Es el movimiento cuyo móvil recorre arcos iguales en tiempos

Secretaria de Educación San José de Cúcuta - Norte de Santander
INSTITUCIÓN EDUCATIVA COLEGIO PRESBÍTERO DANIEL JORDAN
Aprobada por Resolución 002733 del 23 de noviembre del 2011
DANE 154001010171 NIT 800.115.569-5
“Nuestra meta: La excelencia”
TEMA: MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
COMPETENCIA: Analiza, describe y resuelve ejercicios y problemas del movimiento circular
uniforme.
CONCEPTUALIZACION
Es el movimiento cuyo móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales, es un
movimiento de rapidez constante y cuya trayectoria es una circunferencia.
En este movimiento podemos analizar la velocidad angular (ω); velocidad
lineal o tangencial; aceleración centrípeta, período, frecuencia.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Velocidad tangencial
Aceleración Centrípeta
Frecuencia y Periodo
La magnitud de la velocidad
no cambia pero si su
dirección, esta aceleración
es hacia el centro por ello
se denomina centrípeta
T= tiempo que dura el
móvil en dar una vuelta
completa.
F=
número
de
revoluciones en dar una
vuelta
Velocidad angular (ω)
Es la velocidad con la que el
cuerpo se desplaza sobre la
circunferencia.
Es el cociente entre el ángulo
descrito por el radio y el
tiempo
empleado
en
describirlo sus unidades son
radianes sobre segundos o
ángulos sobre segundos
EXPRESION MATEMATICA
𝒙
𝒗=
𝒕
EXPRESION MATEMATICA
𝝎=
𝟐𝝅
;
𝒕
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 , 𝝎 =
𝜶
𝒕
EXPRESION MATEMATICA
𝒗𝟐
𝒂=
, 𝒂 = 𝝎𝒇
𝒓
EXPRESION MATEMATICA
𝑻
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒅𝒐
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔
𝑻
En los dos casos mostrados en las figuras se cumple que:
# 𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒆
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Sus rapideces tangenciales serán iguales. Angulares.
Relación entre los radios y las rapideces
Relación entre los radios y sus frecuencias.
Relación entre los radios y los periodos de rotación.
EJEMPLOS

Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de
una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 seg.
a) Cual es la rapidez promedio?
b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un
circulo?
a) Cual es la rapidez promedio?
b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene
en un circulo? L = 200 metros = 2 π r
Despejamos el radio
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F = 3,01 Newton
Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en
radianes por segundo y calcula su
periodo y frecuencia.
Para pasar de revoluciones por minuto a radianes por
segundo, solo tenemos que recordar que una vuelta entera (360o, una revolución) equivale a 2π
radianes (o que media vuelta, 180o, son π radianes). Con eso ya podemos hacer regla de tres:
1 vuelta → 2π radianes
90 vueltas → x radianes
𝑥 = 90 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 ×
2𝜋
= 180𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
180 π radianes→ 60 segundos
x radianes → 1 segundo
𝑥 = 180 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ×
1
= 3 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Ya tenemos la velocidad angular (ω). El periodo (T) se saca mediante la formula:
2𝜋
𝜔=
𝑇
2𝜋 2
𝑇=
=
3𝜋 3
La frecuencia (f) es la inversa del periodo:
𝑓=
1 3 −1
= 𝑠
𝑇 2
Una rueda de bicicleta de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula: a) su
velocidad angular b) su velocidad lineal en la llanta c) su periodo d) su frecuencia.
El apartado a) se resuelve igual que el ejercicio anterior:
1 vuelta → 2π radianes
200 vueltas → x radianes
2𝜋
𝑥 = 200 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 ×
= 400𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
400π radianes → 60 segundos
x radianes → 1 segundo x = 20π/3 radianes/segundo
𝑥 = 400 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ×
1
20
=
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
3
b) Para sacar la velocidad lineal a partir de la angular, solo tenemos que multiplicar por el radio (en
metros). Esto vale para calcular cualquier magnitud lineal a partir de la angular.
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v = ω・R
𝑣 =𝜔×𝑟
𝑣=
20
3
𝜋 × 0,8 = 16,76 𝑚/𝑠v =
c) Ya vimos en el ejercicio anterior como calcular el periodo a partir de la velocidad angular:
2𝜋
𝜔=
𝑇
2𝜋
3
𝜋
10
𝑇 = 20 =
3
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. “ Recuerde la Ley de Extremos y Medios ”
3) Un tiovivo gira a 30 revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal de
un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros. Calcula la aceleración
normal para este último.
La velocidad angular es la misma para los dos caballitos, sin importar lo lejos que estén del centro.
Si no fuera así, algunos caballitos adelantarían a otros dentro del tiovivo. Si la calculas del mismo
modo que en ejercicios anteriores, veras que el resultado es de π radianes/segundo. Pero la
velocidad lineal no es la misma para los dos, porque el caballito que este más hacia fuera debe
recorrer un circulo mayor en el mismo tiempo. Para calcular las velocidades lineales, multiplicamos
las angulares por los respectivos radios:
caballito 1: v = π ・ 1,5 = 4,71 m/s
caballito 2: v = π ・ 2 = 6,28 m/s
Aunque sea un MCU, existe una aceleración, llamada "normal" que es la
responsable de que el objeto se mueva en círculos en vez de en línea
recta. Esta aceleración es igual a la velocidad lineal al cuadrado
dividida entre el radio:
𝑣
𝑎=𝑟=
6,28
2
TALLER
1. Un volante de 1 ,50 m de radio gira a razón de 50 vueltas por minuto. Calcular: la velocidad
lineal y su velocidad angular.
2. Sabiendo que la tierra tiene un período de 24 horas y que su radio mide 6.370 Km.,
calcular la velocidad tangencial con que se mueven los cuerpos que están en la superficie
del planeta.
3. Un móvil animado de movimiento circular uniforme describe un ángulo de 2,20 rad en 1/5
de seg. Si el radio de la circunferencia descrita es de 40 cm, calcular: su velocidad angular.
Su velocidad lineal. Su período y su frecuencia.
4. Un disco que está animado de movimiento circular uniforme da 100 revoluciones por
minuto (r.p.m.), calcular: su período, su frecuencia, su velocidad angular, la velocidad lineal
en un punto de su periferia si tiene un diámetro de 3 metros.
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5. Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm.
a)Hallar su velocidad angular, la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta en un punto
del borde. b) Repetir los cálculos para otro punto situado a 10 cm del centro.
b)Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º y en efectuar 20 revoluciones?
6. Calcular la velocidad angular de cada una de las manecillas de un reloj.
7. Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular
gira, cuando el automóvil marcha a 72 km/h en un camino rectilíneo, sin que resbalen.
8. Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de
una pista circular en un minuto. Determinar el radio de la misma. Si el automóvil tiene
aceleración en algún instante, determinar su módulo, dirección y sentido.
9. Un móvil recorre una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia f de 10 Hz.
Determinar:
c) el período.
d)la velocidad angular.
e)su velocidad tangencial.
f) su aceleración.
10. ¿Cuál es la aceleración y la fuerza centrípeta que experimenta un chico que pesa 500 N y
que viaja en el borde de una calesita de 2 m de radio y que da una vuelta cada 8
segundos?
11. Un satélite artificial, cuya masa es 100 kg, gira alrededor de la Tierra, dando una vuelta
completa cada 90 minutos. Suponiendo que su órbita es circular, que el radio medio de la
Tierra es 6360 km, y que la altura media del satélite sobre la superficie terrestre es de 280
km, determinar su velocidad tangencial, su aceleración y la fuerza centripeta.
12. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, en electrón gira alrededor del protón en una
-10
6
órbita circular de 0,53 x 10
m de radio con una rapidez de 2,18 x 10 m/s.
a)¿Cuál es la aceleración del electrón en el átomo de hidrógeno?
b)¿Cuál es la fuerza centrípeta que actúa sobre él? Considere la masa del electrón m e = 9,1
-31
x 10 kg.
1. Calcule
a)la velocidad angular;
b)la velocidad tangencial
c) la aceleración centrípeta de la Luna, sabiendo que ésta efectúa una revolución completa
8
en 28 días y que la distancia media a la Tierra es de 3,8 x 10 m.
13. Una rueda de 50 cm de radio gira a 180 r.p.m. Calcula:
d)El módulo de la velocidad angular en rad/s Resultado: ω= 6π rad/s
e)El módulo de la velocidad lineal de su borde. Resultado: v= 9.42 m/s
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f) Su frecuencia. Resultado: f= 3 Hz
14. Un CD-ROM, que tiene un radio de 6 cm, gira a una velocidad de 2500 rpm. Calcula:
g)El módulo de la velocidad angular en rad/s Resultado: ω= 83.3π rad/s
h)El módulo de la velocidad lineal de su borde. Resultado: v= 15.7 m/s
i) Su frecuencia.
Resultado: f = 41.66 Hz
15. Teniendo en cuenta que la Tierra gira alrededor del Sol en 365.25 días y que el radio de
11
giro medio es de 1.5 10 m, calcula (suponiendo que se mueve en un movimiento circular
uniforme):
j) El módulo de la velocidad angular en rad/día Resultado: ω= 0.0172 rad/día
k) El módulo de la velocidad a que viaja alrededor del Sol Resultado: v= 29861m/s
l) El ángulo que recorrerá en 30 días. Resultado: θ = 0.516 rad = 29° 33'
m)
El módulo de la aceleración centrípeta provocada por el Sol. Resultado: a = 5.9 10
3
2
m/s
16. Calcular cuánto tiempo pasa entre dos momentos en que Marte y Júpiter estén sobre el
mismo radio de sus órbitas (suponiendo que ambos se mueven con un movimiento circular
uniforme). Periodos de sus órbitas alrededor del Sol:
Marte: 687.0 días Júpiter:
11.86 año Resultado: t = 816.6 días
VER VIDEO
10.
Un piloto de avión bien entrenado aguanta aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad,
durante tiempos breves, sin perder el conocimiento. Para un avión que vuela a 2300 km/h,
¿cuál será el radio de giro mínimo que puede soportar? Resultado: r = 5200 m
11.
Tenemos un cubo con agua atado al final de una cuerda de 0.5 m y lo hacemos girar
verticalmente. Calcular:
a)El módulo de la velocidad lineal que debe adquirir para que la aceleración centrípeta sea
2
igual a 9.8 m/s . Resultado: v = 2.21 m/s
b)El módulo de la velocidad angular que llevará en ese caso. Resultado: ω = 4.42 rad/s =
0.70 vueltas/s
16.
La Estación Espacial Internacional gira con velocidad angular constante alrededor de la
Tierra cada 90 minutos en una órbita a 300 km de altura sobre la superficie terrestre (por
tanto, el radio de la órbita es de 6670 km).
a)Calcular la velocidad angular ω Resultado: ω = π/2700 rad/s
b)Calcular la velocidad lineal v Resultado: v = 7760 m/s
c) ¿Tiene aceleración? En caso afirmativo, indicar sus características y, en caso negativo,
explicar las razones de que no exista. “Movimiento circular uniformemente acelerado
(m.c.u.a.)”
17.
Un CD-ROM de 6 cm de radio gira a una velocidad de 2500 rpm. Si tarda en pararse 15 s,
calcula:
2
a)El módulo de la aceleración angular. Resultado: α= -5.55 π rad/s
b)Las vueltas que da antes de detenerse.
Resultado: θ = 625 π rad = 312.5 vueltas
c) El módulo de la velocidad angular para t=10 s Resultado: ω= 27.77π rad/s
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18.
Un coche con unas ruedas de 30 cm de radio acelera desde 0 hasta 100 km/h en 5 s.
Calcular:
2
a)El módulo de la aceleración angular. Resultado: α= 18.52 rad/s
b)Las vueltas que da en ese tiempo. Resultado: θ = 231.48 rad = 36.84 vueltas
c) El módulo de la velocidad angular para t=3 s Resultado: ω= 55.56 rad/s
2
d)El módulo de la aceleración tangencial Resultado: aT = 5.55 m/s
2
e)El módulo de la aceleración normal para t= 5 s Resultado: aN = 2572 m/s
19.
Una centrifugadora pasa de estar detenida a girar a 450 r.p.m. en 15 s. Si el radio del tambor
es de 25 cm, calcular:
2
a)El módulo de la aceleración angular. Resultado: α= π rad/s
b)Las vueltas que da en ese tiempo. Resultado: θ = 112.5π rad = 56.25 vueltas
c) El módulo de la velocidad angular para t=10 s Resultado: ω= 10π rad/s
2
d)El módulo de la aceleración tangencial Resultado: aT = 0.78 m/s
2
e)El módulo de la aceleración normal para t=15 s Resultado: aN = 555.2 m/s
20.
Una centrifugadora esta girando a 1500 r.p.m., se desconecta y se detiene en 10 s. Calcular
2
a)Su aceleración angular α Resultado: α = -15.70 rad/s
b)Las vueltas que da hasta detenerse. Resultado: θ =125 vueltas
21.
Un disco que está girando a 2 vueltas/s, frena y se detiene en 9 s. Calcular:
2
a)Su aceleración angular.
Resultado: α = -4 π /9 rad/s
b)Las vueltas que da hasta detenerse. Resultado: θ = 9 vueltas
c) La velocidad del borde del disco para t=2 s si el radio del disco es de 15 cm.
= 1,46 m/s
Resultado: v
22.
Calcular la rapidez angular, la rapidez lineal y la aceleración centrípeta de la luna. La luna
realiza una revolución completa cada 28 días y la distancia promedio desde la tierra a la luna
8
es 3,84 x 10 m
23.
Una rueda partiendo del reposo acelera de tal manera que su velocidad angular se
incrementa uniformemente a 200 rpm en 6 segundos. Después de que ha estado rotando
algún tiempo a esta velocidad se aplican los frenos hasta que se para en 5 min. El número
total de revoluciones de la rueda es de 3.100.
a)Realiza un grafico velocidad angular en función del tiempo
b)Determina el tiempo total de rotación y el ángulo total rotado por la rueda
24.
Un volante parte del reposo con aceleración constante. Después de 100 vueltas la frecuencia
es de 300 rpm determina. La aceleración angular, la aceleración centrípeta y la aceleración
tangencial de un punto situado a 20 cm del eje.
25.
Un disco de 30 cm de radio que rota con movimiento uniforme describiendo 13,2 rad cada 6
segundos. Determina la velocidad angular, el periodo de rotación , la frecuencia de rotación,
el tiempo que demora en realizar un desplazamiento de 720º , el tiempo que demora en
realizar 12 revoluciones y la aceleración tangencial.
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26.
Un satélite que se mueve con rapidez constante en orbita circular a 400 m de altura de la
2
superficie terrestre posee una aceleración de 8,7 m/s determina: su rapidez lineal y angular,
el tiempo que tarda en dar una vuelta completa (Rt = 6370 km)
27.
A las 12 de la mañana las agujas de un reloj coinciden exactamente una sobre la otra ¿A que
hora volverá a hacerlo?
II.
Preguntas: Analice cada una de las siguientes afirmaciones y diga cuales son ciertas y
cuales no
1.
Para iguales radios la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme (
de mayor velocidad tangencial es mayor.
2.
3.
4.
Para iguales frecuencias la aceleración centrípeta del movimiento circular
uniforme de mayor velocidad tangencial es mayor
En un movimiento circular uniforme, la aceleración es nula.
En un movimiento circular, si un cuerpo tiene el módulo de la velocidad
constante, su aceleración es nula
5.
Cuando un péndulo que está oscilando alcanza una posición extrema, su
aceleración centrípeta es nula
6.
Cuando un péndulo que está oscilando alcanza la posición más baja, su
aceleración centrípeta es nula.
7.
Un cuerpo atado a un piolín que se hace girar en un plano vertical, puede
estar animado de un movimiento circular uniforme
8.
Un cuerpo atado a un piolín que se hace girar en un plano horizontal,
puede estar animado de un movimiento circular uniforme.
9.
Al cortarse el piolín en el caso anterior el cuerpo sale despedido en la
dirección del radio.
10. En el punto más bajo de un movimiento pendular, la tensión es igual al peso.
11.
La fuerza peso y la fuerza gravitatoria son la misma.
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
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( )
( )
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