Paridad

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Paridad
El núcleo y sus radiaciones
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Página 1
Esta propiedad nuclear está asociada a la paridad de la función de onda
nuclear.
La paridad de un sistema aislado es una constante de movimiento y no
puede cambiarse por un proceso interno.
Solo si radiación o una partícula entra o deja el sistema, y entonces no está
más aislado, la paridad puede cambiarse.
Si la función de onda, que describe la probabilidad de hallar una partícula
en una determinada posición (x,y,z) y con un determinado spin s, es
 ( x, y, z, s)
La probabilidad es
   *
2
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La probabilidad de encontrar la partícula en un punto no puede depender
de la orientación de los ejes coordenados. Entonces
 ( x, y, z, s)   ( x, y, z, s)
La parte espacial de ψ, con la inversión de coordenadas, no cambia de
signo si l es par, y lo hace si l es impar.
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Para un sistema de partículas
   1. 2 . 3 ...
La paridad del sistema depende de la paridad del movimiento de las
partículas individuales.
Entonces:
∑li par
∑li impar
paridad +
paridad -
Así I = 3+ indica paridad par de nivel nuclear.
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Paridad intrínseca
La paridad intrínseca de electrón se define arbitrariamente como “par”.
Experimentalmente se establece que la paridad del protón, neutrón y
neutrino es “par”.
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Cambio de paridad
La paridad se conserva en interacciones entre nucleones.
La paridad del sistema solo puede cambiarse por la captura o emisión de
fotones o partículas que tienen paridad total impar.
Paridad Total = paridad intrínseca más paridad de movimiento.
Las reglas de selección para todas las transiciones nucleares involucran el
enunciado de si la paridad cambia o no.
Una partícula α con l =1 tendrá paridad impar y puede ser emitida solo si
la paridad del estado nuclear cambia.
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Problema:
¿Cuál es el estado nuclear fundamental del
medido I =3/2 y μ = +0,93μN.
127
56
Ba
? Sabiendo que se ha
Solución:
El núcleo tiene 81 neutrones (uno menos que el necesario para cerrar la
capa).
En el caso Z par, N impar, suponiendo que el último neutrón le da las
propiedades observadas según Schmidt I = l - s
I3
2
l  2
 paridad?

d 32
l
i
2
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La estadística de las partículas
nucleares
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La paridad aparece de consideraciones sobre las propiedades de la parte
espacial de la función onda ante inversión.
Otra propiedad nuclear importante, la “estadística”, aparece al considerar
las propiedades de simetría de las funciones de onda, ante el intercambio
de partículas.
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger para un sistema de
partículas idénticas son “simétricas” o “antisimétricas”.
La clase de simetría no cambia con el tiempo. Es una constante de
movimiento.
La clase de simetría es sinónimo de “estadística”.
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La estadística de las partículas
nucleares
La estadística tiene un profundo efecto sobre el comportamiento físico de
sistemas de partículas idénticas.
Toda partícula en la naturaleza obedece uno de los dos tipos de estadística.
Fermi-Dirac (antisimétrica)
fermiones
I =1/2, 3/2, 5/2
Bose-Einstein (simétrica)
bosones
I =0, 1, 2
Núcleos con A impar
A par
I =1/2, 3/2,…
I =0, 1,…
F.D.
B.E
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Función de onda de dos partículas
idénticas sin spin
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Supongamos que las partículas están sometidas a una fuerza exterior,
derivable de un potencial V (r ) y por otra parte a una fuerza de
interacción que depende de un potencial V12 (r1 , r2 )
El hamiltoniano será
2
H 
(12   22 )  V (r1 )  V (r2 )  V12 (r1 , r2 )
2m
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Función de onda de dos partículas
idénticas sin spin
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La ecuación de Schrödinger del sistema es:

H  i
t

2
, aquí
   ( r1, r2 , t )
: densidad de probabilidad de hallar la partícula 1 en r1 y a la
partícula 2 en r2 .
Como los potenciales no dependen explícitamente del tiempo, se puede
escribir:
  u(1,2)e
iEt

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u (1,2)
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significa
u (r1 , r2 )
Hu(1,2)  Eu (1,2)
a) Caso de partículas sin interacción
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y es la solución a la ecuación
E : energía del sistema
V12 (r1 , r2 )  0
Entonces, la partícula i (i= 1,2) satisface la ecuación
2 2

i (ui )  V (i)u (i)  Ei u (i)
2m
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idénticas sin spin
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Supongamos que la partícula 1 está en el estado j caracterizada por Ej y
uj(1) y la partícula 2 esta en el estado k (Ek, uk(2))
Entonces, el sistema de partículas admite como solución
v jk (1,2)  u j (1)uk (2)
Siendo Ejk = Ej+ Ek la energía del sistema.
Otra solución, correspondiente a la misma energía es
v jk (2,1)  u j (2)uk (1)
En general, toda combinación lineal de las dos soluciones vjk será solución
y corresponderá al mismo nivel de energía que es “degenerado”
(degeneración de intercambio)
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Solo deben retenerse las soluciones tales que
 (1,2)   (2,1)
2
2
u (1,2)  u (2,1)
2
o, lo que es lo mismo,
Así, entre todas las soluciones
2
u(1,2)  av jk (1,2)  bv jk (2,1)
debemos quedarnos con aquellas tales que:
u(1,2)  u(2,1)
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Lo que da:
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
av jk (1,2)  bv jk (2,1)   av jk (1,2)  bv jk (2,1)
En donde

a  b
Esto es, hay dos soluciones correspondientes a Elk


u (1,2)  au (1)u (2)  u (2)u (1)
us (1,2)  a u j (1)uk (2)  u j (2)uk (1)
a
j
k
j
k
Simétrica
Antisimétrica
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Observaciones: “a” puede determinarse por “normalización” de la función
de onda.
1

(
1
,
2
)
dV
dV

1

a

1
2

2
Si j = k , ua = 0
2
si j  k
Si la función de onda es antisimétrica, las dos
partículas no pueden estar en el mismo estado
(principio de exclusión).
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b) Caso en que exista interacción
Se puede resolver por el “método de las perturbaciones” o en forma
“autoconsistente”.
Aun así, se encontrará una solución simétrica y una antisimétrica.
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a) Función de spin
De la misma forma que la parte orbital del sistema se escribe como una
combinación de funciones para una partícula:

1
u (1,2) 
u j (1)uk (2)  uk (1)u j (2)
2

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idénticas con spin
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
  a ms (1)ms ' (2)  ms (2)ms ' (1)

Aquí ±1 destaca las soluciones simétricas (+) y las antisimétricas (-). “a”
2 si m ≠m ’.
vale
s
s
Para cada caso de spin S = ½ hay cuatro configuraciones posibles:
ms  ms ' 1
 s   (1)   (2) 
ms  ms '   1
1
 (1) (2)   (2) (1)
s 
2
 s   (1)   (2) 
2
ms  ms ' 1
2
2
ms  ms '   1
2
1
 (1) (2)   (2) (1)
a 
2
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c)
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Función de onda completa
La función de onda completa se escribiría
u (1,2)e
 iEt

Como hay dos tipos de función u y cuatro de Φ se pueden obtener 8 tipos
de funciones de onda completa, 4 simétricas y 4 antisimétricas.
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Principio de exclusión de Pauli
La representación de los distintos estados de dos partículas idénticas de
spin 1/2 , sin interacción mutua, por funciones simétricas y antisimétricas
sigue siendo válida si las partículas son más que dos y si interactúan entre
ellas.
El carácter de simetría es una constante de movimiento.
Una transición en un sistema no puede llevar a un cambio de simetría.
Los estados simétricos por un lado y los antisimétricos por el otro lado,
forman conjuntos cerrados y no pueden transformarse más que entre si.
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La experiencia muestra que para cada género de partículas existen
exclusivamente estados simétricos o estados antisimétricos.
Supongamos que para un conjunto de partículas sean posibles únicamente
los estados antisimétricos, entonces no puede haber dos partículas en el
mismo estado cuántico.
Escribamos las funciones de onda antisimétricas, para el caso de dos
partículas.
Función de spin Φ(1,2)
Función orbital u(1,2)

1
us 
u j (1)uk (2)  u j (2)uk (1)
2

Número cuántico de spin
total

1
 (1) (2)   (2) (1)
2
S  0 , ms  0

  (1)  (2)

 1
 (1)  (2)   (2) (1)

2

  (1)  (2)
ms  1

S  1 ms  0
m  1
 s
1
ua 
u j (1)uk (2)  u j (2)uk (1)
2
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Si las funciones orbitales son las mismas (j = k), solo queda una función de
onda completa posible:
1
 (1) (2)   (2) (1)
us
2
Que es la que corresponde a spin antiparalelo (S = 0).
Así que si las partículas están en el mismo estado orbital, sus orientaciones
de spin deben ser diferentes.
Recíprocamente, si los espines son paralelos (S = 1), los estados cuánticos
orbitales deben ser distintos.
La experiencia muestra que los nucleones (n y p), los electrones (+ y -), los
neutrinos μ son descriptos solo por funciones de onda antisimétricas.
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Esperamos que todos los núcleos de número másico impar sean fermiones.
Los fotones, el deuterón y partículas α son bosones.
También los nucleidos con A par.
Consideremos dos núcleos iguales con A nucleones. La función de onda del
sistema incluirá las coordenadas de cada una de estás 2(Z + N) partículas.
Podemos, conceptualmente, intercambiar la posición de los dos núcleos,
intercambiando la posición de los constituyentes idénticos, hasta que todos
hayan sido intercambiados.
Cada intercambio de los nucleones, cambiará el signo de la función de
onda. Después de Z+N cambios, los núcleos habrán sido intercambiados y
el sigo de la función de onda habrá cambiado Z+N veces.
Así que núcleos con A impar satisface la estadística de Fermi-Dirac y las
que tienen A par de la Einstein-Bose.
Que el neutrón obedece la estadística de FD se sigue del hecho
experimental de que el deuterón es un boson y consiste solamente de un
protón y un neutrón.