MECÁNICA DE FLUIDOS II

F.I.M.E.E.
Departamento de Ingeniería Mecánica
MECÁNICA DE FLUIDOS II
1. CAPA LÍMITE
1.1 Introducción
El concepto de capa límite fue inicialmente introducido por el alemán Ludwing
Prandtl en 1904.
Aunque las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido viscoso habían
sido desarrolladas antes que Prandtl introdujera el concepto de capa límite (las
ecuaciones de Navier–Stokes desarrolladas por Navier, 1827, e independientemente
por Stokes, 1845), las dificultades matemáticas para la solución de estas ecuaciones
(excepto en algunos casos simples) imposibilitaban el estudio teórico de los flujos
viscosos. Prandtl demostró que muchos flujos viscosos pueden ser analizados
dividiendo el flujo en dos regiones, una cercana a las fronteras sólidas y la otra
comprendiendo el resto del flujo. Prandtl mostró que los efectos viscosos del fluido son
considerables únicamente en la región delgada adyacente a la frontera sólida (capa
límite). En la región fuera de la capa límite los efectos viscosos son despreciables y el
flujo puede analizarse como no–viscoso, figura 1.1.
Exterior de capa límite:
flujo no–viscoso
Interior de capa límite:
flujo viscoso
Figura 1.1 Capa límite.
En un flujo de capa límite, tanto los efectos viscosos como los inerciales son
importantes y como consecuencia el número de Reynolds, Re, es un parámetro
adecuado para caracterizar los flujos de capa límite. La longitud característica usada en
Re puede ser la longitud en la dirección del flujo sobre la cual la capa límite se
desarrolla o alguna medida del espesor de la capa límite.
De manera similar que en el flujo en un ducto, el flujo de capa límite puede ser
laminar o turbulento. En el flujo de capa límite no existe un valor único en donde
ocurre la transición de laminar a turbulento. Esta transición se ve influenciada por
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diversos factores como son: la rugosidad de la superficie, el gradiente de presión, la
transferencia de calor y perturbaciones de corriente libre.
Para flujos incompresibles sobre superficies planas de rugosidad insignificante
(gradiente de presión cero), en la ausencia de transferencia de calor, la transición de
flujo laminar a turbulento puede ser retrasado hasta valores de Rex = Ux/υ entre 3 y 4
millones si las perturbaciones externas son minimizadas. Sin embargo, bajo
condiciones de flujo típicas la transición generalmente ocurre cuando Re = 5 × 105.
La figura 1.2 presenta esquemáticamente el crecimiento de una capa límite
sobre una placa plana. Inicialmente se presenta una región laminar a lo largo de una
distancia corta a partir de el extremo frontal de la placa. Posteriormente aparece una
región de transición para que finalmente ocurra el desarrollo de la región turbulenta.
Laminar
Transición
Turbulento
Figura 1.2 Capa límite sobre una placa plana.
1.2 Espesor de Capa Límite
La capa límite es la región adyacente a una superficie sólida donde las fuerzas
viscosas son importantes. El espesor de capa límite, δ, se define como la distancia
perpendicular a la superficie, desde ésta hasta el punto donde la velocidad del flujo es
igual al 99 % de la velocidad de corriente libre (0.99U).
Si las fuerzas viscosas no existieran en el flujo sobre una placa plana, la
velocidad en cualquier punto sería U. Sin embargo, debido a las fuerzas viscosas
existentes en el flujo, éste se ve retrasado dentro de la capa límite de forma que el flujo
másico adyacente a la superficie sólida es menor que aquel que pasaría a través de la
misma región en ausencia de superficies sólidas. El decremento del flujo másico debido
a la influencia de las fuerzas viscosas es:
∞
ρ (U–u )dy
0
∫
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Por otro lado, definiendo el espesor de desplazamiento, δ* (figura 1.3), como la
distancia que, en ausencia de fuerzas viscosas, la superficie sólida tendría que
desplazarse, para tener un déficit de masa igual al que ocurre debido a la existencia de
la capa límite, se tiene:
∞
ρUδ* = ∫ ρ (U–u )dy
0
Dado que para flujos incompresibles ρ = constante, entonces:
∞
δ
δ* = ∫ ( 1 – u/U) dy ≈ ∫ (1 – u/U) dy
0
0
ya que u ≈ U y el integrando es esencialmente cero para y ≥ δ.
U
0.99U
Área =
∞
∫0
u(U – u) dy
δ
y
∫
δ*
∞
Área = (U – u) dy
0
θ
Figura 1.3 Definición de los espesores de capa límite
El efecto de retardo del flujo dentro de la capa límite produce también una
reducción en el momentum (cantidad de movimiento) al comparar el flujo dentro de la
capa limite con un flujo no–viscoso. Entonces, el momentum en el flujo queda definido
como:
ρU2θ =
∞
∫0 ρ u(U–u )dy
donde θ es el espesor de momentum y está definido como el espesor de una capa de
fluido con velocidad U para la cual el momentum es igual a la pérdida de momentum a
través de la capa limite.
∞
δ
θ =∫ u/U ( 1 – u/U) dy ≈ ∫ u/U (1 – u/U) dy
0
0
Los espesores de desplazamiento e integral son denominados espesores
integrales.
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Capa Límite Sobre una Placa Plana en Régimen Laminar: Solución Exacta
La solución para la capa límite laminar sobre una placa plana fue obtenida por H.
Blasius en 1908. Para un flujo bidimensional en estado estable con gradiente de presión
despreciable, las ecuaciones de gobierno se reducen a:
∂ u/∂ x + ∂ v/∂ y = 0
u∂ u/∂x + v ∂ u/∂ y = υ ∂ 2u/∂ y2
con las condiciones de frontera:
u = 0 en y = 0
u = U en y = ∞
Blasius propuso una solución de similaridad de tipo:
u/U = g(η) donde η ∼ y/δ
donde δ es el espesor de la capa límite y η es función de x, y, U y υ tal que:
η = y[U/(υ x)]1/2
Introduciendo la función de corriente,ψ, donde
u=
∂ψ
∂y
v=−
∂ψ
∂x
La cual satisface la ecuación de continuidad. Sustituyendo u y v dentro de las
ecuaciones de gobierno, el resultado es una sola ecuación con una variable dependiente
ψ. Definiendo la función de corriente adimensional como:
f (η ) =
ψ
υxU
Se obtiene el sistema con una variable dependiente f(η) mientras que η es la variable
independiente. Aplicando las sustituciones anteriores, se obtiene:
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u=
∂f U
∂f
∂ψ ∂ψ ∂η
=
= υxU
=U
∂η ∂y
∂η υ x
∂η
∂y
⎤
f⎥
⎦
⎡
∂f ⎛ 1 1 ⎞ 1 υU ⎤
= − ⎢ υxU
f⎥
⎜− η ⎟ +
η
2
2
∂
x
x
⎝
⎠
⎣
⎦
v=−
v=
⎡
∂ψ
∂f 1 υU
= − ⎢ υxU
+
∂x
∂x 2 x
⎣
1 υU
2 x
⎡ df
⎤
⎢η dη − f ⎥
⎣
⎦
Al diferenciar las componentes de la velocidad se tiene:
∂u
U d2 f
=− η
2 x dη 2
∂x
∂u
U d2 f
=U
υ x dη 2
∂y
∂ 2u U 2 d 3 f
=
∂y 2 υ x dη 3
De forma que la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x se
transforma en:
2
d3 f
d2 f
+
=0
f
dη 3
dη 2
df
=0
dη
con
f =
y
df
=1
dη
en
η =0
en
η =∞
De esta forma, la ecuación diferencial parcial de segundo orden que gobierna el
crecimiento de la capa límite bajo régimen laminar se transforma en una ecuación
diferencial ordinaria no lineal de tercer orden con las condiciones de frontera
adecuadas. Blasius resolvió esta ecuación empleando una expansión en series de
potencias. La misma ecuación fue más tarde resuelta en forma más precisa por Howarth
[1]. Los valores de f, df/dη y d2f/dη2 se muestran en la tabla 1.1. El perfil de velocidad
se obtiene de forma adimensional al graficar u/U contra η empleando los valores
obtenidos de la tabla mostrada.
De la tabla se observa que en η=5.0, u/U = 0.992. Definiendo el espesor de capa
límite, δ, como el valor de y para el cual u/U = 0.99, entonces:
δ≈
5.0
U /υ x
=
5.0 x
Re x
El esfuerzo cortante en la pared puede expresarse como:
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τw = μ
∂u
∂y
= μU U / υ x
y =0
d2 f
dη 2
η =0
Así
τ w = 0.332U μUρ / x
y el coeficiente de esfuerzo cortante en la pared, Cf, es:
Cf =
η= y
U∞
vx
τw
1
ρU 2
2
=
0.664
Re x
Tabla 1.1 Valores obtenidos de la solución exacta
f’ = u/U
f
f’’
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
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0
0.00664
0.02656
0.05974
0.10611
0.16557
0.23795
0.32298
0.42032
0.52952
0.65003
0.78120
0.92230
1.07252
1.23099
1.39682
1.56911
1.74696
1.92954
2.11605
2.30576
2.49806
2.69238
2.88826
3.08534
3.28329
3.48189
3.68094
0
0.6641
0.13277
0.19894
0.26471
0.32979
0.39378
0.45627
0.51676
0.57477
0.62977
0.67132
0.72899
0.77246
0.81152
0.84605
0.87609
0.90199
0.92333
0.94112
0.95552
0.96696
0.97587
0.98269
0.98779
0.99155
0.99425
0.99616
0.33206
0.33199
0.33147
0.33008
0.32739
0.32301
0.31659
0.30787
0.29667
0.28293
0.26675
0.24835
0.22809
0.20646
0.18401
0.16136
0.13913
0.11788
0.09809
0.08013
0.06424
0.05052
0.03897
0.02948
0.02187
0.01591
0.01134
0.00793
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5.6
5.8
6.0
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
8.0
8.2
8.4
8.6
8.8
3.88031
4.07990
4.27964
4.47948
4.67938
4.87931
5.07928
5.27926
5.47925
5.67924
5.87924
6.07923
6.27923
6.47923
0.99748
0.99838
0.99898
0.99937
0.99961
0.99977
0.99987
0.99992
0.99996
0.99998
0.99999
1.00000
1.0000
1.00000
0.00543
0.00365
0.00240
0.00155
0.00098
0.00061
0.00037
0.00022
0.00013
0.00007
0.00004
0.00002
0.00001
0.00001
6.67923
6.87923
7.07923
1.00000
1.00000
1.00000
0.00000
0.00000
0.00000
1. Howarth L.,”On the solution of the laminar boundary – layer equations”,
Proceedings of the Royal Society of London, A164, 1938, pp. 547 – 579.
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1.3 Ecuación Integral de Momento
Al considerar un volumen de control dentro de la capa límite, es posible obtener
una expresión de la ecuación de cantidad de movimiento que sea función de la distancia
a lo largo de la superficie sólida. Esta expresión puede aplicarse tanto al flujo laminar
como turbulento. Partiendo de la segunda ley de Newton, se tiene:
- Ecuación de cantidad de movimiento (Momento)
r
⎡ ∂u
dv
∂u
∂u
∂u ⎤
r
⎛ DU ⎞
F = ma = m
= m⎜
+v
+w ⎥
⎟ = m⎢ + u
∂x
∂y
∂z ⎦
dt
⎝ Dt ⎠
⎣ ∂t
Forma Integral
r
r
∂
Fs + F y =
∂t
r r
∫V ρudv + ∫S ρu (u ⋅ n )dA
- Ecuación de continuidad
∫S
r r
ρ (u ⋅ n )dA = 0 ;
.
.
∑m = ∑m
Ent
Sal
Para flujo permanente en estado permanente
∂
∂t
∫V ρudv = 0
r
r
r r
Fs + F y = ∫ ρu (u ⋅ n )dA
S
Para el análisis del campo de flujo en la capa límite, se considera el elemento diferencial
definido en el esquema por a-b-c-d
Figura 1.4 Volumen de control diferencial en la región de capa límite
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Ecuación de continuidad
δ
.
∫
Flujo de entrada (a-b): m x = ρudydz = mab
0
.
.
Flujo de salida (c-d): m x + dx
δ
.
m cd
∂ mx
dx
= mx +
∂x
.
δ
∂
= ∫ ρudydz + ∫ ρudydzdx
∂x 0
0
Flujo en la frontera (b-c):
.
.
.
m bc = m ent − m sal
δ
∂
= − ∫ ρudydzdx
∂x 0
Ecuación de momento
δ
∫
-Entrada (a-b): f ab = ρu (udy )dz
0
δ
∫
-Salida (c-d): f cd = ρu (udy )dz +
0
δ
∂
ρu (udy)dzdx
∂x ∫0
δ
-Salida (b-c): f bc = −
∂
ρU (udy)dzdx
∂x ∫0
Fuerzas de superficie ( Fsx ):
-Entrada (a-b): Fab = Pδdz ; P=presión
⎡⎛
⎣⎝
-Salida (c-d): Fcd = ⎢⎜ P +
∂P ⎞
⎤
dx ⎟(δ + ∂δ )dz ⎥
∂x ⎠
⎦
Para la frontera (b-c), se considera una fuerza definida por:
1 ∂P ⎞
⎛
Fbc = ⎜ P +
dx ⎟dδdz
2 ∂x ⎠
⎝
-Superficie, frontera (a-d): Fad = −τ w (dxdz )
Considerando que: dδdx << δdx se obtiene:
−δ
δ
δ
dP
d
∂
−τ w =
ρu (u )dy + U ∫ ρudy ; donde P = P(x)
∫
dx
dx 0
∂x 0
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Aplicando la ecuación de Bernoulli en la región de flujo no-viscoso se obtiene que:
dP
dU
= − ρU
dx
dx
δ
Introduciendo la integral
δ = ∫ dy , la ecuación de cantidad de movimiento en forma integral,
0
para la capa límite, se expresa como:
τw = −
δ
δ
δ
d
∂
dU
ρu (u )dy + U ∫ ρudy +
( ρu )dy
∫
dx 0
∂x 0
dx ∫0
Para simplificar esta ecuación, se aplica la siguiente derivada:
δ
δ
δ
∂
∂
dU
U ( ρu )dy = U ∫ ρ (u )dy +
( ρu )dy
∫
∂x 0
∂x 0
dx ∫0
Al sustituir el término correspondiente en la ecuación de cantidad de cantidad de movimiento,
se obtiene:
δ
δ
∂
dU
τ w = ∫ ρu (U − u )dy +
ρ (U − u )dy
∂x 0
dx ∫0
Definiendo una nueva variable: η =
Se obtiene:
dy = δdη
y
δ
Entonces para esta nueva variable se define la ecuación:
∂
dU
τ w = ∫ ρu (U − u )δdη +
ρ (U − u )δdη
∂x 0
dx ∫0
1
1
⎛ dP ⎞
⎟ son despreciables. Por lo tanto
⎝ dx ⎠
Para U = constante; los gradientes de presión ⎜
∂δ
τw =
ρu (U − u )dη
∂x ∫0
1
τ w = ρ (U ) 2
∂δ u
u
(1 − )dη
∫
∂x 0 U
U
1
Esta ecuación se obtiene al considerar:
- Flujo en estado permanente
- Flujo incompresible
- Despreciando fuerzas de cuerpo (gravedad)
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- la ecuación se puede aplicar al flujo laminar o turbulento
- Es necesario tener una expresión que relaciona el esfuerzo cortante, con el perfil de velocidad
o espesor de capa límite
τ w = ρ (U ) 2
∂δ u
u
(1 − )dη
∫
∂x 0 U
U
1
Ejemplo:
Para un flujo laminar el perfil de velocidad se define como:
u = a + by + cy 2
donde la condiciones de frontera aplicadas son:
⎫
u = 0; y = 0 ⎪
⎪⎪ u
u = U ; y = δ ⎬ = 2η − η 2
⎪U
du
= 0; y = δ ⎪
⎪⎭
dy
η=
y
δ
Para flujo laminar se puede aplicar:
⎛ du ⎞
τ w = μ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ dy ⎠ y =0
Para aplicar la ecuación de cantidad de movimiento, se representa el esfuerzo cortante en
función de la nueva variable η , esto es:
⎛u⎞
d⎜ ⎟
U
τ w = μU ⎝ ⎠
δdη
=
μU d (2η − η 2 )
δ
dη
η =0
η =0
τw =
2 μU
δ
Sustituyendo en la ecuación de cantidad de movimiento, se obtiene:
2μU
δ
∂δ u
u
= ρ (U )
(1 − )dη
∫
∂x 0 U
U
1
2
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Para obtener una expresión del espesor de capa límite, δ , se integra y se hace una separación de
variables, esto es:
2 μU
δ
⎛ 2 ⎞ dδ
= ρ (U ) 2 ⎜ ⎟
⎝ 15 ⎠ dx
-Separando variables:
15μ
dx
ρU
δdδ =
Integrando ambos lados de la ecuación y aplicando la condición x=0;
δ=
δ =0
se obtiene:
30 μx
μx
=5.48
ρU
ρU
También puede expresarse como:
δ
x
=
30μx 5.48
=
ρU
Re x
Para el esfuerzo cortante, se puede obtener una expresión del coeficiente de esfuerzo cortante en
la pared, Cf x , esto es:
Cf x =
τw
1 ρU 2
2
Donde: τ w =
⎛ du ⎞
U d2 f
⎟⎟
= μU
v x dt 2
⎝ dy ⎠ y =0
μ ⎜⎜
τ w = 0.332μU
η =0
ρU
μρU
= 0.332U ∞
x
μx
Sustituyendo en Cf x , se obtiene
Cf x =
0.332U ∞
μρU
1
ρU 2
2
Cf x = 0.664
x
=
0.664 ρμU
ρU
x
μ
0.664
=
ρUx
Re x
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Para diferentes perfiles de velocidad en la capa límite se obtienen soluciones con la ecuación
integral de la cantidad de movimiento
Distribución de velocidad
δ
x
Re x
Cf x Re x
y
3.46
0.578
4.64
0.646
⎡ π ⎛ y ⎞⎤
sin ⎢ ⎜ ⎟⎥
⎣ 2 ⎝ δ ⎠⎦
4.80
0.654
Solución exacta
5.0
0.664
δ
3⎛ y⎞ 3⎛ y⎞
⎜ ⎟− ⎜ ⎟
2 ⎝δ ⎠ 2 ⎝δ ⎠
3
1.4 Gradientes de presión en capa límite
Cuando U ≠ cte los gradientes de presión en la capa límite no son despreciables y tienen un
efecto sobre el comportamiento del flujo dentro de la región de capa límite.
Por ejemplo, considerando un ducto donde se desarrolla la capa límite y se tienen gradientes de
presión, el efecto de estos se muestra en el siguiente esquema:
Figura 1.5 Flujo en capa límite con gradientes de presión.
El punto de separación sobre la frontera sólida (superficie) se identifica con:
se establece que para
∂u
= 0 . Entonces
∂x
dP
= 0 , el flujo no se separa de la superficie.
dx
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Un gradiente de presión adverso:
dP
> 0 , es una condición necesaria para la separación de la
dx
capa límite.
Comparando los perfiles de velocidad y momento, figura 1.6, se puede observar que se necesita
mayor gradiente de presión adverso en el régimen de flujo turbulento para provocar la
separación de la capa límite.
Figura 1.6 Perfiles adimensionales sobre una placa plana.
1.5 Fuerza de arrastre
Cuando un cuerpo se encuentra inmerso en un fluido experimenta una fuerza, F, debido
a la acción del movimiento del fluido. Generalmente se establecen fuerzas de superficie
debido al esfuerzo cortante y a la presión, esto es,
r
r
F = ∫ dF = ∫ (dF )τ + ∫ (dF ) P
s
s
s
donde la componente paralela en la dirección del flujo se identifica como la fuerza de
arrastre y se divide en las fuerzas debido al esfuerzo cortante y de presión, que se
representan como:
Fτ = ∫ τ w dA
A
F p = − ∫ pdA
A
Para entender el efecto de la fuerza de arrastre, se considera el caso de una placa plana
expuesta a un flujo con una velocidad uniforme, U.
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Flujo paralelo sobre una placa plana: arrastre por fricción
Considerando un gradiente de presión cero, el arrastre total sobre una placa plana es
igual a la fricción, entonces:
CD =
∫τ
w
dA
1 ρU A
2
2
=
Fτ
1 ρU 2 A
2
Para flujo laminar, se tiene de la solución exacta:
Cf x =
τw
1 ρU
2
2
=
0.664
Re x
Entonces,
CD =
1
1
1
Cf x dA = ∫ 0.664(Re x ) 2 bdx ; para A=b*L
∫
bL
A
A
Integrando se obtiene:
CD =
ρUL
1.328
; donde Re L =
μ
Re L
También se pueden obtener otras expresiones, como:
Cf x =
τw
1 ρU
2
2
=
0.0577
(Re x )
1
; flujo turbulento sobre toda la placa plana
s
0.072
donde: C D =
(Re L )
1
5
De acuerdo a datos experimentales: C D =
0.074
(Re L )
1
5
; válida para Re L < 10 7
Otra expresión fue definida por Schlichting como: C D =
0.455
; válida para
(log Re L ) 2.58
Re L < 10 9
Para el caso de capa límite que inicialmente tiene un flujo laminar y que sufre una transición a
flujo turbulento, el coeficiente de arrastre se modifica a la forma:
CD =
0.074
(Re L )
1
5
−
1740
; teniendo que Re cr . = 5 x10 5
Re L
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Flujo normal sobre una placa plana: arrastre por presión
Si se tiene un flujo normal sobre una placa plana, se desarrolla un fuerza de arrastre
relacionada con la presión que se ejerce sobre la placa. Esta fuerza se define como:
F p = − ∫ pdA
A
donde el flujo se separa en los extremos de la placa, generándose un retroceso de flujo
(reflujo), figura 1.7. El coeficiente de arrastre por presión se determina, principalmente,
por experimentación donde la relación de aspecto (ancho/alto) de la placa es el
parámetro importante junto con el número de Reynolds. Este número se evalúa en
función de la altura de la placa, Reh, donde a valores mayores de 1000, el coeficiente de
arrastre es independiente del número de Reynolds.
Figura 1.7 Flujo normal sobre una placa plana.
Para el caso de la placa plana expuesta a un flujo normal, se tiene una gráfica que
relaciona el coeficiente de arrastre con la relación de aspecto teniendo Reh >1000, figura
1.8.
Figura 1.8 Coeficiente de arrastre sobre una placa plana expuesta a un flujo normal.
donde el número de Reynolds se define como: Re h =
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ρUh
μ
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Para otros objetos también existen valores del coeficiente de arrastre, tabla 1.2.
Tabla 1.2 Coeficiente de arrastre para otros objetos, Reh > 1000.
Flujo normal sobre una esfera o cilindro: arrastre por fricción y presión
En el caso de una esfera o cilindro en flujo cruzado, tanto la fricción como la presión
contribuyen al arrastre total y también está relacionado con el número de Reynolds, el
cual se define como:
ρUd
Re d =
μ
Para Re d ≤ 1 no hay separación de capa limite sobre la esfera y la estela es laminar
dominando el arrastre por fricción, figura 1.9. Para este caso, Stokes, demostró
analíticamente que las fuerzas inerciales son despreciables y definió la fuerza arrastre
como.
FD = 3πμUd
y coeficiente de arrastre como
CD =
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FD
1
ρUA
2
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Cuando Re d se incrementa hasta 1000, el coeficiente disminuye debido a la separación
de cada límite y el arrastre es una combinación de fricción y presión. Cuando
Re d ≈ 1000 el arrastre por fricción contribuye con el 5% del arrastre total:
Para el rango 10 3 < Re d < 2 x10 3
el coeficiente tiene poca variación. Sin embargo,
cuando Re d ≈ 2 X 10 3 el coeficiente reduce abruptamente.
Para Re d < 2 X 10 5 la capa límite es laminar en la parte frontal de la esfera y la
separación ocurre corriente arriba de la sección media de la estera, con una estela
turbulenta, relativamente ancha, corriente abajo de la esfera.
Para Re d > 2 X 10 5 ocurre la transición en la capa limite (laminar a turbulento) sobre
la parte frontal de la esfera. El punto de separación se desplaza a la parte posterior de la
esfera y el tamaño de la estela disminuye. Para esta condición, la fuerza de arrastre por
presión se reduce y el coeficiente cae abruptamente.
Figura 1.9 Coeficiente de arrastre sobre una esfera.
-Para esferas lisas, la transición ocurre a Re d = 4 x10 5
-Para esferas rugosas la transición ocurre Re d = 1x10 5
Para un cilindro en flujo cruzado el comportamiento es similar, pero con distintos
valores para el coeficiente de arrastre, figura 1.10.
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Figura 1.10 Coeficiente de arrastre para un cilindro en flujo cruzado
Perfil aerodinámico
La extensión de la región donde existe la separación de flujo, atrás de los cuerpos en
flujo normal, se puede reducir o eliminar al diseñar objetos con forma aerodinámica,
figura 1.11. Esta modificación al objeto reduce el gradiente de presión adverso.
Figura 1.11 Coeficiente de arrastre total en un perfil aerodinámico.
Para un Re d = 4 x10 5 el coeficiente de arrastre es de C D = 0.06 , donde
t
≈ 0.25 lo
c
cual representa un 20% menos del valor que se obtiene para un cilindro en flujo
cruzado.
En 1930 la NACA (Nacional Advisor Comittee for Aeronautics) desarrolló perfiles
aerodinámicos de “flujo laminar” donde la transición en la capa límite se presenta entre
el 60% ó 63% de la longitud de la cuerda desde el borde de ataque (nariz) de perfil. Para
dos perfiles simétricos de un 15 % de relación de espesor, t/c, figura 1.12, la transición
en el perfil NACA0015 se lleva a cabo en x/c = 0.13 cerca del punto de máximo
espesor. Por lo tanto, la mayor parte del perfil tiene una capa límite turbulenta con un
coeficiente de arrastre de C D = 0.0061 .
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Figura 1.12 Coeficiente de arrastre por presión en dos perfiles simétricos.
La solución para reducir el arrastre sobre el perfil, es mover el punto de máximo
espesor, perfil NACA662-015, para tener flujo laminar con un gradiente de presión
favorable, esto es, para
x
= 0.63 , para este perfil: C D ≈ 0.0035 . Estos perfiles
c
aerodinámicos se usan en el diseño de aviones subsónicos. Para estos perfiles, el flujo
laminar se mantiene hasta Re d = 30 x10 6 .
Fuerza de levante (sustentación)
Esta fuerza es la componente perpendicular al área de la superficie debido a la acción
del flujo sobre la superficie. Para evaluar la fuerza se define un coeficiente de levante:
CL =
FL
1 ρU 2 A
p
2
Donde A p es el área de proyección (máxima) del perfil. Entonces para un perfil
aerodinámico los coeficientes de arrastre y levante dependen del número de Reynolds
ρUc
Re c =
, definido en función de la longitud de cuerda del perfil, y del ángulo de ataque
μ
α . Este ángulo de ataque se establece entre la cuerda del perfil y el vector velocidad de
la corriente libre, U. Los coeficientes de arrastre y levante para perfiles de “flujo
laminar” se presentan en la figura 1.13, considerando un número de Reynolds de 9x106.
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Figura 1.13 Coeficientes de arrastre y levante en función del ángulo de ataque.
Si el ángulo de ataque se incrementa, el coeficiente de levante incrementa hasta alcanzar
un valor máximo. Sin embargo, si sigue aumentando el ángulo de ataque se produce un
decremento súbito en el coeficiente de levante.
En las pruebas sobre estos perfiles, se identifica la separación del flujo sobre la
superficie superior. Si el ángulo de ataque se incrementa el punto de estancamiento se
mueve hacia atrás a lo largo de la superficie inferior del perfil.
En el perfil aerodinámico, el flujo se acelera en la superficie superior y la presión se
reduce, propiciando el gradiente de presión adverso que provoca la separación del flujo.
Esta condición de flujo provoca un cambio súbito en el coeficiente de arrastre y
representa la transición del flujo en la parte superior del perfil.
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Para las alas del avión de longitud finita (envergadura), el coeficiente de levante se
reduce y el coeficiente de arrastre se aumenta. El efecto de la envergadura finita se
representa a través de una razón de aspecto, ar, definida como:
b2
ar =
Ap
donde b es la longitud de la envergadura y A p es el área de la plataforma (área de
proyección). Este efecto se muestra en las figuras 1.14 y 1.15.
Figura 1.14 Vórtices formados para una envergadura finita.
Figura 1.15 Efecto de la envergadura finita sobre los coeficientes de arrastre y levante.
La teoría de alas de envergadura o alargamiento finito predice que el ángulo de ataque
aumenta de acuerdo a la cantidad,
C
Δα = L
πar
provocando un un aumento en el coeficiente de arrastre,
ΔC D = C L Δα =
C L2
πar
este término se conoce como arrastre inducido.
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Entonces para un ala de envergadura finita se tiene que:
2
C D = C D ,∞ + C Di = C D ,∞
C
+ L
πar
donde CD, ∞ es el coeficiente de arrastre para una envergadura infinita.
Finalmente se puede establecer que el arrastre sobre perfiles aerodinámicos surge de
fuerzas viscosas y de presión, donde el arrastre viscoso cambia con el número de
Reynolds, pero el ángulo de ataque tiene poca influencia, figura 1.16.
Figura 1.16 Arrastre sobre cuerpos con y sin levante.
Para el caso de una ala de avión o el avión completo, una aproximación útil de la
relación sustentación-resistencia se obtiene al considerar el arrastre inducido donde el
coeficiente de arrastre se representa como:
2
C D = C D , 0 + C D ,i = C D , 0 +
CL
πar
donde CD, 0 es el coeficiente de arrastre para sustentación (levante) cero. Para
condiciones de vuelo en estado permanente, la sustentación o levante es igual al peso
del avión, por lo tanto,
1
W = FL = C L ( ρU 2 A)
2
y la velocidad mínima de vuelo se obtiene al considerar C L = C Lmax . Entonces:
U mín =
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2W
ρC Lmax A
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