Matemáticas para Todos y con Todos La Resolución de Problemas Matemáticos en la Construcción de Ambientes de Aprendizaje Manuel Santos Trigo Octubre 2014 La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos Principales desarrollos Múltiples soluciones ¿Qué es? ¿Cuáles son los principios? Resultados de investigación y enseñanza Ejemplos: el papel de los problemas La Resolución de Problemas Matemáticos ¿Qué procesos de pensamiento y formas de razonamiento se involucran en la comprensión, de un concepto o resolución de un problema? ¿Cómo se comunica la solución de un problema? 4 1 2 3 ¿Cómo se formula un problema, concepto o pregunta en matemáticas? ¿Cómo se genera y sustenta una conjetura o relación matemática? 5 Dinámicas de clase, los problemas y discusión; las formas de evaluar el aprendizaje Fundamentos Uso de diversos tipos de representaciones 1 2 Ciclos iterativos de discusión y colaboración que involucra expresar, #%"$"#$"$" "$""0" ideas y métodos de solución Problematizar: Formular preguntas y buscar diferentes maneras de responderlas 4 3 Planteamientos de conjeturas y formas de sustentarlas 5 Comunicación de resultados Desarrollos en la Resolución de Problemas (hasta los 80) 1980 PublicaKrutetskii How to solve it y 1976 Kline Hadamard (Essay on the 1970 psychology of invention +/5*'.#5*'.#5+%4B'-&. a la matemática Introspección: Enseñanza centrada enCrítica el profesor. Habilidades 4 fases moderna. 1960 en la resolución matemáticas de de niños Resolución de problemas talento problemas. (comprensión, plan, realización, visión 1950 retrospectiva), métodos Polya y 1945 heurísticos. Hadamard 1973 1940 Desarrollos en la Resolución de Problemas (hasta el 2000) 2000 NCTM 2000 La propuesta del currículum de la NCTM Schoenfeld +&'/5+B%#/ 1992 Enseñanza centrada en el estudiante a la resolución de 1990 Un programa de una problemas como 1989 NCTM investigación: Recursos actividad central en el básicos, estrategias aprendizaje de las 1985 Libro del año cognitivas (heurísticas); matemáticas metacognitivas (estrategias de monitoreo propio); y 1980 NCTM 1980 sistemas de creencias. 1995 Desarrollos regionales 2000 y más ZDM 2007 La teoría de las situaciones Problem Solving Around the World: didácticas yabiertos lasoluciones teoría antropológica Un múltiples Problemas La problema matemática realista Summing Up the State of the Art de la didáctica ! Desarrollos recientes 2000-2014 ? Santos-Trigo, M. and Camacho-Machín, M. (2009). Towards the construction of a framework to deal with routine problems to foster mathematical inquiry. PRIMUS, Problems, Resources, and Issues in Mathematical Undergraduate Studies, 19(3), pp. 260-279. ? Common Core State Standards for Mathematics (CCSS) (2010). Common Core State Standards Initiative. http:// www.corestandards.org/. ? Schmidt, E. & Cohen, J. (2013) (eBook version). The new digital area. Reshaping the future of people, nations and business. NY: Random House and Google inc. ? Santos-Trigo, M. (2014).Santos-Trigo, M. (2014). Problem solving in mathematics education. En S. Lerman (ed.), *Encyclopedia of Mathematics Education*, pp. 496-501. NY: Springer. Dado el vértice de un triángulo equilátero y una línea la cual contiene los otros dos -3)+ *%+ 7)#'&* 5%#&*&* -3)+ *)*%+ -)*&*$ %&*') construir el triángulo?, Acercamientos que involucran el uso de regla y compás Modelos estáticos, &%*+), &%*') **. A5 Modelos dinámicos en la construcción del triángulo Movimiento controlado de algunos elementos, ' # % + $ % + & 0 seguimiento de conjeturas B7 Ejemplos de modelos estáticos - * 5%,%*$%+& ' ) # # * $ & c i r c u m c e n t r o , *$!%1 )&+ 5% teorema de Viviane A5 Ejemplos de modelos dinámicos Lugares geométricos, )+* 5% * *&* ')+ ,#)* ')&#$ resuelto, etc. B7 A1 Trazo del circuncentro, propiedades Main ideas involved in solution approaches Constructing altitude of triangle Heuristics methods Adding auxiliary lines " %+')&#$**&#- &)" %".)* Deductive ! )&')+ *&%&+## %*%'& %+* %% equilateral triangle )&')+ *&%+)& % ),$%+) A2 An approach that focuses on similarity of triangles Main ideas involved in solution approaches Focusing on similarity Heuristics methods Relaxing the initial task conditions Deductive ! Similarity of triangles )&')+ *&' )&%#*&%')#### %* ,+0+)%*-)*# A3 Focusing on a rotation method Main ideas involved in solution approaches Rotating lines a given angle Heuristics methods ' #**&,* %&% %+) &)%#* Deductive ! Geometric transformation (rotation) A4 An approach based on Viviani’s theorem Main ideas involved in solution approaches Constructing altitude of triangle ,$& *+%*% %*) ) ++) %#* Heuristics methods Adding auxiliary lines " %+')&#$**&#- &)" %".)* Deductive ! Viviani’s theorem %*) %#+&)$ )&')+ *&+%%+*# %*+& )#+)&, %/+)%#'& %+ A5 An approach that focuses on the height and side Main ideas involved in solution approaches Constructing altitude of triangle #+ &%* '+.%#+ +,%* Heuristics methods Adding auxiliary lines " %+')&#$**&#- &)" %".)* Deductive ! Similarity of triangles Pythagoras theorem Acercamiento basado en la construcción de un triángulo isósceles B1 Main ideas involved in solution approaches /'#&) %+- &)&$ #0& *&*#* triangles Finding a locus *)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections) Heuristics methods Relaxing the initial task conditions Controlled movement (dragging) Finding loci Deductive Visual $' ) # ). %# %&%#&,* ! )&')+ *&%&+## %* %%(, #+)# triangle )&')+ *&')'% ,#) *+&) Geometric transformation (rotation) )&')+ *&%(, #+)#triangle )'% ,#)lines An approach that relies on properties of the equilateral triangle B2 Main ideas involved in solution approaches /'#&) %+- &)&$ #0& *&*#* triangles Finding a locus *)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections) Heuristics methods Relaxing the initial task conditions Controlled movement (dragging) Finding loci Deductive Visual $' ) # ). %# %&%#&,* ! )&')+ *&%&+## %* %%(, #+)# triangle )&')+ *&')'% ,#) *+&) Geometric transformation (rotation) )&')+ *&%(, #+)#triangle )'% ,#)lines B3 A serendipitous result Main ideas involved in solution approaches Finding a locus *)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections) Heuristics methods Controlled movement (dragging) Finding loci Adding auxiliary lines Deductive Visual $' ) # ! )&')+ *&')'% ,#) *+&) 7% + &%%')&')+ *&&% sections )'% ,#)lines An approach based on the construction of three congruent circles B4 Main ideas involved in solution approaches Finding a locus *)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections) /'#&) %+- &)& %+)*+ &%'& %+* of congruent circles Heuristics methods Controlled movement (dragging) Finding loci Visual $' ) # *,) %++) ,+* ! Geometric transformation (rotation) )&')+ *&%(, #+)#+) %# )&')+ *& )#* A third approach that focuses on the intersection of loci B5 Main ideas involved in solution approaches Finding a locus *)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections) Heuristics methods Controlled movement (dragging) Finding loci Visual $' ) # *,) %++) ,+* ! 7% + &%%')&')+ *&&% *+ &%* )'% ,#)# %* An approach that relies on symmetry and locus properties B6 Main ideas involved in solution approaches /'#&) %+- &)&$ #0& *&*#* triangles Finding a locus *)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections) Heuristics methods Controlled movement (dragging) Finding loci /'#&) %*0$$+)0 Visual $' ) # *,) %++) ,+* ! )&')+ *&%&+## %* %%(, #+)# triangle )&')+ *&')'% ,#) *+&) )&')+ *&%(, #+)#+) %# Symmetry )'% ,#)# %* Symmetry axes An approach that involves the use of conic sections B7 Main ideas involved in solution approaches Finding a locus *)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections) Heuristics methods Controlled movement (dragging) Finding loci /'#&) %*0$$+)0 Visual $' ) # ! 7% + &%%')&')+ *&&% *+ &%* )'% ,#)# %* Digital tools Conclusiones . La resolución de problemas es un dominio de investigación y práctica que ha sustentado diversas propuestas del currículum y formas de construir conocimiento matemático. . En la propuesta se destaca que el estudiante formule preguntas, busque diversas maneras de representar y resolver un problema, formule conjeturas, construya distintos argumentos para sustentar relaciones y comunique resultados. . El uso coordinado y sistemático de tecnologías digitales ofrece al estudiantes la oportunidad de expandir las maneras de razonar y explorar conocimiento matemático.