Códigos AG y de evaluación

Grupo de investigación: SINGACOM Objetivos Códigos Correctores de Errores Códigos AG Codigos AG sobre curvas
Códigos AG y de evaluación
Carlos Galindo1
Universitat Jaume I, Castellón
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1
Matemáticas en la Sociedad de la Información. Murcia 2006
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1
Grupo de investigación: SINGACOM
2
Objetivos
3
Códigos Correctores de Errores
4
Códigos AG
Qué son
5
Codigos AG sobre curvas
Casos de interés
6
Otros códigos AG
7
Funciones orden y códigos de evaluación
Caso clásico
Semigrupo bien ordenado
Distancia de Feng-Rao
8
Avances en decodificado para códigos AG
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SINGACOM (SINGularidades, Geometrı́a Algebraica,
Álgebra COnmutativa, COdificación, COMbinatoria,
COMputación) Director: Antonio Campillo.
http://www.cie.uva.es/algebra/singacom/
Sede principal: Universidad de Valladolid. Miembros en
Universitat Jaume I, Universidad de León y Universidade
Estadual de Campinas.
Personas: A. Campillo, I. Farran, C. Galindo, E. Martinez,
C. Munuera, M.J. Pisabarro, D. Ruano, F. Torres.
Proyectos: MTM2004-00958, GV05/029, VA068/04.
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Qué son
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Codigos AG sobre curvas
Casos de interés
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Otros códigos AG
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Funciones orden y códigos de evaluación
Caso clásico
Semigrupo bien ordenado
Distancia de Feng-Rao
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Avances en decodificado para códigos AG
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Códigos AG y de evaluación.
Problemas principales de teorı́a de códigos. Aplicaciones
en seguridad y transmisión de la información.
Técnicas métricas, combinatorias y computacionales para
codificar y decodificar.
Pesos generalizados y aplicaciones a teorı́a de
información.
Modelos para la eficacia de la transmisión y compartir
secretos basados en estructuras discretas y geométricas.
Complejidad de problemas computacionales en teorı́a de
la información.
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Caso clásico
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Objetivo: Enviar información recuperable a través de canales
ruidosos.
Nos centramos en códigos bloque lineales de longitud n. Se
trata de obtener códigos
Con buenos parámetros asociados: distancia, d, longitud
n y dimensión k.
Que admitan algoritmos rápidos de decodificado.
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ALGUNOS CÓDIGOS CLÁSICOS
Códigos BCH: Tranmisión europea de datos,
video-conferencias, Decodificable por el método de
Berlekamp-Massey-Sakata.
Reed-Solomon: (Caso particular BCH). Viajes espaciales,
Compact-Disc.
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Qué son
Consideramos
X variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo Fq finito.
D = {P1 , . . . , Pn } puntos racionales de X .
H divisor de X con soporte disjunto de los puntos
anteriores y
L(H) := {f ∈ Fq (X )|(f ) + H ≥ 0} ∪ {0}.
evD : L(H) → Fnq , dada por evD (f ) = (f (P1 ), . . . f (Pn )).
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Qué son
Un código AG es aquel dado por evD (L(H)), para algún D y H
como antes. También son de interés (superior) sus duales.
En general es más fácil averiguar su dimensión k que su
distancia d.
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Qué son
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Suponemos X curva. Son los más estudiados. Se denominan
de Reed-Solomon generalizados. Los duales se llaman
geométricos de Goppa.
Sólo en estos casos se saben estimar bien los parámetros.
k ≥ deg H + 1 − g y d ≥ n − deg H. g género de X .
Tienen buen comportamiento asintótico suma R = k/n (ratio
de información) y δ = d/n (distancia mı́nina relativa). Códigos
excelentes.
g−1
R+δ ≥1−
.
n
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Casos de interés
Códigos AG de un punto. Mas estudiados.
Implementación práctica: A. Campillo & J. I. Farrán,
Construction of AG-codes from symbolic
Hamburger-Noether expansions of plane curves, Math.
Comp. 71 (2002), 1759-1780
Códigos AG de varios puntos:
G.L. Matthews, Weierstrass pairs and minimum distance of
Goppa codes, Des., Codes and Crypt. 22, 107-121 (2001).
M. Homma, & S.J. Kim, Goppa codes with Weierstrass
pairs, J. Pure Appl. Algebra 162, 273-290 (2001).
C. Carvalho & F.Torres, On Goppa Codes and Weierstrass
Gaps at Several Points, Des. Codes Crypt. 35(2), 211-225
(2005).
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Caso clásico
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Códigos Tóricos, en ellos X es una variedad tórica.
Resultados de Hansen, Little. D.Ruano, On the parameters
of r -dimensional toric codes. Aparecerá en Finite Fields
Appl. Se estima dimensión usando cohomologı́a y
distancia mı́nima mediante teorı́a de intersección.
Códigos Diferenciales: X plano proyectivo. Se obtiene
evaluando polinomios en dos variables de grado acotado
en puntos singulares de ciertas ecuaciones diferenciales.
Permite buenas estimaciones de parámetros. A. Campillo,
J.I. Farrán & M.J. Pisabarro, Evaluation codes at singular
points of algebraic differential equations. Aparecerá en
Applic. Algebra Eng. Comm. Comp.
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Caso clásico
Función orden: o : R → N ∪ {∞} sobre Fq álgebra R, da
filtración · · · ⊂ Li−1 ⊂ Li ⊂ · · · tal que dim Li /Li−1 = 1.
Dan códigos de evaluación via evD .
Son en conjunto los AG sobre curva unipuntuales.
Matsumoto.
Buenas estimaciones de parámetros y algoritmos eficientes de
decodificado: Berlekamp-Massey-Sakata o voto mayoritario de
Feng-Rao.
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Semigrupo bien ordenado
El número de familias de códigos que se obtienen aumenta si
la función orden tiene llegada en un semigrupo cancelativo y
bien ordenado cualquiera.
Pueden decodificarse por los mismos métodos antes descritos.
Funciones orden y valoraciones son objetos muy próximos.
Solo estan clasificadas las valoraciones planas
(Spivakosky, Favre y Jonsson).
Utilizando esto:
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Semigrupo bien ordenado
C. Galindo & M. Sanchis, Evaluation codes and plane
valuations, Des. Codes Crypt. 41(2), 199-219 (2006).
Pueden describirse eficientemente códigos siempre que se
fuerce a que el semigrupo de la función orden sea el de una
valoración.
Sabemos calcular ecuaciones paramétricas de la función orden
asociada y estimar la distancia.
O’Sullivan da ejemplos de funciones orden monomiales y no
monomiales definidas sobre el anillo de polinomios en dos
variables usando valoraciones, pero no da un tratamiento
global ni explica como manipular los códigos obtenidos.
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Semigrupo bien ordenado
En C. Galindo, F. Monserrat, Evaluation codes defined by plane
valuations at infinity
Vemos qué valoraciones producen toda la familia de códigos
en que se enmarcan los de O’Sullivan, para los que existen
algoritmos eficientes de decodificado y se pueden estimar los
parámetros. Además la construcción de los códigos es simple
y fácilmente programable.
También interesante el concepto de near order (amplia el de
función orden) C. Carvalho, C. Munuera, E. Silva & F. Torres,
Near orders and codes. Aparecerá en IEEE Trans. Inform.
Theory.
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Distancia de Feng-Rao
En general, en códigos dados por función orden es difı́cil
obtener estimaciones de la distancia mı́nima, como puede ser
la de Feng-Rao. Sólo se conocen fórmulas en casos concretos.
En D.Ruano, Computing the Feng-Rao distances for codes
from order domains. Aparecerá en J. Algebra.
Se da un algoritmo para el cálculo de la distancia de Feng-Rao
de códigos asociados a funciones orden como antes con
llegada en un semigrupo de Nr que sea simplicial. Esto facilita
los cálculos en los casos valorativos anteriores tales que el
semigrupo esta en N2 .
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Códigos AG
Qué son
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Listas de Sudan (Premio Nevalinna, ICM02), corrige mas
errores de los previsibles. V. Gurushwami & M. Sudan,
Improved decoding of Reed-Solomon codes and AG
codes, IEEE Trans. Inform. Theory 45, 1757-1767 (1999).
Trellis asociados a códigos AG. Adaptación del algoritmo
de Viterbi.
Se buscan representaciones óptimas de códigos AG
mediante trellis.
Se estudia la complejidad de estas representaciones.
C. Munuera & F. Torres, A Goppa-like bound on the Trellis
state complexity of AG codes, IEEE Trans. Inform. Theory
49, 733-738 (2003).
C. Munuera & F. Torres, Bounding the trellis state
complexity of algebraic geometric codes, Applic. Algebra
Eng. Comm. Comp. 15, 81-100 (2004).
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c Galindo
C.