Determinación de la inclinación y la pendiente
·La inclinación se puede determinar por simple inspección cuando la pendiente de la recta
tiene algunos valores particulares.
Si la Inclinación es 45|: Se determina a partir de un
cuadrado
m=
a
1 y la inclinación es entonces: α=45
a
si la inclinación es de 135|. Entonces la pendiente m=-1
En la figura,
Para 30° . la pendiente es
m=
a
a 3
1
3 1 3
*
3
3
3
la pendiente para 60° es entonces : 3
Se deduce también que la pendiente de 120° es: - 3
Resumen:
m=1=α=45º
m=-1, si α=135º
m=
1
3 , si α=30º
3
m=-
1
3 , si α=150º
3
m= 3 si α=60º
m=- 3 , si α=120º
Obs:
1.- Lo valores de las pendientes para ángulos de múltiplos de 15| , se pueden determinar también
por simple inspección.
2.-Solo con estos valores se pueden determinar los parámetros de la pendiente y la inclinación por
simple inspección
Problemas de Aplicación:
1) si la pendiente de una recta es - 3 ¿Cuál es su inclinación?
R- 120º
2) si la pendiente de una recta es m=
23 3
¿Cuál es la inclinación?
23 3
R-
45º
3) ¿Cuál es la inclinación de la bisectriz del primer y tercer cuadrante?
R-
45º
4) ¿Cuánto vale la pendiente de la bisectriz?
R-
1
5) ¿Cuánto vale la pendiente de la bisectriz del 2 y 4 cuadrante?
R-
-1
6) En las figuras ¿Cuánto vale la pendiente de cada una de las rectas?
Calcule la inclinación y pendiente de la recta que pasa por los puntos.
1- P (1,4)
Q (3,6)
2- P (-1,4)
Q (-5,0)
3- P (1+√3,2)
Q (1,1)
4- P (5, 3+2√3)
Q (3,-3)
5- P (-7,1)
Q (4, 1+11√3)
6- P (2,5)
Q (-3,0)
7- P (2√2,-2√2)
Q (3√2,-√2)
8- P (4-5√3,2)
Q (4-2√3,-1)
9- P (1,3+4√3)
Q (-5,3-2√3)
10- P (0,√3)
Q (1,0)
11- P (-√3,0)
Q (0,1)
12- P (0,4)
Q (4√3,0)
Respuestas:
1- m=1
ℓ=45°
2- m=1
ℓ=45°
3-
5- m=√3
ℓ=60°
6- m=1
ℓ=45°
7- m=1
9- m=√3
ℓ=60°
10- m=√3 ℓ=120°
ℓ=45°
11- m=√3 ℓ=30°
En cada grafico determine la pendiente y la inclinación.
4- m=√3
ℓ=60°
8- m=√3
ℓ=60°
12-m=⅓√3 ℓ=30°
Respuestas:
1. m=1
ℓ=45°
2. m=⅓√3 ℓ=30°
5. m=
ℓ=
6. m =
3. m=1
ℓ=45°
4. m=0,65 ℓ=33°
ℓ=
Con calculadora científica:
1.
P (2,3)
Q (5,8)
2.
P (-2,4)
Q(3,7)
4.
P (2,-3)
Q(-1,7)
5.
P ( 8,6)
Q (-4,1)
3.
P (-2,1)
Q (4,-9)
Determinación de la ecuación de la recta:
Hay distintas métodos para determinar la ecuación de la recta.
1º caso:.
Se conoce la pendiente y un punto contenido en la recta.
Ej.1
1.- Escribir la ecuación de la recta cuya pendiente se
indica y que contiene el punto Po
M: 9
y
Po: (6.4)
Y= mx + b
¿b?
Si P (6.4) Є L
satisface
la ecuación
Po ( 6.4 ) Є L
Y = 9x + b
4= 9 · 6 + b
4= 54 + b
Forma general
b= -50
9x –y – 50 = 0
Ax + By + C = 0
Y= 9x – 50
Forma particular
Ejemplo 2:
m= -¾ y Po (-2.1)
Y= -3/4 + b
1= -3/4 · - 2 +b
1= 3/2 + b
B= 1 – 3/2
B= -1/2
Y= -3/4x – ½
4y = -3x – 2
3x + 4y +2= 0
Ejercicios:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
m=½
m = -3/5
m=6
m = -4
m = 2/7
m=¾
; Po = (2.-3)
; Po = (-1.5)
; Po = (3.-2)
; Po = (4.-1/5)
; Po = (0.4)
; Po = (1/2 . 1/3)
F.P. /·4
Respuestas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
F.P.: Y = 1 /2x + -4 F.G.:1x-8-2y = 0
F.P: Y = -3/5x + 22/5 F.G.: 3x + 5y – 22 = 0
F.P.: Y = 6x – 20 F.G.: 3x + 5y – 22 = 0
F.P.: Y = -4x + 79/5 F.G.: 20x + 5y – 79 =0
F.P.: Y = 2/7x + 4 F.G.: 2x – 7y + 28 = 0
F.P.: Y = 3/5x + 1/30 F.G.: 18x – 30y + 1 = 0
2º caso:
Dado la inclinación y un punto contenido en la recta.
Inclinación
Si = 120º ^ P (2,-1)
-1= -√3 · 2 + b
M=- 3
b = 2√3 – 1
^ P (2,-1)
m
45º
1
135º
-1
30º
1/3 √3
60º
√3
120º
- √3
150º
-1/3 √3
Y=- 3+b
-1=
3.2+b
b=2
3−1
Por lo tanto la ecuación es: y= 3 x+2
3 , que escrita en la forma general: :
3 x-y +2
3=0
Ejercicios de aplicación:
Escriba la ecuación de la recta dada la inclinación y el punto contenido en ella.(grafique)
1. Y = 300º ; P = (1 , √3)
2. Y = 45º ; P = (√3,0)
3. Y = 150º ; P = (1,-2)
4. Y = 210º ; P = (1, 1)
5. Y= 330º ; P = (-√3, 2)
6. Y = 240º ; P = (0, 4)
Ecuación Canónica de la recta.
y
P2
y2
y2 y1
y1
P1
x2 x1
o
Tag φ = y2 y1 = y
x2 x1
x
x1
x2
x
Tag φ = m
y2 y1 m
=
x2 y1 1
Si P2 =(x,y)
P1 = ( x0 , y0 )
y y0 m
x x0 1
y y0 m( x x0 )
Ecuación Canónica.
Considere los puntos:
P(4,5) Q(10,1)
1) ecuación de la recta que contiene los puntos P y Q.
Forma Canónica:
P(4,5) Q(10,1)
m
5 1 4
2
4 10 6
3
2
m , P0 (4,5)
3
2
y 5 ( x 4)
3
2
8
y 5 x / 3
3
3
3 y 15 2 x 8
2 x 3 y 23 0
Comprobación:
2
m ; Q (10,1)
3
2
y xb
3
2
y 10 b
3
20
y b
3
20
b 1
3
23
b
3
F .G. 2 x 3 y 23 0
Distancia entre dos puntos en
2
Pitágoras:
dAB=
(x)2 ) ( y)2
Ejemplo de aplicación
P
5
d 36 16
d
4
1
4
6
d 52
Q
10
P (4,5)
Q(10,1)
PQ (10 4) 2 (1 5) 2
PQ 6 2 (4) 2
PQ 36 16
PQ 52
Dado: A(-2,3) D(6,3) C(4,6) B(1,-5)
1) Calcule el perímetro del cuadrilátero.
2) Determine la ecuación de las diagonales del cuadrilátero.
6
3
13 3
D
45
A
3
2
8
C 2
6
1
4
73
85
5
3
5
6
8
Método: Gráfico.
BD 82 52
BD 64 25
BD 85
CD 22 32
CD 4 9
CD 13
CA 6 2 32
AB 82 32
CA 36 9
AB 64 9
CA 45
AB 73
Perímetro:
73 89 13 45
8,5 9,4 3,6 6,7
28,2u
Método: Analítico: (después de graficar, se definen los trazos).
a (2,3)
c(4,6) AC
c(4,6)
d (6,3)CD
b(1,5)
d (6,3) BD
a (2,3)
b(1,5) AB
AC (6) 2 (3) 2 36 9 45
BD (5) 2 (8) 2 25 64 89
CD (2) 2 (3) 2 4 9 13
AB (3) 2 (8) 2 9 64 73
Punto medio de un trazo en .
2
pm qm
Q
y2
ym
y1
P
m
x1
xm x2
m( xm , y x )
Q
m
y2 y1
ym y1
P
xm x1
1
ym y1
xm x1
2
x2 x1
xm x1
1
x2 x1
2
y m y1
1
y 2 y1
2
x2 x1 2 xm 2 x1
2 xm x1 x2
x1 x2
m
x
xm
xm
m (x, y)
y2 y1
x2 x1
Ejemplo de aplicación.
7
m
m (5,5)
5
3
1
5
9
Ejercicios de aplicación:
1.- Determine el punto medio de cada trazo cuyas coordenadas extremas se indican:
1.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10)
1.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)
1.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8)
1.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)
1.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10)
1.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)
2.- Escriba la ecuación de la recta que contiene los puntos P y Q :
2.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10)
2.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)
2.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8)
2.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)
2.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10)
2.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)
3.- Escriba la ecuación de la simetral al trazo PQ :
3.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10)
3.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)
3.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8)
3.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)
3.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10)
3.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)
4.-Determine la medida del trazo PQ
4.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10)
4.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)
4.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8)
4.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)
4.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10)
4.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)
5.-Calcule el perímetro de cada uno de los polígonos que se indican:
5.1.- A(2,3), B(-3,-6) y C(4,7)
5.2.- A(2,6), B(-1,-10) y C(3,5)
5.3.- A(-2,3), B(3,-6) y C(4,7)
5.4.- A(-5.5), B(-3,-6) C(2,7) y D(8,2)
5.5.- A(2,6), B(-2,6) C(4,-3) y D(9,3)
6.- Determine el área de cada uno de los polígonos cuyos vértices se indican:
6.1.- A(2,3), B(-3,-6) y C(4,7)
6.2.- A(2,6), B(-1,-10) y C(3,5)
6.3.- A(-2,3), B(3,-6) y C(4,7)
6.4.- A(-5.5), B(-3,-6) C(2,7) y D(8,2)
6.5.- A(2,6), B(-2,6) C(4,-3) y D(9,3)
0
