente expresarse así:
dy
dx
;
=
- 2.0 - 1.2y 0.5 + 1.2x
estas ecuaciones diferenciales se puede resolver por separación de
variables
∫
dy
dx
=∫
- 2.0 - 1.2y
0.5 + 1.2x
cuyo resultado es:
14
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1
1
1
ln C ; al proponerla en forma explícita para y, se tiene la siguiente
ln (-2.0 - 1.2y) =
ln (0.5 + 1.2x) 1.2
1 .2
1.2
C
- 1.667
expresión y =
1.2 (0.5 + 1.2x)
−
La figura muestra las líneas de corriente para el campo de velocidades dado.
Teorema del transporte de Reynolds
Para convertir un análisis de sistemas en análisis de volumen de control es necesario modificar nuestras
matemáticas para poder aplicar las leyes básicas a regiones específicas en lugar de a masas concretas.
Esta conversión se consigue mediante el llamado teorema del transporte de Reynolds.
Por lo tanto es necesario relacionar las derivadas con respecto al tiempo de una propiedad del sistema con
la variación de dicha propiedad dentro de una región concreta.
La expresión de conversión difiere ligeramente según se trate de volúmenes fijos, móviles o deformables.
En el primero, el volumen de control recuerda al concepto de cuerpo libre, que se aplica en los sistemas de
mecánica de sólidos. En el segundo, donde se ejemplifica un barco en movimiento, el interés se centra en el
barco, no en el océano, de forma que el volumen de control se mueve con el barco a la velocidad de éste. En
el tercero, ha de tenerse en cuenta la variación del movimiento relativo en el contorno y también deberá
entrar en el análisis el cambio de forma del volumen de control.
Los elementos del fluido que forman el sistema transportan ciertas propiedades que trasladan con el
fluido mismo, de manera que para todo el sistema, la propiedad tiene un valor total dado por la suma
de lo que transporta cada uno de los elementos que lo integran.
Los principios básicos que se aplican requieren evaluar la variación temporal de cantidades que se mueven
con el fluido referidas al conjunto de elementos que forman el sistema. Sin embargo, en la práctica es más
simple utilizar en lugar del sistema un volumen de control fijo en el espacio, a través del cual se mueve el
fluido.
Entonces se necesita poder relacionar las variaciones de esa propiedad si se considera el sistema global con
los cambios que experimenta esa misma cantidad si se considera el movimiento del fluido a través de la
superficie de control y en el interior del volumen de control.
El teorema del transporte de Reynolds entrega una relación cuantificable entre ambos enfoques.
Para ello se considera una propiedad extensiva cualquiera del fluido, N, con su correspondiente propiedad
intensiva, η, tal que para todo el sistema se tiene:
N = ∫ηd m = ∫ηρd υ
masa
volumen
Por ejemplo, si la propiedad considerada es la masa se tiene N = M y η = 1
15
Mecánica de Fluidos (Maestría)
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La idea básica del teorema de Reynolds es poder expresar las variaciones de la propiedad extensiva
para un sistema de elementos de fluido en movimiento en términos de los cambios de esta propiedad,
asociada a un volumen de control fijo en el espacio.
Supóngase un conjunto de elementos moviéndose en un espacio donde el campo de velocidades está
referido a un sistema de coordenadas XYZ. Se define un volumen de control fijo en el espacio, tal que en
t s iguie nt
un instante t0, el volumen de control y el ocupado por el sistema coinciden. En el instante
sistema se ha desplazado, de tal manera que parte de él ha abandonado el volumen de control y en el
interior de éste hay un espacio ocupado por elementos que no pertenecen al sistema. Entonces, para una
propiedad extensiva N cualquiera del sistema se cumple, por definición que:
(
)
 N t 0 + ∆t - N t 0 


∆t


∆ t →0
En el instante t0 el sistema y el volumen de control coinciden. En el instante t0 + ∆t el sistema ocupa sólo
las regiones II y III, indicadas en la figura 16, mientras la región I ha sido ocupada por elementos que no
pertenecen al sistema.
dN
= lim


 d t  sistema
La propiedad extensiva N se puede escribir para el instante t0 + ∆t como:
N t 0 + ∆ t = (N
II
+ N III )t 0 + ∆ t = (N
V
- N I + N III )t
0
+∆t
donde v representa el volumen de control.
Figura 16. Vol. De control y sistema de elementos de fluido en dos instantes consecutivos.
Por otra parte, en el instante t0:
N
t0
= (N
v
)t
0
Reemplazando estas expresiones en el límite que define la derivada total, se obtiene:
dN
=


 d t  sistem
(
)
 1 
lim 
 (N v )t 0 + ∆ t - (N v )t 0 + lim
∆t
∆ t →0
[(N
)
III t 0 +
]
16
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Se puede apreciar que, de acuerdo a la definición de derivada, el primer término de la suma corresponde a
la variación de la propiedad N al interior del volumen de control ya que:
(
)
∂
 ∂ Nv 
 1 
lim 
 =
 (N v )t 0 + ∆ t - (N v )t 0 = 
∫ρηd v
∆
t
∂
t
∂
t




∆ t →0
Los límites que incluyen las regiones I y III son más difíciles de evaluar. Para ello se puede analizar en
detalle lo que ocurre con una pequeña parte de la zona, como se aprecia en la figura 17 para las regiones I y
III.
Figura 17. Detalle de un elemento de las superficies de control en las regiones I y III.
Se requiere evaluar la propiedad N en la región III para el instante t0 + ∆t, la que se puede expresar como:




=  ∫ ρ η ∆ t V ⋅ n d A
N III (t 0 + ∆ t) =  ∫ ρ η d v 

 III
 t 0 + ∆ t  SIII
t0 + ∆ t
Donde el elemento de volumen de la región III se ha evaluado
como (∆t V ⋅ n d A) , siendo V la
velocidad con que se mueve el elemento de fluido al pasar la región III. Por lo tanto:

 1 
lim 
  ∫ ρ η d v 
 ∆ t   III

t0 + ∆ t

 1 
= lim 
  ∫ ρ η V ⋅ n d A 
 ∆ t   III

t0 + ∆ t
= ∫ρηV⋅n d A
SIII
∆ t →0
∆ t →0
donde SIII corresponde a la parte de SC por la cual salen los elementos del sistema del volumen de control.
Similarmente, en el caso de la región I, de acuerdo a lo que se ilustra en la figura 2, la propiedad en esta
región en t0 + ∆t, NI está dada por:




=  ∫ ρ η ∆ t V ⋅ n d A
N I (t 0 + ∆ t) =  ∫ ρ η d v 


I
 t 0 + ∆ t  SI
t0 + ∆ t
Entonces:

 1 
lim 
  ∫ ρ η d v 
 ∆ t I

∆ t →0
t0 + ∆ t

 1  
= lim 
  ∫ ρ η V ⋅ n d A 
 ∆ t   SI

t0 + ∆ t
= ∫ρηV⋅n d A
SI
∆ t →0
17
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Finalmente, se obtiene:

∂ 
dN
=
 ∫ ρ η d v  - ∫ ρ η V ⋅ n d A + ∫ ρ η V ⋅ n d A


 d t  sistema ∂ t  V
SIII
 SI
Se puede apreciar que la superficie total del volumen de control corresponde a la suma del SI y SIII más
otras superficies, a través de las cuales no hay flujo, debido a que en ellas la velocidad no tiene
componentes en la dirección del vector que define la superficie, es decir en ellas V n = 0. Por lo tanto, se
obtiene:
∂
dN
=


∫ρηd v + ∫ρηV⋅n d A
 d t  sistema ∂ t Vc
Sc
Ecuación que permite relacionar las variaciones totales referidas al sistema de una propiedad extensiva N,
cuya propiedad específica es η que se mueve con el fluido, en términos de lo que ocurre en un volumen de
control fijo en el espacio, definido por Vc y Sc.
Es conveniente aclarar el significado físico de cada uno de los términos que intervienen en esta ecuación. El
primero del lado derecho corresponde a la variación intrínseca que experimenta la propiedad en el interior
del volumen de control, en el transcurso del tiempo. Este término es positivo si la cantidad aumenta. El
segundo representa el flujo neto de la propiedad que es arrastrada por el fluido al entrar o salir del
volumen de control a través de la superficie de control. Este término es positivo si la cantidad sale del
volumen de control a través de la superficie de control. La suma de ambos es la variación total de la
propiedad referida al sistema de elementos de fluido en movimiento. De manera que el Teorema de
Reynolds expresa en un lenguaje matemático lo que en palabras podría expresarse como:
Variación total
de una propiedad
del sistema
en el tiempo
=
Variación de esa
propiedad en el
interior del volumen
de control
+
Flujo neto
de la propiedad
a través de la superficie
de control
Ejercicio 1.8 Considere la forma general del teorema de transporte de Reynolds (RTT) dada por
dBsis
d
=
∫ ρbdV + ∫ ρbVr ⋅ ndA
dt
dt VC
SC
Donde vr es la velocidad del fluido con relación a la superficie de control. Sea Bsis la masa m de un sistema de partículas
de fluido. Se sabe que, para un sistema dm/dt = 0 ya que, por definición, ninguna masa entra ni sale del mismo. Use la
ecuación dada para deducir la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control. (Problema 4.94 de
Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, 2ª edición, 2012, McGraw - Hill).
Considerando B = m, significa que b = m/m = 1. Sustituyendo estas consideraciones, además de considerar que
dm/dt = 0 se tiene:
 
d
0=
∫ ρdV + ∫ ρVs ⋅ ndA
dt VC
SC
que es la ecuación general de la conservación de la masa y se aplica a cualquier volumen de control ya sea fijo,
en movimiento o deformándose.
18
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Métodos de análisis de flujo
Dentro de los métodos de análisis de flujo, se tienen dos criterios:
a) el que se basa en un volumen de control finito, enfoque a nivel macro
LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD (Ley de la conservación masa).
LA ECUACIÓN DE IMPULSO (Ley de la conservación de la cantidad de movimiento).
LA ECUACIÓN DE LA ENERGÍA (Ley de la conservación de la energía).
A continuación se presentan algunas ventajas y desventajas derivadas de la utilización del método del
volumen de control (se enseña en licenciatura).
VENTAJAS
1. Las matemáticas son más simples
2. Las hipótesis y aproximaciones son
menos sensibles; con frecuencia se
obtiene información aproximada muy útil
con suposiciones simples.
3. Con papel y lápiz se requiere
aproximadamente una hora de trabajo.
4. Con frecuencia sólo revela la
información que realmente se necesita.
DESVENTAJAS
1. No revela todos los detalles del flujo;
no obliga al fluido a obedecer las leyes
fundamentales en cada punto.
2. Con frecuencia se obtienen
solamente respuestas aproximadas.
3. Requiere más información de
entrada, tal como una distribución de
velocidades en fronteras convenientes.
4. Con frecuencia no proporciona tanta
información como la requerida.
b) de tipo diferencial, dentro de este criterio derivan (se propone en maestría) enfoque a nivel micro.
LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONTINUIDAD
LA ECUACIÓN DINÁMICA DEL FLUJO NO VISCOSO (Ecuación de Euler). La forma diferencial de la
segunda ley de Newton para un flujo no viscoso se denomina ecuación de Euler, si sólo se emplea en una
ecuación vectorial; o ecuaciones de Euler si se emplean ecuaciones por componentes separadas.
LA ECUACIÓN DINÁMICA DEL FLUJO VISCOSO (Ecuación de Navier - Stokes)
19
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Ecuación de continuidad en valores medios (volumen de control).
Figura 18 Análisis de un volumen de control para llegar a la ecuación de continuidad.
∫ ρ d∀
V.C.
LO QUE ENTRA
LO QUE SALE =
a través de la superficie de control
LO QUE SE QUEDA
por unidad de tiempo
Así, la variación del volumen del control V.C. respecto al tiempo es, ver figura 19:
∂
∂t
∫ ρ d∀
(escalar)
V.C.

Consideremos la superficie y un elemento diferencial que vectorialmente es n d A (normal a la superficie y
de magnitud A).
O también distancia por unidad de tiempo
Figura 19 Esquema de análisis para llegar a la ecuación de continuidad.
 
El producto punto v ⋅ d A
da precisamente la componente de volumen por unidad de tiempo que ENTRA
por la superficie de control (y menos, lo que sale al considerar toda la superficie).
Al considerar la masa de este volumen e integrar toda la superficie:
 
- ∫ ρv ⋅ dA
S.C.
Entonces queda:
∂
 
∫ ρ d∀ = - ∫ ρv ⋅ dA
∂ t V.C.
S.C.
20
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(El menos resulta al considerar que lo que entra es positivo y lo que sale, negativo (opuesto al signo de los
productos punto)).
-Si el flujo es PERMANENTE, la variación respecto al tiempo es nula y:
 
- ∫ ρv ⋅ dA = 0
S.C.
-Si el flujo es INCOMPRESIBLE (Volumen de control no deformable)
 
- ∫ v ⋅ dA = 0
S.C.
(Se supone que ρ (x, y, z, t)... esta condición la anula)
Considerando el flujo permanente e incompresible
 
- ∫ v ⋅ dA = 0
S.C.
Entonces
 
∫ v ⋅ dA =
A1
 
- ∫ v ⋅ dA
A2
Pero por definición de valor medio
v1 =
Entonces

1 
∫v⋅d A
A1 A1
A1V1 = A2 V2
Ejercicio 1.9 Un tanque abierto, como se muestra en la figura, contiene agua a 20º C y se está llenando a través de la
sección (1) con una velocidad V1 = 3 m/s y (3) con un flujo volumétrico Q3 = 0.01 m3/s. Si el nivel del tanque h se
considera constante, calcule la velocidad de salida en (2). (Problema 3.14 de Mecánica de Fluidos, White, 6ª edición,
2008, McGraw - Hill).
21
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Se plantea la ecuación de la conservación de la masa, con los datos del problema:
Q2 = Q1 + Q3 =
Pero también
π
4
(0.05) 2 (3) + 0.01 = 0.0519m 3 / s
Q2 = A2V2 = 0.0519 m 3 / s =
π
4
(0.07 m) 2 V2 ∴V2 = 4.13 m / s
Ecuación de cantidad de movimiento (volumen de control)
La segunda ley de Newton para un sistema se emplea como la base para determinar la forma del volumen de
control para la ecuación de la cantidad de movimiento lineal, que implica que la fuerza es igual al cambio de
la cantidad de movimiento en el tiempo, donde la cantidad de movimiento es el producto de la masa por la
velocidad.
Del teorema del transporte de Reynolds donde N = mv y donde
ρv / ρ = v
F=
 e s e l mom
d (mv) ∂
=
∫ ρ v d ∀ + ∫ vρ v ⋅ dA
∂ t VC
dt
Lo anterior ha permitido de nuevo trabajar en un volumen de control, donde las fuerzas que actúan son de
dos tipos: de cuerpo (masivas) y de superficie.

f cuerpo

f peso, w

f

f electromagnética

f presión, p
superficie

f tangenciales, τ
Entonces la sumatoria de fuerzas del miembro izquierdo de la ecuación quedaría como:
 

d

(ρ v )
f w + f p + fτ =
dt
Esto es, utilizando el operador desarrollado cuando se derivó la ecuación de continuidad, quedaría:

 
d

 
f w + f p + fτ =
∫∫∫ ( ρ v d∀ ) + ∫∫ ( ρ v vd A)
d t V.C.
S.C.
que es la ecuación de la CANTIDAD DE MOVIMIENTO para un volumen de control, y que como se observa
es una ecuación vectorial.
- Si el flujo es permanente, el primer término se elimina y se reduce a

 
 
f w + f p + fτ = ∫∫ ( ρ v vd A)
S.C.
Si se selecciona el volumen de control de manera que coincida con un tubo de flujo y recordando que la
velocidad media en una sección está dada por:
v1 =
1
 
∫∫ v ⋅ d A
A1 A1
22
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se puede definir, en forma semejante, un coeficiente llamado de Boussinesq (1842-1929), dado por:
β1 =
1
ρ v1 A1
2
 
∫∫ ρ v v ⋅ d A
o sea
β1 =
1
ρ v1 Q
 
∫∫ ρ v v ⋅ d A
por lo que la ecuación de cantidad de movimiento para flujo permanente, considerando valores medios,
puede representarse como:
  


f w + f p + fτ = β 2 ρ v 2 Q - β1 ρ v1 Q
Donde β para tubos : Flujo laminar, β = 1.33
Flujo turbulento, β = 1.03 a 1.04
Ejercicio 1.10 El chorro de agua golpea perpendicularmente a una placa fija. Despreciando la gravedad y la fricción,
calcule la fuerza F en N requerida para mantener la placa fija. Las cantidades a analizar se muestran en la figura.
(Problema 3.40 de Mecánica de Fluidos, White, 6ª edición, 2008, McGraw - Hill).
Utilizando un volumen de control que incluya tanto a la placa como al chorro que incide y tomando ∑ Fx = max
(ya que solamente en x se lleva a cabo el análisis al considerar que el chorro se divide en dos partes iguales que
hacen que en y se anulen las fuerzas), se tiene:
Se indicará sólo la componente en la velocidad en x que es u.
•
•
donde m i = ρAi u i
∑ F x = − F = − mi u i
∴ F = ρ Ai Vi 2 = (998 kg/m 3 ) π (0.05 m) 2 (8 m/s) 2 = 500 N
Ecuación de la energía (Bernoulli) (volumen de control)
La primera ley de la termodinámica establece que para un sistema, el cambio de la energía en un sistema es
igual al calor añadido al fluido, menos el trabajo hecho por el fluido en sus alrededores, depende solamente
de las condiciones iniciales y finales del sistema. Es decir, en forma de ecuación:
d E =dQ-d W
E, energía
Q, calor añadido
23
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W, trabajo hecho por el fluido en sus alrededores
Recordemos entonces el teorema del transporte de Reynolds que nos dice lo siguiente, si N = E y
 = e
dE ∂
=
∫ ρ ed ∀ + ∫ ρ e v⋅d A
d t ∂ t VC
Utilizando la definición anterior se tiene:
dE ∂Q ∂W ∂
=
=
∫ ρ ed ∀ + ∫ ρ e v⋅d A
∂t
∂t
∂ t VC
dt
Las energías que se presentan son:
energía interna
energía potencial
energía cinética
E1
E2
E3
E
que corresponden a las siguientes energías específicas, por unidad de masa
e1 = u
función de la temperatura y de la sustancia
e p = g h h, diferencia de niveles
ec =
V2
energia cinetica
2
El trabajo puede efectuarse a través de las fronteras únicamente, por medio de fuerzas normales o de
presión, tangenciales o de cortante y / o de flecha (que es una combinación de ambas).
W presión (normal)
W cortantes (tangencial)
W flecha (normal y tangencial)
W
Analicemos cada término. La variación del trabajo por unidad de tiempo (o sea una potencia) hecho por el
fluido en sus alrededores debido a las fuerzas de presión, estará dado por:
d W presion
dt
 
= ∫p v⋅d A
S.C.

longitud x fuerza d W

=
v ⋅ p d A = velocidad x fuerza =
tiempo
dt
Obsérvese que este término no es una energía de presión - como suele llamarse - sino un trabajo del fluido
debido a las fuerzas de presión.
Por otra parte, el cambio de la energía en el volumen de control por unidad de tiempo, del teorema del
transporte de Reynolds estará dado por:
24
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dE ∂

=
∫ e ρ d ∀ + ∫e ρ v ⋅d A
d t ∂ t V.C.
S.C.
donde e = ei + ep + ec
Con un volumen de control adecuado se puede eliminar
dW
cortante
dt
haciéndolos despreciables comparados
con las fuerzas de presión.
Recordamos el concepto de potencia que - en términos hidráulicos - es:
P=ηQHρg
Al definir la eficiencia, por ejemplo, en bombas o turbinas:
ηβomba =
γ QH
P
P = potencia nominal o de la placa
η turbina =
P
γ QH
η es < 1; en bombas, la potencia real es menor a la nominal. En turbinas es a la inversa.
Considerando que la variación de calor no afecta notoriamente el comportamiento de los fluidos en
dQ
y la energía interna no aparecen en forma explícita y se agrupan en un
hidráulica, la variación de calor
dt
término de pérdidas. Al quedar epot, ecinética y el trabajo de presión, la carga total H de energía resulta,
para un flujo permanente:
H =α
v2
p
+
+z
2g ρ g
que se le atribuye por primera vez a Daniel Bernoulli (1700-1782)
v2
por lo que se definido el coeficiente de Coriolis α
2g

2 
∫ρ v v⋅d A
La distribución de velocidades afecta el valor de
α=
1
ρ Q v2
La expresión más general de la ecuación de Bernoulli (de las varias presentaciones), dentro del campo de la
Ingeniería Civil es, ver figura 20:
H =α
v2
p
v2
+h
+z=
+
2g
2g ρ g
h , carga piezométrica
25
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Figura 20 Representación gráfica de las variables que constituyen la ecuación de la energía
Ejercicio 1.11. Se tiene un tubo que cambia de 20 cm en el punto (1) a 40 cm en el punto (2); si el punto (1) está a
4.50m debajo de (2); además, si la presión en (1) es de 0.75 kg/cm2 y en el punto (2) la presión es de 0.60 kg/2. Si en la
tubería circula un gasto Q= 105 lt/seg, con un coeficiente (f =0.027); además, no se presentan pérdidas en la tubería,
se pregunta:
a)
¿Cuál será la dirección del flujo?
P1 = 0..7
kg
cm 2
= 7,000
kg
cm 2
P2 = 0.6
kg
cm 2
A1 = πr = π * (0.10) 2 = 0.10m 2 0.0314m 2
D2 = 0.40m
kg
D1 = 0.20m
cm 2
0.105
m
V1 =
= 3.342
0.0314
seg
= 6,000
A2 = πr = π * (0.20) 2 = 0.20m 2 0.0314m 2 0.1257m 2
0.105
m
= 0.34
0.1257
seg
Z1 = 0
Z2 = 4.50m
V2 =
Aplicando la ecuación de Bernoulli, se tiene:
P1 V112
P 2 V 2 12
+
+ Z2 =
+
+ Z 2 + hf
γ
2g
γ
2g
Sustituyendo valores:
m 2
m 2
kg
)
(0.34
)
6000
2
seg
seg
cm
+0=
+
+ 4.5 + 0
kg
2 * 9.81
2 * 9.81
1000
1000
cm 2
cm 2
7 + 0.1702 = 6 + 0.0428 + 4.50
7.170m = 10.5428m
7000
kg
cm 2 +
kg
.(3.34
De acuerdo al resultado anterior, la dirección del flujo es de 2 a 1
Ejercicio 1.12. Se usa un cono reductor en un tubo horizontal para desviar el flujo de agua en un ángulo θ = 110°, con
respecto a la dirección inicial del flujo, al mismo tiempo que se acelera. El codo descarga agua a la atmósfera. El área
de la sección transversal del codo es 150 cm2 a la entrada y 25 cm2 a la salida. La diferencia de elevación entre los
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centros de la salida y de la entrada es de 40 cm. La masa del codo y del agua que contiene es de 50 kg. Determine la
fuerza de anclaje necesaria para mantener al codo en su lugar. Considere el factor de corrección del flujo de la
cantidad de movimiento como 1.03 tanto a la entrada como a la salida. (Problema 6.24 de Mecánica de Fluidos.
Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, 2ª edición, 2012, McGraw - Hill).
110°
2
Considerando que el flujo es permanente, donde no interviene
la fricción, unidimensional e irrotacional (de tal manera que
Bernoulli pueda aplicarse), que debe tomarse en cuenta el
peso del codo y del agua, además que el agua descarga a la
atmósfera y en consecuencia la presión manométrica es cero
y que si se considera flujo turbulento β = 1.03.
ρ = 1000 kg/m3.
W = mg = (50 kg)(9.81 m/s ) = 490.5 N = 0.4905 kN
2
25 cm2
FRz
150 cm2
FRx
Agua
30 kg/s
1
W
 1 = m 2 = m = 30 kg/s. Y las velocidades a la entrada y a la salida son:
Por continuidad m
m
30 kg/s

=
= 2.0 m/s
ρA1 (1000 kg/m 3 )(0.0150 m 2 )
m
30 kg/s

=
= 12 m/s
V2 =
ρA 2 (1000 kg/m 3 )(0.0025 m 2 )
V1 =
La ecuación de Bernoulli nos permite expresar lo siguiente:

 V 2 − V12

 V 2 − V12
P1 V12
P
V2
+ z 2 − z1  → P1, man = ρg 2
+ z2 
+
+ z1 = 2 + 2 + z 2 → P1 − P2 = ρg 2




ρg 2g
2g
2g
ρg 2g




 (12 m/s) 2 − (2 m/s) 2

P1, man = (1000 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )
+ 0.4  = 73.9 kN/m 2 = 73.9 kPa
2


2(9.81 m/s )


Aplicando la ecuación del impulso y cantidad de movimiento:
FRx + P1,man A1 = βm
 V2 cosθ − βm
 V1
y
FRy − W = βm
 V2 senθ
Resolviendo para FRx y FRz, y sustituyendo los valores dados,
FRx = β m
 (V2 cos θ − V1 ) − P1, gage A1

1 kN
= 1.03(30 kg/s)[(12cos110° - 2) m/s]
 1000 kg ⋅ m/s 2


 − (73.9 kN/m 2 )(0.0150 m 2 ) = −1.297 kN



1 kN
FRz = βm
 V2 senθ + W = 1.03(30 kg/s)(12sen110° m/s)
2
 1000 kg ⋅ m/s
y

 + 0.4905 kN = 0.8389 kN


2
2
+ FRz
= (−1.297) 2 + 0.8389 2 = 1.54 kN
FR = FRx
θ = tan -1
FRz
0.8389
= tan -1
= −32.9°
FRx
− 1.297
Ejercicio 1.13 Cuando la bomba de la figura adjunta desarrolla 25 kw de potencia sobre el agua, la pérdida por
fricción es de 4 m. Calcule (a) la velocidad de salida Vs y (b) el flujo volumétrico Q. (Problema 3.130 de Mecánica de
Fluidos, White, 6ª edición, 2008, McGraw - Hill).
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Al establecer la ecuación de la energía se tiene lo siguiente:
v 2
p
p1 v1 2
+
+ z1 = 2 + 2 + z 2 + h f - h b
ρg 2 g
ρg
2g
Al sustituir valores, con el P. H. C. en la superficie libre del agua.
0+0+0 = 0+
Donde hb =
P
ρ gQ
=
V2 2
+ 2 + 4 − hb
2g
25,000 w
998 kg/m 3 x 9.81 m/s 2 Q
Por continuidad V2 =
Q
(1)
(2)
π (0.025 m) 2
Resolviendo numéricamente las ecuaciones (1) y (2)
Para encontrar
V2 = 28.1 m/s
y luego en (2) se tiene
Q = 28.1 m/s π (0.025 m) 2 = 0.0552 m 3 / s ≈ 200 m 3 / h
Criterios de aproximación diferencial para el desarrollo de las ecuaciones básicas.
El análisis diferencial está orientado a establecer un modelo matemático del comportamiento del fluido,
que permita conocer en detalle lo que ocurre en cada punto y en todos los puntos del campo de flujo.
Para ello se establecen las ecuaciones básicas en pequeña escala, llegando a relaciones diferenciales, las
cuales se deberán integrar para cada caso particular.
Lo anterior permitirá conocer la distribución espacial y temporal de las variables que definen el
comportamiento del fluido, como son la presión, velocidad, densidad y otras.
A medida que un elemento de fluido se mueve en el espacio le pueden ocurrir diferentes transformaciones.
Lo más claro es que está sujeto a un desplazamiento, pero también puede rotar y deformarse. Además la
deformación puede ser lineal, en cuyo caso no se pierde la ortogonalidad de los ejes, o angular, cuando el
ángulo entre los ejes también cambia. Ver figura 21
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Figura 21 Esquema de transformación de la partícula al moverse.
Para describir estas transformaciones y cuantificarlas se necesitan elementos que midan los cambios de
posición, la rotación y la deformación de un elemento de fluido en el tiempo.
En general, incluso en muchos de los llamados flujos permanentes, la velocidad en un punto no es
absolutamente constante, sino que oscila aleatoriamente en torno a un valor, ver figura 22.
Figura 22 Comparación entre el flujo laminar y el turbulento.
La velocidad puntual instantánea se puede expresar como V = U + v* donde el promedio de v* es cero si el
flujo es laminar y en caso de no serlo entonces el flujo es turbulento.
Antes de comenzar a tratar el tema, es útil recordar las propiedades del operador vectorial
continuación se resumen sus principales propiedades, utilizando coordenadas cartesianas:
a.
Definición. Operador vectorial
∇ (nabla). A
∇
∂  ∂ 
∂ 
∇=
i+
j +
k
∂x
∂y
∂z
b. Gradiente de una función escalar. Define la variación de la función F en el espacio y tiene por
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dirección aquella en la cual el aumento de F es mayor. En este caso opera sobre una función escalar
y el resultado es un vector:
grad F = ∇ F =
c.
∂F
∂F
∂F
i +
j+
k
∂x
∂y
∂z
Divergencia de una función vectorial. Indica la forma en que un vector se aleja de un punto en el
espacio y el comportamiento de sus componentes. De esta manera opera sobre un vector y el
resultado es un escalar.
∂u ∂v ∂w
+
+
div V = ∇ ⋅ V =
∂x ∂y ∂z
d. Rotacional o rotor de una función vectorial. Define la forma en que el vector gira en el espacio. En
este caso opera sobre un vector y el resultado también es un vector.
∂ v ∂ u 
∂ w ∂ v
∂ u ∂ w 
rot v = ∇ × V = 
j + 
k
i +

∂x
∂ z
∂ z
∂ x ∂ y
∂y
e.
Laplaciano de una función escalar. Se define por este nombre a la divergencia del gradiente de una
función escalar. El resultado es un escalar.
Lap F = ∇ 2 F = div ( grad F ) = ∇ ⋅ ∇ F =
∂2 F
∂ x2
+
∂2 F
∂ y2
+
∂2 F
∂ z2
Hasta el momento se han desarrollado las expresiones para el análisis bajo
el método del volumen de control (criterio macro), es decir se estudia el
flujo de manera externa al volumen de control; la figura 23 a, muestra una
antena parabólica, sólo interesa la fuerza dinámica generada por el flujo
que incide sin importar la distorsión que la propia antema ofrezca al flujo.
La solución se obtiene aplicando los criterios expuestos en incisos
anteriores.
En la parte inferior de la figura 23 b, el análisis obedece ya no sólo a la
fuerza dinámica que el flujo induce sobre la antena, además se desea
conocer cómo se modifican las líneas de corriente por el efecto del
obstáculo que presenta la antena parabólica al paso del flujo.
En esta situación no es posible resolverla con las herramientas
desarrolladas y se hace necesario plantear el problema a escala micro, se
requiere más detalle para la solución y entonces interviene el criterio del
análisis diferencial.
Figura 23. Flujo ante una antena (Cengel, 2005)
Ecuación de la conservación de la masa.
Es necesario plantear lo que podría llamarse un volumen de control diferencial y utilizando el teorema del
transporte de Reynolds, poder llegar a la siguiente conclusión, la figura 24, muestra el elemento
diferencial.
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Figura 24, Entrada y salida de masa en cada uno de los costados de un volumen diferencial (Cengel, 2006)
Con los operadores vectoriales propuestos anteriormente, y utilizando el teorema de la divergencia, la
ecuación de continuidad aplicable a ese volumen de control es:
𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕(𝜌𝑤)
+
+
+
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
En forma alternativa se tiene la siguiente expresión:
𝜕𝜌
�⃗ ∙ �ρ V
�⃗ � = 0
+ ∇
𝜕𝑡
Es decir que aquella función que cumpla cualquiera de las dos igualdades anteriores, cumple la ecuación de
continuidad.
Algunos casos especiales, harán que la ecuación anterior se modifique; la más importante de ellas cuando se
trata de fluidos en estado líquido corresponde a un flujo incompresible, por lo que el primer término
desaparece ya que es constante. Es de recalcarse que esta ecuación corresponde a coordenadas
cartesianas
𝜕(𝜌𝑢) 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕(𝜌𝑤)
+
+
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
Figura 25. Esquema que muestra la conversión de coordenadas cartesianas a cilíndricas. (Cengel, 2006)
En muchas ocasiones es importante expresar esta ecuación en coordenadas cilíndricas y entonces toma la
siguiente forma
31
1 𝜕(𝑟𝑢𝑟 ) 1 𝜕(𝑟𝑢𝜃 ) 𝜕(𝑢𝑧 )
+
+
=0
𝜕𝑧
𝑟 𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝑟
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Ejercicio 1.14 Betty estudia un flujo rotacional en un túnel de humo. Mide las componentes de la velocidad u y v,
utilizando un anemómetro de hilo caliente. En x = 0.50 m y y = 0.20 m, u = 10.3 m/s y v = - 5.6 m/s.
Desafortunadamente, el programa que utiliza sólo admite datos en coordenas cilíndricas (r, θ) y (ur, uq). Ayude a esta
estudiante a transformar sus datos a coordenadas cilíndricas.
Se deberán transformar los puntos de medición de coordenadas cartesianas y sus componentes de la velocidad a
coordenadas cilíndricas lo mismo que sus componentes de la velocidad.
r=
x2 + y 2 =
2
2
= 0.5385 m
y
 0.20m 
= tan -1
 = 21.80 0 = 0.3805 radianes
x
 0.50m 
θ = tan -1
ur = u cos θ + v sin θ = 10.3
( 0.50 m ) + ( 0.20 m )
m 0.50 m
m 0.20 m
m
×
− 5.6 ×
= 7.484
s 0.5385 m
s 0.5385 m
s
uθ =
−u sin θ + v cos θ =
−10.3
m 0.20 m
m 0.50 m
m
×
− 5.6 ×
=
−9.025
s 0.5385 m
s 0.5385 m
s
Considerando que x = rcosθ y y = rsenθ por conveniencia. Los resultados finales se resumen a continuación:
Resulta: r = 0.539 m, θ = 0.381 radians, ur = 7.48
m
m
, uθ = −9.03
s
s
Verificación del resultado. En coordenadas cartesianas,
2
2
m 
m
m2

V 2 = u 2 + v 2 = 10.3  +  −5.6  = 137.5 2
s  
s 
s

En coordenadas cilíndricas,
2
2
m 
m
m2

V = ur + uθ =  7.484  +  −9.025  = 137.5 2
s  
s 
s

2
2
2
BIBLIOGRAFÍA.
Cengel Y A, Cimbala J M, (2006). Mecánica de Fluidos, Fundamentos y Aplicaciones, Mc Graw Hill.
1st Edition.
Chin D A, (2007).Water – Resources Engineering. Prentice Hall, 2nd Edition.
Franzini J B, Finnemore E J, (1999). Mecánica de Fluidos con aplicaciones en ingeniería, Mc Graw Hill,
9ª Edición.
Fox R W, Pritchard P J, McDonald A T, (2009). Introduction to Fluid Mechanics, Wiley, 7th Edition,
Mott R L, (2006). Mecánica de Fluidos, Pearson Prentice Hall, 6a Edición.
Potter M C, Wiggert D C, (2002) Mecánica de Fluidos, Thomson, 3ª. Edición.
Sánchez B J L, Carmona P R, (1991). Fundamentos de Mecánica de Fluidos para Ingenieros Hidráulicos,
Series del Instituto de Ingeniería D 31, UNAM.
Streeter V L, Wylie E B, Bedford K W (1998). Fluid Mechanics, McGraw Hill, 9th Edition,
Sotelo A G, (1979). Hidráulica General. Vol. 1. Fundamentos, Limusa.
White F M, (2004). Mecánica de Fluidos, 5a Edición. Mc Graw Hill.
32