Modelado en optimización lineal entera mixta - IIT
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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas http://www.iit.comillas.edu/aramos/ [email protected] CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 1 Clasificación de problemas IP Problemas lineales donde algunas o todas las variables son enteras. Un caso particular de variables enteras son las variables binarias (0/1). 1. PIP (pure integer programming) todas enteras 2. BIP (binary integer programming) todas binarias 3. MIP (mixed integer programming) binarias algunas enteras o ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 2 Justificación de problemas de optimización con variable enteras Las inversiones son variables discretas (planificación de la expansión de la generación o de la red, adquisición de equipos singulares, contratación de personas) Las decisiones son variables binarias (localización de plantas o almacenes) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 3 Representación binaria de variables enteras x variable entera yi variable binaria (0/1) N x = ∑ 2 i yi i =0 0≤ x≤u ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL 2 N ≤ u ≤ 2 N +1 Modelado en optimización lineal entera mixta - 4 CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 5 Algunos problemas característicos de LP y BIP Se han estudiado exhaustivamente. Su importancia práctica es limitada, pero pueden formar parte de otros problemas. Programación lineal LP Transporte Transbordo Asignación Programación binaria pura BIP Mochila Recubrimiento Empaquetado Partición Viajante ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 6 Problema de transporte Minimizar el coste total de transporte de un cierto producto desde los orígenes a los destinos, satisfaciendo la demanda de cada destino sin superar la oferta disponible en cada origen. ai bj cij oferta de producto en el origen i demanda de producto en el destino j coste unitario de transporte desde i a j a1 1 a2 2 am m ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL m orígenes n destinos 1 b1 2 b2 n bn Modelado en optimización lineal entera mixta - 7 Formulación problema de transporte m n min ∑∑ c x i =1 j =1 xij ij ij Oferta disponible en cada origen i n ∑x j =1 Demanda de cada destino j m ∑x i =1 ij = bj ij = ai ∀i = 1,…, m ∀j = 1,… , n unidades de producto transportadas desde i hasta j ∀i, j Se supone que la oferta es igual a la demanda del producto m n xij ≥ 0 ∑a = ∑b m n i =1 j =1 m n i =1 i j =1 j Si ∑ ai > ∑ b j se añade un sumidero universal con coste nulo ai < ∑ b j Si ∑ se añade una fuente universal con coste muy i =1 j =1 elevado ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 8 Estructura problema de transporte x11 x12 ⋯ x1n x21 x22 ⋯ x2n ⋯ xm1 xm 2 ⋯ xmn 1 1 ⋯ 1 m restricciones de oferta 1 1 ⋯ 1 ⋱ 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 n restricciones de demanda 1 1 1 ⋯ ⋱ ⋱ ⋯ ⋱ 1 1 ⋯ 1 Si y b j son enteros ⇒ xij son enteros por ser la matriz totalmente unimodular (i.e., toda submatriz cuadrada tiene determinante 0, 1 ó –1) ai ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 9 Problema de trasbordo Determinar en una red con n nodos las rutas más baratas para llevar unidades de un producto desde sus orígenes a sus destinos pasando por puntos de trasbordo intermedios. Cada origen genera bi > 0 unidades. Cada destino consume bi < 0 unidades. Cada trasbordo ni genera ni consume unidades bi = 0. cij coste unitario de transporte desde i hasta j en dicho sentido. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 10 Formulación problema de trasbordo n n min ∑∑ c x ij ij i =1 j =1 xij Balance o conservación del flujo en cada nudo i n n ∑x −∑x j =1 ij k =1 ki = bi ∀i = 1,…, n unidades de producto transportadas desde i a j ∀i, j Se supone que la oferta es igual a la demanda del producto xij ≥ 0 n ∑b = 0 i =1 i ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 11 Problema de asignación de tareas n tareas n personas (máquinas, etc.) para realizarlas Es un caso particular del problema de transporte. Minimizar el coste total de realizar las tareas sabiendo que cada persona realiza 1 tarea y cada tarea es realizada por 1 persona. cij coste de realizar la tarea i por la persona j 1 si la tarea i es realizada por la persona j xij en cualquier otro caso 0 Aunque no es necesario declararlas como binarias. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 12 Formulación problema de asignación de tareas n n min ∑∑ c x i =1 j =1 xij ij ij Cada tarea i es hecha por una persona n ∑x ij j =1 = 1 ∀i = 1,…, n Cada persona j realiza una tarea n ∑x i =1 ij = 1 ∀j = 1,… , n xij ≥ 0 ∀i, j ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 13 Secuenciación de trabajos en una máquina Dados unos trabajos que realizar, una duración de éstos y una fecha de entrega prevista, plantear un problema de programación lineal entera para encontrar la secuencia que minimiza el retraso o demora media con que los trabajos son entregados, con los siguientes datos: ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Tarea A B C D Tiempo de proceso 9 12 7 14 Fecha de entrega 15 19 23 31 Modelado en optimización lineal entera mixta - 14 Denominamos d j al tiempo de proceso del trabajo j y fecha de entrega del trabajo j. Definimos las variables del problema como rj a la 1 si el trabajo j se hace en la posición i xij = otro caso 0 La función objetivo será la minimización de la demora media min 1 pi ∑ 4 i sujeto a estas restricciones: cada trabajo se hace una vez ∑x ij = 1 ∀j i en cada posición sólo un trabajo ∑x ij = 1 ∀i j ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 15 Para cada posición i se acaba un trabajo en ella y su fecha de entrega es ∑ j rj xij Por otra parte, el trabajo j que acaba en esa posición acaba en el instante ∑ j d j ∑ k ≤i xkj . Las variables ni y pi , cuentan si acaba antes de tiempo (adelantado) o después (retrasado), por eso pi , que es la demora, es la que aparece en la función objetivo ∑d ∑ x j j k ≤i kj + ni − pi = ∑ rj xij ∀i j ni , pi ≥ 0 xij ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 16 Problema de la mochila (knapsack) n proyectos Maximizar el valor total de la elección de un conjunto de proyectos sin sobrepasar el presupuesto disponible. cj coste de cada proyecto j vj valor de cada proyecto j b presupuesto disponible 1 si se realiza el proyecto j xj 0 en cualquier otro caso ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 17 Formulación problema de la mochila n max ∑ v x j =1 xj j j Limitación del presupuesto disponible n ∑c x j =1 j j ≤b x j ∈ {0,1} ∀j ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 18 Problema de recubrimiento (set covering) m características (vuelos) n combinación de características (secuencia de vuelos). La elección de una combinación implica realizar todas las características de la misma. Minimizar el coste total de las combinaciones elegidas de manera que se cubra (posea) cada característica al menos una vez. cj coste de elegir la combinación j matriz de pertenencia aij 1 si la característica i pertenece a la combinación j 0 si no pertenece 1 si se elige la combinación j xj en cualquier otro caso 0 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 19 Formulación problema de recubrimiento n min ∑ c x j =1 xj j j Cada característica i del conjunto de todas las combinaciones j que la poseen debe ser escogida al menos una vez. n ∑a x j =1 ij j ≥ 1 i = 1,…, m x j ∈ {0,1} j = 1,…, n ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 20 Ejemplo de recubrimiento: asignación de tripulaciones Una compañía aérea necesita asignar sus tripulaciones para cubrir todos sus vuelos. En particular, quiere resolver el problema de asignar TRES tripulaciones con base en San Francisco a los vuelos listados en la primera columna de la tabla. Las otras columnas muestran las 12 SECUENCIAS FACTIBLES de vuelos para una tripulación cualesquiera. Los números de cada columna indican el orden de los vuelos. Se necesita elegir tres secuencias (una por tripulación) de manera que se cubran todos los vuelos. Se permite tener más de una tripulación en un vuelo, donde la/s tripulación/es extra viajan como pasajeros, pero por convenio laboral la tripulación extra cobra como si estuviera trabajando. El coste de asignación de una tripulación a cada secuencia de vuelos se da en miles de euros en la última fila. El objetivo es minimizar el coste total de asignación de las tres tripulaciones para cubrir todos los vuelos. Resolver el mismo problema para el caso en que no se permite el vuelo de una tripulación fuera de servicio en un vuelo. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 21 Secuencias factibles de vuelo 1 SF - LA 2 3 1 SF - Denver 5 6 1 1 SF - Seattle 3 3 4 3 4 4 4 6 7 3 5 5 3 3 4 5 7 2 4 2 3 2 2 2 Seattle - LA 1 5 2 Seattle - SF 12 4 3 Denver - Chicago ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL 1 2 Chicago - Seattle 2 11 1 3 3 10 1 1 2 2 9 1 2 Denver - SF 8 1 1 Chicago - Denver Coste (k€) 7 1 LA - Chicago LA - SF 4 8 5 2 4 4 2 9 9 8 9 Modelado en optimización lineal entera mixta - 22 min 2 x1 + 3x2 + 4 x3 + 6 x4 + 7 x5 + 5 x6 + 7 x7 + 8 x8 + 9 x9 + 9 x10 + 8 x11 + 9 x12 Cobertura de cada vuelo x1 + x4 + x7 + x10 ≥ 1 x2 + x5 + x8 + x11 ≥ 1 x3 + x6 + x9 + x12 ≥ 1 ⋮ Asignación de las tres tripulaciones 12 ∑x j =1 j =3 x j ∈ {0,1} j = 1,…12 1 si se elige la secuencia j para una tripulación xj = en cualquier otro caso 0 Solución x3 = x4 = x11 = 1 x1 = x5 = x12 = 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL xj = 0 j ≠ 3, 4, 11 xj = 0 j ≠ 1, 5, 12 coste = 18 k€ coste = 18 k€ Modelado en optimización lineal entera mixta - 23 Problema de empaquetado (set packing) m proyectos n paquetes (conjuntos) de proyectos. La elección de un paquete (conjunto) implica realizar todos los proyectos del mismo. Maximizar el beneficio total de manera que ningún proyecto se realice más de una vez. cj beneficio de elegir el paquete j 1 si el proyecto i está en el paquete j aij si no lo está 0 1 si se elige el paquete j xj 0 en cualquier otro caso ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 24 Formulación problema de empaquetado n max ∑ c x j =1 xj j j Cada proyecto i del conjunto de todos los paquetes que lo incluyen no puede ser elegido más de una vez n ∑a x j =1 ij j ≤ 1 i = 1,…, m x j ∈ {0,1} j = 1,…, n ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 25 Problema de partición (set partitioning) EXACTAMENTE una característica (proyecto) del conjunto de combinaciones (paquetes) que la contienen debe ser elegida n ∑a x j =1 ij j = 1 i = 1,…, m ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 26 Problemas de recubrimiento, partición y empaquetado RECUBRIMIENTO ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL PARTICIÓN EMPAQUETADO Modelado en optimización lineal entera mixta - 27 Problema del viajante (traveling salesman problem TSP) Consiste en hacer un recorrido que pase por ciudades sin repetir ninguna y volviendo a la ciudad de partida de manera que la distancia total sea mínima. Formulación 1: 1 si se va de la ciudad i a la ciudad j xij = en otro caso 0 min ∑ cij xij xij ij ∑x ij = 1 ∀j i ∑x ij = 1 ∀i j ∑x ij∈U ij ≤ card(U ) − 1 ∀U 2 ≤ card(U ) ≤ n − 2 xij ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 28 Problema del viajante (TSP) Formulación 2: 1 si se va de la ciudad i a la ciudad j en el tramo k de recorrido xijk = en otro caso 0 min ∑ cij xijk xijk i , j ,k ∑x ijk = 1 ∀i j ,k ∑x ijk = 1 ∀j i ,k ∑x ijk = 1 ∀k i, j ∑x ijk i = ∑ x jrk +1 ∀j, k r xijk ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 29 CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 30 Problema de coste fijo Se tiene la función objetivo 0 f j (x j ) = k j + c j x j xj = 0 xj > 0 Definimos una variable binaria que modela la decisión binaria sobre la realización de la actividad xj 1 x j > 0 yj = 0 x j = 0 fj La formulación resultante es min ∑ f j ( x j ) =∑ ( k j y j + c j x j ) n j =1 n j =1 xj ≤ M j yj cj kj x j ≥ 0 j = 1,..., n xj y j ∈ {0,1} j = 1,..., n La Mj tiene que tener el menor valor posible ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 31 Asignación de grupos térmicos ¿Qué grupos térmicos de generación eléctrica hay que acoplar en cada hora del día (o semana) de manera que: Se minimicen los costes variables de generación (incluyendo costes de combustible y costes de arranque y parada) Se suministre la demanda en cada hora Se mantenga un cierto nivel de reserva rodante Se respeten los parámetros de funcionamiento de los grupos térmicos (mínimos técnicos, rampas de subida y bajada) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 32 Asignación de grupos térmicos. Datos y variables DATOS Dh demanda térmica en la hora h [MW] R coeficiente de reserva rodante con respecto a la demanda [p.u.] at término lineal del coste de combustible del grupo térmico t [€/MWh] bt término fijo del coste de combustible del grupo térmico t [€/h] cat coste de arranque del grupo térmico t [€] cpt coste de parada del grupo térmico t [€] Pt potencia máxima del grupo térmico t [MW] P t potencia mínima del grupo térmico t [MW] rst rampa de subida del grupo térmico t [MW/h] rbt rampa de bajada del grupo térmico t [MW/h] VARIABLES Pht potencia producida por el grupo térmico t en la hora h [MW] Aht acoplamiento del grupo térmico t en la hora h {0,1} ARht arranque del grupo térmico t en la hora h {0,1} PRht parada del grupo térmico t en la hora h {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 33 Asignación de grupos térmicos. Formulación H min T ∑∑ ( a P t ht h =1 t =1 T ∑P t =1 ht = Dh T ∑ (P A t =1 + bt Aht + cat ARht + cpt PRht ) t ht H − Pht ) = RDh H P t Aht ≤ Pht ≤ Pt Aht 2 HT Aht − Ah −1t = ARht − PRht ( H − 1)T Pht − Ph −1t ≤ rst ( H − 1)T ( H − 1)T Ph −1t − Pht ≤ rbt Pht ≥ 0 Aht , ARht , PRht ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 34 CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 35 Modelado de implicaciones Queremos modelar la condición de que “si se produce el producto A también se debe producir el producto B”. La condición de producción de un producto j la representamos por la restricción x j ≥ 1 . Luego esta implicación es x A ≥ 1 ⇒ xB ≥ 1 Esta condición no se puede introducir directamente en un problema lineal porque hace que la estructura del problema (el que se considere o no una restricción más xB ≥ 1 ) depende de que se cumpla otra ( xA ≥ 1) y esto sólo se conoce una vez que se ha determinado la solución óptima. Un problema de optimización no se puede redefinir endógenamente, es decir, en función de los propios valores que toman las variables del problema. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 36 Restricciones disyuntivas (i) Pareja de restricciones donde sólo una (cualquiera de las dos) debe satisfacerse, mientras que la otra no es necesario que se cumpla. Debe cumplirse una pero no necesariamente las dos. f ( x) ≤ 0 ó g ( x) ≤ 0 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 37 Restricciones disyuntivas (ii) Queremos cumplir una de estas dos restricciones 3 x1 + 2 x2 ≤ 18 ó x1 + 4 x2 ≤ 16 Añadir M (constante de valor elevado) equivale a relajar la restricción (para variables positivas con coeficientes positivos) Relajo la restricción 1 y satisfago la 2 3 x1 + 2 x2 ≤ 18 + M x1 + 4 x2 ≤ 16 Relajo la restricción 2 y satisfago la 1 3 x1 + 2 x2 ≤ 18 x1 + 4 x2 ≤ 16 + M Mediante variable binaria auxiliar elijo cuál de las dos relajo 3 x1 + 2 x2 ≤ 18 + M δ x1 + 4 x2 ≤ 16 + M (1 − δ ) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL 1 se relaja la ecuación 1 δ = 0 se relaja la ecuación 2 Modelado en optimización lineal entera mixta - 38 Cumplir al menos k de N ecuaciones Se tienen que cumplir al menos k de N (k < N) ecuaciones f1 ( x1 ,…, xn ) ≤ d1 f 2 ( x1 ,…, xn ) ≤ d 2 ⋮ f N ( x1 ,…, xn ) ≤ d N k = 1 y N = 2 es el caso anterior Formulación f1 ( x1 ,…, xn ) ≤ d1 + M δ1 f 2 ( x1 ,…, xn ) ≤ d 2 + M δ 2 ⋮ f N ( x1 ,…, xn ) ≤ d N + M δ N N ∑δ i =1 i = N −k δ i ∈ {0,1} i = 1,..., N ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 39 Seleccionar uno entre N valores La ecuación se debe cumplir para exactamente uno de los valores d1 d f ( x1 ,…, xn ) = 2 ⋮ d N Formulación N f ( x1 ,…, xn ) = ∑ d iδ i i =1 N ∑δ i =1 i =1 δ i ∈ {0,1} i = 1,..., N ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 40 Implicaciones sencillas Retomemos el ejemplo de la restricción que aparecía en el problema de coste fijo x ≤ M δ siendo M una cota superior positiva de x y δ la variable binaria. Si δ = 1 la restricción no obliga a nada ya que x ≤ M se cumple por definición. Si δ = 0 entonces x ≤ 0 . Luego esta restricción permite modelar la implicación δ = 0 ⇒ x ≤ 0 Por otra parte, si x > 0 entonces δ = 1. Si x ≤ 0 la restricción no obliga a nada. x > 0 ⇒ δ = 1 Ambas son implicaciones equivalentes puesto que P → Q es equivalente a No Q → No P δ = 0 ⇒ x ≤ 0 x ≤ Mδ x > 0 ⇒ δ = 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 41 Implicaciones sencillas (ii) De forma análoga veamos la restricción x ≥ mδ siendo m una cota inferior negativa de x y δ la variable binaria. Si δ = 1 la restricción no obliga a nada ya que x ≥ m se cumple por definición. Si δ = 0 entonces x ≥ 0 . Luego esta restricción permite modelar la implicación δ = 0 ⇒ x ≥ 0 Por otra parte, si x < 0 entonces δ = 1 . Si x ≥ 0 la restricción no obliga a nada. x < 0 ⇒ δ = 1 Nuevamente ambas son implicaciones equivalentes puesto que P → Q es equivalente a No Q → No P δ = 0 ⇒ x ≥ 0 x ≥ mδ x < 0 ⇒ δ = 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 42 Implicación de restricción La implicación ≤ (i) δ =1→ ∑ajxj ≤ b j se modela como ∑j a j x j ≤ b + M (1 − δ ) siendo M una cota superior de la restricción para cualquier valor de cualquier x j ∑ j ajxj − b ≤ M Efectivamente de manera directa se deduce que si δ = 1 se impone la restricción original y si δ = 0 no implica nada (se relaja la restricción original). Análogamente al caso anterior esta restricción también representa la implicación ∑ a j x j > b → δ = 0 j ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 43 Implicaciones de una restricción La implicación ∑a x j j ≤ (ii) ≤ b →δ =1 j se puede transformar en δ = 0 → ∑ j a j x j > b δ = 0 → ∑ jajxj ≥ b +ε o bien en ∑j a j x j ≥ b + ε + (m − ε )δ que es equivalente a siendo m una cota inferior de la restricción para cualquier valor de cualquier x j ∑ j ajxj − b ≥ m ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 44 Implicaciones de una restricción ≥ (i) De manera simétrica se pueden representar las implicaciones con restricciones de tipo mayor o igual. La implicación δ = 1 → ∑ a j x j ≥ b j es equivalente a a x ≥ b + m(1 − δ ) ∑ j j j siendo m una cota inferior de la restricción para cualquier valor de cualquier x j , ∑ j a j x j − b ≥ m . Efectivamente de manera directa se deduce que si δ = 1 se impone la restricción original y si δ = 0 no implica nada (se relaja la restricción original). Análogamente al caso anterior esta restricción también representa la implicación ∑a x j j <b→δ =0 j ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 45 Implicaciones de una restricción ≥ (ii) La implicación ∑ a j x j ≥ b → δ = 1 j se puede transformar en o bien en que es equivalente a δ = 0 → ∑ jajxj < b δ = 0 → ∑ jajxj ≤ b −ε ∑a x j j ≤ b − ε + ( M + ε )δ j siendo M una cota superior de la restricción para cualquier valor de cualquier x j , ∑ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL j ajxj − b ≤ M Modelado en optimización lineal entera mixta - 46 Implicaciones de una restricción = (i) Para deducir las implicaciones de restricciones igualdad se transforman en ecuaciones de tipo mayor o igual y menor o igual simultáneamente. La implicación δ = 1 → ∑ajxj = b j es equivalente a δ = 1 → ∑a j x j ≤ b j δ = 1 → ∑a j x j ≥ b j Luego se representa por las ecuaciones ∑a x j j ≤ b + M (1 − δ ) j ≥ b + m(1 − δ ) j ∑a x j j Efectivamente para δ = 1 se cumplen ambas restricciones y para δ = 0 ambas restricciones se relajan. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 47 Implicaciones de una restricción = (ii) La implicación ∑ a j x j = b → δ = 1 j es una combinación de los casos anteriores simultáneamente ∑a x j j ≤ b →δ′ =1 j ≥ b → δ ′′ = 1 j ∑a x j j y además δ ′ = 1 y δ ′′ = 1 → δ = 1 que se modela con las restricciones ∑ a j x j ≥ b + ε + (m − ε )δ ′ j ∑a x j j ≤ b − ε + ( M + ε )δ ′′ j y otra restricción adicional que indique el cumplimiento de ambas. δ ′ + δ ′′ − δ ≤ 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 48 Implicaciones dobles Para formular implicaciones dobles éstas se desdoblan en las implicaciones unidireccionales correspondientes. δ = 1 ↔ ∑ajxj ≤ b j es equivalente a δ = 1 → ∑ a j x j ≤ b j ∑ a j x j ≤ b → δ = 1 j y lo mismo para los otros tipos de restricciones. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 49 δ = 1 → ∑a jx j ≤ b j ∑a x j j ≤ b →δ =1 j δ = 1 → ∑a jx j ≥ b ∑a x j j j ≥ b →δ =1 j δ = 1 → ∑a jx j = b j ∑a x ∑a x ∑a x ∑a x j j ≤ b + M (1 − δ ) j j j j j ≥ b + m(1 − δ ) j j ≤ b − ε + ( M + ε )δ j ≤ b + M (1 − δ ) j ≥ b + m(1 − δ ) j ≥ b + ε + ( m − ε )δ ′ j j j ∑a x j j ∑a x j j j = b →δ =1 ∑a x j j j ≤ b + M (1 − δ ) ∑a x j j ≥ b + ε + ( m − ε )δ j ≥ b + m(1 − δ ) j ≤ b − ε + ( M + ε )δ j ≤ b + M (1 − δ ) j ≥ b + m(1 − δ ) j ≥ b + ε + ( m − ε )δ ′ j ≤ b − ε + ( M + ε )δ ′′ j j j ∑a x j ≥ b + ε + ( m − ε )δ j ∑a x δ = 1 ↔ ∑a jx j ≤ b j ∑ a j x j ≤ b − ε + ( M + ε )δ ′′ j δ ′ + δ ′′ − δ ≤ 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL δ = 1 ↔ ∑a jx j ≥ b j ∑a x j j ∑a x j j δ = 1 ↔ ∑a j xj = b j ∑a x j j ∑a x j j ∑a x j j ∑a x j j δ ′ + δ ′′ − δ ≤ 1 Modelado en optimización lineal entera mixta - 50 Equivalencias entre proposiciones condicionales y/o compuestas Pueden utilizarse para transformar las implicaciones antes de convertirlas en restricciones lineales P→Q No P o Q P → (Q y R) (P → Q) y (P → R) P → (Q o R) (P → Q) o (P → R) (P y Q) → R (P→ R) o (Q → R) (P o Q) → R (P→ R) y (Q → R) no (P o Q) no P y no Q no (P y Q) no P o no Q ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 51 Implicaciones Una implicación se puede expresar mediante restricciones disyuntivas f ( x) > 0 ⇒ g ( x) ≤ 0 Es equivalente a f ( x) ≤ 0 ó g ( x) ≤ 0 f(x) <= 0 g(x) <=0 F V V F F F V V V V F V ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL f(x) > 0 g(x) <=0 V V V V F F F V V F F V Modelado en optimización lineal entera mixta - 52 Proposiciones condicionales y/o compuestas sencillas X1 o X2 Xi restricción i, δi variable binaria que indica la satisfacción de la restricción i X1 y X2 La primera fila dice que se debe cumplir la no X1 restricción 1 ó la 2 (o ambas), luego X1 → X2 efectivamente al menos una de las dos X1 ↔ X2 variables δ1 y δ2 debe tomar valor 1 y la forma de expresarlo con una ecuación lineal es δ1 + δ 2 ≥ 1 Además tiene que haber una restricción que diga que si se satisface la restricción i entonces δ i = 1 xi > 0 → δ i = 1 δ1 + δ2 ≥ 1 δ1 = 1, δ2 = 1 δ1 = 0 δ1 - δ2 ≤ 0 δ1 - δ2 = 0 Esa condición ha surgido ya para el problema de coste fijo y su modelado como restricción lineal era δ i = 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 53 Proposiciones condicionales y/o compuestas complejas Las proposiciones condicionales y/o compuestas más complejas se separan en una doble implicación para poder obtener las restricciones lineales de manera automática. Por ejemplo, ( X A o X B ) → ( X C o X D o X E ) se modela como δA + δB ≥ 1 → δC + δD + δE ≥ 1 se transforma en la doble implicación δA + δB ≥ 1 → δ = 1 → δC + δD + δE ≥ 1 que es equivalente a δA + δB ≥ 1 → δ = 1 δ = 1 → δC + δD + δE ≥ 1 Veamos cómo se modela cada una de estas implicaciones ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 54 Ejemplo Si se fabrica el producto A o B (o ambos) entonces debe fabricarse también al menos uno de los productos C, D o E. Xi restricción de fabricación del producto i δi=1 variable binaria asociada a satisfacer la restricción i ( X A o X B ) → ( XC o X D o X E ) δA + δB ≥ 1 → δ = 1 δ = 1 → δC + δD + δE ≥ 1 δ A + δ B − 2δ ≤ 0 −δ C − δ D − δ E + δ ≤ 0 Formulación δ A + δ B − 2δ ≤ 0 −δ C − δ D − δ E + δ ≤ 0 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 55 Formulación alternativa ( X A o X B ) → ( XC o X D o X E ) equivale a [ X A → ( X C o X D o X E )] y [ X B → ( X C o X D o X E )] δ A ≥ 1 → δC + δD + δE ≥ 1 δ B ≥ 1 → δC + δD + δE ≥ 1 δ A ≥ 1 → δ = 1 → δC + δD + δE ≥ 1 δ B ≥ 1 → δ = 1 → δC + δD + δE ≥ 1 Formulación: X i ≤ M δi δA −δ ≤ 0 δB −δ ≤ 0 −δ C − δ D − δ E + δ ≤ 0 δ i ∈ {0,1} , δ ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 56 Selección del equipo de baloncesto Un entrenador de baloncesto tiene 9 jugadores, a los que ha evaluado de 1 a 3 de acuerdo con su manejo de pelota, tiro, rebote y defensa, según se indica en la tabla adjunta. Jugador Posiciones Manejo de pelota Tiro Rebote Defensa 1 Pivot 2 1 3 3 2 Base 3 3 1 2 3 Pivot, Alero 2 3 2 2 4 Alero, Base 1 3 3 1 5 Pivot, Alero 1 3 1 2 6 Alero, Base 3 1 2 3 7 Pivot, Alero 3 2 2 1 8 Pivot 2 1 3 2 9 Alero 3 3 1 3 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 57 El equipo titular de 5 jugadores debe tener la máxima capacidad defensiva y satisfacer las siguientes condiciones: 1. Por los menos dos jugadores deben estar en disposición de actuar de pivot, al menos dos de alero y por lo menos uno de base. 2. Su nivel medio, tanto en el manejo de pelota como de tiro y rebote, debe ser no inferior a 2. 3. Si juega el jugador 3, entonces el jugador 6 no puede estar en pista. 4. Si el jugador 1 está en el equipo titular, también deberá estar el 4 ó el 5, pero en este caso no los dos a la vez. Si el jugador 1 no está en el equipo titular, 4 y 5 pueden hacerlo, si interesa. 5. El jugador 8 ó el 9, pero no los dos a la vez, deben formar parte del equipo. Formular un programa lineal que facilite la selección del equipo titular. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 58 max 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 + 2x 5 + 3x 6 + x 7 + 2x 8 + 3x 9 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 = 5 x 1 + y 3 p + y5 p + y7 p + x 8 ≥ 2 La solución resulta ser y 3a + y 4a + y5a + y 6a + y7a + x 9 ≥ 2 x 2 + y 4b + y6b ≥ 1 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 + x 5 + 3x 6 + 3x 7 + 2x 8 + 3x 9 ≥ 10 x1 = x2 = x3 = x5 = x8 = 1 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + x 6 + 2x 7 + x 8 + 3x 9 ≥ 10 y el resto 0 3x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 + x 5 + 2x 6 + 2x 7 + 3x 8 + x 9 ≥ 10 x3 + x6 ≤ 1 x 4 + x 5 ≤ 2 − x1 x 4 + x 5 ≥ x1 x8 + x9 = 1 y 3 p + y 3a − x 3 = 0 y 4a + y 4b − x 4 = 0 y5 p + y5a − x 5 = 0 y6a + y 6b − x 6 = 0 y 7 p + y 7a − x 7 = 0 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL i ik x , y ∈ {0,1} Modelado en optimización lineal entera mixta - 59 Productos con variables binarias δ1 δ2 = 0 δ1 = 0 o δ2 = 0 δ i ∈ {0,1} δ1 δ2 Reemplazar δ1 δ2 por δ3 δ i ∈ {0,1} δ3 =1 ↔ δ1 =1 y δ2 =1 xδ x≥0 δ ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL δ1′ + δ 2′ ≥ 1 δ1 + δ1′ = 1 δ 2 + δ 2′ = 1 δ i , δ i′ ∈ {0,1} δ 3 ≤ δ1 δ3 ≤ δ2 δ1 + δ 2 ≤ 1 + δ 3 δ i ∈ {0,1} Reemplazar xδ por y δ =0→ y =0 δ =1→ y = x y≥0 y ≤ Mδ −x + y ≤ 0 x − y + Mδ ≤ M x≤M Modelado en optimización lineal entera mixta - 60 CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 61 Mínimo o máximo de variables min z min z ⇒ z ≥x z = max(x , y ) z ≥y max z max z ⇒ z ≤x z = min(x , y ) z ≤y ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 62 Valor absoluto z≤x ⇒ −x ≤ z ≤ x ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 63 CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 64 Modelado de poligonales La poligonal se define como un conjunto de segmentos s Debemos estar sobre la poligonal g ( x ) (restricción de igualdad) Se supone que la abscisa del primer segmento es el origen b0=0 g ( x) cs fs x bs-1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL bs Modelado en optimización lineal entera mixta - 65 Tres posibles modelados Modelados 1. Incremental 2. De selección múltiple 3. De combinación convexa Las relajaciones LP de las tres formulaciones son equivalentes Cualquier solución factible de una relajación corresponde a una solución factible de las otras con el mismo coste ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 66 Modelado incremental Se define z s como la carga o uso de cada segmento s x z = ∑s La carga o valor total será El segmento s+1 tiene carga 0 a menos que el anterior esté lleno. z s+1 > 0 si y sólo si z s = b s − b s −1 Se introducen variables binarias s 1 si z >0 ys = 0 en otro caso Formulación del problema como fˆ s = ( f s + c s b s −1 ) − ( f s −1 + c s −1b s −1 ) siendo la diferencia en coste en el punto de intersección de segmentos s-1 y s ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL ( g ( x ) = ∑ c s z s + fˆ s y s s ) x = ∑ zs (b s s − b s −1 ) y s +1 ≤ z s ≤ ( b s − b s −1 ) y s y s ∈ {0,1}, y S +1 = 0 Modelado en optimización lineal entera mixta - 67 Modelado de selección múltiple Se define z s como la carga total si x está en dicho segmento s x z = ∑s La carga o valor total será Si la carga total cae en un segmento, para dicho segmento z s = x y para el resto z s = 0 Se introducen variables binarias s 1 si z >0 ys = 0 en otro caso Formulación del problema como g ( x) = ∑ ( c s z s + f s y s ) s x = ∑ zs s b s −1 y s ≤ z s ≤ b s y s ∑y s ≤1 s y s ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 68 Modelado de combinación convexa Cualquier punto de segmento es combinación lineal convexa de sus extremos con pesos µ s , λ s Formulación del problema g ( x ) = ∑ µ s ( c s b s −1 + f s ) + λ s ( c s b s + f s ) s x = ∑ ( µ s b s −1 + λ s b s ) s µs + λ s = ys ∑y s ≤1 s µ s , λ s ≥ 0, y s ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 69 CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 70 Maximización de una función objetivo. Región cóncava Sea el problema de optimización con región factible cóncava z z ≤ b2 + a2 x z* z ≤ b3 + a3 x z ≤ b1 + a1 x Formulación LP x* x max z z ≤ b1 + a1 x z ≤ b2 + a2 x z ≤ b3 + a3 x x, z ≥ 0 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 71 Maximización de una función objetivo. Región no cóncava (i) Sea el problema de optimización con región factible no cóncava z z z ≤ b2 + a2 x * z ≤ b3 + a3 x z ≤ b4 + a4 x z ≤ b1 + a1 x x* ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL x Modelado en optimización lineal entera mixta - 72 Maximización de una función objetivo. Región no cóncava (ii) Formulación LP max z z ≤ b1 + a1 x z ≤ b2 + a2 x z z ≤ b3 + a3 x z ≤ b4 + a4 x z ≤ b2 + a2 x z ≤ b3 + a3 x x, z ≥ 0 z ≤ b4 + a4 x z* z ≤ b1 + a1 x x* ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL x Modelado en optimización lineal entera mixta - 73 Maximización de una función objetivo. Región no cóncava (iii) Se divide la región factible no cóncava en regiones factibles cóncavas y se utiliza una variable binaria (de selección múltiple) para elegir la región factible 1 si estamos en la región s y = 0 en otro caso s z z ≤ b2 + a2 x z ≤ b3 + a3 x z ≤ b4 + a4 x z ≤ b1 + a1 x xs b s −1 x b s +1 bs ys = 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL x s +1 ys+1 = 1 Modelado en optimización lineal entera mixta - 74 Maximización de una función objetivo. Región no cóncava (iv) Región s max z z ≤ b1 y s + a1 x s + b3 y s +1 + a3 x s +1 z ≤ b2 y + a2 x + b4 y s s s +1 + a4 x Región s+1 s +1 x = ∑ xs s b s −1 y s ≤ x s ≤ b s y s ∀s ∑y s Para toda región ≤1 s x, z , x s ≥ 0, y s ∈ {0,1} Si estamos en s y s = 1, y s +1 = 0 max z z ≤ b1 + a1 x s Si estamos en s+1 y s = 0, y s +1 = 1 max z z ≤ b3 + a3 x s +1 z ≤ b2 + a2 x s z ≤ b4 + a4 x s +1 x = xs x = x s +1 x s +1 = 0 xs = 0 b s −1 ≤ x s ≤ b s b s ≤ x s +1 ≤ b s +1 x, z , x s ≥ 0 x, z , x s +1 ≥ 0 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 75 CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 76 SOS1 y SOS2 SOS1: conjunto de variables en el que una única variable debe ser diferente de 0 SOS2: conjunto de variables en el que como mucho dos variables deben ser diferentes de 0 y deben ser consecutivas Caso ejemplo: gestión del mantenimiento programado de grupos de generación ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 77 Gestión del mantenimiento programado Hipótesis: Se supone que el mantenimiento de cada grupo dura un número entero de periodos. p −1 p p +1 p+2 La gestión del mantenimiento programado involucra variables y restricciones interperiodo: Las decisiones tomadas para un cierto periodo p afectan a los periodos adyacentes. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 78 Gestión del mantenimiento programado Información relevante de cara a decidir el mantenimiento programado: Duración del mantenimiento de cada grupo t: M t (expresado en número de periodos). Deben ser consecutivos ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 79 Gestión del mantenimiento programado Variables de decisión interperiodo: Grupo indisponible por mantenimiento: 1: grupo t indisponible por mantenimiento en p i pt = 0:en otro caso Puesta en marcha y parada del mantenimiento: 1: el mantenimiento del grupo t comienza en p a pt = 0: en otro caso 1: el mantenimiento del grupo t termina en p p pt = 0: en otro caso ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 80 Gestión del mantenimiento programado Contigüidad de los periodos de mantenimiento: Formulación 1: ∑ iqt ≥ Mt apt ∀p, t p≤q< p+Mt ip−1t − ipt + apt ≥ 0 ∀p, t ∑apt ≤ 1 ∀t p Ejemplo: se empieza el mantenimiento en p = 3 y debe durar Mt = 4 periodos: a3t = 1 ∑i 3≤q≤6 qt = i3t + i4t + i5t + i6t ≥ 4 ⇒ i3t = i4t = i5t = i6t = 1 i2t ≤ a2t + i1t =0+0=0 ⇒ i2t = 0 i3t ≤ a3t + i2t =1+0=1 ⇒ i3t ≤ 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 81 Gestión del mantenimiento programado Contigüidad de los periodos de mantenimiento: Formulación 2: apt = pp+Mt ∀p, t ip−1t − ipt + apt − ppt = 0 ∀p, t ∑( apt + ppt ) ≤ 2 ∀t p Ejemplo: se empieza el mantenimiento en p = 3 y debe durar Mt = 4 periodos a3t = 1 a3t − p7t = 0 ⇒ 1 − p7t = 0 ⇒ p7t = 1 i2t = 0 i2t − i3t + a3t − p3t = 0 ⇒ i2t − i3t + 1 − 0 = 0 ⇒ i3t = 1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 82 CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PROBLEMA DE COSTE FIJO PROPOSICIONES LÓGICAS MÍNIMO, MÁXIMO, VALOR ABSOLUTO PIECEWISE LINEAR (master) CONVEX AND NONCONVEX REGION (master) SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 83 Reformulación La mayoría de problemas MIP se pueden formular de diferentes maneras En problemas MIP, una buena formulación es crucial para resolver el modelo Medida de la bondad de la formulación: intervalo de integralidad (integrality gap) diferencia entre f.o. de problema MIP y el relajado (LP) Dadas dos formulaciones equivalentes de un problema MIP, se dice que una es más fuerte (mejor) que la otra, si la región factible de su relajación lineal está estrictamente contenida en la región factible de la otra. El intervalo de integralidad es menor. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 84 Problema de localización de una instalación (sin límites) (i) Elegir dónde poner instalaciones entre un conjunto de localizaciones y asignar los clientes a dichas instalaciones minimizando el coste total. Sin límites significa que no hay límite en el número de clientes asignados a una instalación. Datos j emplazamientos, i clientes c j coste de localizar en j , hij coste de satisfacer la demanda del cliente i desde j Variables 1 la instalación se coloca en j yj = 0 cualquier otro caso xij fracción de demanda de cliente i satisfecha desde instalación en j Formulación I min ∑ c j y j + ∑ hij xij j ∑x ij ij = 1 ∀i j xij ≤ y j ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL ∀ij y j ∈ {0,1} , xij ∈ [ 0,1] Número de restricciones: I+IJ Modelado en optimización lineal entera mixta - 85 Problema de localización de una instalación (sin límites) (ii) Formulación II min c y + h x ∑ j j ∑ ij ij j ∑x ij ij = 1 ∀i Número de restricciones: I+J j ∑x ij ≤ My j ∀j i y j ∈ {0,1} , xij ∈ [ 0,1] Ambas formulaciones son MIP equivalentes. Sin embargo, la formulación I es mucho más fuerte Intuitivamente cuantas más restricciones peor. Esto es verdad en LP. Sin embargo, en muchos problemas MIP cuantas más restricciones mejor. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 86 Problema de producción con coste fijo e inventario (i) Datos t periodo de tiempo ct coste fijo de producción, pt coste variable de producción, ht coste de inventario d t demanda Variables 1 producir yt = 0 no producir xt cantidad producida st inventario al final del periodo Formulación I min ∑ ( ct yt + pt xt + ht st ) t st −1 + xt = d t + st xt ≤ Myt ∀t ∀t s0 = sT = 0 Número de restricciones: 2T Número de variables: 3T xt , st ≥ 0, yt ∈ {0,1} ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 87 Problema de producción con coste fijo e inventario (ii) Variables 1 producir yt = 0 no producir qit cantidad producida en periodo i para satisfacer la demanda en periodo t ≥ i Formulación II T t T min ∑∑ ( pi + hi + hi +1 + ⋯ + ht −1 ) qit + ∑ ct yt t =1 i =1 t ∑q i =1 it = dt qit ≤ d t yi t =1 ∀t ∀it Número de restricciones: T+IT Número de variables: T+T2/2 qit ≥ 0, yt ∈ {0,1} La formulación II es mejor. Sin embargo, tiene un mayor número de restricciones y variables. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 88 Criterios para reformulación Puede ser interesante aumentar el número de variables si se puede hacer uso de ellas en la estrategia de ramificación del B&B. Por ejemplo, división “artificial” de una zona en regiones N, S, E y O para ramificar primero en estas variables zonales. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 89 Programación diaria fuerte y compacta G. Morales-España, J.M. Latorre, and A. Ramos Tight and Compact MILP Formulation of Start-Up and Shut-Down Ramping in Unit Commitment IEEE Transactions on Power Systems 10.1109/TPWRS.2012.2222938 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 90 Andrés Ramos http://www.iit.comillas.edu/aramos/ [email protected] ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Modelado en optimización lineal entera mixta - 91
