Ejercicios resueltos

T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
9. TEOREMA DEL SENO - COSENO
EDIFICIO EN MONTAÑA
En la siguiente figura OA representa una montaña.
El segmento AB representa un edificio situado en ella.
B
La visual desde el punto P al B da un ángulo α=60º.
Nos acercamos 20 m hasta el punto Q, desde el cual las
visuales hacia B y A dan respectivamente ángulos
β = 70º y γ = 56º.
A
Calcular la altura del edificio, es decir, la longitud AB.
Q
O
P
DISTANCIA INACCESIBLE
Juan y Rosa se encuentran a ambos lados de la orilla de un río. Juan se aleja hasta una caseta, C, distante
100 m del punto A, desde la que dirige las visuales a los puntos A y B que forman un ángulo de 20º. Desde el
punto A ve los puntos C y B bajo un ángulo de 120º. ¿Qué distancia hay entre A y B?
A
C
20º
120º
100 m
B
CÁLCULO DE LONGITUD
Calcula la longitud AB:
A
B
70º
50º
40º
M
14 m
N
CUERDA DE UNA CIRCUNFERENCIA
En una circunferencia de radio 12 cm, determinar:
a) La longitud de la cuerda que abarca un ángulo de 120º.
b) El área del triángulo formado por los dos radios y la cuerda.
ÁREA PARALELOGRAMO CONOCIDO DIAGONAL
La diagonal de un paralelogramo mide 100 cm y los ángulos que forma con cada lado son 30º y 45º. Calcula
el perímetro y área de dicho paralelogramo.
Luisa Muñoz
1
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
EDIFICIO EN MONTAÑA
En la siguiente figura OA representa una montaña.
B
El segmento AB representa un edificio situado en ella.
La visual desde el punto P al B da un ángulo α=60º.
Nos acercamos 20 m hasta el punto Q, desde el cual las
visuales hacia B y A dan respectivamente ángulos
β = 70º y γ = 56º.
A
Calcular la altura del edificio, es decir, la longitud AB.
Q
O
P
Solución
Trabajando con el triángulo BPQ:
B
20º
20
BQ
20 · sen 60º
=
→ BQ =
= 99,74 m
sen 10º sen 60º
sen 10º
A
Trabajando con el triángulo ABQ:
10º
146º
34º
AB
BQ
99,74 · sen14º
=
→ AB =
= 43,15 m
sen 14º sen146º
sen 146º
70º
110º
60º
56º
20 m
Q
O
P
DISTANCIA INACCESIBLE
Juan y Rosa se encuentran a ambos lados de la orilla de un río. Juan se aleja hasta una caseta, C,
distante 100 m del punto A, desde la que dirige las visuales a los puntos A y B que forman un ángulo
de 20º. Desde el punto A ve los puntos C y B bajo un ángulo de 120º. ¿Qué distancia hay entre A y B?
Solución
Dibujamos la situación, e indicamos los datos, como en la figura.
Aplicamos el teorema del seno:
AB
100
100·sen 20º
=
→ AB =
= 53,21
sen 20º sen 40º
sen 40º
La distancia entre A y B es 53,21 m
A
C
20º
100 m
120º
B
Una segunda forma de resolver:
h = x · tg 60º → h = 1,73x
h = (100 + x) · tg 20º → h = 0,36(100 + x)
Igualando las dos ecuaciones:
y
h
0,36(100 + x) = 1,73x → 36 = 1,37x → x = 26,28 m
cos 60º =
Luisa Muñoz
x
26,28
→y=
= 52,56 m
y
0,5
20º
100
60º
x
2
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
CÁLCULO DE LONGITUD
Calcula la longitud AB:
A
B
70º
50º
40º
M
14 m
N
Solución:
1ª forma:
Resolviendo el sistema:
a+x 
y + 14  a + x = 1,19 ( y + 14 ) 
→
 → 1,19 ( y + 14 ) = 2,74 y
a + x  a + x = 2,74 y

tg70º =

y
tg 50º =
A
a
B
1,19y + 16,66 = 2,74y → y = 10,75
x
70º
x
tg 40º =
→ x = y · tg 40º =08,84 · 10,75 = 9,03
y
50º
40º
y
M
14 m
N
a = 2,74 y – x = 2,74 · 10,75 – 9,03 = 20,42 m
2ª forma:
Aplicando el teorema del seno:
A
En el triángulo AMN:
20º
14
AM
14·sen 50º
=
→ AM =
= 31,35
sen 20º sen 50º
sen 20º
En el triángulo ABM:
AB
AM
31,35·sen 30º
=
→ AB =
= 20, 42
sen 30º sen130º
sen130º
B
20º
130º
50º
30º
70º
40º
110º
M
50º
14 m
N
Por tanto, el lado AB mide 20,42 m
Luisa Muñoz
3
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
CUERDA DE UNA CIRCUNFERENCIA
En una circunferencia de radio 12 cm, determinar:
a) La longitud de la cuerda que abarca un ángulo de 120º.
b) El área del triángulo formado por los dos radios y la cuerda.
Solución:
A
a) Al ser el triángulo OAB isósceles los ángulos A y B son iguales: A = B = 30º
x
Aplicando el teorema del seno:
12 cm
OA
AB
12·sen120º
=
→ AB =
= 20,78 cm
sen 30º sen120º
sen30º
120º
O
12 cm
B
b) Trazando la altura correspondiente a la hipotenusa, h, se verifica:
sen 30º =
Área =
h
→ h = 12·sen 30º = 6 cm
OA
h· AB 6·20,78
=
= 62,34 cm2
2
2
ÁREA PARALELOGRAMO CONOCIDO DIAGONAL
La diagonal de un paralelogramo mide 100 cm y los ángulos que forma con cada lado son 30º y 45º.
Calcula el perímetro y área de dicho paralelogramo.
A
B
45º
100 cm
30º
D
C
Solución:
A
Los ángulos BDC y ABD son alternos internos → BDC = ABD = 30º
Los ángulos DBC y ADC son alternos internos → DBC = ADC = 45º
B
45º
100 cm
Por tanto el ángulo D = B = 75º → A = C = 105º
30º
D
C
Aplicando el teorema de los senos en el triángulo ABD, obtenemos la medida de los lados AB y AD:
A
AB
100
AD
=
=
sen 45º sen 105º sen 30º
AB =
B
30º
105º
100 cm
100·sen 45º
= 73,2 cm
sen 105º
45º
D
30º
45º
C
100·sen 30º
AD =
= 51,76 cm
sen 105º
Por tanto el perímetro mide 2 · (73,2 + 51,76) = 249,92 cm
Para calcular la altura h:
A
h
sen 75º =
→ h = 51,76 · sen 75º = 49,99 cm
AD
Área = DC·h = 73,2· 49,99 = 3659,26 cm
Luisa Muñoz
B
h
2
D
75º
C
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