Métodos para factorizar un polinomio

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES
ACTIVIDAD ACADEMICA: MATEMATICAS
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD N°3: FACTORIZACION
FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como la multiplicación de dos o más expresiones
algebraicas. Para facilitar la comprensión de estos se clasifican en tres casos fundamentales: factorización
de binomios, de trinomios y de polinomios.
CASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS

Recuérdese que un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos
1. 1 DIFERENCIA DE CUADRADOS
En algebra un cuadrado es un término que tiene raíz cuadrada o está elevado a una potencia par. Una
2
2
diferencia de cuadrado se asemeja a una expresión de la forma a  b , cuyas respectivas raíces son a y
b.
Características:
Tienen dos términos
El signo que los separa siempre es menos
Las potencias de letras están elevadas con números pares 2, 4, 6…
Tiene raíz cuadrada exacta el primer término
Tiene raíz cuadrada exacta el segundo término
Para factorizar una diferencia de cuadrado se toma el producto de la suma por la diferencia de dichas
raíces.
Simbólicamente: a2  b 2  ( a  b)( a  b)
2
Ejemplo: Factorizar 16 x  9
Solución
9 3
Extraigo la raíz cuadrada a ambos términos 16x 2  4 x
Luego se escriben la suma y la diferencia de estas raíces entre paréntesis (4x+3)(4x-3).
Luego 16x 2  9  ( 4 x  3 )( 4 x  3 )
1. 2 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
En el lenguaje algebraico un cubo es una expresión que tiene raíz cúbica o está elevada a una potencia
múltiplo de 3.
Características:
Tienen dos términos
El signo que los separa puede ser + ó Las potencias de letras están elevadas con números múltiplos de 3, 6, 9…
Tiene raíz cúbica exacta el primer término
Tiene raíz cúbica exacta el segundo término
Una suma o diferencia de cubo tienen la forma a3  b 3 o a3  b 3 . Una expresión de este tipo se
factoriza así
a3  b 3  ( a  b)( a2  ab  b 2 )
a3  b 3  ( a  b)( a2  ab  b 2 )
3
Ejemplo: Factorizar 8 x  125
Solución
3
Se extrae la raíz cúbica de os términos 8 x 3  2x
Aplico la fórmula de factorización para una resta de cubos
a3  b 3  ( a  b)( a2  ab  b 2 ) para este caso a = 2x

8 x  125  ( 2x  5 ) ( 2x )  2x.5  5
3
2
2

3
64x 6  4 x 2
3
y
125  5
b=5
8 x 3  125  ( 2x  5 )( 4 x 2  10x  25)
Ejemplo: Factorizar 64 x 6

y3
Solución
Se extrae la raíz cúbica de os términos
3
y3  y
Aplico la fórmula de factorización para una suma de cubos
a3  b 3  ( a  b)( a2  ab  b 2 ) en este caso a = 4x2
64 x
6

64 x
6


y
3
 ( 4 x  y ) ( 4 x )  4 x .y  y
y
3
 ( 4 x  y )(16x  4 xy  y )
2
2
2 2
4
2
2

b=y
2
1.3 SUMA O DIFERENCIA DE n POTENCIAS
Se tendrán en cuenta tres situaciones específicas
A. an  b n  ( a  b)( an  1  an  2 b  an  3 b 2  ...  ab n  2  b n  1 )
n par o impar
B. an  b n  ( a  b)( an  1  an  2 b  an  3 b 2  ...  ab n  2  b n  1 )
n par
C. an  b n  ( a  b)( an  1  an  2 b  an  3 b 2  ...  ab n  2  b n  1 )
n impar
7
Ejemplo: Factoriza x  128
Solución
La potencia es 7, se busca una cantidad que elevada a la séptima potencia sea igual a 128, en este caso
es 2, luego:
x 7  128  x 7  27 , los exponentes son impares se compara con
an  b n  ( a  b)( an  1  an  2 b  an  3 b 2  ...  ab n  2  b n  1 )
x 7  128  x 7  27  ( x  2 )( x 6  x 5 .2  x 4 .2 2  x 3 .2 3  x 2 .2 4  x.2 5  26 )
x 7  128  x 7  27  ( x  2 )( x 6  2x 5  4 x 4  8 x 3  16x 2  32x  64)
CASO II: FACTORIZACION DE TRINOMIOS

Recuerdes que un trinomio es una expresión algebraica que consta de tres términos
2.1 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando cumple dos condiciones:

Dos de sus términos son cuadrados

El otro término corresponde al doble producto de las dos raíces
x 2  2.x.y  y 2 , para su factorización, se toman las
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma
raíces x e y, y su suma o diferencia se eleva al cuadrado
Simbólicamente: x 2  2.x.y  y 2  ( x  y ) 2
Ejemplo: Factorizar x 2  10x  25
Solución

Se ordena al polinomio.

Se observa si dos de sus términos tienen raíz cuadrada, este caso x2 y 25,

Veamos si el segundo término 10x2, corresponde al doble producto de las dos raíces. Se
multiplican estas dos raíces 5. x2 = 5x2, este resultado se multiplica por 2,
o sea 2. 5x2 = 10x2, que efectivamente corresponde al segundo término ya mencionado
analiza
x2  x
25  5
Con esto ya se confirma que el trinomio es cuadrado perfecto y se procede a factorizar según su caso
Luego x 2  10x  25  ( x  5 ) 2
2
2.2 TRINOMIO DE LA FORMA x  bx  c
Características:
Tienen tres términos
-
No tiene numero delante del término x
2
Para factorizar un trinomio de esta forma, se buscan dos números m y n que multiplicados den como
resultado el valor c y sumados algebraicamente den la cantidad b
Simbólicamente: x 2  bx  c  ( x  m)( x  n)
2
Ejemplo: Factorizar x  4 x  12
Debe
ordenarse
trinomio x
2
el
trinomio
en
forma
 4 x  12 , corresponde a x
Se le extrae la raíz a la parte literal
2
Solución
descendente.
Luego
se
observa
si
la
forma
del
 bx  c
x 2  x , se colocan paréntesis (x +
+, es el signo del segundo término y el signo
-,
)(x -
), en donde el signo
resulta de aplicar la ley del signo entre el segundo y
tercer término +.-=Ahora se buscan divisores del término independiente en este caso 12 (1,2,3,4,6,12), se toman dos de
ellos que sumados algebraicamente den 4 y multiplicados den -12
Los números que cumplen esta condición son 6 y 2, observe 6 - 2 = 4

Luego x
2
(6). (-2)=-12
 4 x  12  ( x  6 )( x  2 )
NOTA: se hace necesario colocar el mayor de los números en el primer paréntesis.
2
2.3 TRINOMIO DE LA FORMA ax  bx  c
Características:
-
Tienen tres términos
-
2
Si tiene numero delante del x
En este trinomio se observa la presencia del coeficiente a en el término cuadrado, la idea central es
llevarlo a uno de la forma x 2  bx  c , multiplicando y dividiendo por el coeficiente a
ax 2  bx  c 
a 2 x 2  b.ax  a.c
a
Ejemplo: Factorizar 6 x 2  7 x  2
Solución

Se multiplica y se divide al mismo tiempo al trinomio por el coeficiente 6
6x 2  7x  2 

6(6 x 2  7 x  2 )
36 x 2  7.( 6 x )  12

, el segundo término se deja indicado.
6
6
se extrae raíz cuadrada a 36 x 2  6 x y se buscan dos números que multiplicados den 12 y
sumados den 7, dichos números son 3 y 4
6x 2  7x  2 


Se observa que 6x+4, tienen un divisor común que es 2 y que 6x+3, tienen por divisor común a
3, se dividen cada expresión de estas entre su divisor común y se obtiene 6x+4 ÷ 2 = 3x+2 y de
otro lado 6x+3÷3=2x+1
Ahora
se
elimina
al
6,
escribiéndolo
como
el
producto
de
dos
números

6(6 x 2  7 x  2 )
36 x 2  7.( 6 x )  12 ( 6 x  4 )( 6 x  3 )


,
6
6
6
(6 x  4 )(6 x  3 ) 2( 3x  2 ) .3( 2x  1)

 ( 3x  2 )( 2 x  1)
6
23
Luego 6 x 2  7 x  2  ( 3x  2 )( 2 x  1)
2. 4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION.
Este caso lo que pretende es que un trinomio con una característica especifica, que aparentemente no es
cuadrado perfecto, mediante una suma y resta se le convierta en este.
Ejemplo: factorizar 4 x 4  8 x 2 y 2  9y 4
Solución
2
4
Se observan que los términos 4x , tiene por raíz cuadrada 2x
y 9y 4 , tiene raíz cuadrada 3y 2 , el
doble producto es 2.2 x 2 .3y 2  12x 2 y 2 ; luego este trinomio no es cuadrado perfecto porque su segundo
término es 8 x 2 y 2 .
Para que 8 x 2 y 2 se convierta en 12x 2 y 2 , se le suma 4 x 2 y 2 y para que el trinomio no varíe le restamos
4 x 2 y 2 y se tiene:
Se factoriza al trinomio cuadrado perfecto
( 4 x 4  12x 2 y 2  9y 4 )  4 x 2 y 2  ( 2x 2  3y 2 ) 2  4 x 2 y 2
Se factoriza la diferencia de cuadrado
( 4 x 4  12x 2 y 2  9y 4 )  4 x 2 y 2  ( 2x 2  3y 2 ) 2  4 x 2 y 2  ( 2x 2  3y 2  2xy )( 2x 2  3y 2  2xy )
Luego 4 x 4  8 x 2 y 2  9y 4 = ( 2x 2  3y 2  2xy )( 2x 2  3y 2  2xy )
CASO III: FACTORIZACION DE POLINOMIOS

Recuerde que un polinomio es una expresión formada por varios términos
3. 1. FACTOR COMUN
Un factor común es un elemento que aparece al mismo tiempo en varios términos. El factor común puede
ser una(s) letra(s), un número o ambos.
6
5
4
3
Ejemplo: factorizar x  5 x  2 x  7 x
Solución
En este caso el elemento común es la letra x, se toma como factor común la de menor exponente, en
este caso x 2, luego se colocan como factores y se divide cada término del polinomio entre el factor
común
x 6  5x 5  2x 4  7 x 3  x 2 ( x 4  5x 3  2x 2  7 x )
Ejemplo: factorizar 12x 8 y 3  6 x 7 y 5  36x 6 y 6  24x 4 y 7
Solución
Se observa que el factor común es un número y una letra, el número es el máximo común divisor M.C.D
de los coeficientes 12, 6, 36, 24, que en este caso es 6; y el factor literal son las letras x4y3
Luego al factorizar queda
12x 8 y 3  6 x 7 y 5  36x 6 y 6  24x 4 y 7  6 x 4 y 3 ( 2x 4  x 3 y 2  6 x 2 y 3  4y 4 )
3.2. FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS
En ocasiones se tienen polinomios en los que no se observa el factor común en cada uno de ellos, pero si
se agrupan algunos entre si es posible encontrar términos comunes.
Ejemplo: factorizar 2x 2  3xy  4 x  6 y
Solución
Se observa que los dos primeros términos tienen el factor literal
numérico 2
común x y los dos últimos el factor
2x 2  3xy  4 x  6 y  x( 2x  3y )  2( 2x  3y ) , intercambiando los signos en el segundo factor
2x 2  3xy  4 x  6 y  x( 2x  3y )  2( 2x  3y ) , se observa el factor común 2x – 3y
Luego 2x 2  3xy  4 x  6 y  ( 2x  3y )( x  2 )
3.3 FACTORIZACION POR DIVISION SINTÉTICA
Ejemplo: Factorizar 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
Solución
1. Se toman los divisores del término independiente 6: ±1, ±2, ±3.
2. Aplicando el teorema del resto se buscan para que valores la división es exacta. En este caso para x =
1
P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3. Se aplica división sintética
4. Por ser la división exacta,
(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
Se continúa realizando las mismas operaciones al segundo factor. Se vuelve a probar por 1 porque el
primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)
El tercer factor se puede encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como se ha venido haciendo,
aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
El 1 lo se descarta y se sigue probando por − 1.
P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (x + 2) · (2x −3 )
Luego la factorización del polinomio queda:
2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = (x −1) · (x +1) · (x + 2) · (2x −3)