Difracción de la luz en una ranura

Difracción de la luz
Óptica Física
Óptica Geométrica
d~λ
d >> λ
Difracción de la luz
1. Difracción (cercana) de Fresnel
(en honor a:
Augustin Jean Fresnel, 1788-1827)
2. Difracción (lejana) de Fraunhofer
(en honor a:
Joseph von Fraunhofer, 1787-1826)
Difracción de la luz
en una ranura
z
x
Rendija
Fuente
de luz
Pantalla
Filtro
Difracción de la luz en una ranura
P
λ
a
θ
D
Difracción de Fraunhofer:
los rayos llegan a P prácticamente
paralelos cuando D >>λ
Mínimos de Difracción
λ
a
θ
a
Δr = 2 senθ
Interferencia destructiva si: Δr = ±λ/2
a
Δr = 2 senθ = ± λ/2
Primera franja obscura cuando: senθ = ± λ/a
Mínimos de Difracción
Primera franja obscura cuando: senθ = ± λ/a
λ
a
θ
a
Δr = 4 senθ
Interferencia destructiva si: Δr = ±λ/2
a
Δr = 4 senθ = ± λ/2
Segunda franja obscura cuando: senθ = ± 2 λ/a
Primera franja obscura cuando: senθ = ± λ/a
Segunda franja obscura cuando: senθ = ± 2 λ/a
λ
θ
a
a
Δr = 6 senθ
si: Δr = ±λ/2
a
Δr = 6 senθ = ± λ/2
Tercera franja obscura cuando: senθ = ± 3 λ/a
... y en general, se tiene un mínimo
(interferencia destructiva) cuando
λ
senθ = m a
m = ±1, ±2, ±3, ...
¿Qué hay entre dos mínimos?
z
Rendija
x
Pantalla
Máximos locales !
Función Sampling
Sa(x) = sen x
x
−3π
−2π
−π
π
2π
3π
x
Intensidad en la pantalla
λ
Ep
EM
θ
θ=0
θ>0
a
Δr
β’= 2π a senθ = 2β
λ
β=
β’/2
R
R=EM /β’= EM /2β... por definición de radián
por triángulo rectángulo:
Ep=2R sen(β)=EM senβ / β = EM Sa(β)
Ep
β’
EM
;β= π
λ
a senθ
Intensidad en la pantalla
Ep = EM Sa(β)
de donde:
β = π a senθ
λ
Ip = IM Sa2(β)
IM
−3π
−2π
−π
π
a~2λ
−π/2
a<<λ
2π
π/2
−π/2
π/2
3π
β
θ
Intensidad en la pantalla
Ip = IM Sa2(β) = IM
es decir:
Mínimos:
sen2β
β2
Ip(θ) = IM
λ
senθ = m a
β = π a senθ
λ
sen2(π a senθ / λ)
(π a senθ / λ)2
m = ±1, ±2, ±3, ...
Máximos: difíciles de calcular en forma exacta!
β ~ ±2,860π; ±4,918π; .....
Difracción de la luz
Ip(θ) = IM
sen2(π a senθ / λ)
(π a senθ / λ)2
Óptica Física
Óptica Geométrica
a~λ
a >> λ
Primer mínimo cuando senθ = λ
a
Experimento de Young
(Thomas Young, físico inglés 1773-1829)
z
x
Rendija
Fuente
de luz
Pantalla
Doble
rendija
Filtro
Difracción con doble rendija
λ
r1
a
a
d
θ
φ
r2
D
... por interferencia: Ιθ(θ) = ΙΜ
... por difracción:
cos2(φ)
Ιθ(θ) = ΙΜ Sa2(β)
π d senθ
φ=
λ
π a senθ
β=
λ
Combinando ambos efectos: Ιθ(θ) = ΙΜ Sa2(β) cos2(φ)
Ιθ(θ) = ΙΜ
Sa2(β)
cos2(φ)
Ι
π a senθ
β=
λ
a=0
φ
φ
Difracción con múltiples rendijas
Ejemplo con N = 6 ranuras
λ
λ
Δr
θ
2π
φ
d senθ
φ = 2π
λ
d
Máximos:
(1)
Δr = d senθ = mλ
m = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Los puntos de máximo no dependen de N !
Orden o Modo: m = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Ejemplo con N = 6 ranuras
Análisis de mínimos para cada modo cuando: a → 0
Primer mínimo:
φ1 = 2π/Ν (2)
d senθ
de (1) y (2): φ1 = 2π
= 2π/Ν
λ
θ1 = arc sen(λ/Nd) ∼ λ/Nd
θ1 ∝ 1/Ν
Segundo mínimo:
φ2 = 2π/(Ν/2) = 2 (2π/Ν) = 2φ1
θ2 = arc sen(2 λ/Nd) ∼ 2 λ/Nd ∼ 2 θ1
Mínimos con N Ranuras
Primer mínimo:
θ1 = arc sen(λ/Nd) ∼ λ/Nd
Segundo mínimo: θ2 = arc sen(2 λ/Nd) ∼ 2 λ/Nd ∼ 2 θ1
:
k-ésimo mínimo:
N=2
N=6
θk = arc sen(k λ/Nd) ∼ k λ/Nd ∼ k θ1
Máximos: d senθm = mλ
θm = arc sen (mλ/d)
θm+1 = arc sen ( (m+1)λ/d )
Δθ = θm+1 − θm = arc sen ( (m+1)λ/d ) - arc sen (mλ/d)
Δθ ∼ (m+1)λ/d - mλ/d = λ/d
... no depende de N !
Mínimos: en Δθ ∼ λ/d
k-ésimo mínimo: θk = arc sen(k λ/Nd) ∼ k λ/Nd ∼ k θ1
Mínimos entre 2 Máximos: k
k λ/Nd < λ/d
θk < Δθ
k<N
Mínimos entre 2 Máximos:
k<N
N=2
Δθ =
λ/d
N=6
θ1 θ2 θ3
N=8
En general, se puede demostrar que para N
rendijas de ancho a, separadas una distancia d, la
Intensidad (en la zona de Fraunhofer) está dada
por:
Ιθ(θ) = Ι0 Sa2(β) sen2(Nφ) / sen2(φ)
π d senθ
φ=
λ
π a senθ
β=
λ
Redes de Difracción
(Rejilla con gran número de líneas equidistantes)
d ... Espaciamiento de la rejilla (del orden del μm)
N ... Número de líneas (del orden de miles)
USO: mediciones precisas de longitud de onda, como
en Espectrógrafos y Espectrómetros.
m=-2 m=0
m=2
Máximos
λ
λ’
senθ = mλ/d
m=-1
m=1
Ejemplo de utilización de una Red de Difracción
Dada una red de difracción de 600 líneas por mm,
calcular la anchura angular del espectro visible en
el primer modo.
SOLUCIÓN
senθ = λ/d
m=1
rojo: λ = 700 nm
θr = 24,8°
violeta: λ = 400 nm
θv = 13,9°
Δθ = θr - θv = 10,9°
Criterio de Rayleigh
Δθ
Lord Rayleigh (1842-1919) propuso que dos líneas
espectrales son todavía distinguibles si el máximo de
uno coincide con el primer mínimo del otro.
Poder Separador de una Red de Difracción: R = λ
Δλ
senθ = mλ/d
θ ~ m λ/d
Máximos
(θ+Δθ) ~ m (λ+Δλ)/d
(1)
... de donde: Δθ ~ m Δλ / d
(2)
... y como el primer mínimo está en θ1∼λ/Nd
... de (1) y (2) por el criterio de Rayleigh Δθ= θ1
λ
R=
= Nm
Δλ
Dispersión de una Red de Difracción: D = dθ
dλ
Máximo:
d senθ = mλ
Derivando respecto de λ:
dθ
=
D=
dλ
d cosθ
dθ
=m
dλ
m
d cosθ
Mayor Dispersión implica:
mejor separación entre longitudes de ondas cercanas
Comparación entre Redes de Difracción
m=0
m=1
D; R
D; Ra>R
Da>D; R
Difracción en Abertura Circular
Óptica Física
Óptica Geométrica
d~λ
d >> λ
senθ1 = 1,22 λ/D
Mínimos:
senθ2 = 2,23 λ/D
senθ3 = 3,24 λ/D
D ... Diámetro de la abertura
La Resolución de una lente (como la usada
por un telescopio) mejora al aumentar el
diámetro D de la lente (o disminuyendo λ)
• Telescopios de grandes diámetros.
• Microscopios ultravioletas.
Difracción de Rayos X
• Los rayos X fueron descubiertos en 1895 por
Wilhelm Rontgen (1845 – 1923).
• Tienen longitudes de onda del orden del
Amstrong [1 Aº = 10-10m] similar al
espaciamiento entre moléculas de un cristal.
Pantalla
de plomo
Tubo de
Rayos X
Cristal
Película
Holografía
Imagen
Real
Láser
Película
Fotográfica
Objetro
Lá
se
r
Holograma
Imagen
Virtual