1 tema 5 análisis de una variable (iii). medidas de asimetría, curtosis

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA GENERAL Y ESTADÍSTICA
UNIDAD DOCENTE DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA
UNIVERSIDAD DE HUELVA
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL TURISMO I
2003--2004
2003
DIPLOMATURA EN TURISMO
TEMA 5
ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE
ASIMETRÍA, CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN
Profesor: Ramón Jiménez Toribio
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III).
MEDIDAS DE ASIMETRÍA, CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN
1.
MEDIDAS DE FORMA. CLASIFICACIÓN
2.
LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA. COEFICIENTES DE ASIMETRÍA
3.
APUNTAMIENTO O CURTOSIS. COEFICIENTE DE CURTOSIS
4.
ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO DE LA CONCENTRACIÓN:
CURVA DE LORENZ E ÍNDICE DE CONCENTRACIÓN DE GINI
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS
Y
CONCENTRACIÓN.
MEDIDAS
DE
FORMA.
CLASIFICACIÓN
MEDIDAS DE FORMA
Son medidas que recogen dos aspectos de la distribución: su asimetría
alrededor de una medida de tendencia central y su curtosis o grado de
apuntamiento de la distribución
MEDIDAS DE ASIMETRÍA
COEFICIENTES DE ASIMETRÍA
DE PEARSON
MEDIDAS DE CURTOSIS
COEFICIENTES DE CURTOSIS
DE FISHER
DE FISHER
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. DEFINICIÓN DE SIMETRÍA
Diremos que una distribución de
frecuencias es simétrica cuando
los valores de la variable
equidistantes de un valor central
tienen las mismas frecuencias.
Valor central
Valor central
Una distribución se dirá que es
asimétrica a la derecha
(izquierda), si las frecuencias
descienden más lentamente por
la derecha (por la izquierda).
Asimetría a la derecha
Asimetría a la izquierda
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. DISTRIBUCIONES CAMPANIFORMES
§ En una distribución simétrica:
x = Me = Mo
§ En una distribución asimétrica a la derecha:
x > Me > Mo
§ En una distribución asimétrica a la izquierda:
x < Me < Mo
§ En una distribución unimodal
y poco asimétrica:
X − Mo = 3( X − Me )
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. MEDIDAS DE ASIMETRÍA
§ COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON: Válido sólo para
distribuciones campaniformes y unimodales
AP =
x − Mo
SX
Interpretación:
• Si A P > 0, la distribución es asimétrica a la derecha o
positiva, ya que x > Mo
• Si AP = 0, la distribución es simétrica
• Si AP < 0, la distribución es asimétrica a la izquierda
o negativa, ya que x < Mo
§ COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER
Interpretación:
m3
g1 =
=
•
Si
g
>
0,
la
distribución es asimétrica a la
1
S 3x
derecha o positiva
k
• Si la distribución es simétrica, entonces g1 = 0
( x i − x )3 n i N
• Si g 1 < 0, la distribución es asimétrica a la
i == 1
=
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izquierda o negativa
S 3x
∑
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. DEFINICIÓN DE APUNTAMIENTO O
CURTOSIS
APUNTAMIENTO O CURTOSIS: Concepto aplicable a
distribuciones campaniformes, unimodales, simétricas o
ligeramente asimétricas.
§ Las MEDIDAS DE CURTOSIS son aquellas que estudian la
distribución de frecuencias en la “zona central”. La mayor o menor
concentración de frecuencias alrededor de la media y en la zona
central de la distribución, dará lugar a una distribución más o
menos apuntada. Así a estas medidas se les denomina también de
“apuntamiento”.
§ Se estudia la curtosis de una distribución, comparándola con una
distribución “tipo”, que tomaremos como referencia. Es la llamada
distribución normal o campana de Gauss.
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O
CURTOSIS
§ Distribución PLATICÚRTICA: Distribución
menos puntiaguda o apuntada que la distribución
normal
§ Distribución MESOCÚRTICA: Si es igual que
la campana de Gauss
§ Distribución LEPTOCÚRTICA: Si es más
puntiaguda o apuntada que la distribución normal
Coeficiente de Apuntamiento o de Curtosis de Fisher:
m
Interpretación:
g 2 = 44 − 3 =
Sx
Si g > 0, la distribución es leptocúrtica
∑ (x
k
=
i ==1
− x ) ni
4
i
S x4
2
N
−3
Si g2 = 0, la distribución es mesocúrtica
Si g2 < 0, la distribución es platicúrtica
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4
TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE
ASIMETRÍA, CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN
EJEMPLO
1.- Dada la siguiente distribución de frecuencias,
xi
0
10
20
30
40
ni
2
4
7
5
2
Se pide:
a) Analizar el grado de asimetría de la distribución mediante lo
coeficientes de asimetría.
b) Analizar el grado de apuntamiento de la distribución.
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO DE
LA CONCENTRACIÓN
CONCENTRACIÓN: Es la mayor o menor equidad en el reparto de
la suma total de los valores de la variable considerada (rentas, salarios,
propiedades, etc).
CASOS EXTREMOS
Concentración Máxima: Cuando todos los valores de la variable
son 0, excepto uno que recibe el total de cantidad de variable.
x1 = L = xn−−1 = 0, x n ≠ 0
Concentración Mínima: Cuando todos los valores de la variable
perciben la misma cantidad de variable.
x 1 = L = x n− 1 = x n
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO DE
LA CONCENTRACIÓN
Las MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN se aplican principalmente
en variables de tipo económicas.Tratan de poner de relieve el mayor
o menor grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la
variable. Son, por tanto, indicadores del grado de equidistribución de
la variable.
Son de dos tipos: la curva de Lorenz y el índice de Gini.
MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN
CURVA DE
LORENZ
ÍNDICE DE
CONCENTRACIÓN DE GINI
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO DE
LA CONCENTRACIÓN: CURVA DE LORENZ
qi %
C
100
B
90
80
70
60
50
40
INTERPRETACIÓN
Cuanto más se aproxime la
curva de Lorenz a la
diagonal OB menor será la
concentración, y mejor será
el reparto, en el sentido de
más justo y equitativo.
30
20
10
O
0
10
20
30
40
50
60
70
A
pi %
80 90 100
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO DE
LA CONCENTRACIÓN: CURVA DE LORENZ
CASOS EXTREMOS DE
CONCENTRACIÓN
Concentración
Mínima
qi%
100
C
Si p i = q i : La concentración es mínima
y la curva de Lorenz coincide con la
diagonal OB.
B
Si q 1 = ... = q n-1 = 0: La concentración
es máxima y la curva de Lorenz
coincide con los lados OA y AB .
90
80
70
60
50
Concentración
Máxima
40
30
20
A
10
O 0 10 20 30 40
50
60
70
80
90
100
pi%
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. ÍNDICE DE GINI
CÁLCULO:
n −− 1
IG =
∑
i == 1
(pi
CAMPO DE VARIACIÓN:
− qi
n −− 1
∑
)
0 ≤ IG ≤ 1
pi
i == 1
INTERPRETACIÓN: El reparto será mejor, en el sentido de más
justo o equitativo, cuanto menor sea el Índice de Gini.
CASOS EXTREMOS
Si IG = 0: La concentración es mínima, ya que pi = qi.
Si IG = 1: La concentración es máxima, ya que q1 = ... = qn-1 = 0
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TEMA 5. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE (III). MEDIDAS DE ASIMETRÍA,
CURTOSIS Y CONCENTRACIÓN. ÍNDICE DE GINI
n
n
PROPIEDAD:
IG =
área del sec tor
área del triángulo OAB
VENTAJAS:
Resume en una sola cifra la
información expresada por la curva de
Lorenz.
Permite comparar con más facilidad la
concentración de dos distribuciones.
q i%
100
90
80
70
A
60
50
40
n
INCONVENIENTE:
Dos distribuciones de aspecto muy
diferentes pueden tener el mismo IG.
30
20
10
B
0 10 20 30 40 50 60
70
80 90 100
15
p i%
8