Teorema del Valor Medio para Funciones de Varias Variables

Teorema del Valor Medio para Funciones de Varias Variables
Sea f : U ⊂ Rn → R una función definida en el conjunto abierto u de Rn . Si x0 , y0 ∈ U se
pide que el conjunto U sea tal que [x0 , y0 ] ⊂ U . Sea U un vector unitario en la dirección del
vector y0 − x0 . Si la función f es continia en los puntos del segmento [x0 , y0 ] y tiene derivadas
direccionales en la dirección del vector U en los puntos del segmento (x0 , y0 ), entonces existe θ
∂f
0 < θ < 1 tal que f (x0 + hu) − f (x0 ) =
(x0 + θhu)h donde h = ky0 − x0 k.
∂u
Demostración: Considere la función φ : [0, h] → R dada por φ(t) = f (x0 + tu) ciertamente la
función φ es continua en [0, h] pues f lo es en [x0 , y0 ]. Ademas
φ(t + h) − φ(t)
h→0
h
φ0 (t) = lı́m
f (x0 + (t + h)u) − f (x0 + tu)
h→0
h
= lı́m
f (x0 + tu + hu) − f (x0 + tu)
h→0
h
= lı́m
=
∂f
(x0 + tu)
∂u
de modo que para t ∈ (0, 1) φ0 (t) existe y es la derivada direccional de f en x0 + tu ∈
(x0 , y0 ) en la dirección del vector u. Aplicando entonces el teorema del valor medio a la
función φ, concluimos que existe un múmero θ ∈ (0, 1) que da φ(h) − φ(0) = φ0 (θh)h
es decir de modo que
f (x0 + hu) − f (x0 ) =
∂f
(x0 + θtu)h
∂u
∂f
(x + θh, y + θk)h +
∂x
x = y = 0 h = 12 , k = 14 . Tenemos que
Ejemplo: Hallar un valor θ para el cual f (x + h, y + k) − f (x, y) =
∂f
(x + θh, y + θk)k. Si f (x, y) = xy + y 2
∂y
2
1 1
1
1
1
1
1
3
f (x + h, y + k) = f
,
=
+
= +
=
2 4
2
4
4
8 16
16
1
∂f
=y
∂x
∂f θ
=
∂x ( θ , θ ) 4
⇒
2 4
∂f
= x + 2y
∂y
⇒
θ θ
∂f = + =θ
∂y ( θ , θ ) 2 2
2 4
∴
1
3θ
∂f ∂f 1 θ
+ (θ) =
h
+k
=
∂x ( θ , θ )
∂y ( θ , θ ) 2 4
4
8
2 4
∴
2 4
3θ
3
=
8
16
⇒
θ=
1
2
Ejemplo: De un ejemplo de funcion vectorial que cumpla el teorema del valor medio y otra
que no lo cumpla.
En el segmento de extremos (0, 0) y (1, 1) la función de R2 en R2 definida por f (x, y) =
(x2 − y 2 + 1, x2 + 2y) cumple el teorema del valor medio f ((0, 0) − (1, 1)) − f (0, 0) =
f (1, 1) − f (0, 0) = (1, 3) − (1, 0) = (0, 3)


2x −2y 
Dfα,β (1, 1) = 
2x 2

∴
∴

2α −2β
2α
2


1
1


=
2α − 2β

=
(α,β)
2α −2β
2α
2




2α + 2
2α − 2β = 0
2α + 2 = 3
−2α + 2β = 0
∴
2α + 2 = 3
1
β=
2
y
1
α=
2
y
(α, β) =
1 1
,
2 2
2β + 2 = 3
pertenece al segmento (0, 0)(1, 1)
En el segmento de extremos (0, 0)(1, 1) la función de R2 → R2 definida por
f (x, y) = (2x2 − y 3 , x2 + 2y 3 )
2
No cumple el teorema del valor medio f (1, 1) − f (0, 0) = (1, 3) − (0, 0) = (1, 3)

  



1
4α − 3β 2
4α −3β 2
4x −3y 2 
  = 

(1, 1) = 
Dfα,β (1, 1) = 
2
2
2
2α + 6β
2α 6β
1
2x 6y
(α,β)
8α − 6β 2 = 2
2
∴
4α − 3β = 1
2α + 4β 2 = 3
⇒
2α + 6β 2 = 3
⇒
α=
5
1
=
10
2
10α = 5
1
β = ±√
3
1 1
1
1
,√
y
, −√
no pertenecen al segmento (0, 0)(1, 1)
y los puntos
2 3
2
3
∴
3