GUÍA Nº 3
RELACIONES LINEALES
1.- Introducción
En esta sesión de laboratorio estudiaremos fenómenos que tienen un
comportamiento lineal, esto es en el que la variables dependiente se relaciona con
la variable independiente de la forma y = mx + n. típicamente los gráficos tienen
la forma que se observa en la figura
Figura 1
El cálculo de los valores de m y n, se obtiene por tres métodos:
1. Método grafico
2. Método de los promedios
3. Método de los mínimos cuadrados o regresión lineal.
Estos métodos numéricos sirven para obtener los valores de m y n,
recomendando el método de los mínimos cuadrados. Este método entrega un
criterio de aproximación al conjunto de puntos, que llamamos factor de correlación
R. Cuando R = 0.9 se dice que el ajuste es bueno. Este método viene
incorporado en el programa Excel, Staroffice 5.1 u Openoffice y las
calculadoras.
En este laboratorio estudiaremos fenómenos del tipo lineal y calcularemos los
valores de m y n para luego sean interpretados. Podemos plantear el problema de
la forma: encontrar empíricamente la relación de la fuerza aplicada a un resorte en
función de su elongación
Asignatura: Física Mecánica ZF0201
Área Ciencias Básicas
Responsables: Patricio Pacheco H./Jacqueline
Alea P.
Fecha actualización: Otoño 2009
Aproximaciones Lineales
Según la relación serial de Taylor:
F ( x) = F ( x0 ) +
( x − x0 ) dF ( x)
( x − x0 ) 2
+
1! dx x = x0
2!
d 2 F ( x)
( x − x0 ) 3
+
2
3!
dx x = x0
d 3 F ( x)
+ .....
3
dx x = x0
Usando la aproximación a términos lineales:
F ( x) = F ( x 0 ) +
Pero:
ϑ ORDEN
( x − x 0 ) dF ( x)
+ ϑ ORDEN
1! dx x = x0
SUPERIOR
Entonces:
F ( x) ≈ F ( x 0 ) +
SUPERIOR
→ 0 (Bajo restricciones físicas adecuadas, ¿cómo cuales?)
( x − x 0 ) dF ( x)
1! dx x = x0
dF ( x)
dF ( x)
= ∆x
∆F ( x) = F ( x) − F ( x 0 ) = ( x − x0 )
dx x = x0
dx x = x0
donde
dF ( x)
K =
= cons tan te de deformacion del material
dx x = x0
dF ( x) = K dx
F
x
0
0
∫ dF ( x) = ∫ K dx ⇒ F ( x) = K x
o
Ley
de
Hooke
F ( x) = − K x
Al graficar, usando valores numéricos de referencia, se obtiene:
La relación lineal que se presta para nuestros propósitos.
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Figura 2
2.- Aprendizajes Esperados
a) De acuerdo al programa de estudios
2.1.- Criterios de Evaluación
a)
b)
c)
d)
e)
Encontrar las relaciones entre variables del fenómeno en estudio.
Graficar los resultados de las mediciones
Reconocer que las relaciones son del tipo y = mx + n
Ajustar los valores de m y n al conjunto de datos obtenidos.
Interpretar físicamente los valores de m y n.
3.-Materiales
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2 Resorte
1 regla metálica de 50 cm
10 masas conocidas
1 balanza
1 soporte universal
1 nuez
1 Barra
4.- Actividades
4.1.- Procedimiento A
a) Primero vamos a montar el siguiente esquema que se observa en la figura 3
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Figura 3 montaje experimental
b) En la balanza, mida las masas que va a colgar del resorte, según el montaje.
La fuerza que actúa sobre el resorte corresponde a la fuerza de gravedad. La
fuerza de gravedad es igual a F = - mgj, donde m es la masa y g es la
aceleración de gravedad (g = 9.8 m/seg2). Usted va a observar que cuando se
cuelga una masa m del resorte, este se estira y queda en equilibrio. En
equilibrio, la suma de las fuerzas es cero. Por tanto existe una relación
entre la fuerza aplicada entre el resorte y la elongación. Recuerde, que en
equlibrio, la fuerza del resorte es Fr = mg j. Obtenga 10 valores de
elongaciones usando 10 masas distintas. Grafique Fr v/s elongación.
c) Repita este procedimiento para el otro resorte.
En el grafico obtenido, que tipo de relación se observa? ¿Puede calcular el valor de
la pendiente?
4.2.- Procedimiento B
Problema: Encontrar la relación de las pendientes individuales
resortes y la combinación en serie y el paralelo
Resorte en serie
a) Esta vez resortes van a ir en serie, como se muestra la figura 4
entre
los
Figura 4, montaje experimental
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b) Repita el procedimiento anterior, y grafique la fuerza del resorte en
función de la elongación. ¿Como se comporta el grafico? Calcule la pendiente. ¿Se
relacionan la pendiente de este grafico con las pendientes de los gráficos
anteriores?
c) Resorte en paralelo: Los resortes van a ir en paralelo, como se muestra en la
figura 5
Figura 5, montaje experimental
d) Repita nuevamente el procedimiento para obtener los datos de la Fr en función
de la elongación.
Grafique la fuerza del resorte en función de la elongación. ¿Como se
comporta el grafico? Calcule la pendiente ¿Se relacionan la pendiente de
este grafico con las pendientes de los gráficos de los resortes?
4.3.- Investigación Previa al Experimento:
a) Adicional a esta guía, investigue en la literatura sobre la ley que rige el
comportamiento del resorte y deduzca teóricamente las relaciones entre las
pendientes de los resortes en paralelo y en serie con respecto a las
pendientes de los resortes individuales.
5.- Bibliografía
1. R. Serway, Vol. I , Física, Editorial Mc Graw – Hill, 2005
2. Tipler,.Física, Editorial McGraw - Hill, 1999
3. Sears y Zemansky, Física General, Editorial Aguilar S.A. , España, 1980
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