ECUAC/ONES POL/NOM/CAS DE TERCER Y CUARTO GRADO Ne

ECUAC/ONES
POL/NOM/CAS
DE TERCER
Y CUARTO
GRADO
por
Ne/o
ALLAN
Hernanclo PEREZ
INTRODUCC/ON.
Los primeros problemas
a los g edmetras
de e cuacion es lineales
y mat emdt icos de los primeros
JI polinomic as se pl ante aron
tiempos
como nec e s ario s en la
compren sion de otros tem as de mayor intere s para e llos, y aun que en la actuali dad, la t eoria de ecuacione s tiene in teres por si mi sma (T eoria de Galois)
bien
se
b ace ne c e s ari a en el es tudio de otros topicos m atemdti cos
Las s olucione s de lae e cuacione s cdbic a y cudrtic a, surgieron
pe tenc ia entre los matem dticos
fue
el primero
en resolver
problemas
a Cardano, Sobre la originalidad
p articul are s de la e c uac idn de tercer
(pre sentado
de scomponerla
proceso
La solucion
cdb ic a, sur gio
de l a e cuacion
de cuarto
par primera ue z por Ferrari, alum no de Cardano, intentando
como producto
[ue intens amente
de estudio
en esta exposi cion) es debido
de l a s ol ucion de la ecuacion
una polemic a entre C ardan o y Tartaglia.
grado fue encontrada
de una com-
ital ianos en el siglo X Vi. P are c e que Tartaglia
grado pero el metoda mas general
Tartaglia
tam-
de dos de segundo
e s tudiado
simplificaron
par Vieta,
la notacion
braica •
51
grado, El me todo de Card ano y
ll udd e y otros
quiene s en el
apar ec ien do la nomenclatura
alg e-
En e sta epoc a aparecieron
de Gregory,
quien crey o resolver
Lagrange
pel
oscuro
cudrtica,
que la reso/vente
cualquiera
se
~ 5 tiene
ti ene una prueba
grado
s iempre
resolvente)
se
tiene gran influencia
de las
y princ ipalmente
ecuacione
reduce
el p a-
el problema
en el metodo
s de grado
moderno
superior
de la
a resol-
la noc ion de
s imetric as en este
Abel demue stra que la re soluente
resolvente
n,
y con esto introduce
la importan cia de las funciones
E I estudio
Abel y con Galois.
de
des taca la
se
en la soluc ion, (En la solucion
que sea el metodo,
El trabajo de Lagrange
grado
desempeiia
cubic a, llamada
reconoce
la cudrtica,
el problema
10 que re alm ent e ocurria
int entd ent ender
ver una e cuacion
grupo y
otras so lucione s, entre las cuales
e stu dio,
para resolver
se continua
de una ecuacion
con
general
de
de grado mayor que la ecuac idn dada y tambien ob-
de la imposibilidad
de resolver
la ecaacidn
general
de quinto
gr ado ,
Galois
reduce
des particulare
el e studio
s de grupos
de el punto de vista
de las ecuaciones
de p ermutacione
de las p ermutacione
pos terior ,
52
al e s tudio de al gunas propi eda-
s, E] es tudio de las ecuaciones
s de las raic es
se
des-
deja para un es tudio
I)
Consideremos
(/ • 1)
la siguiente
x n + al x n-L + , ,
ecuacidn
r
ecuacion
n ,
0
deb ido a Vieta)
y re em pl az amos en l a
s e obti ene :
(/.1)
yn+nayn'l+"'+an+a
yn.l+"'+a
lin
Ob s eruem os pue s, que el coe ficiente
escogiendo
=
+ an. 1 x + an
x = y + a (pro c edimiento
Si tomamos
(I - 2)
en x de gr ado
a de man era que
de
yn-l
=
na+al
an.l+"'+a
0,
es
0
-1
y+a
n-I
a+a =0
n
n a + a 1 y por 10 tanto
sea,
a = -
2
entonces
,
la
n
e cuacion
(/·2)
se reduce
E s cl aro que, resoluiendo
suelta
II)
a una de l a forma
la e cuacion
(/·3)
l a ecua cion
(1- 1) queda re
.
Ecuacion
cubic a . (Metodo de Cardano- Hudde) .
x3 + a x + 6
C onsider emos l a ecu acidn
Supongamos
Comparando
z'/ v incognitas
con
tales
(II ·1) podemos
3zu
=
que
x
0 (II - 1)
=
z + v de man era que
suponer
• a
o sea
Entonces,
%3, v3
son las solucion es de la ecuacion
a3 =
27
y asi podemos
escribir
53
0
-
(11·2)
De las e cuacion es (11- 2), podemo s calcular los ualore s de
to los ualords
bien para
de x,
v y como
Sinembargo.
x
=
z+v
hay tres ualore s posibles
z , v y por tanpara
z y tam»
entonce s exis tirian seis ualore s posibles
pa-
ra x .. p ero, la ecu acion de tercer grado tiene tres raic es, es de cir, de ben e a 10 mas tres valor cis diferentes
xistir
de
x ,
La in de terminac ion se elimina de la s igui en te manera
Sean
w
t
=.
+ i
V3
una rai z ctibica de la uni dad (w3
1)
Y
2
zl ,v1
ntlm ero s complejo s tales que
Los pos ible s ualore s de
y de e stos,
w v1 • W2v'l
zl "i .. wZ1'
w2
"t ..w2
z son
zl'
wZ1'
w2z1
Y los de
los ualore s de z, v tales que 3 z v
zl ' w
"t
Xt=zl+v1
_
2
x2-wz1+w
v1
_ 2
x3 - w zl + w "L
[11) Ecuacidn
de cuarto grado •
x4 + P x2 + q x + r
A ••
=
(1ll-1)
0
Metodo de Ferrari.
De
(1l[·1)
a
v1'
son
de man era que las raic e s de la ecuacion
son
(/[-1)
v son
= -
se sigue que
(lll - 2)
54
y tomando una incognita
a,
bo s lados de La e cua cion
s umando La e xpr e sion
(//1-2)
obt enemo s
o sea
2 +P..+ai
2
(x
Considerando
=
el segundo
t··
2 +P a+
2ax2•
qx + (a
r)
4
mi embro de La e cu acion
(/1[-3)
(11/-3)
como polinomio
de
segundo grado en x, su di s crimin ant e seria
q
Es cog iendo
2
2
·Sa·(a
+pa+~·r)
p2
a de manera que La expre s ion (Ill
enc ontrar M, N
([[[-4)
4
»
4) sea
0 entonc e s podemo s
tales que
(x2 +
k + a)2
=
(M x + N y2
([[[-5)
2
La e xpres ion ([/I- 4) puede e scribirs e de La mane ra si guient e
y tom ando
f3
= • a
obtenemos
(Ill - 6)
Resolviendo
la e cuac ion
en la e cu ac ion
(ll] - 5)
(lll- 6) (e cuacion re saluen
Y por tanto la ec uacion
Obserue s e que la e cuac ion (Iit- 5)
y entonce s el valor de x
se
se
obtiene
1..
2
+ a.M x + N
=
de una cuaiquiera
0
55
encontrar
x
(1l[-1)
puede escribir
cione s :
x2 +
e) podemos
en la siguiente
forma
de las siguientes
e cua -
x2
+.J!.. + a
- Mx • N
2
En reali dad, este me todo no
valores para
B.
0
completo pue s la ecuacion
(Ill- 6) da tre s
a, y entonc es las ecu ac ione s (111- 8) serian en total seis ecua
ciones y cada una de ellas
lie x,
es
=
tiene dos para x ,
se
tendrian asi dace valores
entre los cuales hay que escoger las soluciones
de (IlI- 1).
Metodo moderno •
a) Supongamos
que
Xl'
<z-
x3 ,x4
son las so lucione s de la e c uac ion (III-I)
entonc e s
(111-9)
a4
"z x3
":
x4 ' entonces
la ec uac ion
(111- 9)
se
puede escribir
y as!
(111-10)
73
,'=
(Xl
+ x4) (x2 + x3)'
Se pueden somprobar las siguientes
nes
b1 = T1 + T2 + 73 = 2
«z
b2 = 71 72 + 7173 +72 73 = a} + a1 a3 • 4 a4
b3
Evidentemente
=
71'
2
2
a4 • v s
71 T2 73
= v i «z «s -
72' T3
son las soluciones
56
al
de la ecuacidn
rel ac io-
Us ando las relac ione s
b3
= •
(llI -10)
se
concluye
d) Supongamos
= i1
2
b1
q2 Y entonce s r1 • i2 • i3 son las soluciones
(Comp dre se con la e cuac ion
x
que
•
se
r':2 =
0
pues
sigue
que
r1 ' i2'
xl + x2•
que
y entonce s podemos
=
2 P • b2
p2 - 4 r ,
de la e cuac ion
(llI- 6) )
i3 son las soluciones
x3 + x4
=
de la e c uacion
son las raic e s de l a ecu acion
es cribir
"i + x2
= l~Tl
x3 + x4
= -R
Con un razonami ento como el anterior
obtenemos
las otras e c uaciones
sis tema line al
OX1 + OX2 + x3 + x4
y~r1
=- y:r;
x1+0x2+x~+Ox4
='y~
Ox1+x2+Ox3+x4
=-Y:G.
x1+x2+Ox3+Ox4
cuya matri z
es
=
": + OX2 + OX3 + x4
/;r3
Ox 1 + x 2 + x 3 + 0 x 4
= - y~
de range maximo y pot tanto s u s olucion
J:T2 + y:"T3 ) / 2
(Y:Tj-· y~"7'2'. 03) / 2
xl = (
x2
=
l-Tj
x3 = ( x4
+
-.,;::T"i -t- y:-;;- y~)/
= t : y:Tj-. y-Ti + y-Tj) /
57
2
2
es
zinica
del
IV )Metodo de Gregory
•
x3 + P x +.q = 0 obten emo s
x = u+ v en l a ecu acion
Reemplazando
u3 + v3 + 3 u v (u + v) +p (u + v) + q
=
a de otra man era
0
(IV. 1)
Multiplicando
la e c uacidn
(IV. 1) par una expres ion del tipo
+ c obtenemo s una ecuacion
v3
+ a v2 + b v
de l a forma
o
(lV·2)
don de
3 u2 + 3 au +b +
P
u3 + 3 a u2 + (3 b + p} u +p a + q +c
a4
= au3 +3bu2
+(3c+pa)u+qa+pb
b ul + 3 c u2 + P b u +q b + pc
cu3 +pcu
Escogiendo
cion
(IV.2)
a, b , c, u de m anera que
se c onuierte
cuya sol ucidn es inmediata
E I anterior
cultad,
+ qc
metoda
Gregory
=
a2
=
a4
=
Oa
5
=
0,
la e cua
-
en una de la forma
,
es ap lic able al caso
murid conuencido
cion de la e cuacidn
a1
de grado
de que su metoda
de grado arbitrario
58
n ,
4 con un poco de mas difi·
era aplic able a la res olu-
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lnc.., New
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(Este
Vol.
libro contiene
Ad emds contiene
I, pags.
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Dover
la traduc c ion por parte de
re produc c ione s de otros trab a-
[os ma temdtico s import ant e s p. e de Abe I y Galois ).
TURNBULL
H. W. Teoria
cal texts.
Der
New
Traducido
Waerden.
York.
Uniuers
Redbido
Algebra.
por R. Mendez
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Donat.
University
llanz a, Fardgrafos
I, p ardgrafo
Mathemati48-61.
58. P. Ungar publishing
Van
Co.
libro es el primer tr at ado de dlg ebr a public ado en este siglo y
trae un buen e studio
idad Nacional
Departamento
del inglis
Modern
(Este
de Ec uac ione s, Editorial
de la teoria de Galois).
de Colombia
de Matematicas
: Noviembre
de 1969
59