Teoría de la oferta

TEORÍA DE LA OFERTA
Notas docentes elaboradas por: Ianina Rossi y Máximo Rossi
CONTENIDO
(1) La función de producción. Producto total, medio y marginal. Relación entre producto
medio y marginal.
(2) Isocuantas. Las isocuantas y la sustituibilidad entre factores: la tasa marginal de
sustitución tecnológica. Estática comparativa: introducción de un cambio tecnológico.
(3) Restricción de costos. Estática comparativa: cambios en la restricción.
(4) Las funciones de costos. Costo total, medio y marginal. Relación entre costo medio y
marginal.
(5) Problema primal: maximización del producto sujeto a los costos. El punto de equilibrio
del productor y la tasa marginal de sustitución tecnológica.
(6) El teorema de la Envolvente.
(7) Problema dual: minimización de costos dado un nivel de producto. Propiedades.
Estática comparativa.
(8) Maximización de beneficios. Propiedades. Estática comparativa. La maximización de
beneficios vista gráficamente y los beneficios normales.
(9) La curva de oferta. Curva de oferta con externalidades.
(10) Producción conjunta.
PRODUCCIÓN
La empresa combina insumos y factores de producción, con una tecnología dada, para
obtener un producto. Se puede resumir esa actividad en una función:
y fŸM 1 , M 2 , . . . . . , M n y fŸM 1 , M 2 Función de producción o producto total
Función de producto total considerando sólo dos factores
Esta función de producción representa la actividad de una empresa, pero también podría
representar la actividad de una comunidad, de un país, etc..
PRODUCTO MEDIO Y PRODUCTO MARGINAL
PMe 1 fŸM 1 , M 2 M1
fŸM 1 , M 2 PMe 2 M2
Producto medio del factor 1
Producto medio del factor 2
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1
PMa 1 fŸM 1 , M 2 M 1
Producto marginal del factor 1
PMa 2 fŸM 1 , M 2 M 2
Producto marginal del factor 2
¿Cuál es la relación entre producto medio y marginal?
PMa 1
max PMe 1 M 1
M1
M 1
M1
fŸM 1 , M 2 "fŸM 1 , M 2 M
M 1
M 1
M 1 PMa 1 " fŸM 1 , M 2 0
M 21
M
f M ,M
0 ® M 1 PMa 1 fŸM 1 , M 2 ® PMa 1 Ÿ M1 1 2 2
1
M 21 0 ® M 1 PMa 1 " fŸM 1 , M 2 El producto marginal corta al producto medio en su máximo
PMa 1 max PMe 1
M1 0
®
fŸM 1 , M 2 1
¥
1
®
Gráficamente: Se considera M 2 fijo ® y fŸM 1 , M 2 GRÁFICA 1
Generalmente se observa que, a medida que aumenta M 1 la empresa va generando
producto a tasas bajas, luego a tasas mayores que el factor que emplea y luego vuelve a
bajar. Por lo tanto, para ciertas cantidades de M 1 se produce con rendimientos crecientes a
escala y en determinado momento comienzan a operar rendimientos decrecientes a
escala.
GRÁFICA 2
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2
Como ya se vio, la curva de producto marginal cortará a la curva de producto medio en su
máximo.
El máximo del producto medio se da en el punto tangente a la curva.
El máximo del producto marginal se da cuando cambia el signo de la derivada segunda, o
sea cuando cambia la concavidad (punto de inflexión).
ISOCUANTAS
Una isocuanta representa el lugar geométrico de los puntos del plano que con diferentes
combinaciones de M 1 y M 2 se obtiene un mismo nivel de producto. Por lo tanto, cada
isocuanta
determina un nivel de producto, dada la función de producción: y fŸM 1 , M 2 GRÁFICA 3
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3
Para los distintos valores de y, se tiene una familia de isocuantas, cada una de las cuales
representa un nivel de producción diferente, el cual es más alto cuánto más lejos del origen
se encuentre: y 1 y 2 y 3
GRÁFICA 4
Hay distintos tipos de isocuantas:
GRÁFICA 5
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4
SUSTITUIBILIDAD DE FACTORES
Las isocuantas reflejan el grado de sustituibilidad de los factores de producción.
GRÁFICA 6
Si se quiere seguir produciendo y utilizando menos de M 1 , entonces necesariamente hay
que utilizar más de M 2 . En este caso concreto se tendría que aumentar M 2 de M 12 a M 22 para
poder disminuir M 1 desde M 11 a M 21 . De esta forma, la sustituibilidad de factores está dada por
la tangente a la isocuanta en el punto.
Analíticamente:
¿Cómo varía la producción total cuando varían los factores?
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5
f1
y fŸM 1 , M 2 y 0
®
®
y fŸM 1 , M 2 fŸM 1 , M 2 M 1 M 2 0
M 1
M 2
porque se está sobre la misma isocuanta
y f 1 M 1 f 2 M 2 0
®
f2
f 1 M 1 "f 2 M 2
®
f 1 producción marginal del factor 1
f 2 producción marginal del factor 2
f 1 " M 2 PMa 1 TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN TÉCNICA
PMa 2
f2
M 1
La pendiente de la isocuanta es igual al cociente entre las productividades marginales de M 1
y M 2 (igual a la tasa marginal de sustitución tecnológica). Por lo tanto, la pendiente de las
isocuantas va a estar dada por estas productividades marginales: PMa 1 y PMa 2 . Dándole
distintos valores a las mismas, se obtienen los distintos niveles de sustituibilidad de
factores y las diferentes formas de las isocuantas.
ESTÁTICA COMPARATIVA: Introducción de un cambio tecnológico
Tipos de cambio tecnológico:
1) Neutral: se debe al empleo total de factores de producción.
2) Sesgado al empleo de capital.
3) Sesgado al empleo de trabajo.
El cambio técnico se puede ver de dos formas:
1) Se produce más que antes usando la misma combinación de factores:
GRÁFICA 7
AU se obtiene, luego del cambio tecnológico, con la misma combinación de factores.
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6
O sea que con la misma dotación M 11 y M 12 se obtiene y 2 y 1
2) Se produce lo mismo que antes utilizando menos cantidad de factores
GRÁFICA 8
En este caso, y 1 se traslada hacia abajo, obteniéndose el mismo nivel de producción y 1
utilizando menos factores.
RESTRICCIÓN DE COSTOS
C p1M1 p2M2
GRÁFICA 9
p
La restricción de costos tiene como pendiente: m " p 12
En el punto pC2 todo el gasto se realiza en la contratación de M 2 .
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7
En el punto pC1 todo el gasto se realiza en la contratación de M 1
ESTÁTICA COMPARATIVA: Cambios en la restricción
Aumento del precio de M 1
GRÁFICA 10
Aumento del precio de M 2
GRÁFICA 11
FUNCIONES DE COSTOS
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8
Se supone una empresa que vende un producto y a un precio p dado (competencia
perfecta).
Función de ingreso
iŸy py
Tecnología dada en el corto plazo
y fŸM 1 , M 2 Función de costos
CTŸy CŸy CF
Función de beneficios
=Ÿy iŸy " CTŸy py " CŸy " CF
®
imeŸy py
iŸy y y p
™
®
imaŸy Ingreso medio Ingreso marginal p
iŸy p
y
GRÁFICA 12
CTMe
Costo medio:
CVMe
CTŸy CŸy CF
y y y
CTMe " CVMe CFMe
decreciente
CMa
Costo marginal:
CFME
¥
CMa
0
CTŸy CŸy CF
y
y
y
Relación entre costo marginal y costo medio:
CTMe CTŸy y
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9
1
¥
®
®
y
CTŸy y " CTŸy y
y
min CTMe ® ŸCTMe U 0 ® ŸCTMe U 0
2
y
Ÿ CTŸy CTŸy y " CTŸy 0 ®
min CTy y ® CMa min CMe
y
y
®
La curva de costo marginal corta a las curvas de costo medio (variable y total) en sus
mínimos.
GRÁFICA 13
El mínimo del costo marginal se da cuando cambia de signo la derivada segunda del
costo total, o sea, cuando cambia la concavidad (punto de inflexión A).
® El mínimo del costo medio se alcanza en el punto B, tangente a la curva de costo total.
® El mínimo del CMa se alcanza más cerca del origen que el mínimo del CMe.
®
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10
La curva de CMa corta en sus mínimos al CMe y CVMe (como ya se había visto
analíticamente)
.
®
PROBLEMA PRIMAL:
MAXIMIZACIÓN DEL PRODUCTO SUJETO A LOS COSTOS
max y fŸM 1 , M 2 s.a. C p 1 M 1 p 2 M 2
®
max c fŸM 1 , M 2 5ŸC " p 1 M 1 " p 2 M 2 ®
c f " 5p 0
1
1
M 1
®
®
c f " 5p 0
2
2
M 2
®
®
c C " p M " p M 0
1 1
2 2
5
p
(1) y (2) ® f 1 p 12
f2
f 1 5p 1
f 2 5p 2
®
®
5 pf 11 (1)
5 pf 22 (2)
CONDICIÓN NECESARIA
El máximo se da cuando el cociente entre las productividades marginales es igual a la
relación de precios.
OBSERVACIÓN
5 es la productividad marginal del factor por peso gastado en la contratación de ese factor
(1) 5 pf 11
(2) 5 pf 22
¿Qué pasa si pf 11 pf 22 ?
Los 5 no serían iguales, ya que la productividad del factor 1 por peso gastado en el misma
sería mayor que la del 2. Entonces, se invertirá más en el factor 1 que es más productivo y
menos en el factor 2. Al hacer esto, va disminuyendo la productividad por peso gastado del
factor que se está incentivando y va aumentando la del factor que se está usando menos.
Esto continúa ocurriendo hasta que las productividades por peso gastado se igualan y así
se está en presencia de 5.
EL PUNTO DE EQUILIBRIO DEL PRODUCTOR
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Y LA TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN TECNOLÓGICA
p
TMST f 1 p 12 " M 2 TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN TECNOLÓGICA
f2
M 1
Para que haya un máximo en el problema primal es condición necesaria, no suficiente, que
las productividades marginales se igualen con la relación de precios; pero también deben
igualarse a la pendiente de la isocuanta.
Gráficamente:
GRÁFICA 14
E es el punto de equilibrio de la empresa, donde maximiza su producción sujeto a sus
costos.
p
En el punto E, la pendiente de la restricción p 12 es igual a la pendiente de la isocuanta
más alejada del origen que se puede alcanzar " M 2 .
M 1
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE 5
max y fŸM 1 , M 2 s.a. C p 1 M 1 p 2 M 2
max c fŸM 1 , M 2 5ŸC " p 1 M 1 " p 2 M 2 ®
f 1 p 1 " M 2
p2
f2
M 1
En equilibrio de maximización de la producción sujeta a una restricción de costos (C dado),
y dados los precios de los factores de producción, la condición de equilibrio es que el
cociente de las productividades marginales de los factores f 1 sea igual a la relación de
f2
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12
p1
p 2 , y, además, sea igual a la pendiente de la isocuanta más
alejada del origen posible " M 2 .
M 1
precios de los factores
max c fŸM 1 , M 2 5ŸC " p 1 M 1 " p 2 M 2 c f " 5p 0
1
1
M 1
®
®
p 1 f 1 (1)
5
f2
c f " 5p 0
® p2 2
2
5
M 2
c C " p M " p M 0
®
1 1
2 2
5
®
(2)
y f 1 M 1 f 2 M 2 (3)
C p 1 M 1 p 2 M 2
®
(1)
¥
f1
C 5
1 C
®
5
y
y
® 5 C
(2)
¥
f2
M 1 5
M 2
®
C 1 ¡f 1 M 1 f 2 M 2 ¢
5
®
C 1
5
(3)
¥
¡y ¢ ®
C COSTOMARGINAL (variación del costo total por unidad de cambio en el producto)
y
®
5
1
CMa
TEOREMA DE LA ENVOLVENTE
max y fŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) s.a. gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 0
®
max c fŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 5gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) ®
c fŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 5 gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 0
M i
M i
M i
®
c gŸM , M , . . . . , M , ) 0
n
1 2
5
®
M i M 'i Ÿ) ®
5 5 ' Ÿ) Si se sustituye M 'i y 5 ' en la función objetivo, se obtiene la solución óptima.
®
CŸ) f¡M '1 Ÿ) , M '2 Ÿ) , . . . . , M 'n Ÿ) , ) ¢
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13
®
C
f M , M , . . . . , M n , ) M 'i
f M , M , . . . . , M n , ) Ÿ 1 2
Ÿ 1 2
M i
)
)
)
C
)
Cambio en la función óptima cuando cambia el parámetro
Si se sustituye M 'i y 5 ' en la restricción, da cero.
g¡M '1 Ÿ) , M '2 Ÿ) , . . . . , M 'n Ÿ) , ) ¢ 0
M '
gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) i gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) 0
M i
)
5 gŸM 1 , M 2 , . . . . , M n , ) M i
)
M 'i
g M , M , . . . . , M n , ) 5 Ÿ 1 2
0
)
)
0
¥
Sumo:
®
C
g
)
)
®
No cambia el resultado
M 'i
M 'i
C
f
f 5 g
5 g
M i )
)
M i )
)
)
c 0
M i
®
C
)
®
C
f 5 g
)
)
)
®
C
c
)
)
f 5 g
M i
M i
M 'i
f 5 g
)
)
)
Derivada del lagrangiano con respecto a )
Por lo tanto, se puede hallar la variación del valor óptimo cuando cambia el parámetro
directamente derivando el lagrangiano respecto a dicho parámetro.
PROBLEMA DUAL:
MINIMIZACIÓN DE COSTOS DADO UN NIVEL DE PRODUCTO
min C p 1 M 1 p 2 M 2
s.a. y fŸM 1 , M 2 ®
®
min c p 1 M 1 p 2 M 2 6¡ y " fŸM 1 , M 2 ¢
p1
c p " 6f 0
® 6 (1)
1
1
f1
M 1
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p2
c p " 6f 0
® 6 2
2
f2
M 2
c y " fŸM , M 0
®
1 2
6
®
p
(1) y (2) ® p 12 f 1
f2
(2)
CONDICIÓN NECESARIA
®La
condición de maximización es la misma que en el problema primal: la pendiente de la
restricción de costos tiene que ser igual a la pendiente de la isocuanta.
GRÁFICA 15
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE 6
p1
(1) f 1 6
p
(2) f 2 62
(3) C p 1 M 1 p 2 M 2
®
®
®
y f 1 M 1 f 2 M 2
(1)
¥
p1
(2)
¥
p2
1 ¡p 1 M 1 p 2 M 2 ¢
y 6
y 6 M 1 6 M 2 ®
6 C ® 6 1 ® 6 CMa
5
y
®
1
y 6
(3)
¥
¡C ¢ ®
De las condiciones iniciales obtengo:
M Ci M Ci Ÿp 1 , p 2 , y 5 5Ÿp 1 , p 2 , y Si se sustituye M Ci en la función objetivo, se obtiene el costo mínimo, dados los precios,
para obtener un determinado nivel de producto.
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CŸp 1 , p 2 , y p 1 M C1 Ÿp 1 , p 2 , y p 2 M C2 Ÿp 1 , p 2 , y PROPIEDADES
(1) M Ci M Ci Ÿp 1 , p 2 , y ®
son homogéneas de grado cero en precios
M Ci Ÿtp 1 , tp 2 , y M Ci Ÿp 1 , p 2 , y Demostración:
min C tp 1 M 1 tp 2 M 2
s.a. y fŸM 1 , M 2 ®
c tp 1 M 1 tp 2 M 2 6¡ y " fŸM 1 , M 2 ¢
c tp " 5 fŸM 1 , M 2 0 ® tp 6f (1)
1
1
1
M 1
M 1
c tp " 5 fŸM 1 , M 2 0 ® tp 6f (1)
®
2
2
2
M 2
M 2
c y " fŸM , M 0
®
1 2
5
p
tp
(1)(2) ® 1 5f 1 ® p 12 f 1
tp 2
f2
5f 2
®
(2) CŸp 1 , p 2 , y ®
es homogénea de grado uno.
CŸtp 1 , tp 2 , ty tCŸp 1 , p 2 , y (3) CŸp 1 , p 2 , y es cóncava
GRÁFICA 16
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16
p '1 , p '2 , y '
®
C p '1 M '1 p '2 M '2
¿Cómo varía el costo cuando cambia uno de los precios?
C p '1 M '1 p '2 M '2
RECTA DE COSTOS PASIVA
(A) u p 1 tal que p 1 p '1
En este caso, la empresa se ubicaría en un punto como A, pero ese no es un punto óptimo.
(B) w p 1 tal que p 1 p '1
En este caso, la empresa se ubicaría en un punto como B, pero ese no es un punto óptimo.
(4) Lema de Shephard:
Relaciona la función de costos de la empresa con las funciones de demanda condicional de
los factores:
C M C Ÿp , p , y 1 2
i
p i
ESTÁTICA COMPARATIVA
MATRIZ DE DERIVADAS SEGUNDAS
2C
2p1
2C
p 1 p 2
2C
p 1 p 2
2C
2p2
Los elementos de la diagonal tienen signo
negativo.
Shephard
®
M C
1
p 1
M C
1
p 2
M C
2
p 1
M C
2
p 2
®
M C1
0
p 1
M C2
0
p 2
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17
0
Euler¥
® p1
0
Euler¥
® p1
0
M C1
M C1
¥
0
p2
p 1
p 2
0
®
0
M C2 ¥ M C2
p2
0
p 1
p 2
®
M C1
0
p 2
M C2
0
p 1
0
Si se tienen más de dos factores, se tendrán bien definidos todos los elementos de la
diagonal principal, pero no se podrá saber el signo de los demás elementos.
EJEMPLO:
0
¥
p1
0
0
M C1
M C1 ¥ M C1
¥
p3
0
p2
p 1
p 2
p 3
0
Alguna casilla de las que no pertenecen a la diagonal principal va a ser positiva, pero no se
sabe cuál.
MAXIMIZACIÓN DE BENEFICIOS
(i) y fŸM 1 , M 2 ® Empresa que produce un único bien
(ii) Competencia perfecta: precios dados que no varían por las decisiones de demanda de
los consumidores ni la oferta de las empresas.
GRÁFICA 17
beneficios ingresos
max
®
costos variables
= ¥
py " p 1 M 1 " p 2 M 2
¥
s.a.
y fŸM 1 , M 2 Se sustituye la restricción en la función objetivo:
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18
®
max = pfŸM 1 , M 2 " p 1 M 1 " p 2 M 2
= p fŸM 1 , M 2 " p 0
1
M 1
M 1
= p fŸM 1 , M 2 " p 0
®
2
M 2
M 2
pf 1
®
pp 12 ® f 1 pp 12
pf 2
f2
®
®
pf 1 p 1
f 1 valor del producto marginal del factor 1
®
pf 2 p 2
f 2 valor del producto marginal del factor 2
f 1 pendiente en el punto de la isocuanta
f2
——————
= p fŸM 1 , M 2 " p 0
1
M 1
M 1
= p fŸM 1 , M 2 " p 0
2
M 2
M 2
®
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
M 1 M '1 Ÿp, p 1 , p 2 ™
®
™
M2 M
Demanda de la empresa por insumos en el óptimo
'
2 Ÿp, p 1 , p 2 Si se sustituye M '1 y M '2 en y se obtiene la producción de la empresa en el óptimo, o sea,
la oferta de la empresa.
®
y fŸM 1 , M 2 y ' f¡M '1 Ÿp, p 1 , p 2 , M '2 Ÿp, p 1 , p 2 ¢
'
® y y Ÿp, p 1 , p 2 Valor del producto óptimo
®
Si se sustituyen los óptimos de M 1 ,M 2 y y en la función objetivo, se obtiene:
=Ÿp, p 1 , p 2 py ' Ÿp, p 1 , p 2 " p 1 M '1 Ÿp, p 1 , p 2 " p 2 M '2 Ÿp, p 1 , p 2 Ÿp, p 1 , p 2 ® Ÿy
'
, M '1 , M '2 Los costos fijos no afectan el plan de decisión óptimo. Si cambian los costos fijos, la
solución óptima no cambia, lo que sí cambia son los beneficios que obtiene la empresa. En
última instancia, son los costos fijos los que determinan si la empresa sigue operando o
sale del mercado, ya que si los costos fijos son de una magnitud tal que hacen que los
beneficios sean negativos, la empresa saldrá del mercado.
Cabe recordar que en economía dentro de los costos se incluyen los costos de
oportunidad, que constituyen lo que se deja de percibir por invertir en una determinada
actividad y no en otra.
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PROPIEDADES
(1) y ' , M '1 , M '2 son homogéneas de grado cero en precios ® M '1 Ÿtp, tp 1 , tp 2 M '1 Ÿp, p 1 , p 2 ®
Al multiplicarse todos los factores por el mismo parámetro t, el resultado no cambia.
Demostración:
max = tpy " tp 1 M 1 " tp 2 M 2
y fŸM 1 , M 2 ®
= tpfŸM 1 , M 2 " tp 1 M 1 " tp 2 M 2
= tpf " tp
1
1
M 1
= tpf " tp
®
2
2
M 2
tpf 1
1
®
®
tp
tp 2
tpf 2
®
0
0
f1 p1
p2
f2
Se llega al mismo resultado
(2) = es homogénea de grado uno en precios ® =Ÿtp, tp 1 , tp 2 t=Ÿp, p 1 , p 2 Demostración:
=Ÿtp, tp 1 , tp 2 tpy ' " tp 1 M '1 " tp 2 M '2 tŸpy ' " p 1 M '1 " p 2 M '2 Por ser y ' , M '1 , M '2 constantes y homogéneas de grado cero en precios
®
=Ÿtp, tp 1 , tp 2 t=Ÿp, p 1 , p 2 (3) = es convexa en precios.
Demostración:
Ÿp
'
, p '1 , p '2 ® Ÿy
'
, M '1 , M '2 ®
= py ' " p '1 M '1 " p '2 M '2
GRÁFICA 18
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20
= py ' " p '1 M '1 " p '2 M '2
Recta de beneficios pasiva: la empresa se ajusta a los precios
Si aumenta p permaneciendo p '1 y p '2 incambiados, y la empresa se mantiene en la recta de
beneficios pasiva ® no estaría maximizando beneficios con el plan de producción original.
Si disminuye p permaneciendo p '1 y p '2 constantes, y la empresa se mantiene en la recta de
beneficios pasiva ® no estaría maximizando beneficios con el plan de producción original.
Se puede realizar el mismo razonamiento con p '1 y p '2 , la única diferencia es que su recta
de beneficios pasiva tiene pendiente negativa.
(4) Lema de Hotelling: Relaciona la función de beneficios de la empresa con la función de
oferta de producto y la función de demanda de factores.
(i)
=Ÿ. . . y ' Ÿp, p 1 , p 2 p
=Ÿ. . . "M 'i Ÿp, p 1 , p 2 (ii)
p i
™
Por teorema de la envolvente
c py ' " p 1 M 1 " p 2 M 2
ESTÁTICA COMPARATIVA
= es convexa en precios ® el hessiano es positivo.
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21
= 00 = 01 = 02
UU
UU
UU
= 10 = 11 = 12
= 20 = 21 = 22
UU
UU
UU
UU
UU
UU
Matriz definida positiva con todos los elementos de la diagonal principal positivos.
y
p
®
y
p 1
y
p 2
M
Por Lema de Hotelling: " p1
1
" M
p 1
1
" M
p 2
2
" M
p
2
" M
p 1
2
" M
p 2
esta matriz también es positiva con los elementos de la diagonal positivos.
y
0 ® La función de oferta tiene pendiente positiva: u p ®u y
p
M i 0 ® La demanda de factores tiene pendiente negativa: u p
®
i
p i
®
®w
Mi
Se supone ahora que la empresa utiliza un único factor:
®
y fŸM 1 y
p
®
y
p 1
y
1
" M
p
" p 1
Si una función es homogénea de grado cero, se puede aplicar el Teorema de Euler:
(1) y ' Ÿp, p 1 homogénea de grado cero
®
p
y
p 1 y
p 1
p
Euler
0
(a) Los precios son siempre positivos: p 0, p 1 0
(b)
®
y
0
p
p
Por parte anterior
y
p 1 y 0
p 1
p
«
y
0
p 1
®
Si u p 1
®w
y
(2) M '1 Ÿp, p 1 homogénea de grado cero
®
p M 1 p 1 M 1
p
p 1
Euler
0
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22
(a) Los precios son siempre positivos: p 0, p 1 0
(b) M 1 0
p 1
Por parte anterior
p M p 1 M 1 0
p 1
p
®
«
M 0
p
®
Si u p
®u
M
Si aumenta el precio del producto, aumentará la demanda de factores para poder aumentar
la producción.
Se supone ahora que la empresa utiliza dos factores:
y fŸM 1 , M 2 y ' Ÿp, p 1 , p 2 0
¥
® p
homogénea de grado cero
0
0
y ¥ y
y
p1
¥
p2
p 1
p 2
p
Euler
0
¦
0
Algunos de los elementos de la matriz en cada línea, que no pertenecen a la diagonal
principal, van a ser negativos, pero no se sabe cuáles. Lo que ocurre es que no se sabe
cómo se da la sustituibilidad de factores cuando varían sus precios.
LA MAXIMIZACIÓN DE BENEFICIOS VISTA GRÁFICAMENTE
=Ÿy iŸy " CTŸy py " CŸy " CF
= p " CŸy 0
y
y
®
CŸy p
y
2
2 = " CŸy 0
2
y
2y
®
2 CŸy 0
2y
®
CMaŸy p
® Se maximiza beneficios en el tramo creciente de la curva de
CMa
GRÁFICA 19
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23
y ' es la producción que maximiza beneficios
GRÁFICA 20
Beneficios normales « CTMeŸy ' p
CURVA DE OFERTA
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24
=Ÿy py " CŸy " CF
C U Ÿy p
C UU Ÿy 0
GRÁFICA 21
Para el precio p , la empresa recupera todos sus costos (beneficios normales)
Para cualquier precio que enfrente la empresa por debajo de p U , la empresa pierde todos
los costos fijos y parte de sus costos variables ® la oferta de la empresa será cero porque
cerrando pierde sólo los costos fijos.
Entre p U y p, por ejemplo: p UU , la empresa va a tener una pérdida, pero en el corto plazo le
conviene seguir produciendo porque con y UU cubre todos los costos variables y parte de los
fijos. Aunque si esta fuera una situación definitiva (no puede incorporar progreso técnico ni
se pueden aumentar los precios), entonces sí le convendría cerrar lo más rápido posible.
®
La oferta de la empresa será cero hasta el mínimo del costo variable medio, y para
precios mayores a p U estará representada por la curva de costo marginal.
CURVA DE OFERTA CON EXTERNALIDADES
La curva de oferta global del mercado es la suma horizontal de cada curva de oferta
individual a cada nivel de precios, siempre que no haya efectos externos.
GRÁFICA 22
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EJEMPLO: Producción de software
GRÁFICA 23
Aumenta el precio del software ® las empresas ofrecen más software ® hay una presión
en el mercado de trabajo por demanda de programadores ® aumentan los salarios de los
programadores ® la curva de costo marginal se traslada hacia arriba.
El aumento de los salarios (su precio) de los programadores es una externalidad pecuniaria
que se da como consecuencia de que las empresas actúan todas al mismo tiempo.
® La curva de oferta agregada es más inelástica cuando hay externalidades. Lo que ocurre
en este caso es que la curva de oferta se obtiene de la unión de todos los puntos de las
sumatorias de curvas de oferta individuales para cada cambio en los precios.
PRODUCCIÓN CONJUNTA
Consideramos producción conjunta a los procesos de producción de los cuales se obtiene
más de un producto.
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Supongamos un proceso en el cual se usa un sólo insumo x para la producción de dos
productos: y 1 , y 2 .
La función de producción es: HŸy 1 , y 2 , x Supongamos que puedo despejar x hŸy 1 , y 2 : el costo de producción en términos de x es
una función de las cantidades de los dos productos..
Curva de transformación de productos: es el lugar geométrico de las combinaciones de
productos que pueden obtenerse con un insumo dado de x.
GRÁFICA 24
La pendiente a una curva de transformación de producto: es la relación a la que debe
reducirse y 2 para obtener más y 1 sin variar el insumo x.
RTP "
dy 2
dy 1
Diferenciando totalmente la función de producción:
dx h . dy 1 h . dy 2
y 1
y 2
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Como dx 0
®
h
dy 2
y 1
RTP "
dy 1
h
y 2
La RTP en un punto es igual a la relación de los costos marginales de y 1 y de y 2 en
términos de x.
La RTP puede expresarse en términos de las productividades marginales por la regla de la
función inversa.
y 1
x
1
h
y 1
;
y 2
x
1
h
y 2
h
y 2
y 1
RTP x
h
y 1
y 2
x
La RTP es igual a la relación entre la PMa de x en la producción de y 2 y la PMa de x en la
producción de y 1 .
MAXIMIZACIÓN DE BENEFICIOS
Supongamos que la empresa es tomadora de precios:
p1, p2 ¯ y1, y2
r¯x
i p1y1 p2y2
®
max = p 1 y 1 p 2 y 2 " r. hŸy 1 , y 2 ® y=
p 1 "r. h 0
y 1
® y= p 1 "r. yh 0
1
1
1
®
r
p1
p2
h
h
y 1
y 2
o
r p1.
y 1
p 2 . y 2
x
x
El valor del producto marginal de x en la producción de cada producto debe ser igual al
precio de x.
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