3. Ecuaciones de conservación - Unidad de Ciencias de la Atmósfera

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011
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3. Ecuaciones de conservación
El comportamiento de la atmósfera se estudia considerando la evolución de su
masa, su momento y su energía. Para ello es necesario derivar ecuaciones de
conservación de estas cantidades.
3.1 Distribución de masa en la atmósfera
La atmósfera de la Tierra tiene una masa de 5.265x10 18 kg. La presión ejercida
disminuye con la altura a medida que existe menos masa por encima de un cierto nivel.
Por lo tanto existe una fuerza de gradiente de presión vertical dada por
que induce un movimiento desde la alta presión a la baja presión, o sea hacia arriba.
Este movimiento es contrarestado por la fuerza de la gravedad actuando sobre cada
parcela de fluído
Para una atmósfera en reposo estas dos fuerzas deben ser iguales y opuestas por lo que
en la dirección vertical vale
Este balance se denomina balance hidrostático y, si bien se cumple exactamente sólo
en el caso de una atmósfera en reposo, es el balance de primer órden en casi toda la
atmósfera real.
Consideremos ahora una columna de atmósfera de area unidad contenida entre
los niveles de presión de 1000mb y 500mb (figura 3.1). Como la presión se define como
fuerza por unidad de área, hemos aislado en esa columna una masa de atmósfera
suficiente como para ejercer 500 hPa de presión. La masa de esa columna es la misma
de otra columna que se extendiera entre los niveles de 710mb y 210mb. La masa de la
columna es
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Masa=
2
Fuerza  Presión∗Área 500∗100 N /m2 ∗1 m2
=
=
=5102.04 kg
g
g
9.8 m 2 / s
Figura 3.1 – Columna de atmósfera entre los niveles de 1000 y 500 hPa.
Mientras que la masa entre los niveles de 1000 y 500 hPa es la misma, el ancho de la
capa varía de un día a otro. Por lo tanto, el volumen y la densidad de la capa también
varíarán día a día. Por la ley de gases ideales, a aire menos (mas) denso corresponde
una temperatura virtual promedio en la capa, Tv , mayor (menor). (Recordemos que
Tv=T(1+0.61w) y es la temperatura que debería tener el aire seco para tener la misma
presión y densidad que la muestra de aire húmedo a temperatura T.)
Por lo tanto debe ser posible relacionar la temperatura virtual con el ancho de la capa.
Para ello combinamos la ley del gas ideal (p=ρRdTv) y la ecuación hidrostática:
ó
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Integrando esta ecuación entre los niveles p1 y p2 (p1>p2) a alturas z1 y z2 (z1<z2)
donde
es la temperatura virtual promediada en la capa. La ecuación anterior se denomina
ecuación hipsométrica y cuantifica la relación entre el ancho de la capa de atmósfera
entre presiones p1 y p2 dado por Δz y la temperatura media virtual.
La ecuación hipsométrica también puede expresarse en términos del geopotencial Φ. (Φ
es el trabajo requerido para elevar una unidad de masa una distancia dz por encima del
nivel del mar; cuantifica el trabajo realizado en contra la gravedad.) Puesto que dΦ=gdz,
podemos escribir
y la ecuación hipsométrica queda
Recordemos que la altura del geopotencial Z se define como Z=Φ/g0, donde g0 es la
gravedad promedio a nivel del mar (g0=9.81 m/s 2). La altura geométrica (z) y la altura
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del geopotencial (Z) son casi iguales en la tropósfera.
La ecuación hipsométrica tiene múltiples aplicaciones en meteorología. Por ejemplo, es
posible utilizarla para hallar la presión a nivel del mar que corresponde a la ubicación de
una estación meteorológica situada en una montaña. Asimismo, en los países donde
nieva se utiliza el ancho de la capa entre 500 y 1000mb como indicador de precipitación
sólida.
Por otro lado, la ecuación hipsométrica da información sobre la estructura vertical de
los sistemas meteorológicos de gran escala en latitudes medias. Por ejemplo,
consideremos el ancho de la capa entre 500 y 1000 mb en una estación dada. Entonces
nos queda
y por lo tanto un cambio de 60 m en el ancho de la capa corresponde a un cambio
promedio en la temperatura de 2.96 °C. Esto implica que la presión disminuye más
rápidamente con la altura en una columna fría que en una columna cálida. Las
consecuencias de este hecho se ilustran en la figura 3.2 que muestra un corte vertical a
través de un ciclón de núcleo frío. Como la columna en el medio del ciclón es mas frío
relativo a su entorno en todos los niveles su espesor es menor que en cualquier otro
lugar. Por lo tanto la fuerza de gradiente de presión, dirigida hacia el centro del ciclón
aumenta en magnitud con la altura. Así, los ciclones de núcleo frío, los mas usuales en
latitudes medias, intensifican con la altura lo cual es una característica muy importante
en la dinámica de estos ciclones.
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Figura 3.2 – Corte vertical a través de un ciclón de núcleo frío. Líneas sólidas son
isóbaras, líneas finas son los niveles de 0.5 km y 5 km. Las flechas indican la fuerza del
gradiente de presión.
3.2 Derivada total en un sistema rotante
Como se mencionó anteriormente en meteorología se describe el movimiento de la
atmósfera con respecto a un sistema que rota con la Tierra. Por lo tanto para escribir la
ecuación de Newton es necesario hallar la relación entre la derivada total de un vector
en un sistema de coordenadas inercial y la derivada total en un sistema rotante.
Sea A un vector arbitrario cuyos componentes en el sistema inercial son
y sus componentes en un sistema que rota a velocidad angular Ώ son
Sea daA/dt la derivada total en el sistema inercial (absoluto), entonces
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La misma derivada en el sistema rotante es
o
donde dA/dt es la derivada siguiendo el movimiento relativo de A. Los últimos tres
términos aparecen pues los versores cambian de orientación con la rotación de la Tierra.
Consideremos el versor en la dirección zonal (i'); su cambio está dado por
 i' =
∂i'
∂i '
∂i '

 
z
∂
∂
∂z
Para una rotación de cuerpo sólido
por lo que
 i ' ∂i '
=
 y tomando el límite δt -> 0 se obtiene
t ∂
d i' ∂i '
=

d t ∂
De la figura 3.3 vale que
∂i ´
= j ' sin −k ' cos 
∂
pero como (ver figura 3.4)

=0,
cos  , sin 
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se obtiene
d i'
=∧i ' .
dt
Figura 3.3 – Descomposicion de δi' en sus componentes horizontal, meridional y
vertical.
Análogamente,
d j'
=∧ j '
dt
d k'
=∧k '
dt
por lo que
y se obtiene la siguiente expresion que relaciona las derivadas totales en los sistemas
inercial y rotante
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3.3 Ecuación de conservación de momento en un sistema rotante
Aplicando la relación anterior al vector posición r (r es el vector perpendicular al eje de
rotación de magnitud igual a la distancia entre el eje de rotación y la superficie terrestre)
obtenemos que la velocidad absoluta es igual a la velocidad relativa mas la velocidad de
rotación de la Tierra. Si aplicamos la relación de transformacion de coordenadas a la
velocidad absoluta obtenemos
ya que  x  x r =−2 r . La última ecuación establece que la aceleración
lagrangiana en un sistema inercial es igual a la suma de (1) la aceleración lagrangiana
relativa al sistema rotante, (2) la aceleración de Coriolis, y (3) la aceleración centrípeta.
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De acuerdo a la 2da ley de Newton y recordando que las fuerzas fundamentales que
consideraremos son el gradiente de presión, la gravedad y la fricción se obtiene
o alternativamente
donde la aceleración centrípeta ha sido combinada con la gravedad en una gravedad
efectiva (sección 2.2).
3.3.1 Coordenadas esféricas
A los efectos meterológicos es posible considerar a la Tierra como una esfera perfecta.
Por lo tanto consideraremos un sistema de coordenadas esférico de forma que la
superficie coincida con una superficie de las coordenadas. Los ejes de coordenadas son
entonces  ,  , z  =(longitud, latitud, altura). Es usual definir x e y como las
distancias hacia el este y hacia el norte, respectivamente. Por lo tanto
dx=a cos  d  , dy=a d  donde a es el radio terrestre y se desprecia la distancia
desde la superficie hasta la altura de la parcela por ser muchisimo menor que a. La
velocidad relativa se puede escribir como V=ui+vj+wk, donde los componentes están
definidos por
Notemos que este sistema de coordenadas no es cartesiano pues la dirección de versores
cambia con la posición en la superficie (por ej., todos los meridianos convergen en los
polos). Esta dependencia en la posición debe tomarse en cuenta cuando el vector
aceleración se expande en sus componentes
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Por ejemplo, consideremos el versor i. Expandimos la derivada total y como i es solo
función de x se tiene
di
∂i
=u
dt
∂x
De acuerdo a la figura 3.3 por similaridad de triángulos se tiene
y
Tomando el límite δx -> 0
Por similares argumentos geométricos es posible derivar las siguientes expresiones para
los cambios de los versores j y k
Por lo tanto, combinando las expresiones derivadas anteriormente obtenemos
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que describe las componentes en el sistema de coordenadas esférico de la derivada total
del movimiento relativo.
Consideremos ahora la fuerza de Coriolis. Dado que Ώ solo tiene componentes vertical
y meridional (figura 3.4), el término de Coriolis queda de la forma
Figura 3.4 – Componentes de la velocidad angular Ώ.
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Los componentes de la fuerza de gradiente de presión son
mientras que la gravedad es
y la fricción se representa como
Combinando todas las expresiones anteriores y separando por componente se encuentra
que en un sistema rotante con la Tierra las ecuaciones de conservación de momento son
las siguientes
Los términos que involucran 1/a son resultado de la esfericidad terrestre y por lo tanto
se denominan términos de curvatura. Estos términos son cuadráticos en las variables
(u,v,w) y por lo tanto su no-linealidad dificulta el análisis. Por suerte, como se mostrará
mas abajo, los términos de curvatura no juegan ningún papel en la dinámica de los
sistemas meteorológicos en latitudes medias. No obstante, aún en ausencia de esos
términos, las ecuaciones anteriores son no lineales debido a la presencia de los términos
advectivos.
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3.3.2 Análisis de escala
Las ecuaciones de movimiento describen todos los tipos y escalas de
movimientos atmosféricos. Incluyen, por ejemplo, las ondas de sonido que son, no
obstante, de importancia menor en meteorología dinámica. El análisis de escala es una
técnica que permite estimar el orden de magnitud de los términos que componen la
ecuación de movimiento para el tipo de movimiento que nos interesa y retener sólo
aquellos que sean significativos. En esta sección realizaremos un análisis de escala que
tiene como objetivo describir los sistemas sinópticos y que filtra aquellas soluciones,
como las ondas sonoras, que no juegan un papel importante en la dinámica de estos
sistemas.
Las caracteristicas del movimiento atmosférico dependen en gran medida de la
escala horizontal por lo que su consideracion es un método conveniente para clasificar
distintos sistemas de movimiento. La tabla 3.1 muestra algunos tipos de movimientos
comunes en la atmósfera.
Tabla 3.1 – Escalas horizontales caracteristicas de movimientos atmosfericos.
En forma general es posible definir rangos de variaciones espaciales con límites
aproximados, que se muestran en la tabla 3.2.
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Tabla 3.2 – Escalas de movimiento atmosferico.
Notar la gran diferencia en escalas horizontal y vertical dado por las extensiones
horizontal y vertical de la troposfera. Para escalas sinópticas los sistemas en latitudes
medias tienen las siguientes características:
La escala para las fluctuaciones horizontales de presión está normalizada por la
densidad para que produzca una estimación que sea válida en todas las alturas de la
tropósfera a pesar de que δp y ρ decrecen exponencialmente con la altura. Esta escala
indica que la diferencia de presión entre altas o bajas adyacentes es del órden de 10 mb.
La escala temporal es una escala advectiva apropiada para sistemas que se mueve
aproximadamente a la misma velocidad que el viento horizontal, lo cual se observa a
escala sinóptica. Por lo tanto L/U es el tiempo requerido para recorrer una distancia L a
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velocidad U y la derivada total escala d/dt ~ U/L para estos movimientos.
Asumiendo una latitud media de 45° el parámetro de Coriolis es del órden de 10 -4 s-1, y
podemos calcular los órdenes de magnitud de todos los términos involucrados en las
ecuaciones de conservación de momento (ver figura 3.5). Notar que el término de
fricción molecular es tan pequeño que puede despreciarse en todos los casos excepto
cerca del suelo.
Figura 3.5 – Escalas de los términos en las ecuaciones horizontales de conservación de
momento.
De este análisis se desprende claramente que a primer órden el balance de momento se
realiza entre la fuerza del gradiente de presión horizontal y la fuerza de Coriolis. Este
balance se conoce como balance geostrófico y representa la relación de diagnóstico
fundamental para el flujo de latitudes medias. Esta aproximación de las ecuaciones no
tiene referencia al tiempo y por lo tanto no puede ser usada para predecir la evolución
del campo de velocidades.
Para determinar el tipo de flujo que describe el balance geostrófico es necesario
considerar el balance de las fuerzas que actúan. La fuerza del gradiente de presión está
dirigida siempre de alta a baja presión en forma perpendicular a las isóbaras. Para que la
fuerza de Coriolis balancee esa fuerza debe estar dirigida en forma perpendicular a la
dirección del movimiento de la parcela de aire y hacia la derecha (izquierda) en el H.N.
(H.S.) (figura 3.6). Por lo tanto el movimiento de la parcela será a lo largo de las
isóbaras y el sentido estará dado por f.
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Figura 3.6 – Viento geostrófico.
La expresión del viento geostrófico es
En forma vectorial
lo cual muestra claramente que el viento geostrófico debe ser siempre paralelo a las
isóbaras y de magnitud proporcional al gradiente de presión e inversamente
proporcional a la densidad y al parámetro de Coriolis.
Para latitudes medias el viento geostrófico es muy cercano al observado, quizas dentro
de un márgen del 10-15%, mientras que cerca del Ecuador el balance no es válido ya
que f  0 y el viento geostrófico no se parece en nada al real.
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Dado que el balance geostrófico no hace referencia a derivadas temporales el viento
geostrófico es estrictamente válido solamente en regiones de aceleración nula, lo cual
implica que ni la magnitud ni la dirección del viento pueden cambiar. La figura 3.7
muestra la situación sinóptica en 250 mb para el 15 de febrero de 2011 incluyendo las
isotacas. Como se observa en la mayor parte de la región la magnitud y/o la dirección de
la velocidad cambia.
Figura 3.7 – Situación sinóptica en 250 mb para el 15/02/2011. Se muestran los
contornos de altura (blanco, dam) y en verde las isotacas mayores a 70 nudos.
Los cambios en la magnitud del viento son mas prominentes en la vecindad de máximos
de vientos llamados “jet streaks”, mientras que cambios en la dirección del viento
(máximos de curvatura) son claros cerca de las vaguadas y cuñas que se distinguen en el
campo de presión. El grado de alejamiento del balance geostrófico que caracteriza estas
regiones puede ser determinado considerando la diferencia entre el viento real y el
geostrófico calculado en el mismo punto. Esta diferencia se conoce como viento
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ageostrófico Vag y se define matemáticamente como
El valor de esta definición proviene del hecho que es posible introducir la posibilidad de
pronóstico. Para ello consideremos los términos mayores o iguales a 10 -4 de las
ecuaciones de momento. Entonces,
Sustituyendo el balance geostrófico en estas ecuaciones
lo cual puede ser escrito como
lo cual indica que el viento ageostrófico está asociado a regiones de aceleración
Lagrangiana del viento, y predice la evolución temporal del viento total. Notemos que la
aceleración está siempre a 90° de Vag. Asimismo, en un “jet streak” la ecuación anterior
indica que a la entrada el flujo debe desviarse hacia alturas de geopotencial mas bajas,
mientras que a la salida debe desviarse hacia alturas de geopotencial mas altas. Mas
adelante veremos la gran importancia del viento ageostrófico en la comprensión de la
dinámica de la atmósfera de latitudes medias.
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Por lo que vimos mas arriba, para determinar si un flujo estará cercano al balance
geostrófico es necesario comparar el término de aceleración lagrangiano con el término
de Coriolis. Recordando que el término de aceleración escala como U2/L y el de
Coriolis como f0U entonces el cociente entre estas aceleraciones es
Este cociente es adimensional y se denomina número de Rossby (Ro). Para valores de
Ro < 0.1 la aceleracion lagrangiana es despreciable frente a la de Coriolis y el flujo es
aproximadamente geostrófico.
La figura 3.8 muestra un análisis de escala para la componente vertical de las
ecuaciones de movimiento. En este caso está muy claro que el balance predominante es
entre la gravedad y la componente vertical del gradiente de presión, o sea domina el
balance hidrostático.
Figura 3.8 – Escalas de los términos de la componente vertical de la ecuación de
conservación de momento.
Por todo lo anterior se desprende que a primer orden la atmósfera en latitudes medias se
encuentra en balance hidrostático y geostrófico.
3.4 Ecuación de conservación de masa
La conservación de la masa de un fluido en su movimiento está dado por la ecuación de
continuidad. El flujo de masa que entra y que sale de un elemento de volumen δxδyδz
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en la dirección x puede escribirse como
Figura 3.6- Balance de masa de un elemento de volumen.
Flujo de masa que entra  u  z  y
Flujo de masa que sale 
∂
∂u
 x  u
 x  z  y
∂x
∂x
El flujo de masa neto (sale-entra) es entonces

∂u ∂  ∂ u
∂

 xu
 x  z  y ,
∂ x ∂x ∂ x
∂x
Cuando δx -> 0, el segundo término es despreciable comparado con los otros dos y
obtenemos

∂u
∂
∂u
u
 x  z  y =
 x y  z .
∂x
∂x
∂x
En tres dimensiones

∂ u ∂ v ∂ w


 x  y  z
∂x
∂y
∂z
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El flujo de masa debe estar balanceado por el cambio de masa en el elemento de
volumen
∂
 x y z
∂t
y por lo tanto la ecuacion de conservacion de masa queda
∂ ∂  u ∂  v ∂  w



=0 .
∂t
∂x
∂y
∂z
Esta ecuación fue derivada por primera vez por L. Euler (1707-1783).
Es posible también escribir esta ecuación de la siguiente forma
Un fluido cuyas parcelas individuales no experimenten un cambio en su densidad
siguiendo el movimiento (dρ/dt=0) se conoce como fluído incompresible. Es claro que
la atmósfera es un fluído compresible. No obstante para muchos procesos atmosféricos
la compresibilidad no juega un papel importante. En estos casos la ecuación de
continuidad simplemente establece que la divergencia del campo de velocidades es nula.
3.5 Ecuación de conservación de energía
La atmósfera puede guardar energía en forma de calor latente, energía cinética, energía
interna y energía potencial. Uno de los mayores problemas en el estudio de los procesos
atmosféricos es determinar cómo es la conversión entre las diferentes formas de
energía.
Para derivar la ecuación de conservación de la energía comenzamos multiplicando las
ecuaciones de momento por la velocidad, y obtenemos
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Sumando estas tres ecuaciones y notando que los términos de Coriolis y de curvatura
suman cero (recordemos que Coriolis no realiza trabajo) resulta
El término de la izquierda representa la razón de cambio de la energía cinética total del
flujo. El primer término de la derecha representa el trabajo realizado por la velocidad
ageostrófica contra el gradiente de presión. Cuando la velocidad está dirigida a través de
las isóbaras de alta a baja (de baja a alta) presión se produce (consume) energía cinética.
Notar que en el caso de un flujo exactamente geostrófico V es paralelo al gradiente de la
presión y el término se anula.
Por definición w=dz/dt y -gw puede escribirse como
donde  es el geopotencial, una medida del trabajo necesario para elevar una unidad
de masa una distancia z por encima del nivel del mar. Entonces vale
donde el lado izquierdo representa la suma de la energia cinética y potencial por unidad
de masa de una parcela de atmósfera. El último término a la derecha representa la
energía disipada por la fricción. Notar que como V y F son en general opuestas el
producto V.F será negativo y la energía de la parcela decrecerá en presencia de fricción
como es esperable.
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Como la ecuación anterior se derivó de las ecuaciones de movimiento relaciona
únicamente formas de energía mećanicas y se denomina ecuación de energía mecánica.
Para incluir las otras formas de energía en la atmósfera es necesario considerar la
primera ley de la termodinámica
que relaciona la razón del calentamiento con cambios en la energía interna y el trabajo
de expansión. Cv es el calor específico del aire seco a volumen constante (717 J/kg/K) y
α es el volumen específico.
Reordenando la ecuación de energía mecánica
y sumándosela a la 1a ley obtenemos
Notando que
1
dp ∂ p
V . ∇ p= −


dt ∂t
y que
es posible reagrupar los términos de la forma
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que se conoce como la ecuación de conservación de la energía. Esta ecuación implica
que para un flujo adiabático, estacionario y sin fricción se conserva la siguiente cantidad
la cual es similar a la ecuación de Bernoulli para un fluído incompresible
Esta relación sugiere que para una atmósfera en reposo un incremento en la elevación
resulta en una disminución de la presión hidrostática (obvio!). Si la atmósfera, por el
contrario, está en movimiento aparece una mayor diferencia de presión aún
considerando el mismo incremento de elevación pues en este caso es una diferencia en
presion dinámica. Por ejemplo, para un flujo sobre una montaña, a medida que el aire
sube la velocidad del viento aumenta. Por lo tanto la diferencia de presión entre el pico
y la base de la montaña (p2-p1) debe ser mayor que su diferencia hidrostática pues la
velocidad del viento es mayor en el pico que en la base (u2>u1).
3.5.1 Temperatura potencial y estabilidad estática
Consideremos nuevamente la 1a ley de la termodinamica y sustituyamos el termino de
trabajo usando una versión diferencial de la ley de gases ideales
y donde también usamos cp=cv+R. Dividiendo pot T y recordando que α/T=R/p
donde el término de la derecha es la entropía. Consideremos un proceso isentrópico
donde una parcela se mueve desde una presión p y temperatura T a un nivel de presión
p0 de referencia con una temperatura  de referencia. Este proceso define la
temperatura potencial  ; integrando
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Esta última se denomina ecuación de Poisson. Físicamente  es la temperatura que
tendría una parcela de aire si fuera comprimida (o expandida) adiabáticamente desde su
presión original p (altura) hasta una presión (altura) de referencia p0 (en general
1000mb). Líneas de  constante se denominan isentrópicas.
La temperatura potencial permite estudiar la estabilidad vertical de la atmósfera.
Tomando el diferencial del logaritmo de 
Sustituyendo dp/dz con la ecuación hidrostática y usando ley gases ideales
Si la temperatura potencial es constante con la altura se halla una expresión para el
“lapse rate” seco
−∂T g
d=
= =9.8C / km
∂z
cp
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en otro caso ( =
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−∂T
)
∂z
= d −
T ∂
 ∂z
Esta expresión permite estudiar la estabilidad de parcelas de aire no saturadas frente a
∂
perturbaciones verticales. Si
> 0 entonces Γ < Γd y corresponde a una
∂z
estratificación estable. En este caso una parcela de aire seco (que debe enfriarse a 9.8
°C/km) que ascienda se enfriará a una razón mayor que el entorno. Dado que la parcela
se ajusta inmediatamente a la presión del entorno, de la ecuación de estado está claro
∂
que la parcela será mas densa que el aire a su alrededor y tenderá a bajar. Si
= 0,
∂z
Γ = Γd, corresponde a una estratificación neutra y la temperatura de la parcela tendrá
∂
siempre la misma temperatura que el entorno. Finalmente, si
< 0, Γ > Γd,
∂z
corresponde a una estratificación inestable y la parcela estará siempre mas cálida que el
entorno por lo que podrá realizar convección libre. Esta situación no es muy común
pues la atmósfera tenderá a mezclarse rápidamente hacia una condición de estabilidad
neutra.
En el caso estable una parcela que es elevada a cierta altitud será forzada a volver a su
posición original y, despreciando la fricción, tenderá a oscilar alrededor de su posición
de equilibrio original. La frecuencia de oscilación dependera de la fuerza restitutiva, que
será la gravedad multiplicada por la diferencia de densidades de la parcela y el entorno.
La expresión para la frecuencia es
y se conoce como frecuencia de Brunt-Vaisala.
Referencias
– An Introduction to Dynamical Meteorology, Holton, 2004.
– Mid-Latitude Atmospheric Dynamics, Martin, 2006.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro