3 ÁLGEBRA CALCULADORA GRÁFICA (TI-82, TI-83 y TI-83 Plus)

CALCULADORA GRÁFICA (TI-82, TI-83 y TI-83 Plus)
3 ÁLGEBRA
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Usaremos la calculadora para averiguar, de forma rápida y cómoda, el valor de un
polinomio para cualquier valor de la indeterminada x. También será posible encontrar
raíces y factorizar algunos polinomios.
EJEMPLO 1
Averiguar el valor del polinomio P(x) = 3x4 + 2x3  4x + 8 para x = 3, x =  5 y
2
x=  .
3
Pulsa Y= para introducir la expresión de P(x) en el editor de funciones. Si en Y1
hubiera alguna expresión, pulsa CLEAR para borrarla.
Teclea ()
3 X,T,,n ^ 4 + 2
X,T,,n + 8 ENTER .
X,T,,n
^
3

4 .
Si en Y2, Y3,... Y0 hubiera alguna expresión tecleada, coloca el cursor, con las teclas de
moverlo, a la derecha del símbolo = y pulsa CLEAR .
Pulsa 2nd
TBLSET
(1)
.
Modifica los valores TblStart e Tbl introduciendo los valores 5 y 1, tecleando:
()
Unidad 3.Álgebra
5
ENTER
1
(2)
1
Pulsa ahora 2nd
TABLE .
En la columna izquierda aparecen los valores de x, a partir de 5, y en la derecha los
de Y1 para los valores de x anteriores.
Entonces, para x = 5, el valor de Y1 es 2 097.
Luego, P(5) = 2 097.
Para encontrar P(3) pulsamos  varias veces hasta que x = 3 aparezca en la parte
inferior de la tabla y en la última línea de la pantalla:
Por tanto, P(3) = 193
Para averiguar P(2/3), vuelve a pulsar 2nd [TBLSET] (1).
Modifica el valor de TblStart
Pulsamos 2nd
(3)
tecleando ()
2

3 .
TABLE .
Pulsando  desplaza el cursor a la columna de Y1 y en la línea inferior de la pantalla
verás Y1 = 9.48148148148.
Por tanto, P(2/3) = 9,481 .
Para conseguir la fracción irreducible correspondiente a este número racional, pulsa
2nd
[QUIT] para salir a la pantalla principal de la calculadora. Teclea en ella
9,481481481481 MATH 1 ENTER y obtendrás:
Unidad 3.Álgebra
2
Luego P(2/3) = 9, 481 
256
.
27
NOTAS PARA TI-82
(1)
(2)
(3)
Pulsa 2nd TblSet .
Modifica TblMin y Tbl, tecleando igual.
Modifica TblMin.
EJEMPLO 2
Comprobar con la calculadora el Teorema del resto dividiendo el polinomio
P(x) = 3x4 + 2x3  4x + 8 entre x + 2.
Hemos de comprobar que P(2) es igual que el valor del resto de la división de P(x)
entre x + 2.
Aplicamos la regla de Ruffini en la pantalla principal de la calculadora.
Los coeficientes del polinomio, ordenados de mayor a menor grado, son 3, 2, 0, 4 y
8.
Como el divisor es x + 2 = x  ( 2), el valor por el que hay que irlos multiplicando en
la regla de Ruffini es 2.
El coeficiente principal, del término de mayor grado, de P(x) es 3 y también lo será
del cociente de la división, que es un polinomio de grado 3: x3...
Nos situamos en la pantalla principal. Teclea:
()
3

()
2
+
2

ENTER
.
Coeficiente de x3 en P(x)
En la pantalla vemos como resultado 8, que es el coeficiente de x2 en el cociente.
Sigue tecleando
8

()
2
ENTER
.

No sumamos nada porque el
coeficiente de x2 en P(x) es 0.
Obtenemos 16, que será el coeficiente x del cociente.
Unidad 3.Álgebra
3
Para conseguir el término independiente del cociente hacemos:
()
1
6

()
2

4
ENTER .

Coeficiente de x en P(x)
En la pantalla aparece 28.
Por último, teclea:
2
8

()
2
+
8

ENTER .
Término independiente en P(x)
Así, el cociente de la división es 3x3 + 8x2  16x + 28 y el resto es 48.
Averiguamos el valor de P(2) como en el ejemplo 1. Pulsa
introduce para TblStart el valor 2 (2).
2nd [TBLSET]
(1)
e
Pulsa 2nd [TABLE]
En efecto, P(2) =  48.
NOTAS PARA TI-82
(1)
(2)
Pulsa 2nd [TblSet]
Introduce para TblMin el valor 2.
EJEMPLO 3
Averiguar si el polinomio Q(x) = 6x4 + 7x3 + 6x2  1 es divisible entre x 
Vamos a calcular el valor de Q(x) para x 
1
.
3
1
, Q(1/3), que es igual al resto de la
3
1
división de Q(x) entre x  .
3
Unidad 3.Álgebra
4
Seguiremos los pasos del ejemplo 2 para aplicar la regla de Ruffini.
Los coeficientes de Q(x), ordenados de mayor a menor grado, son 6, 7, 6, 0 y 1.
Teclea 6  1  3 + 7 ENTER . Obtendrás 9.
Teclea 9  1  3 + 6 ENTER . Obtendrás 9.
Teclea 9  1  3 ENTER . Obtendrás 3.
Teclea 3  1  3  1 ENTER . Obtendrás 0.
El resto de la división es 0, por tanto, Q(1/3) = 0. Q(x) es divisible entre
1
x .
3
Además, el cociente de la división es 6x3 + 9x2 +9x + 3.
1

Por tanto: Q(x) =  x   (6x3 + 9x2 + 9x + 3)
3

EJEMPLO 4
Factorizar los polinomios.
a) x6  3x5  3x4  5x3 + 2x2 + 8x
b) x4  4x3  8x2 + 7x + 4
c) 6x4 + 7x3 + 6x2  1
Estos polinomios no son fáciles de factorizar. En el primero comenzaremos sacando
factor común x. Así conseguimos reducir la factorización a la de un polinomio de
grado 5, cuyo término independiente es 8.
El método general para factorizar consiste en buscar raíces enteras del polinomio,
calculando los valores numéricos para los divisores del término independiente.
Conseguiremos así encontrar factores para el primer polinomio, pero no para los otros
dos, que no tienen raíces de este tipo.
Presentamos un método gráfico para estos polinomios que puede ser útil en esta y en
otras situaciones parecidas.
Introduciremos en el editor de funciones,
Y= , la expresión del polinomio y lo
representaremos gráficamente. Si la gráfica corta al eje de abscisas, entonces habremos
encontrado soluciones para la ecuación:
Polinomio = 0
Unidad 3.Álgebra
5
Es decir, raíces del polinomio que podremos localizar perfectamente con la opción
2:Zero de 2nd [CALC].
Para cada raíz x = a tenemos el factor del polinomio x  a.
Una vez localizadas las raíces, bastará ir haciendo divisiones mediante la regla de
Ruffini para obtener factores del polinomio.
a) Introduce el polinomio en el editor de funciones: pulsa
X,T,... ^
X,T,... ^
6
3

+
3
2
X,T,... ^
X,T,... x2
5 
+ 8
Representamos el polinomio gráficamente: pulsa
pantalla:
Y= y teclea:
3 X,T,... ^
X,T,...
ZOOM

4
6
5 .
y aparece en
Vemos que la gráfica corta al eje OX en 4 puntos, con lo cual vamos a conseguir 4
factores del tipo x  a.
Buscamos las 4 raíces: Pulsa 2nd [CALC] 2 . Usando  desplaza el cursor a
la izquierda de la primera raíz.
Pulsamos ENTER .
Con  desplaza el cursor a la derecha de esa raíz, sin alejarlo mucho y vuelve a
pulsar ENTER . Pulsa  una vez y ENTER de nuevo. Obtenemos la raíz
x = 1 y, por tanto, el factor x + 1. Por el mismo procedimiento conseguimos las
raíces x = 0, x = 1 y x = 4 y así tenemos los factores x, x  1 y x  4,
respectivamente.
La factorización del polinomio será:
x6  3x5  3x4  5x3 + 2x2 + 8x = x (x5  3x4  3x3  5x2 + 2x + 8)

sacar factor común
Raíz x = 0
Aplicamos la regla de Ruffini tres veces:
Unidad 3.Álgebra
6
Luego,
x6  3x5  3x4  5x3 + 2x2 + 8x = x (x + 1) (x  1) (x  4) (x2 + x + 2)
Es muy sencillo comprobar que el polinomio x2 + x + 2 no tiene raíces (la ecuación
x2 + x + 2 no tiene solución), por tanto es irreducible y la descomposición en
factores del polinomio de grado 6 es la que hemos escrito arriba.
b) Pulsa Y=
antes:
e introduce en Y1 la expresión del polinomio sobre la que teníamos
X,T,... ^
4
+
X,T,... +
4 .
Pulsa ZOOM
4
X,T,... ^
3
+
8
X,T,... x2
+
7 .
6 para representarlo gráficamente:
Aparentemente la gráfica no corta al eje de abscisas. Ampliamos la ventana gráfica
para confirmar o no nuestra hipótesis.
Pulsamos WINDOW e introducimos los valores xmin = 100, xmax = 100, xsel = 10,
ymin = 100, ymax = 100, yscl = 10.
Los signos negativos se teclean () , no  y pulsaremos  o ENTER después
de cada valor.
Pulsa GRAPH .
Por lo que observamos en la pantalla, no parece que este polinomio tenga raíces. Por
tanto, si no nos dan más pistas este es uno de los que no podemos factorizar con
nuestros métodos habituales, solo tiene factores de grado 2.
c) Pulsa Y= y teclea en Y1:
6 X, T,...
1 .
Unidad 3.Álgebra
^
4
+
7
X, T,...
^
3
+
6
X, T,...
x2

7
.
Con DEL borra los caracteres que queden del polinomio anterior.
Pulsamos ZOOM 6 :
La gráfica corta en dos puntos, cerca del origen de coordenadas, al eje OX.
Vamos a ampliar la zona del gráfico donde están esos dos puntos. Pulsa ZOOM
1 .
En la pantalla hay un cursor parpadeante en el punto de coordenadas x = 0, y = 0.
Pulsando  varias veces y  , desplaza el cursor hacia arriba y hacia la izquierda,
aproximadamente al punto x = 2, y = 2. Pulsamos ENTER .
Pulsando  varias veces, el cursor se desplaza hacia la derecha dejando un “rastro”
horizontal. Cuando llegue a x = 2, aproximadamente, pulsa  para bajarlo hasta,
más o menos, y = 2.
Al pulsar ENTER
rectángulo:
verás ampliada la parte de gráfico que queda dentro del
Ahora vemos perfectamente los dos puntos de corte, las dos raíces del polinomio.
Con 2nd [CALC] 2:zero averiguaremos cuál es el valor de esas raíces como
hicimos en a).
La de la izquierda es x  0 ,5  
1
1
y la de la derecha x  0,333 ...  .
2
3
1
1
y x  son factores del polinomio.
2
3
Aplicamos la regla de Ruffini dos veces:
Por tanto, x 
Unidad 3.Álgebra
8
El polinomio x2 + x +1 no tiene raíces.
Por tanto, la factorización de 6x4 + 7x3 + 6x2  1 es 6(x2 + x + 1) (x +
1
1
) (x  )
3
2
NOTAS PARA TI-82
(*)
(*)
(*)
La opción 2:zero de 2nd [CALC] es 2:root.
Left Bound? es Lower Bound?
Right Bound? es Upper Bound?
ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS
La calculadora gráfica, en particular estos modelos de Texas Instruments que estás
usando, cuenta con más de una herramienta para resolver ecuaciones, sistemas de
ecuaciones e inecuaciones. Entre ellas:
 La opción 0:solve(, o 0:Solver... que aparece en el menú MATH .
 La opción 2:zero, que encontrarás al pulsar 2nd [CALC], mediante la cual
visualizarás en la pantalla un gráfico de la expresión algebraica (función) de la
que quieres calcular sus raíces o puntos de corte con el eje de abscisas. En el
modelo TI-82 la opción es 2:root. Cuando en las páginas siguientes utilicemos
2:zero, los usuarios de TI-82 deberán entender 2:root.
 La opción 5:intersect, que aparece también al pulsar 2nd [CALC], que permite
visualizar dos o más gráficos y hallar sus puntos de corte.
Exceptuando la primera opción, has de teclear en el editor de funciones, Y= , la
expresión o expresiones algebraicas correspondientes a uno o a los dos miembros de la
ecuación.
Para resolver sistemas de ecuaciones puedes utilizar alguna de las opciones anteriores,
si se trata de sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas, despejando en cada ecuación
la misma incógnita.
Si las ecuaciones del sistema son lineales, puedes introducir los coeficientes como
elementos de una matriz pulsando la tecla
MATRX
y usando los menús que
aparecen. La calculadora aplica el método de Gauss.
Unidad 3.Álgebra
9
La calculadora no proporciona de una vez todas las posibles soluciones de una ecuación
o sistema. Utilizando las herramientas gráficas, puedes acotar las soluciones dentro de
un intervalo y esto te permitirá teclear las instrucciones necesarias para calcularlas
todas.
1. Resolver la ecuación de segundo grado 2x2  5x  3 = 0.
a) Usando las fórmulas.
b) Gráficamente.
 B  B 2  4 AC
a1) Teclea en la pantalla principal la fórmula X 
para calcular
2A
una de las raíces del siguiente modo:
Coeficiente
de la
ecuación
Fórmula
2 STO ALPHA A ENTER .
() 5 STO ALPHA B ENTER .
() 3 STO ALPHA C ENTER .
( () ALPHA B + 2nd [ ] (
x2
2
 4 ALPHA A ALPHA
ALPHA A ENTER .
C
ALPHA
)
)
B .
 .
Obtendrás en la pantalla una de las soluciones, 3.
Para obtener la otra, pulsa 2nd [ENTRY] para tener en pantalla la fórmula
anterior. Desplázate con  hacia la izquierda y sitúa el cursor sobre +, pulsa
 ENTER y conseguirás la otra solución, 0,5.
Pulsando MATH
fraccionaria, 1/2.
y seleccionando 1:Frac, obtendrás la solución en forma
Ni que decir tiene que esto es solo una muestra del funcionamiento de la
calculadora. No creemos que esta u otras ecuaciones similares tengan la
dificultad suficiente como para emplear este método.
Quizás otras ecuaciones con coeficientes más complicados (enteros muy grandes
en valor absoluto, decimales, etc.) sí merezcan ser tratadas de este modo.
Unidad 3.Álgebra
10
Si quieres resolver otra ecuación del mismo tipo a continuación, teclea de nuevo
las tres primeras instrucciones del proceso anterior para introducir los nuevos
valores de A, B y C. Pulsando la secuencia 2nd [ENTRY] las veces
necesarias hasta que aparezca en pantalla la fórmula que permite obtener una de
las soluciones y después
ENTER , obtendrás una solución de la nueva
ecuación.
Vuelve a pulsar 2nd [ENTRY], cambia en la fórmula la suma por resta y
pulsa ENTER . Así conseguirás la segunda solución, si es que existe.
Para TI-82
a2) El método que vamos a exponer a continuación es generalizable a cualquier
ecuación del tipo expresión = 0, y consiste en el uso de la opción solve( que
tiene la calculadora en el menú MATH . La instrucción tiene la siguiente
estructura:
solve(expresión, variable, valor inicial)
En nuestro ejemplo, pulsa MATH y, en el menú que aparece, desplazándote
con
 , selecciona la opción 0:solve( y pulsa
ENTER . Teclea a
continuación el resto de la instrucción:
2 X, T, 
ENTER .
x2

5
X, T, 

3
,
X, T, 
,
0
) .
Así obtendrás la solución 0.5.
Pulsa 2nd [ENTRY] para recuperar la instrucción, modificar el valor inicial e
intentar calcular la otra solución. Introduce ahora, como valor inicial, por
ejemplo, 10.
Si introduces valores iniciales grandes (500, 100, ...), la calculadora no encuentra
solución y da un mensaje de error. Para 100, por ejemplo, obtendrías la solución
3.
Si pretendes resolver 3x2 + 5x + 100 = 0, que no tiene solución real, con
cualquier valor inicial obtendrás el mismo mensaje de error (SIGN CHNG).
Para TI-83 y TI-83 Plus
Pulsa MATH y con  , selecciona 0:Solver.... Pulsa ENTER . Has entrado
en el editor de ecuaciones, que resuelve cualquier ecuación del tipo 0=expresión.
Unidad 3.Álgebra
11
Tecleamos el primer miembro de la ecuación:
.2
X,T...
X2

5
X,T...
3 .
Pulsa ENTER y ves la pantalla:
En la primera línea aparece la ecuación almacenada. En la segunda línea, la incógnita
X con un valor inicial.
Desplázate con  a la tercera línea y pulsa  varias veces para ver el final de
la línea. Tienes el intervalo mayor posible en el que se pueden encontrar las
soluciones de la ecuación: (1099, 1099).
Puedes mover el cursor por las líneas segunda y tercera, y darle a X otro valor
inicial y otros extremos para el intervalo que contiene las soluciones.
Por ejemplo:
Pulsa ALPHA [SOLVE] y obtienes en la pantalla una de las soluciones:
Para conseguir la otra solución, primero cambia los extremos del intervalo, (0, 1099),
y después el valor inicial de X, 0:
Pulsa ALPHA [SOLVE] y obtienes la otra solución, X = 3.
Para resolver otra ecuación pulsa  y estarás de nuevo en el editor de ecuaciones.
La línea left-rt=0 indica que las soluciones encontradas son exactas. Si el valor de
la solución fuera aproximado, el segundo miembro de la igualdad sería distinto de
cero.
Unidad 3.Álgebra
12
Para salir del editor de ecuaciones pulsa 2nd [QUIT].
Al usar las instrucciones Solve( o Solver... hay que contar con varias dificultades:
* Esta instrucción solo proporciona una solución, aunque la ecuación tenga
varias.
* La calculadora resuelve ecuaciones mediante un proceso iterativo, por eso es
necesario introducir un valor inicial para X.
Este valor debe estar lo más cerca posible de la solución buscada, lo cual, en
algunos casos, impide usar este método. En caso de no saber nada de la
solución deberías estudiar la gráfica de la función y = expresión, usando el
editor de funciones y la representación gráfica, y, en particular, los puntos de
corte con el eje de abscisas, para poder tener una idea de la solución o
soluciones.
* Una vez encontrada una solución, cambiando el valor inicial y/o el intervalo
adecuadamente, es posible obtener las demás.
Cuanto más cerca esté el valor inicial de la solución, antes acabará la
calculadora su proceso iterativo de cálculo.
* En algunos casos la calculadora da un mensaje de error (ERR:SIGN CHNG)
producido porque en el proceso iterativo no se detecta cambio de signo y, por
tanto, no encuentra la solución. Unas veces esto ocurre porque la ecuación no
tiene solución y, otras, porque el valor inicial está demasiado lejos de la
solución.
b) Para resolver la ecuación gráficamente debes teclear la expresión 2x2  5x  3
en el editor de funciones.
Pulsa Y= y en alguna de las 10 funciones a tu disposición (Y1, Y2,..., Y9, Y10)
sitúa el cursor a la derecha del signo =. Teclea:
2
X, T, 
x2

5
X, T, 

3
.
Ahora, el signo = aparece en vídeo inverso, sobre fondo negro; eso significa
que nuestra función está activada y lista para ser representada.
Si hubiera otras funciones en este estado ( = en vídeo inverso), tendrás que
desactivarlas, pues si no, obtendrías las gráficas de todas. Para ello, desplaza el
cursor hasta colocarlo sobre el = que quieres desactivar y pulsa ENTER .
Repite la operación tantas veces como necesites.
Otra precaución: es conveniente comenzar el proceso con la ventana gráfica
estándar ( [ 10, 10 ]  [ 10, 10 ] ). Para ello pulsa ZOOM y selecciona
6:ZStandard. Al pulsar
ENTER
aparecerá la gráfica de la función
2
y = 2x  5x  3 y los ejes de coordenadas:
Unidad 3.Álgebra
13
Observa que en la pantalla hay dos puntos en los que 2x2  5x  3 vale 0.
Pulsando ahora
TRACE , aparece en algún punto de la gráfica, cuyas
coordenadas están escritas en la línea inferior de la pantalla, un píxel (cursor)
parpadeante que puedes desplazar sobre la gráfica pulsando  y  .
Siempre aparecerán en la línea inferior las coordenadas del punto en el que se
encuentra el píxel.
Moviéndote hacia la izquierda intenta acercarte lo más posible a la solución
0.5, tratando de conseguir Y=0. Desplazándonos hacia la derecha nos aproximaremos a la otra solución, 3.
Es prácticamente imposible conseguir exactamente Y=0 , debido al tamaño del
píxel y a la resolución de la pantalla, pero estos valores cercanos de x pueden
servir como valores iniciales en la instrucción Solve o Solver citada en a2).
La calculadora tiene otra opción para calcular raíces de funciones. Pulsando
2nd
CALC y seleccionando 2:zero, volverás a ver en la pantalla el
gráfico de y = 2x2  5x 3 con el píxel parpadeante y las coordenadas del punto
en el que se encuentra en la línea inferior.
En la línea anterior aparece la pregunta Lower Bound? (extremo inferior).
Desplaza el píxel, con  o  , hasta situarlo a la izquierda de la primera
raíz y cercano a ella.
Pulsa ENTER .
Ahora ha cambiado la pregunta: en la penúltima línea verás Upper Bound?
(extremo superior). Desplaza el píxel hasta colocarlo a la derecha de la primera
raíz y cerca de ella.
Unidad 3.Álgebra
14
Pulsa ENTER .
La pantalla ahora es:
Así, has introducido los extremos inferior y superior, respectivamente, de un
intervalo dentro del cual se encuentra la solución buscada, que sobre el gráfico
es fácil de encontrar.
Tienes que introducir ahora un valor inicial para que la calculadora comience su
proceso de iteraciones y calcule la solución con mayor rapidez.
Utiliza  para colocar el píxel en algún punto interior del intervalo definido
antes y pulsa ENTER .
El cursor aparece sobre la solución, x = 0,5, y se visualizan en la última línea
de la pantalla las coordenadas de la raíz:
Del mismo modo procederías acercándote a la otra solución, comenzando de
nuevo el proceso: Pulsar 2nd
CALC y seleccionar 2:zero, introducir los
extremos del intervalo en el que se encuentra la solución y, después, el valor
inicial dentro del intervalo anterior, todo ello sin más que desplazar el cursor con
 o  sobre la gráfica, y pulsar ENTER .
2. Resolver la ecuación x3  600x + 700 = 0.
Utiliza el método gráfico y la opción 2:zero que aparece al pulsar 2nd [CALC].
Pulsa Y= para entrar en el editor de funciones, desactiva o borra las funciones que
estuvieran activadas y teclea el primer miembro de la ecuación en alguna de las que
estén libres, colocando el cursor a la derecha de = previamente:
X, T, 
Pulsa
ZOOM
Unidad 3.Álgebra
^
3

6
0
0
X, T, 
+
7
0
0 .
6 .
15
Verás en la pantalla solo un trozo de la gráfica, en la que se ve una de las soluciones de
la ecuación.
Pulsa 2nd [CALC] y selecciona la opción 2:zero. Desplaza el cursor (que no se ve),
con  , hasta acercarte a la solución. Como la función decrece muy deprisa en los
puntos próximos a la raíz, es difícil conseguir los extremos inferior y superior.
Has de cambiar los límites de la ventana gráfica para conseguir visualizar la forma del
gráfico completa.
Pulsa WINDOW y con  desplázate y teclea los valores que aparecen a continuación:
En cada caso tendrás que “tantear” valores para obtener la gráfica completa.
Pulsa 2nd [CALC] y selecciona 2:zero. Ahora verás el cursor en (0,700).
Con  desplázate hasta colocarlo a la izquierda de la primera raíz y pulsa ENTER .
Desplázalo ahora con  hasta que esté a la derecha de esta raíz y pulsa ENTER .
Tienes que situarlo ahora dentro del intervalo que has señalado con  , y pulsa
ENTER . Obtendrás en la pantalla la primera solución, X = -25.05862, y el cursor
parpadeante en el punto (25,05862; 0).
Repite el proceso desde el principio para encontrar las otras dos raíces, que son
1,1693314 y 23,88929.
3. Resuelve la ecuación 1,5x = x3  2x2.
Puedes volver a aplicar el método proporcionado por 2:zero, de 2nd
función y = 1,5x  x3 + 2x2, obteniendo x = 2,4498941 como solución.
[CALC], a la
También es posible utilizar la opción 5:intersect que aparece en el menú 2nd [CALC].
Para ello, introduce el primer y el segundo miembro de la ecuación como dos funciones
en el editor, desactivando o borrando las demás.
Pulsamos ZOOM 6 observarás que hay un punto de intersección de las dos curvas,
en el intervalo (2, 3), que es la solución de la ecuación propuesta.
Para encontrar este punto pulsa 2nd [CALC] y elige la opción 5:intersect.
Unidad 3.Álgebra
16
Pulsa ENTER para responder a las preguntas que van apareciendo en la pantalla
(First curve?, Second curve? y Guess?). Observa que en la primera línea de la pantalla
aparecen las ecuaciones de las dos curvas.
4. Resolver las ecuaciones:
a) 2x  5= 3x + 8
b) x  36 + x+ x = 0
c) x3  2x + 1= 1
a) Teclea en el editor de funciones los dos miembros de la ecuación en dos funciones
distintas y usa la opción 5:intersect. Para ello, pulsa Y= y borra o desactiva las
funciones que tuvieras.
Teclea en Y1
2nd [ABS] (
X, T, 
2


5
ENTER .
La instrucción que tenemos escrita es para TI-82. En TI-83 y TI-83 Plus sería:
Teclea en Y1 MATH
Teclea en Y2
3

X, T, 
1
(

2
X, T, 

5
)
ENTER .
8 .
Pulsa
ZOOM
y selecciona 6:ZStandard. Aparecerán en pantalla las dos
gráficas y observarás un punto de intersección en el intervalo (1, 0).
Pulsa 2nd [CALC] y selecciona la opción 5:intersect.
Visualiza las dos gráficas con el cursor parpadeante situado sobre una de ellas.
Pulsa ENTER .
Ahora aparece el cursor sobre la otra gráfica. Pulsa otra vez ENTER .
Unidad 3.Álgebra
17
Pulsa ENTER de nuevo para introducir un valor inicial. Por fin obtendrás la
solución de la ecuación X = -0.6.
b) Teclea en el editor de funciones:
2nd [ABS] 
MATH

X, T, 

X, T, 
1


3


en TI-83 y TI-83 Plus
2nd [ABS] 

MATH
 .
6
1 .
X, T,  .
Pulsa ZOOM y selecciona 6:ZStandard. Al visualizar la gráfica observa que
la ecuación tiene tres soluciones.
Pulsa 2nd [CALC] y selecciona la opción 2:zero.
Desplaza el cursor, con  , hasta situarlo a la izquierda de la solución más
pequeña de las tres, y pulsa ENTER .
Con  coloca el cursor a la derecha de esa solución y pulsa ENTER . De
nuevo, con  sitúa el cursor dentro del intervalo fijado antes y pulsa ENTER .
Visualizamos la primera solución, X  -9, con el cursor sobre el punto.
Vuelve a pulsar 2nd [CALC] y a seleccionar 2:zero, y con los desplazamientos
del cursor conseguirás la segunda solución, X  -3. Repitiendo el proceso completo
otra vez, obtendrás la tercera solución, X  9.
Para asegurarte que no hay más soluciones, modifica los valores del eje de
abscisas de la ventana gráfica. Pulsa WINDOW y teclea para Xmin, -20, y
para Xmax, 20.
Pulsa GRAPH , observa que aparentemente la gráfica no va a cortar al eje
en más puntos.
OX
c Pulsa Y y teclea en el editor de funciones:
MATH

2nd [ABS] 
Unidad 3.Álgebra
1 en TI-83 y TI-83 Plus
X, T, 
^
3

2
X, T, 

1


1 .
18
Pulsando
ZOOM
y seleccionando 6:ZStandard visualizarás la gráfica y
observarás 3 ó 4 puntos de corte con el eje de abscisas. Modificando la anchura de
la ventana gráfica verás que son cuatro las soluciones de la ecuación.
Para asegurarte de ello, pulsa ZOOM y selecciona la opción 1:Zbox, y aplica
un zoom en la zona en la que la gráfica parece tangente al eje OX.
El cursor está en el origen de coordenadas, forma el rectángulo de zoom y
comprueba que tiene cuatro soluciones. Utilizando los procedimientos seguidos en
b podrás obtener los cuatro valores. Las cuatro soluciones son: 1,893289;
1,618034, 0,61803399 y 1.
5. Resuelve los sistemas de ecuaciones:
a) x  y  7


5 x  2 y  7
b)
1 1
1
 1 
x y
xy 

xy  6

Para resolver sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones y dos incógnitas, has de usar
los métodos de sustitución o igualación, e introducir en la calculadora las expresiones
resultantes para después usar las opciones 2:zero o 5:intersect.
a Despeja la incógnita y en la primera ecuación y sustitúyela en la segunda. Debes
teclear en el editor de funciones:
5x  2 7  x  7
para averiguar el valor de x, solución de 5x  2 7  x  7  0.
Con la opción 2:zero, sustituyéndolo en y  7  x, obtendrás la solución de
sistema: x  1, y  6.
En este tipo de sistemas quizás es mejor utilizar la opción 5:intersect aplicada a
las rectas expresadas en forma explícita:
y 7x 

5x  7 
y
2 
Unidad 3.Álgebra
19
Introduce las dos expresiones en el editor de funciones y pulsa
seleccionando después 5:intersect.
2nd
[CALC],
Siguiendo las instrucciones de pantalla, obtendrás las gráficas de las dos ecuaciones
y su punto de corte, 1, 6.
b En este sistema es complicado despejar x o y en la primera ecuación, por tanto
debes usar el método de sustitución y la opción 2:zero.
6
en la segunda ecuación y sustitúyelo en la primera.
x
Introduce en el editor de funciones: 1/x  1/6/x  1  1/x 6/x.
1 x
6
Simplificando la expresión:   1  2
x 6
x
Así, obtendrás x  2 y x  3.
Despejamos y 
Por tanto, las soluciones del sistema son 2, 3 y 3, 2.
6. Resuelve las inecuaciones:
a 7x  21  11
b x2  5x  4 < 0
c 3x2  5x > 7x  2
d x2  5x 3
Para resolver estas u otras inecuaciones debes aplicar primero el método gráfico que
posee la calculadora gráfica al pulsar 2nd [DRAW] y seleccionar la opción
7:Shade de las que aparecen en pantalla.
Al utilizar esta opción verás en la pantalla, sombreada, la zona solución.
Posteriormente, podrás averiguar los valores de los extremos de los intervalos
solución de la inecuación utilizando la opción 5:intersect de 2nd [CALC].
a Introduce en el editor de funciones 7x  21 en Y1 y 11 en Y2. Pulsa ZOOM
elige 6:ZStandard. Como la ventana gráfica correspondiente a esta opción es
[ 10, 10 ]  [ 10, 10 ], la recta y  11 queda fuera y no se ve en la pantalla.
y
Has de modificar esta ventana variando los valores para Ymin = -10 e Ymax = 20,
por ejemplo, pulsando WINDOW e introduciendo los nuevos valores.
Pulsa GRAPH y visualizarás las dos gráficas sobre los ejes de coordenadas:
Unidad 3.Álgebra
20
Queda sombrear los puntos entre las dos rectas, para los que 7x + 21 < 11 .
Para ello teclea, en la pantalla principal, la instrucción:
Shade (Función inferior, Función superior, 1)
del siguiente modo:
Pulsa 2nd [DRAW], selecciona 7:Shade(, y pulsa ENTER .
La función inferior es Y1 = 7X + 21 y, en vez de teclear la fórmula, pulsa
2nd [YVARS], pulsa ENTER y visualizarás la lista de funciones Y1, Y2,...,
Y0.
Selecciona 1:Y1 y pulsa ENTER , teclea ahora , y vuelve a pulsar 2nd .
[YVARS] ENTER . Selecciona 2:Y2 y pulsa ENTER de nuevo.
Sigue tecleando ,
1
)
ENTER .
Las instrucciones tecleadas para “sombrear” corresponden a TI-82. Para TI-83 y
TI-83 Plus sería:
La función inferior es Y1 = 7x + 21 y, en vez de teclear la fórmula, pulsa
VARS ; con  selecciona Y_VARS. Pulsa ^ 1 ; .
Para seleccionar la función superior, Y2 = 11, vuelve a teclear:
VARS

1
2
)
ENTER .
Aparece la pantalla:
La solución de la inecuación es el intervalo (, k), donde k es el valor de la
abscisa máxima de los puntos que están en la zona sombreada.
k corresponde a la abscisa del punto de intersección de las dos gráficas.
Puedes averiguar este valor pulsando 2nd [CALC] y seleccionando 5:intersect.
Unidad 3.Álgebra
21
Por tanto, la solución de la inecuación es (; 1,428571].
b) Introduce en Y1, X2  5X  4 y en Y2, 0. Sigue, a continuación, los mismos
pasos que en a).
En este ejemplo no es necesario modificar los valores de la ventana gráfica
estándar.
Teclea ahora, en la pantalla principal, para TI-82 Shade (Y1, Y2, 1) y para TI-83 y
Plus Shade (Y1, Y2) como en a), o bien pulsa CLEAR y 2nd [ENTRY] para
recuperar la instrucción anterior, y modificarla, si fuera necesario. Visualizarás la
siguiente pantalla:
La solución de la inecuación es el intervalo (k, l), siendo k y l las abscisas
mínima y máxima, respectivamente, de la zona sombreada.
Utilizando la opción 5:intersect del menú que aparece al pulsar 2nd [CALC],
podrás averiguar los dos puntos de intersección de y = x2  5x + 4 con el eje de
abscisas, que son x = 1 y x = 4.
Por tanto, la solución es el intervalo (1, 4).
c) Pulsando Y , introduce en Y1, 3X2-5X y en Y2, 7X-2.
Al pulsar ZOOM
6 verás que has de modificar los valores extremos de la
ventana gráfica, pues no se ve uno de los dos puntos de corte de la parábola y la
recta.
Pulsa WINDOW e introduce, por ejemplo:
Pulsa
GRAPH .
Sombrea la zona entre las dos curvas que corresponde a la solución de la
inecuación. Ahora tienes que volver a la pantalla principal y teclear la instrucción:
shadeY2, Y1, 1 para TI-82
shadeY2, Y1 para TI-83 y 83 Plus
Unidad 3.Álgebra
22
pues Y27X–2 es la función inferior e Y13X25X es la función superior. Al
pulsar ENTER verás en la pantalla:
La solución de la inecuación es , k  l,  siendo k y l las abscisas de
los puntos de corte de la recta y la parábola.
Usando la opción 5:intersect puedes calcular estos dos valores, que son:
0,17425814 y 3,8257419.
Por tanto, la solución de la inecuación es ; 0,17425814  3,8257419; .
d Pulsando Y introduce en el editor de funciones los dos miembros de la
inecuación: en Y1, x2  5x y en Y2, 3. Obtendrás las dos gráficas pulsando
ZOOM 6 :
Procede ahora a sombrear la zona, entre las dos gráficas, cuyos puntos cumplen la
inecuación.
Para ello teclea en la pantalla principal la instrucción shadeY2, Y1, 1 o
shadeY2, Y1, como en a).
Pulsando ENTER obtendrás:
Calcula ahora, usando la opción 5:intersect, del menú 2nd [CALC], los cuatro
puntos de intersección de las dos gráficas, como se explica en el ejemplo 4, que
son 0,5413813; 3, 0,697224366; 3, 4,3027756; 3 y 5,5413813; 3.
Por tanto, la solución de la inecuación es ; 0,5413813  0,69722436;
4,3027756  5,5413813; .
7. Programa para resolver gráficamente inecuaciones lineales con dos incógnitas
Unidad 3.Álgebra
23
Cualquier inecuación lineal con dos incógnitas, x e y, puede transformarse en una de
la forma Ax  By  C  0. Si la inecuación fuera Ax  By  C  0, multiplicaríamos
por 1 los dos miembros y obtendríamos Ax  By C  0.
Al usar el programa solo debemos introducir los coeficientes A, B y C, y se mostrará
en pantalla la gráfica de la recta AX BY  C  0 si A y B son distintos de cero, así
como las coordenadas de los puntos de corte de la recta con los ejes. La ventana para
representar gráficamente funciones se ajusta automáticamente para visualizar estos dos
puntos y el trozo de recta comprendido entre ellos.
A continuación se irá sombreando el semiplano solución de la inecuación.
Si A o B fuesen cero, aparecerá un mensaje en la pantalla del tipo: “Recta horizontal
que pasa por (0, k). Elige un punto y comprueba si la zona donde se encuentra es o no
la solución”.
Si la recta pasa por el origen de coordenadas, las coordenadas (0, 0) no aparecen
impresas en la pantalla.
Teclear un programa en cualquier calculadora programable es bastante engorroso, pues
el teclado alfabético no es muy cómodo y, a veces, las secuencias de teclas para un
comando o instrucción son largas y complicadas.
No obstante, el proceso mental de “definir y pensar” un programa que ejecute tareas
rutinarias y/o repetitivas es, desde el punto de vista de la formación matemática, muy
interesante.
Además, esta posibilidad de ser programadas es otra de las facetas que podemos
explotar de estas u otras calculadoras, de manera que sea posible centrarse en el
planteamiento y resolución de problemas lo más reales posibles.
Para crear el programa pulsa PRGM   ENTER . Ahora teclea el nombre
del programa, INECUACI, buscando en el teclado alfabético las letras (en color verde
o blanco).
Vuelve a pulsar ENTER y aparecerá la pantalla de edición de programas, en la que
teclearás cada una de las instrucciones del listado.
Las instrucciones que forman el programa son:
Línea 1
:
:
:
:
5 :
:
:
:
:
10 :
ClrHome: ClrDraw: FnOff
Disp “INECUACION”: Disp “AX  BY  C  0”
Input “A”, A: Input “B”, B: Input “C”, C
If A  0 and B  0: Goto 1
If A  0 and B  0: Goto 2
If A  0 and B  0: Goto 3
Lbl 3
“( AX  C)/B”  Y1
 C/B  P
 C/A  Q
Unidad 3.Álgebra
24
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
 11/8 abs (Q)  Xmin
11/8 abs (Q)  Xmax
Xmax/10  Xscl
 11/8 abs (P)  Ymin
11/8 abs (P)  Ymax
Ymax/10  Yscl
If C  0
Then
ZStandard
If B > 0
Goto 4
If B < 0
Goto 5
Else
Disp Graph
Text (57, 0, “(0,“, round (P, 4), “)”)
Text (57, 46, “(“, round (Q, 4), “,0)”)
Text (1, 1, “PULSA ENTER”)
Pause
0Z
If B > 0
Goto 4
If B < 0
Goto 5
Lbl 4
For (X, Xmin, Xmax, Xscl)
For (Y, Ymin, Ymax, Yscl)
( AX  C)/B  Z
If Y  Z
Pt-On (X, Y, 1)
End
End
Goto 6
Lbl 5
For (X, Xmin, Xmax, Xscl)
For (Y, Ymin, Ymax, Yscl)
( AX  C)/B  Z
If Y  Z
Pt-On (X, Y, 1)
End
End
Goto 6
Lbl 2
ClrHome
Output (1, 1, “RECTA VERTICAL”)
Output (2, 1, “POR (”)
Output (2, 6, round ( C/A, 4))
Output (2, 14, “, 0)”)
Output (3, 1, “SOLUCION ”)
Output (4, 1, “DERECHA O IZDA”)
Unidad 3.Álgebra
25
: Stop
: Lbl 1
: ClrHome
: Output (1, 1, “RECTA HORIZONTAL”)
65 : Output (2, 1, “POR (0,”)
: Output (2, 8, round ( C/B, 4))
: Output (2, 16, “)”)
: Output (3, 1, “SOLUCION ”)
: Output (4, 1, “ARRIBA O ABAJO”)
70 : Stop
: Lbl 6
: Text (1, 1, “FIN  ENTER  CLEAR”)
: Pause
Para teclear este listado:
Línea 1 :
Línea 2 :
Línea 3 :
PRGM  8 ALPHA [:] 2nd [DRAW] 1
VARS  4 2 ENTER .
ALPHA [:]
PRGM  3 2nd ALPHA ["] [I] [N] [E] [C] [U] [A] [C] [I] [O]
[N] ["] [ : ] PRGM  3 2nd ALPHA ["] [A] [X] ALPHA  .
2nd ALPHA [B] [4] ALPHA  ALPHA [C] 2nd [TEST]
4 0 ALPHA ["] ENTER .
PRGM  1 2nd ALPHA ["] [A] ["] ALPHA
ALPHA [A] [ : ] ALPHA .
,
2nd .
Repetir la secuencia anterior para B y C, pulsando ENTER después de
teclear C
Línea 4 :
PRGM 1 ALPHA [A] 2nd [TEST] 1 0 2nd [TEST]
 1 ALPHA [B] 2nd [TEST] 2 0 ALPHA [ : ] PRGM .
0 1 ENTER .
Líneas 5 y 6: De forma análoga a la línea 4 seleccionando en 2nd [TEST] los
símbolos que aparecen en el listado.
Línea 7 :
PRGM
Línea 8 :
ALPHA ["] ( () 2nd ALPHA [A] [X] ALPHA
ALPHA [C] )  ALPHA [B] ALPHA ["] STO
1 1 ENTER .
Línea 9 :
()
9 3
ENTER .
ALPHA [C] 
ALPHA [B] STO
 .
VARS
.
ALPHA [P] ENTER .
Línea 10 : De forma análoga a línea 9, sustituyendo B y P por C y Q,
respectivamente.
Unidad 3.Álgebra
26
Línea 11 :
() 11  8 MATH
1 1 ENTER .
Línea 12 : 11  8 MATH
2 ENTER .
Línea 13 :
VARS
 1 (
 1 (
1 2  1 0
ALPHA [Q] )
ALPHA [P] )
STO
VARS
STO
1 3
STO
VARS .
VARS
1.
ENTER .
Líneas 14, 15 y 16 : De forma análoga a las tres anteriores, sustituyendo Q por P y
Xmin, Xmax y Xscl por Ymin, Ymax e Yscl, respectivamente.
Línea 17 :
PRGM
1
ALPHA [C] 2nd [TEST] 1 0
Línea 18 :
PRGM
2
ENTER .
Línea 19 :
ZOOM
6
ENTER .
Línea 20 :
PRGM
1
ALPHA [B] 2nd [TEST] 3 0
Línea 21 :
PRGM
0 4
ENTER .
ENTER .
ENTER .
Línea 22 : Como línea 20, seleccionando 5 en 2nd [TEST]
Línea 23 : Como línea 21
Línea 24 :
PRGM
3
Línea 25 :
PRGM
 4
Línea 26 :
ENTER .
ENTER .
2nd [DRAW] 0 57 , 0 , ALPHA ["] ( 0 , ALPHA ["]
, MATH 2 ALPHA [P] , 4 ) , ALPHA ["] ) ALPHA .
["] ) ENTER .
Línea 27: De forma análoga a línea 26 cambiando el valor 0 y la variable P por 46
y Q.
Línea 28:
2nd [DRAW] 0 1 , 1 ,
ALPHA ENTER .
Línea 29 :
PRGM
Línea 30 :
0
STO
8
2nd
ALPHA "PULSA ENTER"
ENTER .
ALPHA [Z] ENTER .
Líneas 31, 32, 33 y 34: Igual que las líneas 20, 21, 22 y 23.
Línea 35 :
PRGM
Unidad 3.Álgebra
9 4
ENTER .
27
Línea 36:
PRGM 4 X,T,,n , VARS
VARS 1 3 ) ENTER .
Línea 37:
PRGM 4 ALPHA [Y] , VARS
VARS 1 3 ) ENTER .
Línea 38:
( () ALPHA [A] ALPHA [X] 
[B] STO ALPHA [Z] ENTER .
Línea 39:
PRGM
1
Línea 40:
2nd [DRAW] ALPHA [X] ,
Línea 41 :
PRGM
7
1 1 ,
1
VARS
,
1 2 , .
VARS
ALPHA [C] 
ALPHA [Y] 2nd [TEST] 4
1
, .
ALPHA .
ALPHA [Z] ENTER .
ALPHA [Y] , 1 )
ENTER
.
ENTER .
Línea 42: Igual que línea 40.
Línea 43 :
PRGM
0 6
ENTER .
Línea 44:
PRGM
9 5
ENTER .
Líneas 45, 46 y 47: Igual que líneas 36, 37 y 38.
Línea 48: Como línea 39, seleccionando en 2nd [TEST] la opción 6 en vez de 4
Líneas 49, 50, 51 y 52: Igual que líneas 40, 41, 42 y 43.
Línea 53:
PRGM
9 2
ENTER .
Línea 54:
PRGM
 8
Línea 55:
PRGM  6 1 , 1 , 2nd
ALPHA ) ENTER .
ENTER .
ALPHA "RECTA VERTICAL"
Línea 56: De forma análoga a línea 55.
Línea 57:
PRGM  6 2 , 6 , MATH  2 ()
ALPHA [A] , 4 ) ) ENTER .
ALPHA [C]  .
Líneas 58, 59 y 60: De forma análoga a línea 55.
Línea 61:
PRGM
ALPHA [F] ENTER .
Línea 62 :
PRGM
9 1
Línea 63:
PRGM
 8
ENTER .
ENTER .
Líneas 64 a 70: De forma análoga a líneas 55 a 61.
Unidad 3.Álgebra
28
.
Línea 71:
PRGM
9 6
Línea 72:
2nd [DRAW] 0 1 , 1 , 2nd ALPHA "FIN 2nd .
TEST 1 2nd ALPHA ENTER ALPHA  2nd .
ALPHA CLEAR " ALPHA ) ENTER .
Línea 73:
PRGM
8
ENTER .
ENTER .
Pulsa 2nd [QUIT] para abandonar la pantalla de edición de programas.
Si cometes algún error al teclear y el programa no funcionara correctamente, pulsando
PRGM , seleccionando EDIT y después el nombre de nuestro programa, accederías
al listado y podrías modificar la o las instrucciones equivocadas.
Puedes usar las cuatro teclas de mover el cursor y la tecla DEL que borra lo que tiene
debajo. Además CLEAR borra una línea completa.
Si necesitas insertar caracteres pulsa 2nd [INS].
Para insertar una o más líneas, colócate al final de la línea anterior a la que quieres
insertar, pulsa 2nd [INS] ENTER .
Vuelve a la pantalla principal pulsando
2nd
[QUIT].
Para ejecutar el programa pulsa PRGM , selecciona INECUACI desplazando el
cursor con  y pulsando ENTER
ENTER . Aparece en la pantalla:
Introduce ahora los tres coeficientes de la inecuación, A, B y C, pulsando
ENTER después de cada uno. Si alguno fuera negativo, usa () para el signo, no
 .
A continuación, verás en la pantalla la recta Ax  By  C  0 representada
gráficamente, y en la última línea las coordenadas de los puntos de corte de la recta con
los ejes de coordenadas, con cuatro cifras decimales, y la instrucción PULSA ENTER.
Por ejemplo, si la inecuación era 3x  5y  4  0, aparecerá:
Unidad 3.Álgebra
29
Al pulsar ENTER , comenzará a sombrearse la zona que es solución de la inecuación.
Al terminar este proceso, el mensaje que aparece en la línea superior de la pantalla es
FIN  ENTER  CLEAR.
En nuestro ejemplo:
Para salir y acabar, pulsa
ENTER
y a continuación
CLEAR .
Si quieres ver la solución de otra inecuación, pulsa
2nd
[ENTRY], con lo que
recuperarás la secuencia inicial de teclas para ejecutar INECUACI. Pulsando
ENTER , podrás introducir los nuevos coeficientes.
Es posible recuperar el último gráfico, una vez que lo hayas quitado de la pantalla,
pulsando GRAPH .
Si pulsas, TRACE aparecerá en el gráfico un cursor, en el punto de intersección de
la recta con el eje de ordenadas, que puedes desplazar con  y  a lo largo de la
recta. En la última línea de la pantalla vemos las coordenadas del punto en el que se
encuentra.
Si pulsas GRAPH de nuevo, el cursor cambia de aspecto  y con las cuatro teclas
de desplazamiento puedes recorrer toda la pantalla, visualizando en la línea inferior las
coordenadas del punto en el que está situado. Puedes comprobar que los puntos situados
en la zona sombreada cumplen la inecuación.
Para las inecuaciones en las que A o B son cero, no aparece gráfico.
Por ejemplo, para x  5, tenemos que A  1, B  0 y C  5.
Teclea los tres coeficientes como en el ejemplo anterior y aparecerá en pantalla:
El usuario debe elegir algún punto y comprobar si es o no solución de la inecuación el
semiplano en el que está ese punto.
Nos ha parecido que estas inecuaciones no tienen la dificultad suficiente, en ningún
caso, para introducir en el programa un módulo que permita ver en pantalla la solución.
8.
Resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales con dos incognitas
Unidad 3.Álgebra
30
Vamos a utilizar el programa INECUACI para resolver cada inecuación del sistema y
trasladar esa solución al papel, donde señalaremos la zona del plano solución del
sistema de inecuaciones.
Problema 1: Resolver el sistema de inecuaciones
3 x  4 y  13  0

2 x  3 y  3  0
5 x  y  27  0

Solución: Para utilizar el programa INECUACI, hemos de transformar la segunda y
tercera inecuaciones, multiplicando los dos miembros de cada una por 1, en
desigualdades de la forma Ax  By  C  0.
Para 3x  4y  13  0 verás en pantalla:
Para 2x  3y  3  0:
Para 5x  y  27  0:
Hemos de superponer estos tres gráficos en nuestro papel. De los tres puntos de corte
con el eje OX, la mayor abscisa es 5,4 y la menor es 1,5, y de los tres del eje OY, la
menor ordenada es 27 y la mayor, 3,25.
Construimos nuestro gráfico:
Trazamos las tres rectas usando el par de puntos para cada una que nos ha
proporcionado la calculadora y sombreamos el semiplano solución de cada inecuación
que hemos visualizado en la pantalla:
INECUACIÓN
Unidad 3.Álgebra
RECTA QUE PASA
POR
SEMIPLANO SOLUCIÓN
31
3x  4y  13  0
(0, 3.25) , (4.3333, 0) El que no contiene al origen.
2x  3y  3  0
(0, 1) , (1.5, 0)
El que contiene al origen.
5x  y  27  0
(0, 27) , (5.4, 0)
El que contiene al origen.
Puedes calcular las coordenadas de los vértices del recinto, señalados en el dibujo
como A y B.
Para ello, despeja y en la ecuación de cada una de las tres rectas: y  5x  27
2x  3
3x +13
.
y=
e y=
3
4
Introduce estas tres funciones en el editor de funciones de la calculadora pulsando
Y .
A la derecha de Y1 tecleamos
5
X, T, , n
El cursor se ha desplazado a Y2 . Teclea

3
ENTER .
Unidad 3.Álgebra
(

2
2
7
X, T, , n
ENTER .

3
) .
32
Para Y3, teclea
ENTER .
(
(
3
X, T, , n

Pulsa
ZOOM , selecciona 6:ZStandard y pulsa
aparecerán en la pantalla las gráficas de las tres rectas:
1
3
)

4 .
ENTER . A continuación,
En el gráfico se ven el recinto solución del sistema y los dos vértices cuyas coordenadas
vamos a calcular. Pulsamos
2nd
[ CALC ], selecciona 5: intersect y pulsa
ENTER .
Aparece en la pantalla:
Pulsa
ENTER
continuación:
para confirmar que la primera recta es y  5x  27 y verás a
Vuelve a pulsar ENTER
y  (2x  3)/3, el punto B.
dos veces para calcular la intersección de y  5x  27 con
Aparecerá en pantalla:
Por tanto, B(6, 3).
Pulsa de nuevo
2nd
[ CALC ], selecciona 5:intersect y, por fin,
ENTER , para calcular las coordenadas de A, que es intersección de Y2 con Y3.
Cuando aparezca la pantalla solicitando la primera curva, ahora es Y2. Para
seleccionarla, pulsa

hasta que aparezca en la parte superior izquierda. Pulsa
ENTER .
Unidad 3.Álgebra
33
La calculadora pide ahora confirmación sobre la segunda curva y, como en la primera
línea está la fórmula de Y3, pulsa ENTER dos veces. Inmediatamente obtendrás:
Así, A(3, 1).
Problema 2: Resuelve gráficamente el sistema de inecuaciones
 2 x  3 y  0

5y  9

 3x
 2

Solución: Este sistema se diferencia del anterior en las inecuaciones segunda y tercera.
Usa el programa INECUACI para visualizar la solución de –2x  3y  0 y obtendrás:
Para esta inecuación no ves las coordenadas de los puntos de corte de la recta con los
ejes. El único punto es el origen, (0, 0).
Las otras dos inecuaciones son y 
9
2
y x .
5
3
El gráfico que construimos usando la solución de la calculadora es:
Para visualizar completo el recinto solución en la pantalla pulsa
2
9
las funciones Y1  x e Y2  .
3
5
Y
para introducir
Borra o desactiva las demás funciones si las hubiera.
Pulsa
ZOOM , selecciona 6: ZStandard y pulsa
Unidad 3.Álgebra
ENTER . Verás en pantalla:
34
2
, pulsa 2nd [ QUIT ] para volver a la pantalla principal y teclea
3
2
la instrucción Vertical
, para lo que debes teclear 2nd [ DRAW ], seleccionar
3
4:Vertical y pulsar ENTER . Sigue tecleando la secuencia 2  3 ENTER .
Para dibujar x 
Ahora tendrás en la pantalla:
Vamos a “aumentar” nuestro triángulo solución: Pulsa ZOOM , selecciona 1:ZBox
y pulsa
ENTER . Vuelve a aparecer en pantalla el gráfico anterior con un cursor
parpadeante en el origen de coordenadas, y con x  0, y  0 en la línea inferior, que es
el punto en el que está el cursor.
 , el cursor se desplaza verticalmente hacia arriba. Si
9
dejas de pulsar el cursor, se detiene. Desplázalo hasta superar la recta y 
y pulsa
5
ENTER .
Manteniendo pulsada la tecla
Pulsando  , el cursor se desplaza hacia la derecha. Sitúalo en un punto en el que ya
haya superado al vértice B del triángulo. Ha ido dejando un “rastro” que será el borde
superior de la nueva ventana.
Unidad 3.Álgebra
35