Resumen de Lógica Aristotélica

Resumen de Lógica Aristotélica
Calixto Badesa
Departamento de Lógica, Historia y Filosofı́a de la Ciencia
16 de abril de 2010
1.
El Organon
Los tratados de Lógica de Aristóteles se agrupan en una colección que se conoce con el nombre
de Organon. Listadas en el orden sistemático usual, las obras que componen el Organon son las
siguientes: Categorı́as (1), De Interpretatione (4), Primeros analı́ticos (5), Segundos analı́ticos (6),
Tópicos (2) y Refutaciones sofı́sticas (3).
Todas las obras de lógica fueron escritas en el perı́odo del Liceo (335-322). Es problemático
determinar el orden en que Aristóteles las escribió, porque él mismo las revisaba constantemente y
añadı́a referencias a obras posteriores. El orden cronológico aceptado es el que indican los números
que figuran entre paréntesis. (Una parte de los Tópicos parece escrita después de descubrir los
silogismos, pero antes de escribir los Analı́ticos.)
Entre los escritos de interés lógico puede mencionarse también el libro IV de la Metafı́sica (libro
Γ), donde Aristóteles habla de la noción de verdad y discute los principios del tercio excluso y de
no contradicción.
Las Categorı́as es un libro en la frontera entre la lógica y la metafı́sica que Aristóteles dedica al
estudio de la predicación. En De Interpretatione Aristóteles estudia los enunciados (el tı́tulo es poco
afortunado, pero no es de Aristóteles). Los Primeros Analı́ticos están dedicados fundamentalmente
al estudio de los silogismos (tanto los categóricos como los modales y los hipotéticos). Contienen,
por tanto, lo que podemos consideran como la “lógica formal” de Aristóteles. Los últimos 5 capı́tulos
del segundo libro los dedica a estudiar los argumentos por inducción. Los Segundos Analı́ticos es
una obra de filosofı́a de la ciencia. Contiene la teorı́a de la definición y la concepción aristotélica
de la ciencia.
Los Tópicos son un manual de dialéctica. Se trata de un conjunto de reglas y consejos útiles
para la participación en los debates públicos. Según Aristóteles, los debates dialécticos ayudan
discernir entre lo verdadero y lo falso. Aunque tradicionalmente se las considera por separado, las
Refutaciones Sofı́sticas son un apéndice de los Tópicos que trata de los diversos tipos de falacias.
De hecho, el apartado final de conclusiones abarca también los Tópicos. Aristóteles examina gran
cantidad de argumentos falaces explicando en cada caso donde está la incorrección.
1
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2.
2
Tipos de enunciados
En lógica aristotélica se llama término a la expresión que puede desempeñar la función de sujeto
o de predicado en una oración atributiva de la forma
sujeto + verbo ser + predicado.
Términos singulares son aquellos que pueden desempeñar la función de sujeto, pero no de
predicado. Los nombres propios y, en general, las expresiones que nombran un objeto individual son
términos singulares. Los términos generales son aquellos que pueden desempeñar tanto la función
sujeto como la de predicado. Los nombres comunes, los adjetivos y, en general, las expresiones que
usamos para decir que uno o varios objetos tienen cierta propiedad son términos generales.
Supongamos que a es un término singular, y S y P son términos generales. Según Aristóteles,
los enunciados atributivos básicos son de alguno de los siguientes tipos:
Enunciados singulares : a es P (afirmación), a no es P (negación).
Enunciados indefinidos : S es P (afirmación), S no es P (negación).
Universal afirmativo (A) : Todo S es P.
Universal negativo (E) : Ningún S es P.
Particular afirmativo (I) : Algún S es P.
Particular negativo (O) : No todo S es P (Algún S no es P ).
(Las dos formas de los enunciados particulares negativos se consideran lógicamente equivalentes y,
por tanto, se usan indistintamente en la lógica tradicional.)
En los Primeros Analı́ticos, Aristóteles prefiere formular los enunciados atributivos mencionando
en primer lugar el predicado. Para ello se vale de expresiones tales como “P se predica de”, “P se
dice de” o “P pertenece a”. Ası́, los enunciados categóricos cuantificados pueden reformularse, por
ejemplo, de la siguiente forma:
Universal afirmativo : P se predica de todo S.
Universal negativo : P no se predica de ningún S.
Particular afirmativo : P se predica de algún S.
Particular negativo : P no se predica de todo S.
En la Edad Media a los enunciados atributivos básicos se les llamó categóricos. En la lógica
aristotélica, todos los enunciados categóricos (incluidos los negativos y los cuantificados) son considerados simples, es decir, enunciados que no son analizables en términos de otros de estructura
más simple. Según Aristóteles, los enunciados simples son los que afirman o niegan una única cosa
de una única cosa.
Las vocales que figuran entre paréntesis se introdujeron en la Edad Media y se emplean para
referirse abreviadamente a los distintos tipos de enunciados. Para designar a los afirmativos se usan
las dos primeras vocales de “affirmo” y para designar a los negativos las dos vocales de “nego”.
Ası́, un enunciado de tipo A es un universal afirmativo, uno tipo I es un particular afirmativo, uno
de tipo E es un universal negativo y uno tipo O es un particular negativo,
Como vamos a ver, la silogı́stica aristotélica se circunscribe a los enunciados categóricos cuantificados. Aristóteles los ignora los enunciados singulares en su exposición. Por lo que se refiere
a los enunciados indefinidos, Aristóteles considera que, a efectos de la silogı́stica, equivalen a los
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particulares correspondientes (“S es P ” equivale a “algún S es P ”, y “S no es P ” a “algún S no
es P ”) y, por tanto, no es necesario mencionarlos explı́citamente.
3.
Leyes básicas de la lógica aristotélica
En lo sucesivo simbolizaré los cuatro tipos básicos de enunciados cuantificados con tres letras: la
primera indicará el tipo de enunciado, la segunda el sujeto y la tercera el predicado. La primera la
escribiremos en mayúsculas y las otras dos con minúsculas. Ası́, los cuatro enunciados categóricos
cuantificados toman la siguiente forma: Asp (todo S es P ), Isp (algún S es P ), Esp (ningún S es
P ) y Osp (no todo S es P ).
Formuladas con ayuda de esta notación, las leyes básicas de la lógica aristotélica son las siguientes:
1. Oposición
a) Asp es verdadero si y sólo si Osp es falso. (Asp y Osp son contradictorios.)
b) Esp es verdadero si y sólo si Isp es falso. (Esp e Isp son contradictorios)
c) Asp y Esp no pueden ser ambos verdaderos, pero sı́ ambos falsos. (Asp y Esp son
contrarios.)
d) Isp y Osp no pueden ser ambos falsos, pero sı́ ambos verdaderos. (Isp y Osp son subcontrarios, según la terminologı́a medieval)
2. Conversión
a) Isp es lógicamente equivalente a Ips.
b) Esp es lógicamente equivalente a Eps.
c) Asp implica Ips.
d) Esp implica Ops.
En la Edad Media a las dos primeras leyes de conversión se las llamo “de conversión simple” y las
dos últimas “de conversión per accidens”. Aristóteles no menciona (2d), pero es una consecuencia
de las restantes y, de hecho, la usa en alguna ocasión.
En lógica aristotélica, los enunciados universales implican a los particulares correspondientes.
Este hecho es el que expresan las dos leyes siguientes que son consecuencia inmediata de las leyes
de conversión:
1. Asp implica Isp
2. Esp implica Osp.
Los lógicos posteriores a Aristóteles llamaron a los enunciados particulares subalternos de los
universales correspondientes; esto es, Isp es el subalterno de Asp y Osp el subalterno de Esp.
Por este motivo me referiré en lo sucesivo a las dos leyes anteriores con el nombre de leyes de
subalternación.
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Con posterioridad a Aristóteles las principales relaciones entre los enunciados categóricos se
representaban mediante un diagrama que se llamó cuadrado de la oposición:1
Contrarios
A
E
@
S
@
u
b
a
l
t
e
r
n
o
s
@
Contradictorios
@
@
@
@ ?
?
I
4.
S
u
b
a
l
t
e
r
n
o
s
@
Subcontrarios
0
Silogı́stica
Noción aristotélica de silogismo
Definición de silogismo:
Un silogismo (συλλoγισµòς) es un logos en el cual, supuestas ciertas cosas, algo
distinto de las cosas supuestas se sigue necesariamente de que las cosas supuestas son
tales. Por “de que las cosas supuestas son tales” entiendo que es a causa de ellas que
la conclusión se sigue; y por esto entiendo que no hay necesidad de ningún termino
adicional para justificar la conclusión. (Pr. An. 24b19)
De acuerdo con esta definición, un silogismo es un argumento correcto, aunque no todo argumento correcto es un silogismo. Por ejemplo, un argumento que tuviera como conclusión una de las
premisas serı́a lógicamente correcto, pero no serı́a un silogismo de acuerdo con esta definición.
Aristóteles distingue entre silogismo y demostración. Una demostración es un silogismo (es decir,
un argumento correcto) con premisas verdaderas. Ası́, toda demostración es un silogismo, pero no
todo silogismo es una demostración.
En la exposición sistemática de la silogı́stica, Aristóteles usa otra noción de silogismo que es más
restringida que la introducida en la definición. En sentido técnico (el que tiene en la silogı́stica), un
silogismo es un argumento correcto con sólo dos premisas categóricas cuantificadas (universales o
1
El siguiente diagrama aparece en un manuscrito del s. IX del comentario de Apuleyo (125-180 aprox) al De
Interpretatione de Aristóteles. Posiblemente sea la representacion más antigua que se conoce del cuadrado de la
oposición..
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particulares) y tres términos distintos distribuidos de modo que uno figura en las dos premisas pero
no en la conclusión, y los dos restantes aparecen uno en cada premisa y también en la conclusión.
Aristóteles usa la palabra silogismo tanto en este sentido técnico, como en el sentido que tiene en
la definición, y sólo por el contexto se puede saber en qué sentido la está utilizando. A menos que
diga lo contrario, en lo sucesivo usaré el término silogismo en sentido técnico.
Figuras
Los tres términos que aparecen un silogismos reciben los nombres de mayor, menor y medio.
El sujeto de la conclusión es el término menor ; el término común a las dos premisas es el término
medio; y el predicado de la conclusión el termino mayor. Esta terminologı́a fue introducida por
Aristóteles, pero no definió los términos de esta manera. Las definiciones anteriores se deben a
Juan Filópono (s. VI). La premisa que contiene el término mayor es la premisa mayor y la que
contiene el término menor es la premisa menor.
Se llama figura a cada una de las posibles disposiciones en que pueden estar los tres términos
de un silogismo. Las figuras quedan determinadas por la posición del término medio. Hay cuatro
figuras posibles (aunque Aristóteles sólo reconoció las tres primeras):
1. Primera figura: El termino medio desempeña la función de sujeto en la premisa mayor y la
de predicado en la menor.
2. Segunda figura: El termino medio desempeña la función de predicado en las dos premisas.
3. Tercera figura: El termino medio desempeña la función de sujeto en las dos premisas.
4. Cuarta figura: El termino medio desempeña la función de sujeto en la premisa menor y la de
predicado en la mayor.
Si representamos mediante “X − Y ” la disposición de los términos en un enunciado categórico
cuyo sujeto es X y cuyo predicado es Y , las cuatro figuras pueden esquematizarse de la siguiente
manera:
1a Figura
2a Figura
3a Figura
4a Figura
M −P
S−M
P −M
S−M
M −P
M −S
P −M
M −S
S−P
S−P
S−P
S−P
Se cree que Aristóteles también representaba esquemáticamente las tres figuras que reconoció,
pero se desconoce el modo en que las representaba.
Dos silogismos de una misma figura pueden diferir en la forma concreta de sus premisas y su
conclusión. Ası́, por ejemplo,
Apm
Asm
Epm
Asm
Asp
Esp
son esquemas diferentes de la segunda figura. Con posterioridad a Aristóteles, los distintos esquemas
a que da lugar una figura recibieron el nombre de modos.
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Modos válidos
Naturalmente, no todos los modos silogı́sticos son lógicamente válidos. Para memorizar con
facilidad la totalidad de los modos válidos, los lógicos medievales crearon un ingenioso modo de
enumerar los principales modos válidos. Los nombres medievales son los siguientes:
PRIMERA
SEGUNDA
TERCERA
CUARTA
FIGURA:
FIGURA:
FIGURA:
FIGURA:
Barbara, Celarent, Darii y Ferio.
Cesare, Camestres, Festino y Baroco.
Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo y Ferison.
Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo y Fresison.
La primera vocal del nombre indica el tipo de la premisa mayor, la segunda vocal el tipo de la
premisa menor y la tercera el tipo de la conclusión. Veamos un ejemplo de cada figura (obsérvese
que en cada caso los términos están dispuestos tal como indica el esquema de la figura):
1. Barbara es un modo de la primera figura cuyas premisas y conclusión son de tipo A (es decir,
universales afirmativas). Ası́, el esquema del modo Barbara es
Amp
Asm
Asp
2. Festino es un modo de la segunda figura; su premisa mayor es de tipo E, su premisa menor
de tipo I y su conclusión de tipo O. Ası́, el esquema del modo Festino es
Epm
Ism
Osp
3. Felapton es un modo de la tercera figura; su premisa mayor es de tipo E, su premisa menor
de tipo A y su conclusión de tipo O. Ası́, el esquema del modo Felapton es
Emp
Ams
Osp
4. Dimaris es un modo de la cuarta figura; su premisa mayor es de tipo I, su premisa menor de
tipo A y su conclusión de tipo I. Ası́, el esquema del modo Dimaris es
Ipm
Ams
Isp
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Modos subalternos
Hemos visto que los enunciados universales implican a los particulares correspondientes. Ası́,
para cada modo válido cuya conclusión es un enunciado universal, hay otro modo válido que se
obtiene sustituyendo la conclusión universal por su enunciado subalterno (esto es, substituyendo
Asp por Isp y Esp por Osp). A los modos válidos obtenidos de esta manera se les llama también
subalternos. Por ejemplo, en la primera figura hay un modo subalterno de Barbara y otro de Celarent
cuyos esquemas son:
Amp
Asm
Emp
Asm
Isp
Osp
Los restantes modos que tienen subalternos son: Cesare, Camestres y Camenes. No hay modos
subalternos en la tercera figura.
Observación Puesto que hay cuatro tipos de enunciados y cada silogismo está compuesto por
tres enunciados, hay 64 (4 × 4 × 4) modos en cada figura. Ası́, en la silogı́stica hay 256 (64 × 4)
modos posibles. En cada figura hay 6 modos válidos (contando los modos subalternos), de modo
que hay 24 modos válidos en total.
5.
La silogı́stica como sistema deductivo
Aristóteles distingue entre silogismos perfectos e imperfectos. Los silogismos perfectos son aquellos en los que es evidente que la conclusión se sigue de las premisas, es decir, aquellos cuya corrección
lógica es evidente. En opinión de Aristóteles, sólo los silogismos de la primera figura son perfectos.
Los modos válidos de las restantes figuras son imperfectos porque su validez no se considera evidente y, por tanto, ésta debe ser demostrada con la única ayuda de principios cuya validez lógica
sea evidente: los modos perfectos y las leyes lógicas previamente establecidas. De este modo, la
silogı́stica constituye un sistema deductivo en el que pueden demostrarse todos los modos válidos
a partir de los modos de la primera figura y de un reducido número de reglas. Explı́citamente, la
silogı́stica puede verse como un sistema deductivo que constituido por las siguientes reglas:
1. Reglas de conversión simple
a) Esp equivale a Eps.
b) Isp equivale a Ips
2. Regla conversión per accidens
a) Asp implica Ips
b) Esp implica Ops
3. Leyes de contradictoriedad
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a) Asp y Osp son contradictorios
b) Esp y Isp son contradictorios
4. Modos de la primera figura
La demostración de la validez de un modo imperfecto puede ser directa o por reducción al
absurdo. En una demostración directa se suponen las premisas del modo que se quiere justificar y
se deriva la conclusión con la única ayuda de las reglas de conversión y los modos de la primera
figura. En una demostración por reducción al absurdo se suponen tanto las premisas del modo que
se quiere justificar como el contradictorio de la conclusión y se deriva el contradictorio de una de
las premisas con la única ayuda de las leyes de conversión y de los modos perfectos. Las leyes de
contradictoriedad son necesarias en este tipo de demostraciones porque son las que determinan cuál
es el contradictorio de cada enunciado.
En una demostración puede aplicarse cualquier modo de la primera figura tantas veces como
se considere oportuno, pero en la práctica basta con aplicar una vez un único modo de la primera
figura, concretamente, el modo cuyo nombre comienza con la misma consonante con la que comienza
el nombre del modo imperfecto cuya validez se desea justificar. Por este motivo, la demostración
de la validez de un silogismo imperfecto fue llamada reducción a la primera figura por los lógicos
medievales. Ası́, en terminologı́a medieval puede decirse que cada modo imperfecto se reduce al
modo de la primera figura cuyo nombre comienza con la misma letra. Por ejemplo, para justificar
el modo Baroco sólo es necesario aplicar una vez el modo Barbara, lo que en terminologı́a medieval
se expresa diciendo que el modo Baroco se reduce al modo Barbara.
Los nombres medievales de los modos válidos de las figuras segunda, tercera y cuarta indican
en clave una forma de efectuar la reducción a los modos de la primera figura (que no tiene por
qué ser la misma que usa Aristóteles). Un modo se reduce al de la primera figura que comienza
con la misma letra. Algunas consonantes del nombre indican una forma de efectuar la reducción.
La letra “s” indica que debe aplicarse la regla de conversión simple al enunciado correspondiente
a la vocal que precede a la letra “s”. La “p” indica que al enunciado correspondiente a la vocal
que le precede debe aplicarse la conversión per accidens (excepto en el caso de Bramantip, donde
la “p” indica la necesidad de aplicar dicha conversión a la conclusión obtenida mediante el modo
Barbara). La letra “m” indica que las premisas deben trasponerse (esto es, la premisa mayor debe
ser tomada como menor y la menor como mayor). La letra “c” indica que la validez del modo se
demuestra por reducción al absurdo: se niega la conclusión y se llega a una contradicción con la
premisa correspondiente a la vocal que precede a “c”. Observe que estas convenciones se cumplen
en los dos ejemplos de demostración que siguen.
Ejemplos:
1. Justificación de Cesare. Demostración directa.
Suponemos que Epm y Asm (premisas); aplicando la regla de conversión simple a la primera
premisa, Emp; ası́, Emp y Asm; aplicando Celarent, Esp.
2. Justificación de Bocardo. Demostración por reducción al absurdo.
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Suponemos que Omp, Ams (premisas) y Asp (el contradictorio de Osp); observemos ahora
que a Asp y Ams tienen la forma del modo Barbara (en este caso s es el término medio y m
el termino menor); ası́, por Barbara, Amp; absurdo, pues hemos supuesto que Omp (Amp y
Omp son contradictorios).
Simplificación del sistema deductivo
El sistema deductivo de la silogı́stica puede simplificarse tanto en el número de reglas como
en el número de modos primitivos sin perder por ello capacidad deductiva. Concretamente, para
demostrar la validez de todos los modos imperfectos son suficientes las siguientes reglas y modos.
1. Regla de conversión simple
a) Esp equivale a Eps.
2. Regla conversión per accidens
a) Asp implica Ips
3. Leyes de contradictoriedad
a) Asp y Osp son contradictorios
b) Esp y Isp son contradictorios
4. Modos Barbara y Celarent de la figura
Las restantes reglas de conversión (Isp equivale a Ips y Esp implica Ops) y los modos Darii
y Ferio pueden demostrarse con la única ayuda de las reglas y de los modos Barbara y Celarent.
Demostramos a continuación las dos reglas y dejamos como ejercicio la demostración de los modos
Darii y Ferio.
1. Conversión simple de los enunciados en I. Reducción al absurdo
Supongamos que Isp y Eps (contradictorio de Ips). Por conversión simple, Esp; absurdo,
pues Isp.
2. Conversión per accidens de los enunciados en E. Reducción al absurdo.
Supongamos que Esp y Aps (contradictorio de Ops). Por conversión per accidens, Isp; absurdo, pues Esp.
6.
Modos no válidos
Además de presentar un sistema deductivo que permite demostrar la validez de los silogismos
imperfectos, Aristóteles expone un procedimiento para mostrar la invalidez de los modo no validos.
El procedimiento aristotélico se basa en el siguiente principio (cuya formulación no se encuentra en
Aristóteles):
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Si un modo es válido, entonces todos los silogismos cuya estructura es la propia del
modo son lógicamente correctos.
Más explı́citamente:
Si un modo es válido, entonces no existe ningún silogismo cuya estructura sea la del
modo y tenga premisas verdaderas y conclusión falsa.
De esta forma, para mostrar que un modo dado no es válido (no es lógicamente correcto)
basta con hallar un silogismo que tenga la estructura del modo y que tenga premisas verdaderas y
conclusión falsa. Por ejemplo, para mostrar que la invalidez del modo
Imp
Asm
Isp
de la primera figura, basta con mostrar que existen silogismos pertenecientes a este modo que
tienen premisas verdaderas y conclusión falsa. Es fácil ver que existen silogismos de este tipo. Si
interpretamos S como “hombre”, M como “mamı́fero” y P como “felino”, obtenemos el silogismo
Algunos mamı́feros son felinos
Todo hombre es mamı́fero
Algunos hombres son felinos
que tiene premisas verdaderas y conclusión falsa. Esto muestra que el modo al que pertenece no es
lógicamente correcto.
7.
Semántica de los enunciados categóricos cuantificados
Vamos a comenzar introduciendo una serie de convenciones que facilitarán el análisis de la
silogı́stica desde el punto de vista actual. En lo sucesivo supondremos que los términos generales se
interpretan en un universo dado, y que si T es un término general, entonces la extensión de T en
el universo es el conjunto de los objetos del universo que tienen la propiedad que expresamos con
T. Un término general puede tener como extensión cualquier subconjunto del universo (incluido el
conjunto vacı́o). Si T es un término general, entonces T es la extensión de T en el universo.
En la lógica actual, los enunciados categóricos cuantificados se simboliza del siguiente modo:
Todo
Algún
Ningún
No todo
S
S
S
S
es
es
es
es
P
P
P
P
:
:
:
:
∀x(Sx → P x)
∃x(Sx ∧ P x)
¬∃x(Sx ∧ P x)
¬∀x(Sx → P x)
Con ayuda de las convenciones que hemos introducido, la semántica que la lógica de primer
orden actual atribuye a los enunciados categóricos puede formularse ası́:
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“todo S es P ” es verdadero si y sólo si S ⊆ P
“algún S es P ” es verdadero si y sólo si S ∩ P 6= ∅
“ningún S es P ” es verdadero si y sólo si S ∩ P = ∅
“no todo S es P ” es verdadero si y sólo si S * P
No es difı́cil ver que si a los enunciados categóricos se les atribuye esta semántica, sólo las dos
primeras leyes de la oposición y las dos primeras leyes de conversión se cumplen. La ley (1c) (Asp
y Esp son contrarios) no se cumple, porque si S = ∅, entonces “todo S es P ” y “ningún S es P ”
son ambos verdaderos. La ley (1d) (Isp y Osp son subcontrarios) no se cumple, porque si S = ∅,
entonces tanto “algún S es P ” como “no todo S es P ” son falsos. La ley de conversión per accidens
(2c) no se cumple porque “todo S es P ” no implica “algún P es S”, ya que si S = ∅, entonces
“todo S es P ” es verdadero y “algún P es S” es falso. Tampoco se cumple la ley de conversión per
accidens (2d), pues si P = ∅, entonces “ningún S es P ” es verdadera y “no todo P es S” es falsa,
y, por tanto, “ningún S es P ” no implica “no todo P es S”.
Tampoco todos los silogismos que Aristóteles considera válidos resultan serlo cuando se adopta
esta semántica. En concreto, ni los modos subalternos ni los que llevan la letra “p” en el nombre
(esto es, ninguno de los modos cuya validez depende de las reglas de conversión per accidens) son
lógicamente correctos cuando se atribuye a los enunciados categóricos la semántica que les atribuye
la lógica actual.
Sólo existen contraejemplos a las leyes aristotélicas si se admite que la extensión de un término
general puede ser vacı́a. Lo mismo sucede en el caso de los modos aristotélicos que no son válidos con
la semántica anterior. Este hecho ha sido considerado como una prueba de que Aristóteles presupone
que la extensión de los términos generales que aparecen en los enunciados categóricos es distinta del
vacı́o. Es verdad que si restringimos la semántica que hemos presentado a subconjuntos no vacı́os
del universo, entonces todas las leyes aristotélicas resultan ser válidas y todos los silogismos son
lógicamente correctos, pero no hay ninguna necesidad de hacer esta presuposición existencial. No
es difı́cil ver que si interpretamos los enunciados categóricos cuantificados del siguiente modo:
“todo S es P ” es verdadero si y sólo si S 6= ∅ y S ⊆ P
“algún S es P ” es verdadero si y sólo si S ∩ P 6= ∅
“ningún S es P ” es verdadero si y sólo si S ∩ P = ∅
“no todo S es P ” es verdadero si y sólo si S = ∅ o S * P
todas las leyes aristótelicas son válidas sin necesidad de suponer que las extensiones son distintas
del vacı́o. Ası́, la aceptación de la validez de las leyes aristotélicas no es una razón para pensar que
Aristóteles hace algún tipo de presuposición existencial. De hecho, esta última interpretación de los
enunciados categóricos cuantificados es, en lo esencial, la que adoptaron la mayorı́a de los lógicos
medievales.
Una caracterı́stica importante de esta interpretación es que atribuye alcance existencial a los
enunciados afirmativos, pero no a los negativos. En otras palabras, para que un enunciado afirmativo
(universal o particular) sea verdadero es necesario que S 6= ∅; en cambio, los dos enunciados
negativos son verdaderos cuando S = ∅.2 De este modo, cuando adoptamos esta interpretación
tenemos que elegir entre aceptar que tanto “no todo S es P ” como “algún S no es P ” son verdaderos
2
Puede decirse que de acuerdo con esta interpretación todas las afirmaciones sobre seres inexistentes son falsas y
todas las negaciones sobre seres inexistentes son verdaderas. Este regla para atribuir valores de verdad a los enunciados
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cuando S = ∅ o aceptar que “algún S no es P ” no es equivalente a “no todo S es P ”. Abelardo
se inclinó por la segunda opción, pero la mayorı́a de lógicos medievales consideraron que ambos
enunciados eran equivalentes.
8.
Observaciones finales
1. En la lógica aristotélica todos los enunciados categóricos son considerados lógicamente simples
(es decir, no se consideran analizables en términos de otros menos complejos) y se presupone
que la cuantificación afecta sólo al sujeto. Compárese el análisis aristotélico de los enunciados
categóricos cuantificados con su interpretación en lógica de primer orden.
2. La lógica aristotélica sólo se ocupa de los enunciados categóricos. Aristóteles esquematiza los
enunciados categóricos con ayuda de variables para términos generales. El uso de variables es
lo que permite a Aristóteles formular con el máximo rigor y generalidad tanto las relaciones
lógicas entre los enunciados categóricos como la silogı́stica.
3. No todas las leyes que Aristóteles considera lógicamente válidas lo son cuando los enunciados
categóricos se interpretan tal como se hace en lógica de primer orden. En particular, en lógica
aristótelica los enunciados universales implican a los particulares correspondientes (esto es,
“todo S es P ” implica “algún S es P ” y “ningún S es P ” implica “no todo S es P ”),
pero no sucede lo mismo en lógica de primer orden. Tampoco las leyes de de contrariedad,
subcontrariedad y conversión per accidens se cumplen en lógica de primer orden. Del mismo
modo, algunos silogismos aristotélicamente válidos no lo son desde el punto de vista actual.
4. La silogı́stica es un sistema deductivo basado en las leyes de conversión (simple y per accidens)
y contradictoriedad y en los cuatro modos válidos de la primera figura. Los modos subalternos y los modos válidos de las restantes figuras (llamados “imperfectos” por Aristóteles), se
demuestran en el sistema mediante pruebas directas o por reducción al absurdo.
5. Aristóteles no sólo presenta un sistema deductivo que permite demostrar la validez de los
silogismos imperfectos, explica además cómo podemos mostrar la invalidez de un modo no
válido. El método de Aristóteles consiste esencialmente en aplicar el siguiente principio: si un
silogismo tiene premisas verdaderas y conclusión falsa, entonces el modo al que pertenece el
silogismo no es válido. Ası́, para mostrar la invalidez de un modo basta con hallar un silogismo
que pertenezca al modo y tenga premisas verdaderas y conclusión falsa.
cuantificados cuyo sujeto tiene extensión vacı́a no es más que una generalización de la que sigue Aristóteles para
atribuir valores de verdad a los enunciados singulares cuyo sujeto nombra a alguien inexistente. Véase el capı́tulo
10 de las Categorı́as (13b12-36) donde Aristóteles sostiene que si Sócrates no existe, entonces todas las afirmaciones
sobre Sócrates son falsas y todas las negaciones sobre él son verdaderas.