Análisis de estabilidad del sistema de control borroso adaptable del

• Análisis de estabilidad del sistema de control borroso adaptable del proceso de vaciado continuo de acero •
Análisisdeestabilidaddelsistemadecontrol
borrosoadaptabledelprocesodevaciadocontinuo
deacerodeACINOX–LasTunas
Stabilityanalysisoftheadaptivefuzzycontrolsystemof
thecontinuouscastingprocessofsteelofACINOX–LasTunas
LisBeatrizGoveaMoreno*,MercedesRamírezMendoza**yGuillermoGonzálezYero***
Fechaderecepción:octubre16de2014-Fechaaceptado:noviembre28de2014
Abstract
Stabilitytheoryplaysacentralroleinsystemstheoryandengineering,isconsideredthemostimportantqualitativepropertyoflinearcontrolsystemssoif
asystemdoesnotfulfillthiscondition,therestofthespecificationsaremeaningless.Infact,mostsystemdesignsareaimeddirectlyorindirectlytoobtain
stablesystemstothepointthatitissenselesstospeakofacontrolsystemifit
isnotstable.Indynamicsystems,therearedifferenttypesofstabilityproblems
andtoanalyzethem,Lyapunovtheoryhasaprominentplace.Inthispaperthe
stabilityanalysisofthecontrolsystemisdoneinmoldlevelwithfuzzyadaptationprocessproposedforthecontinuouscastingofsteelfactoryAcinoxLas
Tunas,wherewillbeappliedfirstandthesecondLyapunov’smethods.
Keywords:Lyapunovstability,stabilityanalysis,fuzzysystems,adaptivecontrol.
Resumen
Lateoríadeestabilidadjuegaunrolcentralenlateoríadesistemaseingeniería,
seconsideralapropiedadcualitativamásimportantedelossistemasdecontrol
linealesportanto,siunsistemanocumpleconestacondición,elrestodelas
especificaciones carecen de sentido. De hecho, la mayoría de los diseños de
sistemasestándirigidos,directaoindirectamentealaobtencióndesistemas
estables,hastatalpuntoquenotienesentidohablardesistemadecontrolsi
éstenoesestable.Enlossistemasdinámicosexistendistintostiposdeproblemasdeestabilidadyparaelanálisisdeestos,lateoríadeLyapunovtieneun
lugardestacado.Enesteartículoserealizaelanálisisdeestabilidaddelsistema
decontroldenivelenmoldeconadaptaciónborrosadelprocesodevaciado
continuodeacerodelafábricaAcinoxLasTunas,paraello,seránaplicadosel
primerysegundométododeLyapunov.
Palabras clave:EstabilidaddeLyapunov,análisisdeestabilidad,sistemasborrosos,controladaptable.
*
DepartamentodeControlAutomático,UniversidaddeOriente,[email protected].
cu,IngenieraenAutomática
** Departamento de Control Automático, Universidad de Oriente, mramirez@fie.
uo.edu.cu, Doctora en Ciencias
*** Grupo de Automatización, Empresa Acinox Las Tunas, guillermo@acinoxtunas.
co.cu,IngenieroenAutomática
10
Universidad Antonio Nariño - Revista Facultades de Ingeniería
• Lis Beatriz Govea Moreno, Mercedes Ramírez Mendoza y Guillermo González Yero •
I. introducción
Laestabilidadesunodelosrequisitosdecomportamientomásimportanteentodosistemay
enparticularlosdecontrol.Enañosrecientes,
elinterésenelcontrolborrosohaidoaumentando, pero aún hay cuestiones por resolver,
principalmente en los temas relacionados con
laestabilidadyeldiseñodesistemasborrosos.
Los trabajos del científico ruso Alexander M.
Lyapunov a fines del siglo XIX, relacionados
con la estabilidad, ofrecieron una base teórica
fundamentada en la práctica, que abarca a todos los sistemas.
LaestabilidaddelosPEgeneralmentesecaracterizaenelsentidodeLyapunov.UnPEsedice
establesitodaslassolucionesqueseinicienen
suscercanías,permanecencercanasaél;deotro
modoelPEesinestable.UnPEsediceAsintóticamente Estable (AE) si las soluciones que se
inicien en sus cercanías no sólo permanezcan
cercanas a él, sino que además tienden al equilibrio a medida que el tiempo se aproxima a
infinito[9],[10]y[11].
A. Primer método de Lyapunov
Método Indirecto de Lyapunov – Abarca una
formulaciónprecisadelascuestionesdeestabilidad de modelos lineales de sistemas reales.
FECHA RECIBIDO: OCTUBRE 16 DE 2014
En este sentido han trabajado muchos investigadores,sobretodoapartirdeladécadadelos
FECHA ACEPTADO: NOVIEMBRE 28 DE 2014
90,proporcionandoalalógicaborrosaunabase Teorema1.SeaunPEdelsistemanolinealrepreFECHA
RECIBIDO:no
OCTUBRE
DE 2014
FECHA RECIBIDO:
OCTUBRE 16 DE 2014
2
sentadoen(1).Talque:
en la teoría
de control
lineal.16 De
esta forma,
lazo interno. En e
Teorema
1. Sea 28xDE=2014
0 un PE del sistema no lineal
FECHA ACEPTADO: NOVIEMBRE 28 DE 2014 FECHA ACEPTADO:
NOVIEMBRE
en la válvula tal
comenzaronaaplicarsealossistemasdecontrol
representado
en 16
(1).
FECHA RECIBIDO:
OCTUBRE
DETal
2014que:
cuales
afectan
el
FECHA
ACEPTADO: NOVIEMBRE
28 interno.
DE 2014 En este proceso se producen
borroso, los
métodos
clásicos
análisis
de
la
lazo
lazo
interno.
transformaciones
En este
proce
Teorema
1. Sea
PE
del
Teorema
sistema
1.
no
Sea
lineal
un
PE
del
sistema
no
lineal
xFECHA
= 0deun
x
=
0
RECIBIDO: OCTUBRE 16 DE 2014
f
∂
encuentra
el
or
NOVIEMBRE en
28 DE
en A
la=válvula
la erosión
en(1)
y lala válvula
obstrucción,
tales como
las
( x ) tales
teoríadecontrolnolineal,entrelosquesepuerepresentado en (1). TalFECHA
que: ACEPTADO:
representado
(1).2014
Tal que:
(1)como
tomado
enproce
interno.
Eneleste
Teorema 1. Sea x = 0cuales
un PE
no lineal dellazo
∂x del xsistema
afectan
el
comportamiento
cuales
sistema
afectan
Á
Error!
comporta
No
se cu
=
0
denmencionar:elmétododirectodeLyapunov,
controlador
princ
la proceso
válvula
tales
como
f encuentra
∂f
∂sistema
representado
en (1).
Tal
que:
el origen
deinterno.
la referencia.
encuentra
lo
que
el se
debe
origen
ser
de
lazo
Enen
este
producen
Teorema
1.
Sea
un
PE
del
no
lineal
x
=
0
(1)
(1)
(x)
A=
(x)
=
de
control
adapt
los métodos heurísticos y,A más
recientemente,
Entonces:
cuales
afectan
el
comporta
tomado en cuentaen para
modificar
tomado
la ganancia
enla cuenta
la válvula
tales
como
erosióndelypar
la
x
∂x
∂
representado
en
(1).
Tal
que:
Entonces:
x =0 16 DE 2014
x =0
comportamien
FECHA
RECIBIDO: FECHA
OCTUBRE
RECIBIDO:
16 DE 2014
OCTUBRE
2 del El
f controlador
∂es
encuentra
de
se han
empleado
soluciones
basadas
en LMI’s 1. El origen
A el
λ A ) su
AE
si todos
los autovalores
de bajo
( estudio
principal.
El sistema
controlador
esel
principal.
unorigen
sistema
sis
cuales
afectan
comportamiento
siste
(1)
A
(
x
)
=
FECHA ACEPTADO:
FECHA
NOVIEMBRE
ACEPTADO:
28 DENOVIEMBRE
2014
28 DE 2014
est‡
expuesto,
lo
tomado
enadaptable
cuenta
FECHA
OCTUBRE
DE todos
2014
de AE
control
de
aptitud
control
para
elpar
cu
∂f 1.RECIBIDO:
xnegativa
el de
origen
de
la acomodar
referencia.
El
origen
es
losencuentra
autovalores
Entonces: para garantizar la estabiliEntonces:
como metodología
x =160 si
.el cual posee
tienen
parte
real∂NOVIEMBRE
(28
Radaptable
( λ2014
A = FECHA
( x )ACEPTADO:
par‡
metros
delsis
e (1)
A ) <0)
DE
controlador
principal.
El
su
comportamiento
a
cambios
ocurridos
su
comportamiento
en
el
medio
al
a
que
camb
tomado
en) .cuenta para modificar l
FECHA
RECIBIDO:
OCTUBRE
16los
DE 2014
∂xde
A
ARproducen
λlazo
1. El
origen
siSea
todos
autovalores
1. PE
El origen
si interno.
todos losEnautovalores
de
)no
A(
( λproceso
dadasintóticadelsistemadecontrolborrosoen
A )tienenparterealnegativa
A )<0
xes
=0( AE
adaptado,
en
elcu
lazo
este
interno.
proceso
En
se
transformaciones
se
producen
transformac
e
Teorema
1.
Sea
Teorema
PE xdel
un
del
lineal
xes= AE
0 1.un
= 28
0sistema
de
control
adaptable
el
Entonces:
λeste
parte
real
2.sistema
El
origen
eslineal
inestable
si uno
m‡ controlador
simplica
est‡
expuesto,
loocual
la principal.
necesidad
est‡
expuesto,
modificar
lo bajo
cual
los
imp
FECHA
ACEPTADO:
NOVIEMBRE
DE
2014 no
Elde
sistema
estu
A tiene
en
la
válvula
tales
en
la
como
válvula
la
tales
erosión
como
y
la
la
obstrucción,
erosión
y
la
las
obstrucción
de
un
algoritmo
lazocerrado[1],[2],[3],[4]y[11].
.
.
tienen parte
real
tienen
parte
real
negativa
su
comportamiento
a
camb
(
R
λ
<
0)
(
R
λ
<
0)
representado
en
representado
(1).
Talnegativa
que:en
(1).
Tal
que:
(
)
(
)
lazo
interno.
En
este
Teorema
1.
Sea
un
PE
del
sistema
no
lineal
x
=
0
par‡
metros
deluno
regulador,
enpar‡
este
metros
es
regulador
un aptitu
PI
e
A
einestable
A autovalores
control
elcaso
cualdel
posee
A ( λqueadaptable
1. El origen
es origen
AE si todos
los
demás
)tiene
2. El
es
si
o
Entonces:
positiva (Rcuales
0) .
afectan
cuales
el en
comportamiento
comportamiento
delAsistema
del obtenida
sistema
No
se
Á aError!
partir
e (λ A )>
expuesto,
loque
cual
imp
en
la
válvula
tales
adaptado,
elafectan
que seelajustan
susest‡
adaptado,
par‡Á Error!
metros
en
por
el
medio
se
ajN
su parte
comportamiento
a cambios
ocurridos e
representado
enlineal
(1). Tal
que:
lazo
interno.
En
proceso
se producen
transformacione
Teorema
PE
del
sistema
no
= origen
0
λEl
λAA
tiene
parte
real
tiene
real
2. El
origen es1.inestable
unoun
m‡
2.
sAE
es
inestable
si uno
oencuentra
m‡
A
es
todos
los
autovalores
de
)de
parterealpositiva
(R
)>0
.este
Enelpresenteartículoseanalizarálaestabilidad
Asiorigen
parte
real
negativa
∂fSea1. xElsi
∂of tienen
0)e(s. λdel
condel
participació
encuentra
el
origen
el
la
origen
referencia.
deSistemas
la
lo
referencia.
que
debe
ser
lo
que
par‡
metros
regulador
Teorema
2. (R
(Estabilidad
Origen
en
e (λ
A )<
cuales
afectan
eldeb
com
de
un
algoritmo
borroso
[7].
En
de
la
un
nueva
algoritmo
propuesta,
borroso
est‡
expuesto,
lo
cual
implica
la
necesida
(1)
(1)
en
la
válvula
tales
como
la
erosión
y
la
obstrucción,
la
A
(
x
)
A
(
x
)
=
=
representado en (1). Tal que:
Oriente,
se
ob
tomado
en
cuenta
tomado
para
en
cuenta
modificar
para
la
modificar
ganancia
la
del
ganancia
depuntosdeequilibrio(PE)desistemaslineaadaptado,
en
el
que
se
aj
. x =0parte real
.
positiva (Re ( λ A ) >∂0)
(
R
λ
>
0)
.
negativa
f
∂
(
R
λ
<
0)
xtienen
∂x positiva
(
)
encuentra
el
orige
(
)
λ
de
(2)
es
estable
s’
todos
tienen
Lineales).
El
PE
x
=
0
obtenida
a
partir
de
una
investigaci—
n
obtenida
realizada
a
partir
en
la
de
planta,
una
inv
par‡
metros
del
regulador,
que
en
este
e e es
A Ainestable si uno
λ
tiene
parte
real
2.x =El
o
m‡
s
cuales
afectan
el
comportamiento
del
sistema
Á
Error!
No
s
0 origen
A
A
(1)
A
(
x
)
=
Teorema
2. (Estabilidad
del
en
Sistemas
utilizando
leyes
controlador
principal.
controlador
El Origen
sistema
principal.
bajo
Elestudio
sistema
es
bajo
un
sistema
estudio
esborroso
un
sis
de
un
algoritmo
tomado
ensus
cuenta
con
participación
y
conducción
de
con
la
participación
Universidad
y
de
con
les con base
en su representación
matricial
en
adaptado,
en
el
que
se
ajustan
par‡
f
∂
x
∂
encuentra
el
origen
de
la
referencia.
lo
que
debe
se
Teorema
2. (Estabilidad
del
Origen
Teorema
en
2.
Sistemas
(Estabilidad
del
Origen
en
Sistemas
λ
tiene
parte
real
2.
El
origen
es
inestable
si
uno
o
m‡
s
x
=
0
.
El
PE
es
Globalmente
Asint—
ticamente
x
=
0
R
λ
<0
(
)
A xadaptable
mediante
se–ale
control
dese
control
el es
cual
adaptable
posee
eltodos
cual
para
posee
acomodar
aptitud
para
acom
A=
( x ) positiva (ReeLineales).
( λ AA) >0)de (1)
El
PE
= 0
de
(2)
estable
síaptitud
Entonces:
Entonces:
obtenida
ala
partir
de
una
controlador
principal
Oriente,
obtuvo
validó
un
Oriente,
modelo
se
aproximado,
obtuvo
y inv
v
de
un
algoritmo
borroso
[7].
En
la
n
tomado
en
cuenta
para
modificar
ganancia
de
variablesdeestadousandoelprimerysegundo
λ xtienen
λy Aocurridos
s’ todos
es
estable
todos
tienen
Lineales). El PE x = 0 de (2)∂es
Lineales).
El PE
= su
0 de (2)
x estable
fuera
de
l’medio
nea
tala
suOrigen
comportamiento
as’tienen
cambios
a<0
cambios
encon
elocurridos
medio
alleyes
en
que
eladaptable
participación
y
con
. autovalores
positiva
(Rsie (todos
λxA=)0>
0)
de
control
AEstable
AR
λ A )<0
1. El origen es1.AE
Elsiorigen
todos
es
losAE
autovalores
los
de
de comportamiento
( λ2.AA)tienen
)controlador
Teorema
(Estabilidad
del
en
Sistemas
utilizando
leyes
físicas,
la
identificación
utilizando
experimental
físicas,
. El
x
=
0
esGlobalmente
λ PE
Entonces:
.
(GAE)
s’ e(todos
los
obtenida
a
partir
de
una
investigaci—
n
reali
R
λ
(
)
principal.
ElA sistema bajo estudio es un sistem
A
e
métodoRde
Lyapunov,
que
pueden
ser
usados
Enobtuvo
dicha
prop
est‡= 0expuesto,
est‡
lose–ales
cual
expuesto,
implica
lo
la participación
cual
necesidad
implica
delaymodificar
necesidad
los
de modific
Asint—
El
ticamente
PE
essies
Globalmente
Asint—
0 es Globalmente
<0 . El PE x =Teorema
R(Estabilidad
su
comportamiento
)tienen
mediante
especiales
identificaci—
mediante
nse
se–ales
paramŽ
especia
trica
con
conducción
de y lava
e ( λ AEntonces:
e ( λ A ) <0
λticamente
(2)
estable
s’autovalores
todos
tienen
Lineales).
PE
de
control
adaptable
el
para acomoda
x = x0Origen
Ae (posee
λOriente,
1.El..El
origen
esdeAE
todos
los(GAE)
decual
) aptitud
del
en
Asintóticamente
Estable
sí
todos
.Sistemas
A regulador,
Aque
tienen parte
real
negativa
parte(R
real
negativa. 2.
(R
par‡ metros
del
par‡
regulador,
metros
del
que
en los
este
caso
en
es
este
un
PI
caso
esse
partir
de
ciertas
c
e ( λ A ) <0)
e ( λ A ) <0)
tambiénensistemasvarianteseneltiempoyen
utilizando
leyes
físicas,
est‡
expuesto,
lo
cuu
fuera
de
l’
nea
tal
como
se
aborda
en
fuera
[5].
de
l’
nea
tal
como
Oriente,
se
obtuvo
y
validó
un
(2)
x = tienen
Ax( λ ) <0 . a cambios ocurridos en el medio almod
su
comportamiento
qu
λ
λ Atodos
λtodos
(2)
estable
s’ )<0.
Lineales).
El
PElos
tienen
. es
tienen
Estable1.(GAE)
s’ todos
los si
Estable
(GAE)
s’de
todos
los
xRautovalores
=
0
λ)de
<0
R
ARx
λ
El origen
es
AE
(=negativa
)es
(
)
tienen
A
A
adaptado,
en
el
adaptado,
que
se
ajustan
en
el
que
sus
se
par‡
ajustan
metros
sus
por
par‡
medio
metros
por
m
.
El
PE
Globalmente
Asint—
ticamente
cambios
en
el
p
0
R
λ
<0
A
e
A
e
A
.
tienen
parte
real
(
R
λ
<
0)
(
(
)
mediante
se–ales
especia
e
par‡borroso
metros
del areg
e
A
e expuesto,
Apropuesta,
λsiA uno
λ A tiene parte real
En
se implica
utilizaleyes
un
En
dicha
propuesta,
que
se
tiene
2. El origen
2.
inestable
El origen
uno
es inestable
o m‡ses conoce
oparte
m‡ s real
no lineales.
En es
este
caso
desiestudio
el
físicas,
la modificar
identificac
est‡dicha
loutilizando
cual
la sistema
necesidad
de
lo
. mŽAsint—
de un
algoritmo
de
un
borroso
algoritmo
[7]. En
borroso
laproceso
nueva
[7].especiales
En
propuesta,
la nueva
propu
B. Globalmente
Segundo
todo
de
Lyapunov
fuera
de
l’ciertas
nea
talecondicione
como
se
adaptaci—
nel
(F
)
adaptado,
en
que
PE
ticamente
x=
0 es
Re ( .λ A ) <0
. (GAE)
tienen parte real negativa
(R.e El
λEstable
<0)
partir
de
ciertas
condiciones
del
partir
reveladoras
de
de
los
a P
(
)
mediante
se–ales
identifica
par‡
metros
del
regulador,
que
en
este
caso
es
un
λ
tienen
.
s’
todos
los
A
R
λ
<0
λ
tiene
parte
real
2.
El
origen
es
inestable
si
uno
o
m‡
s
modelomatemáticodelaplantay,ademáselsis(
)
x
=
Ax
(2)
(2) x = AAx
(2)
. (Re ( λ A x
.
positiva (Re ( λpositiva
A de una
Aa
) >=0)Ax
a partir
obtenida
de eel
unapunto
investigaci—
partir
nanea
realizada
investigaci—
en
la
n en
realizada
planta,
ende
la
A ) >0)
En
dicha
propuesta,
sepb
dese
un
algoritmo
cambios
en
deteor’
operaci—
n,
cambios
genera
elfactor
punto
de
MŽ todo obtenida
Directo
de
Lyapunov
Ð
De
la
cl‡
sica
de
fuera
de
l’
tal
como
aborda
en
[5].
de
control
posee
adaptado,
en
el
que
se
ajustan
sus
par‡
metros
por
medi
. participación
tienen
(GAE)
s’ todos
R>
λ. A ) <0 . con yparticipación
λ Aλtiene
parte
real
2.
origen esEstable
inestable
si uno
oen
m‡ slos
temaborrosoqueseproponeestábasadoenel
(de
conducción
yestable
deconducción
la partir
Universidad
de
la de
Universida
A (R
( λcon
ciertas
Teorema
2. ElTeorema
(Estabilidad
2.
del
(Estabilidad
Origen
Sistemas
Origen
en
Sistemas
obtenida
partir
detau
enica
A)
la mec‡
seex0)
conoce
un
esdicha
si
sude
En
propuesta,
se
unque
sistem
B. Segundo
mŽ todo
de Lyapunov
B.delpositiva
Segundo
mŽ
todo
Lyapunov
ganancia
adaptaci—
n utiliza
( El
que modifica
dicha
ganancia.
)condicione
que
mod
Fa )sistema
Fa asistema
de que
unn (algoritmo
borroso
[7].
En
la
nueva
propuesta
(2)ymodelo
=adaptaci—
Ax
B.
Segundo
método
de
Oriente,
se
obtuvo
Oriente,
yLyapunov
se
validó
obtuvo
un
validó
aproximado,
un
modelo
aproxim
.
modeloTakagi–Sugeno(TS)deordencero[4],
cambios
en
el
punto
de y
con
participación
.
positiva
(
R
λ
>
0)
λ
λ
de
(2)
es
estable
de
s’
(2)
todos
es
estable
tienen
s’
todos
tienen
Lineales).MŽEl
PE
Lineales).
El
PE
x
=
0
x
=
0
energ’
a
total,
es
una
funci—
n
definida
positiva
y
decreciente
(
)
partir
de
ciertas
condiciones
del
proceso
Teorema
2.
(Estabilidad
del
Origen
en
Sistemas
obtenida
a
unaun
investigaci—
nde
realizada
en adem‡
la
planta
A Directo
A de control
e
Ade Lyapunov Ð
(K
maner
todo Directo
DeMŽlatodo
teor’
a cl‡
de
deLyapunov
Ð utilizando
De
lapartir
teor’
ade
de
posee
adem‡
algoritmo
de
control
planificaci—
posee
nexperim
de sr
(2)
p ), de
x=
Axsica
utilizando
leyes
físicas,
leyes
lacl‡ ssica
identificación
físicas,
la
identificación
experimental
B.
Segundo
mŽ
todo
de
Lyapunov
Oriente,
se
obtuvo
adaptaci—
n
(
)
que
mod
F
de
forma
continua
hasta
alcanzar
un
estado
de
equilibrio.
[7]y[8],portantosedeterminaráunafunción
cambios
en
el
punto
de
operaci—
n,
gen
con
participación
y
conducción
de
la
Universidad
d
a
λ
de
(2)
es
estable
s’
todos
tienen
Lineales).
El
PE
x=
0 un
2.
(Estabilidad
del
Origen
enAsint—
Sistemas
mec‡
se
conoce
quex un
laAsint—
mec‡
es
nica
estable
se
conoce
si mediante
su
que
sistema
es se–ales
estable
si
Método
Directo
de
Lyapunov
– De
lasu
teoría
ganancia
que
también
actúa
ganancia
lane parte
que
proporcional
también
ac
Asobre
. Teorema
Elnica
El
Globalmente
PE
es
Globalmente
ticamente
ticamente
=<0
0 .es
= 0sistema
Re ( λ Ala) <0
RPE
se–ales
mediante
especiales
e identificaci—
especiales
paramŽ
identificaci—
trica
n
impl’
cito
laparam
partic
e ( λx
A)
utilizando
leyes
fí
V
En
un
sistema
no
lineal
no
resulta
f‡
cil
definir
una
,
por
B.
Segundo
mŽ
todo
de
Lyapunov
Oriente,
se
obtuvo
y
validó
un
modelo
aproximado
MŽ
todo
Directo
de
Lyapunov
Ð
De
la
teor’
a
cl‡
sica
de
adaptaci—
n
(
)
que
modifica
dicha
gan
F
de
control
posee
adem‡
s
deenergía(V)quecumplaconlascondiciones
energ’
a
total,
es
una
funci—
n
definida
energ’
positiva
a
total,
y
decreciente
es
una
funci—
n
definida
positiva
y
decreciente
a ( K ), en
λ. AElfuera
s’ ( λ
todos
tienen
Lineales). El PE x = 0 de (2) es estable
tal
fuera
como
se
l’ nea
aborda
tal
en
[5].
se
aborda
(K
), es
de
manera
que
elcomo
funcionamiento
de
del[5].
manera
mismo
lleva
que
clásica
de
la de
se de
conoce
que
un
sistepor
tanto
el an‡ele
li
PE
Globalmente
Asint—
ticamente
xmecánica
=l’todo
0utilizando
R
<0
)
pnea
p
mediante
se–ales
e
A
λ
λ
tienen
tienen
.
.
Establede(GAE)
Estable
s’
todos
(GAE)
los
s’
todos
los
R
λ
<0
R
λ
<0
(
)
(
)
leyes
físicas,
la
identificación
experimenta
V
ello,
en
este
mŽ
se
introduce
una
ficticia,
la
nica
que
sistema
es estable
si suposee
ganancia
que
también
ac
AMŽ alcanzar
AA mec‡
e un
Aconoce
forma continua hasta
de
estado
forma
continua
dee se
equilibrio.
alcanzar
estado
de
equilibrio.
todo Directo
de Lyapunov
Ð hasta
DeEnla
teor’unapropuesta,
cl‡unsica
de
de
control
adem‡
scuenta
un
algoritmo
dq
deestabilidadparaelcasodequeelsistemaesté
dicha
En
dicha
se
utiliza
propuesta,
un
sistema
se
utiliza
borroso
un
sistema
que
a
borroso
esta
cues
fuera
de
l’
nea
tal
com
maesestablesisuenergíatotal,esunafunción
. El. PE x = 0 es. Globalmente
Asint—
ticamente
R ( λ A ) <0 no
impl’
cito
latienen
participaci—
nespeciales
de
diversos
controladores
cito
lamanera
participaci—
locales,
ntric
mediante
se–ales
etambién
identificaci—
n sobre
paramŽ
denominada
función
de
Lyapunov.
asistema
total,
es
nresulta
definida
positiva
decreciente
λ Apartir
Estable
(GAE)
s’funci—
todos
los
Rye ganancia
λdel
<0
(una
K
(impl’
deactúa
quela
eldpd
la mec‡
nica seenerg’
conoce
que
un
sistema
es
estable
si definir
su ciertas
Vuna
V
En un esistema
lineal
no resulta
f‡En
cilun
definir
una
no
node
f‡ condiciones
cil
,lineal
por
, .por
que reveladoras
A)
partir
de
condiciones
proceso
del
proceso
reveladoras
loslisis
p ),
trabajandocondistintoscontroladoreslocales.
dicha
. lisis
por
tanto
el estado
an‡
de
estabilidad
se
por
realizar‡
tanto
elde
teniendo
an‡
de
en es
(2)
(2)ciertas
fuera
l’ nea
talde
como
se aborda
en
[5]. En
dado
quepropues
el
mo
x = Ax
x =deAxforma continua
definida
positiva
y decreciente
de
forma
contihasta
alcanzar
unde
equilibrio.
energ’
alos
total,
una funci—
nTeorema
positiva
yintroduce
V)definida
ello,Estable
en este
mŽs’ todo
introduce
ello,
en
una
este
mŽ
se en
ficticia,
. decreciente
λ A es
tienen
. todo
(GAE)
todosse
R
<0ficticia,
cambios
elrese
cambios
puntoxuna
de
operaci—
el
punto
n,existe
de
genera
operaci—
un
n,
factor
de
un con
fact
K
(xV
de
manera
que
el
funcionamiento
3. ConsidŽ
que
una
=en
f (n.
)Como
impl’
cito
laFgenera
participaci—
n d
e (λ A
partir
de
ciertas
p ),
propuesta,
un
sistema
borroso
esta
cuesti—
loutiliza
obtenido
cuenta
en
esta
cuesti—
n.que
Com
número
V se
En
un
sistema
nohasta
lineal
nocuenta
resulta
f‡ dicha
cil
definir
una
, por
[7]
y [8
numŽ
rico
(2)
x
=En
Ax
nua
alcanzar
estado
de
equilibrio.
En
a es
de
forma
continua
hasta
alcanzar
un
estado
de
equilibrio.
denominada
función
de
Lyapunov.
denominada
función
de
Lyapunov.
B. Segundo mŽ
B. todo
Segundo
de Lyapunov
mŽ todo
de Lyapunov
.
adaptaci— npartir
(diferenciable
adaptaci—
n
(
)de
que
modifica
)
dicha
que
modifica
ganancia.
dicha
El
sistema
ganancia.
El
sis
Fun
F
por
tanto
el
an‡
lisis
de
es
cambios
en
el
pun
funci—
n
continuamente
tal
que:
a
a
:D →
ℜla participaci—
impl’
n reveladoras
de
cont
condiciones
del dado
proceso
de
lo
ii. PrinciPios de laEnteoría
V
ello,
en no
este
mŽ todo
se
introduce
una Vfácil
ficticia,
. de
. queVel
dado
modelo
TScito
responde
con que
un
consecuente
eldiversos
modelo
TS
un sistema
no lineal
resulta
f‡ cil(2)
definir
una
, ciertas
por
x
=
Ax
un
sistema
no
lineal
no
resulta
definir
una
numŽ
ricos
tamb
B.
Segundo
mŽ
todo
de
Lyapunov
cuenta
esta
cuesti—
n.
Com
MŽ todo
Directo
MŽ de
todo
Lyapunov
Directo
ÐdeDe
Lyapunov
la
teor’
a
Ð
cl‡
De
sica
la
de
teor’
a
cl‡
sica
de
adaptaci—
n
(
)
qu
F
por
tanto
el
an‡
lisis
de
estabilidad
se
rea
de
control
posee
de
adem‡
control
s
posee
un
algoritmo
adem‡
s
de
un
planificaci—
algoritmo
n
de
de
planificaci—
Teorema
3.
ConsidŽ
rese
Teorema
3.
ConsidŽ
rese
que
existe
una
que
existe
una
cambios
en
el
punto
de
operaci—
n,
genera
un
factor
d
x
=
f
(
x
)
x
=
f
(
x
)
V
(
0
)
=
0
a
denominada
función
de
Lyapunov.
V
ello,
en
este
mŽ
todo
se
introduce
una
ficticia,
de
lyaPunov
Que
proporciona
[7] y [8]
valores
y que
numŽ
rico [7] y [8] y que adem‡ s KnumŽ
rico consideran
para a
p sobre
V,porello,enestemétodoseintroduceunaV
la estabilidad
mec‡funci—
nica nB.
se
la
conoce
mec‡
nica
que
se
un
conoce
sistema
que
es
un
estable
sistema
si
su
es
estable
si
su
ganancia
que
ganancia
también
actúa
que
también
sobre
la
actúa
parte
proporcional
la
parte
proporc
.
Segundo
mŽ
todo
de
Lyapunov
cuenta
esta
cuesti—
n.
Como
lo
obtenido
MŽ
todo
Directo
de
Lyapunov
Ð
De
la
teor’
a
cl‡
sica
de
dado
que
el
modelo
TS
adaptaci—
n
(
)
que
modifica
dicha
ganancia.
El
sistem
F
de
control
posee
ad
continuamente
diferenciable
funci—
n→
continuamente
que:
V : Dde
ℜ tal que: diferenciable
ℜ xtal
V( x ) > 0,V : D
∀x→
∈ D,
≠0
a
denominada
función
Lyapunov.
lalas
funci—
nn,dese
tran
Teorema
3.nica
ConsidŽ
rese
que
existe
unaelsisituaciones
sirven
base
al
trabaJo
xricos
=(fun
)que
energ’
a total, de
es
energ’
una
afunci—
total,
n es
definida
una funci—
positiva
n definida
y decreciente
positiva
y decreciente
sonestable
estas
numŽ
ricos
tambiŽ
que
son
ficticia,denominadafuncióndeLyapunov.
K( xptambiŽ
( Kconoce
), numŽ
manera
),
de
eln,
manera
funcionamiento
que
funcionamiento
del mismo
lleva
del
la lamec‡
que
sistema
es
su
ganancia
que
tamb
y [8]
ymismo
que
numŽ
rico
p de
MŽ todo Directo de V
Lyapunov
Ð De
teor’
a . cl‡ se
sica
dado
que
el algoritmo
modelo
TS
responde
con
(0 ) = 0
Vde
= 0∂control
. (0)de
posee
adem‡
s un
de[7]planificaci—
n da
V
de forma continua
de forma
hastacontinua
alcanzar
hasta
un estado
alcanzar
denenerg’
equilibrio.
unrese
estado
consideran
analizar
como
interviene
consideran
la adaptaci—
para analizar
n en c
funci—
continuamente
tal
que:
Teorema
3.
ConsidŽ
que
existe
una
Vf (para
:xD
x =de
f (equilibrio.
xdiferenciable
) su
a estable
total,
es
una
n impl’
definida
yD
decreciente
Vfunci—
( xla)ganancia
=participaci—
) que
≤→
0positiva
,ℜ
∀
x
∈
K
(
),
de
manera
q
la mec‡ nica seV(conoce
que
un
sistema
es
si
también
actúa
sobre
la
parte
proporciona
impl’
cito
cito
n
la
de
participaci—
diversos
controladores
n
de
diversos
locales,
controladores
loc
[7]
y controlador
[8]funci—
y ricos
quenp de
adem‡
s n,K pson
pr
numŽ
rico
numŽ
tambiŽ
xresulta
) no
>
0,lineal
xno
∈definir
D,
x ≠una
0def‡ forma
Vuna
( x )3.>VConsidérese
0,la
∀xalcanzar
∈∂nxD,de
x x≠transferencia
0
= f(x)
que de
existe
La
de
estabilidad
Lyapunov
permite
funci—
(FT)
deluna
la
PI.
transferencia
V
Enteoría
un sistema
En
no
lineal
sistema
node
f‡ ∀cil
resulta
cil ,Teorema
definir
por
, (por
continua
un
estado
equilibrio.
V
0
)( =Kan‡
0 por
funci—
n continuamente
diferenciable
tal
que:
V : tanto
Dhasta
→
ℜ
energ’
a un
total,
es
una
funci—
n
definida
positiva
y
decreciente
por
el
lisis
tanto
de
estabilidad
el
an‡
lisis
se
de
realizar‡
estabilidad
teniendo
se
realizar‡
en
tenien
),
de
manera
que
el
funcionamiento
del
mismo
llev
consideran
para
la analizar
participa
. este
.
numŽenricos
tambiŽ
son cito
estas
situacioc
Entonces,
el: Dsentido
de impl’
x =presulta
0 es f‡estable
V
Vnoel∂ficticia,
ello, elen
esteforma
ello,
mŽ los
todo
ensistemas
se hasta
introduce
se
una
introduce
unaequilibrio.
ficticia,
Vuna
∂mŽ
Vdetodo
VPE no
funcióncontinuamentediferenciable
tanto
análisis
de
control
no
liV→
cil definir
,ℜ
por n,
de
continua
estado
0de
) =V0V
) >lineal
0, festa
x≤ cuesti—
∈
D, ∀
x x≠n.
V( xfunción
)=
f (de
xalcanzar
) Lyapunov.
≤ 0, ∀un
x ∈En
D unV(sistema
( x(cuenta
)x=
( x∀
)impl’
0,cuenta
∈0participaci—
D
esta
Como
cuesti—
lo obtenido
n.deComo
en
lo
enelinterviene
es
es
nú
Faobtenido
F
laanalizar
funci—
nnúmero
de
transferencia
por
tanto
an‡
lisis
alocales
consideran
para
como
denominada
función
denominada
de
Lyapunov.
cito
la
n
diversos
controladores
Lyapunov.
Si
además
se
cumple:
ello, en
esteV ,mŽpor
∂x no resulta f‡ cil
∂xtodo se introduce una V ficticia,
talque:
neales,comolasíntesisdecontroladoresestables.
En un sistema no lineal
V.( x ) >definir
0, ∀una
x .∈ D,
x ∂≠. V0que por
.
cuenta
esta
cuesti—
la
funci—
n
de
transferencia
(FT)
del
control
dado
el
modelo
dado
que
TS
el
responde
modelo
TS
con
responde
un
consecuente
con
un
consec
el
an‡ellisis
de estabilidad
se realizar‡ teniendo e
denominada
de(es
Lyapunov.
Entonces,
eleste
PE
Entonces,
elque
en
de
enD
sentido
de
x=
Vfunción
( xexiste
)x= =
)∂≤Vestable
0f,tanto
∈
VPE
ello,
mŽ
todo
introduce
una
ficticia,
Teorema
3. en
ConsidŽ
Teorema
rese
3.
ConsidŽ
que
una
x0 = es
f se
( xestable
)rese
= f ∂el
(V
x )sentido
V∂(0
x)funa
=x[7]
x)∀.esta
<xy0rico
, cuesti—
∀[7]
xadem‡
∈yD[8]
, xsComo
≠y K
0queproporciona
. x existe
xrico
K pvalores
y (numŽ
[8]
que
adem‡
s dado
va
numŽ
cuenta
n.
lo
obtenido
enproporciona
Fa es
que
el númer
mode
p
Lyapunov.
Si
además
se
cumple:
Lyapunov.
Si
además
se
cumple:
∂
x
denominada
función
de
Lyapunov.
Revista
Vℜ
( x )tal
= Teorema
f ( x→
) ≤ℜ
03.
, tal∀ConsidŽ
x ∈ D rese x = f ( x ) que existe una
funci— n continuamente
funci— n continuamente
diferenciable
diferenciable
que:
que:
V
:
D
→
V
:
D
Entonces,
el
PE
es
estable
en
el
sentido
de
x
=
0
.
.
[7] las
y [8]qu
y
numŽ
ricose
que
el
TS
responde
con
un
consecuent
numŽ
ricos
tambiŽ
numŽ
n,•ricos
sonmodelo
estas
n,
situaciones
son
estassi
las
situaciones
que
El .PE
es9 •dado
AE.
Esta
estabilidad
ser‡
global
• ISSN
2145∂x- 0935
• Vol.
pp
10-14
julio
-tambiŽ
diciembre
de
2014
x
∂V
∂5=V•0No.
11
(0
) f=( x0) rese
VLyapunov.
0=∈) fD
=(,x
0xx)=
funci—
continuamente
tal que:como
TeoremaV( x3.) =V
ConsidŽ
→ℜ
V(existe
x) =consideran
< 0, el∀
≠0
0que
f (en
x) diferenciable
<el0,para
∀
xanalizar
∈ Dde
, xV≠: D
0para
xx(PE
Sin además
seuna
cumple:
Entonces,
es
sentido
n estable
consideran
como
analizar
interviene
la
adaptaci—
interviene
n
en
la
adaptaci—
K
[7]
y
[8]
y
que
adem‡
s
proporciona
valore
numŽ
rico
numŽ
ricos
tambiŽ
n,
∂x
∂x
y además
si laV(V0)es
no acotada; esp
D=ℜ
= 0radialmente
V( x ) > 0, ∀x diferenciable
∈
V(D,
x ) x> ≠además
0,0 ∀xV∈se
x ≠ℜ
0. tal que:
∂V
funci— n continuamente
: D,
Dcumple:
→
n< de
transferencia
laxfunci—
n≠ser‡
de
transferencia
del controlador
(FT) del
PI.consideran
controladorpara
PI.
El PE x = 0 es Lyapunov.
El PEser‡
AE. Esta Siestabilidad
global
AE.
si(funci—
global
siestas
x =V
0(lim
xes
) =la
f)(=
xEsta
)∞
0,estabilidad
∀
∈ D, xtambiŽ
0(FT)
numŽ
ricos
n,
son
situaciones
las queana
s
decir;
V
x
.
.
.
V(∂0V) = 0 ∂V
∂x V( x ) > 0, ∀x ∈ D, x ≠ 0
∂V
Fig.1: Diagram
UAN
• Análisis de estabilidad del sistema de control borroso adaptable del proceso de vaciado continuo de acero •
lareferenciadeposiciónparaellazointerno.En
este proceso se producen transformaciones en
laválvulatalescomolaerosiónylaobstrucción,
las cuales afectan el comportamiento del sistema [5] lo que debe ser tomado en cuenta para
modificarlagananciadelcontroladorprincipal.
Elsistemabajoestudioesunsistemadecontrol
adaptable el cual posee aptitud para acomodar
su comportamiento a cambios ocurridos en el
medio al que está expuesto, lo cual implica la
necesidad de modificar los parámetros del regulador,queenestecasoesunPIadaptado,en
el que se ajustan sus parámetros por medio de
unalgoritmoborroso[7].Enlanuevapropuesta,
obtenidaapartirdeunainvestigaciónrealizada
enlaplanta,conparticipaciónyconducciónde
laUniversidaddeOriente,seobtuvoyvalidóun
modelo aproximado, utilizando leyes f ísicas, la
identificación experimental mediante señales
especialeseidentificaciónparamétricafuerade
líneatalcomoseabordaen[5].
V (0 ) = 0
V( x ) > 0
,
∀x ∈ D
, x ≠0
.
∂V
V( x ) =
f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D
∂x
Entonces, el PE x = 0 es estable en el sentido de
Lyapunov. Si además se cumple:
.
V( x ) =
∂V
f ( x ) < 0,
∂x
∀x ∈ D, x ≠ 0
El PE x=0 es AE. Esta estabilidad será global si
D = ℜn y además si la V es radialmente no acotaV (x) = ∞
da;esdecir; xlim
→∞
ComocandidataaV,sepropuso:
V ( x ) = xT Px (4)
Donde P es una matriz real, simétrica y definida
positiva.LaderivadadeVsobrelastrayectorias
delsistemaestádadapor:
.
.
.T
V (x) =
xT P x + x Px =
xT (PA + AT P )x =
− xT Qx
Endichapropuestaseutilizaunsistemaborroso
que a partir de ciertas condiciones del proceso
reveladorasdeloscambiosenelpuntodeoperación, genera un factor de adaptación (Fa)que
modifica dicha ganancia. El sistema de control
posee además un algoritmo de planificación de
gananciaquetambiénactúasobrelaparteproporcional(Kp),demaneraqueelfuncionamiento
del mismo lleva implícito la participación de
diversoscontroladoreslocales,portanto,elanálisisdeestabilidadserealizaráteniendoencuenta esta cuestión. Como lo obtenido en Fa es un
númerodadoalqueelmodeloTSrespondecon
unconsecuentenumérico[7]y[8]yqueademás
Kp proporcionavaloresnuméricostambién,son
estassituacioneslasqueseconsideranparaanalizarcómointervienelaadaptaciónenlafunción
detransferencia(FT)delcontroladorPI.
DondeQesunamatrizreal,simétricaydefinida
positivadadapor:
PA + AT P =
−Q (5)
iii. sistema de control de nivel
en molde Para vaciado
continuo de acero
Elsistemadecontroldelprocesodevaciadode
acerodeAcinoxLasTunasesdeltipoasta–tapón,[5].ComosepuedeapreciarenlaFig.1,él
mismo tiene una configuración de control en
cascada.Enellazointernoodecontroldeposiciónsemidelaposicióndelaválvulaasta_tapón
enlaartesa,lacualesmanipuladaporunservomecanismo hidráulico. En el lazo de control externosemideelniveldelmoldeyseactúasobre
Flujo de
salida
Referencia
de nivel
+-
Flujo de
entrada
Gc(s)
Controlador
externo
+-
Posición
Gi(s)
Gh(s)
Controlador
interno
Servomecanico
hidráulico
Kv*Ga(s)
Válvula Asta-Tapón
y Artesa
Gsp(s)
Sensor de
posición
Gsn(s)
Sensor de Nivel
12
Universidad Antonio Nariño - Revista Facultades de Ingeniería
+-
Gm(s)
Nivel
Molde
Figura1. Diagrama
enbloquesdel
sistema de control
de nivel en molde.
• Lis Beatriz Govea Moreno, Mercedes Ramírez Mendoza y Guillermo González Yero •
SegúnlaFigura1,loselementosquecomponen
el lazo son: el controlador interno, el servomecanismohidráulico,elsensordeposición(estos
elementos integran el lazo de control de posición, que aparecerá simplificado, como Gcp(s),
elcontroladorprincipalPI,laválvulaasta_tapón,
laartesa,elmoldeyelsensordenivel;laFTde
cada uno aparece detallada en [5]. Para aplicar
losmétodosdeanálisisdeestabilidad,seobtiene
laFTtotaldelsistema(6),quesedeterminaaplicandoelprincipiodesuperposición,paraello,se
realizalasimplificacióndeldiagramaenbloques,
deestaformaseobtendrálaFTdelniveldesalidaconelniveldereferencia(7)yniveldesalida
conlavelocidaddevaciado(8).
H=
(s ) T1(s ) + T2 (s )
=
T1(s )
T=
2 (s )
(6)
Gc (s )Gcp (s )KvGa (s )Gm (s )
H (s )
=
(7)
H0 (s ) 1 + Gc (s )Gcp (s )KvGa (s )Gm (s )Gsn (s )
CmGm (s )
H (s )
=
(8)
Vv (s ) 1 + Gc (s )Gcp (s )KvGa (s )Gm (s )Gsn (s )
Laecuacióncaracterísticade(7) y(8)eslamisma,portantoA1 = A2 y de igual forma B1 = B2.
 −55.82 −22.73 −11.55 −3.77 −1.49 −0.31
 64
0
0
0
0
0 

 0
16
0
0
0
0 
A
=
A=


1
2
0
0
8
0
0
0 

 0
0
0
4
0
0 


0
0
0
0.5
0 
 0
2
0 
 
0 
=
B=
B
 
1
2
0 
0 
 
0 
compruebaqueestascumplanconlascondicionesdelmétodo,peroantessedebedeterminarla
matriz Pcon(5),paralocualsedefiniólamatriz
Q como la matriz identidad.
iv. resultados y discusión
Para obtener los resultados de ambos métodos
de Lyapunov, se realizó un programa en MATLAB®7.7,enelqueseobtuvieronP, EA1, EA2, V(x)
y V(x),entreotros:
 −22.26 + 20.63i 
 −22.26 − 20.63i 




−8.32
EA
=
EA
=


1
2
 −1.43 + 1.98i 
 −1.43 − 1.98i 


−0.11


Todoslosautovalorestienenparterealnopositiva lo que indica que el PE x=0 esestableycumple
con la condición de ser GAE. Además con el
propósitodedarcumplimientoalTeorema3,se
mostraráunejemplodeunafunciónysuderivadaparaunodeloscontroladores.
V ( x ) = (0.017 x1 − 0.0078 x2 − 0.0257 x3 + 0.0039 x4 + 0.008 x5 − 1.2207 *10 −4 x6 )x1
+ ( −0.0078 x1 + 0.1028 x2 − 0.0313 x3 − 0.1278 x4 + 0.0156 x5 + 0.0146 x6 )x2
+ ( −0.0257 x1 − 0.313 x2 + 0.2555 x3 − 0.0625 x4 − 0.4683 x5 + 0.0078 x6 )x3
+ (0.0039 x1 − 0.1278 x2 − 0.0625 x3 + 0.9367 x4 − 0.1250 x5 − 0.4529 x6 )x4
+ (0.008 x1 + 0.0156 x2 − 0.4683 x3 − 0.1250 x4 + 3.6233 x5 − x6 )x5
+ ( −1.2207 *10−4 x1 + 0.0146 x2 + 0.0078 x3 − 0.4529 x4 − x5 + 8.9963 x6 )x6
.
V (x) =
−0.0095 x1 − 0.0675 x2 − 0.6489 x3 + 0.3448 x4 + 4.10725 x5 + 15.1313 x6
El programa realiza el mismo procedimiento
paraobtener V(x)ysuderivada,portanto,para
el resto de los controladores, los resultados son
similares a los anteriores.
D1 = D2 = [0]
Para T1(s): C1 = [0 0.29 0.96 1.15 0.77 0.15]
Para T2(s): C2 = [0.50 0.44 0.71 0.72 0.45 0]
A partir de esta representación, se comprueba
sisecumpleelTeorema2,queseaplicaparaA1
y A2.Esimportanteresaltarque,losautovalores
dedichasmatricessoniguales(EA1 = EA2).PosteriormenteseverificasisecumpleelTeorema
3 para cada controlador local a través de la
determinaciónde V(x) y su derivada, y luego se
Revista
Dichoprogramadalaposibilidaddecomprobar
lascondicionesqueexponenlosteoremasutilizados, por tal motivo se puede decir que estas
funcionesysusderivadascumplenconlascondicionesqueseplanteanenelsegundométodo
de Lyapunov, por tanto, el PE x = 0 es AE. Se
demostróademásquela V (x) es radialmente no
acotada, lo que indica que el PE x = 0 es GAE.
Finalmente, con estos resultados se comprueba
que cada controlador PI local es estable en el
sentido de Lyapunov. Es preciso acotar que en
estetrabajosehandesarrolladoambosmétodos
UAN • ISSN 2145 - 0935 • Vol. 5 • No. 9 • pp 10-14 • julio - diciembre de 2014
13
• Análisis de estabilidad del sistema de control borroso adaptable del proceso de vaciado continuo de acero •
deLyapunov,puesconelprimerosedemuestra
laestabilidadglobaldelsistemay,conelsegundo,laestabilidadglobaldecadacontrolador.
Conclusiones
ConeldiseñodeuncontroladorborrosoadaptablebasadoenlavarianteTS,seencontróuna
alternativainteresanteparaeldiseñodelsistema
de control de nivel en molde de vaciado continuo, lo que facilita en gran medida el analisis de
estabilidad.
La teoría de Lyapunov proporciona un marco
general que permite verificar si un equilibrio
es estable según varias definiciones. Se abordó
dichateoría,puestoqueloplanteadoenellaes
el argumento utilizado para el análisis de estabilidad, que da solución al objetivo planteado
inicialmente.
Se demostró que el sistema de control de nivel
con adaptación borrosa propuesto para Acinox
LasTunasesAE y GAEenelsentidodeLyapunov, tanto por el primer método como por el
segundo.
Con este resultado se confirma la efectividad de
lapropuestaylaviabilidaddesuimplementaciónenlapráctica.Estoasuvezconstituyeun
avalparapredecirquedichosistemaserácapaz
de responder satisfactoriamente ante variacionesenlascaracterísticasdinámicasdelaplanta,
lograndoqueseproduzcanmenosafectaciones
enelnivel,loquecontribuiríaalaobtenciónde
unproductofinaldemayorcalidad.
Referencias
1. B. M. Al – Hadithi, F. Matía, A. Jiménez,
“Análisis de estabilidad de sistemas de control borroso”. Revista iberoamericana de
automática e informática industrial (RIAI).
Vol.4,Núm.2,pp.7-25,2007.
2. A. Alzate, J. E. Bravo, “Estabilidad de sistemas difusos con LMIs”. Ciencia y Técnica.
Núm.35,pp.133-138,2007.
14
Universidad Antonio Nariño - Revista Facultades de Ingeniería
3. C. Ariño, A. Sala, J. L. Navarro, “Diseño de
controladoresenvariospuntosdefuncionamientoparaunaclasedemodelosborrosos
Takagi-Sugeno afines”. Vol. 4, Núm. 2, pp.
98-105,2007.
4. A. J. Barragán, “Síntesis de sistemas de
control borroso estables por diseño”, Tesis
de doctorado, Departamento de Ingeniería
Electrónica de Sistemas Informáticos y Automática,EscuelaPolitécnicaSuperior,UniversidaddeHuelva,2009.
5. G.González,M.Ramírez,andB.L.Rustán,
“Modelado de Control de Nivel en Molde
para Vaciado Continuo de Palanquillas de
Acero”.RIAI,vol.11,pp.44-53,2014.
6. F.Gordillo,“Estabilidaddesistemasnolineales basada en la teoría de Lyapunov”. RIAI,
ISSN: 1697-7912. Vol. 6, Núm. 2, pp. 5-16,
2009.
7. R. Haber, “Control Borroso”, Monograf ía.
Departamento de Control Automático,
Facultad de Ingeniería Eléctrica. ISPJAM.
UniversidaddeOriente.Cuba,1992.
8. R. Haber, “Curso de Control Moderno”,
Monograf ía. Departamento de Control Automático, Facultad de Ingeniería Eléctrica.
ISPJAM. Universidad de Oriente. Santiago
deCuba,2007.
9. H. Khalil, “Nonlinear Systems”. New Jersey:
Editorial Prentice – Hall Englewood Cliffs,
1996.
10.S. Sastry, M. Bodson, “Adaptive Control:
Stability,ConvergenceandRobustness”.New
Jersey: Editorial Prentice – Hall Englewood
Cliffs,1989.
11.J.J.Slotine,L.Weiping,“AppliedNonlinear
Control”. New Jersey: Editorial Prentice –
HallEnglewoodCliffs,1991.
12.K.Tanaka,H.O.Wang,“FuzzyControlSystemsDesignandAnalysis”,2001.