tema 5. muestreo para la aceptación.

TEMA 5. MUESTREO PARA LA ACEPTACIÓN. Introducción.
Planes de muestreo por atributos simple, doble, múltiple y
rectificativos Dodge-Romig, Norma militar 1000STD-105D.
Pautas a seguir para el cambio de rigor y nivel de inspección.
El control de recepción o muestreo de aceptación es el que se aplica al
recibir materias primas, productos elaborados o servicios administrativos que
serán introducidos en un proceso de fabricación y/o administrativo para
comprobar cómo cumplen unas especificaciones de calidad. Sus técnicas
suponen un compromiso de calidad entre fabricante y comprador o personal
de servicio y usuario.
La contribución a la toma de muestras de los expertos en estadística, ha
sido básicamente el establecer el tamaño de las mismas y establecer los
riesgos que ayuden al responsable a tomar decisiones más inteligentes con
respecto a la aceptabilidad del producto.
Vamos a centrarnos en control de recepción por atributos de unidades
defectuosas en un lote de productos elaborados. Su objetivo es juzgar la
calidad del lote según la proporción de unidades defectuosas que recibe el
cliente.
El muestreo de aceptación se define como el muestreo por el que se
toma la decisión de aceptar o rechazar un lote en función de la información
obtenida por la muestra.
Un plan de muestreo simple es un procedimiento en el que se toma una
muestra aleatoria de n unidades del lote para su inspección y determinación
del destino del mismo en función de la información procedente de la muestra.
Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso un par de números (n, c), donde
n es el tamaño de la muestra y c el número máximo de unidades defectuosas
que puede tener la muestra para que el lote sea aceptado.
Supondremos en nuestro caso que se recibe un lote grande de
productos (N grande), teóricamente infinito, con una proporción p de artículos
defectuosos. El lote se aceptará si la proporción de artículos defectuosos es
menor que una proporción especificada por el vendedor, p � pA (nivel de
calidad aceptable, AQL). El valor pA depende de criterios económicos y
técnicos y es fijado por el vendedor. Se pretende diseñar un procedimiento
para la aceptación o rechazo del lote, que es lo que proporciona el
mencionado plan (n, c).
Así, denominando X = “número de unidades defectuosas encontradas en
la muestra de tamaño n”, se aceptará el lote si X � c.
La proporción de artículos defectuosos en el lote (p) es desconocida,
aunque estimada mediante la proporción correspondiente en la muestra.
Como consecuencia de la decisión tomada en el plan de muestreo se
cometerán los dos tipos de errores conocidos estadísticamente en cualquier
contraste de hipótesis: 1) rechazar un lote que debería ser aceptado; 2)
aceptar un lote que debería ser rechazo.
�
Se corresponden con:
Riesgo del fabricante o vendedor = � = Prob (error tipo I) = P (rechazar
el lote con p � pA)
Valores usuales son 0’001, 0’01, 0’05 y 0’10.
Riesgo del comprador = � = Prob (error tipo II)
Para controlar este error el comprador especifica pR o nivel de calidad
rechazable (LPTD) tal que la probabilidad de aceptar lotes con calidad igual o
peor que pR (p � pR) sea muy baja.
� = P (aceptar el lote con p
pR)
Valores usuales son 0’10, 0’12 y 0’20.
�
Plan de Muestreo Simple (n, c)
�
Se selecciona al azar una muestra de tamaño n de un lote de N
unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,
que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’
contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos
establecidos, X, y se compara con el número de aceptación, c, si X es menor
o igual que c se decide aceptar el lote y si es mayor se rechaza. El esquema
general se ve en la figura.
Lote de tamaño
‘N’
Obtenemos una muestra
de tamaño ‘n’
X = nº de defectuosos
en la muestra
Sí
Aceptar el
lote
X�c
No
Rechazar el
lote
Para establecer un plan de muestreo (n, c) se requiere definir
previamente (�, pA) y (�, pR), correspondientes a las probabilidades de los
errores y a las calidades dada por el vendedor y exigida por el comprador,
respectivamente.
Es frecuente establecer la relación:
.
Para caracterizar el plan de muestreo se utiliza la curva característica
(OC) definida por:
OC(p) = Probabilidad (aceptar un lote con una proporción p de artículos defectuosos)
Especificar (�, pA) y (�, pR) equivale a fijar dos puntos de la curva
característica. A medida que aumenta el tamaño de muestra, si
constante, el error
se mantiene
disminuye. La determinación del plan de muestreo a
partir de dos puntos de la curva característica es laborioso. Para simplificar
esta tarea se han construido tablas que los proporcionan. Estos planes se
clasifican en dos tipos:
1. Planes de aceptación y rechazo. Normas japonesas y la norma
militar.
2. Planes de control rectificativo. Se diferencian de los anteriores en
que los lotes rechazados se inspeccionan al 100% sustituyendo las
unidades defectuosas por aceptables. Los más utilizados son los de
Dodge-Romig y los dados por las propias normas militares.
Cálculo del plan de Muestreo Simple (n, c)
Para calcular el plan de muestreo (n, c) se utilizará la distribución
binomial de parámetros (n, p), pues es de las más comunes para tamaños
grandes de lote con relación al tamaño de la muestra, situación muy frecuente
en la práctica.
La función de probabilidad de X:
, para x = 0, 1, 2, �, que es la probabilidad
de que en una muestra de tamaño n se encuentren x unidades defectuosas.
Para que se cumplan los requisitos especificados (�, pA) y (�, pR) se han
de verificar las ecuaciones siguientes:
c
�n�
P(X � c) � � � � piA (1 � p A ) n �i � 1 � �
i�0 � i �
c
�n�
P(X � c) � � � � piR (1 � p R ) n �i � �
i�0 � i �
donde n y c son las incógnitas.
La primera ecuación expresa la probabilidad de aceptar el lote con un
número de unidades defectuosas menor o igual que c, con calidad pA, la
especificada por el proceso de fabricación (vendedor). Mientras que la
segunda ecuación muestra la probabilidad de que se acepte un lote con un
número de unidades defectuosas menor o igual que c, con calidad pR,
especificada por el comprador o cliente.
La resolución del sistema planteado no es fácil por lo que se conocen
ciertos métodos gráficos (Nomograma y General Motors) o de tablas como las
japonesas JIS Z 9002 o americanas MIL-STD_105D.
Para la resolución del sistema anterior se ha realizado un programa en
Visual Basic y Access, “PMASIL” (Plan de Muestreo de Aceptación SImple de
Lotes).
A la hora de resolver el sistema se utiliza un proceso iterativo. Se
plantea la inecuación, pasando sendos términos, con el valor 0, se toma su
valor absoluto y se suman. Se prueban los posibles valores para n y c y se
elige como resultado el que haga que las suma de los dos valores absolutos
diste menos de 0.
Nos proporcionará soluciones para n y c basadas en un tamaño máximo
de n, que siendo más precisos se asemejarán a los valores dados por los
métodos de tablas y gráficos señalados anteriormente.
Hay que destacar que el programa, además, es una forma rápida y
sencilla, a la para que precisa, para calcular el mencionado plan de muestreo
simple.
Otro programa PMASIL_SIM permite de forma didáctica mediante una
simulación el proceso siguiente: se crea un lote de tamaño N de 0’s, en
proporción 1 – p, y 1’s, en proporción p, donde 1 significa que el artículo es
defectuoso. Se seleccionan en el mismo lote sucesivas muestras aleatorias
de tamaño n y número de aceptación c, proporcionados por PMASIL como
plan de muestreo simple especificado. Una vez examinadas una por una las
muestras se decide aceptar o rechazar el lote en función del número de 1’s
(unidades defectuosas) encontradas comparándolo con el número de
aceptación c.
Se contabilizará el número de veces que ha sido aceptado el lote y se
calculará la proporción dividiendo entre el número total de simulaciones. Este
resultado nos informará de la probabilidad de aceptación en las simulaciones.
Posteriormente, se calculará la probabilidad de aceptación de un lote
teórica dada por la distribución binomial.
donde p es la calidad del lote o
proporción de artículos defectuosos
El esquema que sigue el programa se muestra en la figura:
Lote de tamaño ‘N’
Proporción de correctos: ‘p’
Proporción de defectuosos: 1-‘p’
Seleccionar muestra de tamaño
‘n’
¿‘X’ ? ‘c’?
Sí
‘N’ tamaño del lote
‘p’ proporción de artículos defectuosos
‘n’ tamaño de la muestra
‘c’ número de aceptación
‘X’ número de artículos defectuosos de la muestra
‘R’ número de muestras a realizar
Sumar 1 al número de
muestras aceptadas
No
Sí
¿Nº de muestras
probadas < ‘R’
(muestras a realizar)?
No
Presentar Resultados:
Nº de Muestras Aceptadas,
Nº de pruebas realizadas,
Proporción entre ambas,
Probabilidad teórica
El programa se presenta de dos formas diferentes: dentro de PMASIL en
la opción de ‘Simular probabilidad de aceptación’ se puede encontrar un
resumen de los resultados. Proporcionará los resultados resumidos del
número de lotes aceptados, el porcentaje o probabilidad de aceptación
simulada y la probabilidad de aceptación teórica; por otra parte, PMASIL_SIM
mostrará los cálculos intermedios de una forma clara y didáctica. Dará cada
una de las muestras aleatorias elegidas, el número de defectuosos (de 1’s) de
cada una y si el lote se acepta o se rechaza.
Planes de control rectificativo de Dodge-Romig
Los planes de control rectificativo se basan en que los lotes rechazados
son inspeccionados al 100% y todos los elementos defectuosos se sustituyen
por buenos. De esta manera se garantiza que la calidad media de entrada
en el almacén (AOQ) será alta. En efecto, en un lote de N unidades con una
proporción p de defectuosas, si
(p) es la probabilidad de que el plan de
muestreo acepte lotes de dicha calidad, ya que los lotes se inspeccionan al
100% y todos los defectuosos se sustituyen por buenos, la calidad promedio
en el almacén será:
Si el valor de N no fuese muy grande, se tendría que:
Así pues, el valor AOQ depende de p y se calcula multiplicando por p la
curva característica.
Cuando la calidad de entrada es muy buena (p pequeño) la calidad en el
almacén será también buena. A medida que la proporción defectuosa
aumenta, lo hará también AOQ, aunque en menor proporción, ya que los lotes
comenzarán a ser rechazados e inspeccionados al 100%. Se obtiene un
punto máximo que se denomina límite de la calidad media de entrada
(AOQL):
Lotes muy malos serán casi siempre rechazados, por tanto serán
inspeccionados al 100% y conducirán a una calidad muy alta en el almacén.
Otra medida importante respecto de la inspección rectificadora es la
cantidad total media de inspección que requiere el plan de muestreo y que
se representará por ITM. Es claro que si los lotes no contienen unidades
defectuosas, no se rechazará ninguno, y la cantidad por lote será el tamaño
de la muestra n. Si por el contrario, todos los artículos son defectuosos, se
someterán a inspección del 100% todos los lotes y el tamaño de inspección
por lote será el tamaño de éste. Pero, si la calidad del lote está comprendida
entre cero y uno, el tamaño de inspección variará entre el tamaño de la
muestra n y el tamaño del lote N. Si el lote tiene una calidad p y la
probabilidad de aceptación del lote es pa, entonces:
FLUJO DEL MATERIAL EN RECEPCIÓN
Las tablas de Dodge-Romig pueden utilizarse para muestreos simples y
dobles, pudiendo entrar en ellas de dos formas:
1. Planes LTPD (= LQ = pR). Dados N, AQL y el nivel de calidad
rechazable LTPD, proporcionan n, c y AOQL del plan de control
rectificativo.
2. Planes AOQL. Dados N, AQL y AOQL, se obtiene n, c y LTPD.
Normas militares estándar
Plan de muestreo simple.
Como se sabe, un plan de muestreo simple es un procedimiento en el
que se toma una muestra aleatoria de n unidades del lote para su inspección
y determinación del destino del mismo en función de la información
procedente de la muestra.
Se selecciona al azar una muestra de tamaño n de un lote de N
unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,
que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’
contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos
establecidos. Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso tres números (n,
Ac, Re), donde n es el tamaño de la muestra, Ac es el número de aceptación
o máximo de unidades defectuosas que puede tener la muestra para que el
lote sea aceptado, y Re el número de rechazo. Este último indica que si el
número de unidades defectuosas encontradas en la muestra es igual o mayor
que él, el lote es rechazado.
Para dar el plan de muestreo (n, Ac, Re) en este trabajo utilizaremos las
normas militares estándar.
La norma UNE 66–020 (MIL STD 105D) consiste en un conjunto de
tablas que establecen los planes de muestreo de aceptación de lotes por
atributos mencionados anteriormente.
Un concepto clave para la utilización de estas tablas es el nivel de
calidad aceptable (NCA o AQL). Se define como el porcentaje máximo de
unidades defectuosas alcanzable por la media del proceso para que se pueda
considerar como satisfactorio desde el punto de vista de la inspección por
muestreo. Se considera como un porcentaje de defectuosos “aceptable” por el
comprador, un compromiso entre la capacidad del proceso del proveedor y las
exigencias del cliente. El NCA ha de ser prefijado, generalmente por criterios
económicos.
El NCA indica que un lote con una proporción p de defectuosos que sea
menor o igual que él será aceptado en la mayoría de los casos. (La
probabilidad de aceptar un lote con p = NCA varía entre el 88-99%).
Las normas militares ofrecen variantes en cuanto a la severidad del
muestreo. Permite elegir tres rigores generales de inspección: normal,
rigurosa y reducida, como se ve en la figura. La inspección normal se aplica
generalmente al inicio del proceso y cuando la calidad del proveedor es del
mismo orden de la que precisa el proceso de fabricación. La rigurosa se
aplica cuando el historial de la calidad se ha deteriorado (calidad < necesaria).
Y, por último, la reducida cuando el historial de calidad es excepcionalmente
bueno (calidad > necesaria). En esta última el tamaño de muestra es menor.
REDUCIDA
NORMAL
RIGUROSA
Rigores generales de inspección
Para poder cambiar el rigor de inspección se sigue el siguiente
esquema:
10 o más lotes consecutivos aceptados
y
nº de defectuosos no supera el límite de la
tabla de números límites en inspección
reducida
y
producción estable
Inicio
2 de 5 lotes
consecutivos son
rechazados
y
autoridad competente lo estima
REDUCIDA
Se rechaza un lote
o
NORMAL
RIGUROSA
5 lotes
consecutivos
aceptados
10 lotes
consecutivos
rechazados
no se toma decisión
(nº defectuosos
mayor que Ac pero menor que Re)
o
producción irregular
o
autoridad competente lo estima
Se para
la
inspección
Cambios de rigor de inspección
Si se llama X = “número de defectuosos en la muestra”, cuando el rigor
de inspección es reducido, puede ocurrir que:
Sucede
X � Ac
Decisión
Se acepta el lote y se sigue en
inspección reducida
Ac < X < Re
X � Re
Se acepta el lote y se pasa a
inspección normal
Se rechaza el lote y se pasa a
inspección normal
Además, del AQL y del rigor de inspección, se ha de considerar el coste
de inspección por unidad de producto: alto (nivel I), medio (nivel II) y bajo
(nivel III).
El tamaño del lote y el coste de inspección determinan en las tablas
según la norma militar una letra código.
Definida esta letra código y elegido el nivel de calidad aceptable las
tablas diseñan un plan de muestreo para cada nivel de inspección: normal,
reducida y rigurosa.
La tabla de “números límites en inspección reducida” muestra en función
del NCA y de los elementos extraídos en los últimos 10 lotes el máximo
número de unidades defectuosas en inspección normal. Si las observaciones
no aptas superan este valor se ha de seguir en este rigor. En algunas
ocasiones podría ocurrir que se precisasen más de 10 lotes para conseguir el
número de elementos necesarios que establecen las tablas.
SIMIL
"SIMIL" es una hoja de cálculo que, dado un tamaño de lote y el nivel de
inspección y nivel de calidad aceptable, explica los pasos a seguir para
obtener los tamaños de muestra y números de aceptación y rechazo para
cada tipo de inspección: reducida, normal y rigurosa; así como, el máximo de
unidades defectuosas para poder pasar de inspección normal a inspección
reducida. Durante el cálculo aparece en la parte superior de la pantalla una
ventana indicando lo que está haciendo al tiempo que se mueve por la hoja
de cálculo unos iconos que representan la acción realizada.
Una vez obtenido el plan de muestreo, también podemos realizar una
simulación de control de un proceso de producción que utilice dicho plan. Esta
simulación puede generar aleatoriamente el número de defectuosos de cada
lote inspeccionado o bien obtener dicho número de una tabla predefinida.
Plan de muestreo doble.
Un plan de muestreo doble es un procedimiento en el que se toma una
muestra aleatoria de n1 unidades del lote para su inspección y determinación
del destino del mismo en función de la información procedente de la muestra.
El lote se puede aceptar si el número de elementos defectuosos es menor o
igual que uno dado (número de aceptación en la primera muestra, Ac1), se
puede rechazar si el número defectuosos es mayor o igual que un valor dado
(número de rechazo, Re1) o se puede pasar a la segunda muestra si el
número de defectuosos está entre los dos valores anteriores. Si se ha de
pasar a la segunda muestra, el lote será aceptado si la suma de defectuosos
de la primera y segunda no superan el número de aceptación segundo (Ac2).
Se selecciona al azar una muestra de tamaño n1 de un lote de N
unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,
que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’
contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos
establecidos y, si es necesario, se inspecciona otra muestra de tamaño n2.
Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso seis números (n1, Ac1, Re1, n2,
Ac2, Re2), donde n1 es el tamaño de la primera muestra, Ac1 es el número de
aceptación o máximo de unidades defectuosas que puede tener la primera
muestra para que el lote sea aceptado, y Re1 el número mínimo de
defectuosas que hace rechazar el lote, n2 es el tamaño de la segunda
muestra, Ac2 es el número de aceptación o máximo de unidades defectuosas
que pueden tener entre la primera muestra y la segunda para que el lote sea
aceptado, y Re2 el número mínimo de defectuosas en la primera y segunda
muestras que hace rechazar el lote.
La norma UNE 66–020 (MIL STD 105D) también establecen los planes
de muestreo dobles para la aceptación de lotes por atributos mencionados
anteriormente.
Si se llama X1=“número de defectuosos en la primera muestra” y
X2=“número de defectuosos en la segunda muestra”, cuando el rigor de
inspección es reducido, puede ocurrir que:
Sucede
X1 � Ac1
Ac1 < X1 < Re1
X1 + X2 � Ac2
Ac2 < X1 + X2 � Re2
X1 � Re1
X1 + X2 � Re2
Decisión
Se acepta el lote y se sigue en
inspección reducida
Se pasa a la segunda muestra
Se acepta el lote y se sigue en
inspección reducida
Se acepta el lote y se pasa a
inspección normal
Se rechaza el lote y se pasa a
inspección normal
Se rechaza el lote y se pasa a
inspección normal
Al igual que el plan simple se define la letra código y elegido el nivel de
calidad aceptable y el rigor las tablas diseñan el plan de muestreo doble. Las
condiciones de paso de un rigor de inspección a otro son las mismas.
SIMIL 2.0
"SIMIL 2.0" es otra hoja de cálculo en la que, dado un tamaño de lote y
el nivel de inspección y nivel de calidad aceptable, explica los pasos a seguir
para obtener los tamaños de muestra y números de aceptación y rechazo
para cada tipo de inspección: reducida, normal y rigurosa en plan de muestreo
doble; así como, el máximo de unidades defectuosas para poder pasar de
inspección normal a inspección reducida.
Una vez obtenido el plan de muestreo, también podemos realizar una
simulación de control de un proceso de producción que utilice dicho plan. Esta
simulación puede generar aleatoriamente el número de defectuosos de cada
lote inspeccionado o bien obtener dicho número de una tabla predefinida.