Problema 6

Ejercicio realizado por Daniel Pazos Don Pedro
Enunciado:
Calcular el ángulo que forman estas rectas:
a) x – 2y + 4 = 0
3x – y – 1 = 0
b) 2x – y = 3
2x + y = 1
c)
x − 3 y −1
=
4
2
d) x = 3 + t
y=2–t
e)
x +1 y −1
=
2
3
y = 2x + 3
2x + y – 1 = 0
-3x + 2y = 4
Bases Teóricas:
•
Angulo de dos rectas: es el menor de los ángulos que forman dichas
rectas. Métodos para calcular los ángulos de dos rectas:
r r
u⋅ v
1. Por producto escalar Î cos α = r r
u⋅v
2. Por pendiente Î tg α =
•
m r − ms
1 + mr ⋅ ms
Ecuación general de una recta: Ax + By + C = 0, se define por.
r
1. El vector director de dicha recta: u = (coeficiente de la “y”
cambiado de signo, coeficiente de la x).
r
2. Vector normal o perpendicular de dicha recta: n = (coeficiente de
la x, coeficiente de la y)
Solución gráfica y cálculos:
Para la realización de este problema, al tener varios apartados vamos ir
haciendo cada apartado con su cálculo y gráfica respectivamente:
a) Representamos las dos rectas dadas: x – 2y + 4 = 0 ; 3x – y – 1 = 0.
1. Como nos dan las dos rectas, podemos hallar sus vectores directores.
x – 2y + 4 = 0
3x – y – 1 = 0
r
u = (2,1)
r
v = (1,3)
Æ
Æ
2. Entonces utilizamos el método por producto escalar:
r r
u⋅v
cos α = r r
u⋅v
cos α =
(2,1) ⋅ (1,3)
2 2 + 12 ⋅ 12 + 3 2
α = arc cos
α = 45º
5
50
=
2+3
5 ⋅ 10
=
5
50
b) Representemos las dos rectas dadas: 2x – y = 3 ;2x + y = 1
1. Como nos dan las dos rectas, podemos hallar sus vectores directores .
2x – y = 3
2x + y = 1
r
u = (1,2)
r
v = (-1,2)
Æ
Æ
2. Entonces utilizamos el método por producto escalar:
r r
u⋅v
cos α = r r
u⋅v
cos α =
(1,2) ⋅ (−1,2)
12 + 2 2 ⋅ − 12 + 2 2
α = arc cos
=
−1+ 4
5⋅ 5
=
3
25
3
5
α = 53º 7’ 48.3”
c) Representemos las dos rectas dadas:
x − 3 y −1
; y = 2x + 3
=
4
2
1. Como nos dan las dos rectas, podemos hallar sus vectores directores:
x − 3 y −1
=
Æ
4
2
y = 2x + 3 Æ
r
u = (4, 2)
r
v = (1, 2)
2. Entonces utilizamos el método por producto escalar:
r r
u⋅v
cos α = r r
u⋅v
cos α =
(4,2) ⋅ (1,2)
4 +2 ⋅ 1 +2
2
α = arc cos
2
2
2
=
4+4
20 ⋅ 5
=
8
100
8
10
α = 36º 52´ 11.6’’
d) Representemos las dos rectas dadas: x = 3 + t
y=2–t
;
2x + y – 1 = 0
1. Como nos dan las dos rectas, podemos hallar sus vectores directores.
2. Y a partir de los vectores directores, podemos calcular la pendiente de
b
cada recta (m = tg α = ).
a
r
−1
x = 3 + t Æ u = (-1, 1) Æ mr =
Î mr = -1
1
y=2–t
2x + y – 1 = 0
r
v = (-1,2)
Æ
tg α =
m r − ms
1 + mr ⋅ ms
tg α =
−1+ 2
1 + (−1) ⋅ (−2)
tg α =
1
3
α = arc tg
Æ
ms =
2
Î ms = -2
−1
1
3
α = 18º 26’ 5.8”
x +1 y −1
; -3x + 2y = 4 ;
=
2
3
porque apenas se distinguen ambas rectas al ser paralelas y están muy
juntas. Son paralelas, ya que si pasamos la primera ecuación (continua) a
general y la comparamos con la otra recta, observamos que sus
coeficientes de la “y” y la “x” son iguales (proporcionales). Por ello sus
vectores directores son iguales y sus pendientes también.
e) No podemos representar las dos rectas dadas:
1. Como nos dan las dos rectas, podemos hallar sus vectores directores.
2. A partir de los vectores directores, podemos calcular la pendiente de
b
cada recta (m = tg α = )
a
x +1 y −1
Æ
=
2
3
r
u = (2,3)
Æ
-3x + 2y = 4 Æ
r
v = (2,3)
Æ
3
2
3
ms =
2
mr =
Como tienen la misma pendiente el ángulo que forman dichas rectas es
de 0º.
α = 0º