Problemas Resueltos Gram-Schmidt

Problemas GramSchmidt
Problema 1:
Dada una transmisión binaria de dígitos independientes y equiprobables con la siguiente
forma de onda:
a) Determine las bases ortonormales siguiendo el procedimiento GS
b) Dibuje la constelación resultante
c) Determine la potencia promedio de la señal transmitida
a) Calculo de las bases ortonormales siguiendo GS
b)
s1(t)
u1(t ) =
s1(t )
V
1
Es decir u1(t) luce como sigue:
=
=
|| s1(t ) || V tb
tb
tb
|| s1(t ) ||=
∫V
2
dt = V tb
0
s2(t)
u 2(t ) =
s 2(t ) − ⟨ s 2(t ).u1(t )⟩u1(t )
|| s 2(t ) − ⟨ s 2(t ).u1(t )⟩u1(t ) ||
tb
s 2.u1 = ∫ 2V .
0
1
2Vtb
dt =
tb
tb
⟨ s 2(t ).u1(t )⟩ u1(t ) =
2Vtb 1
.
= 2V
tb tb
Entonces:
u 2(t ) =
2V − 2V
=0
|| s 2(t ) − ⟨ s 2(t ).u1(t )⟩ u1(t ) ||
Al ser u2(t)=0 las demás bases son cero.
b) Para la constelación escribimos s1 en función de u1 y s2 en función de u2.
s1 = V tb .u1
s 2 = −2V tb .u1
c) Calculo de la potencia promedio:
E1 = V 2 tb
E 2 = 4V 2 tb
Ep = E1 p1 + E 2 p 2
1
1 5
Ep = V 2 tb + 4V 2 tb = V 2 tb
2
2 2
Como Ep=Pot*tb, esto implica que la potencia de la señal es 2.5V2.
Problema 2:
Quiz 1. Abril 2007. UCAB
Integrantes:
Mariangélica Roa
Andrés Rappazzo
Se tienen dos señales multisímbolo cuyas constelaciones y bases
ortogonales son las mostradas y donde el tiempo entre símbolos, para ambas
modulaciones, es de 2 segundos (Ts=2).
a) Determine a sabiendo que ambas señales transmitidas tienen la misma
potencia.
b) Bajo la circunstancia anterior cual de las dos luce mas fuerte frente al
ruido? (Explique)
Resolución:
a)
Para la modulación A:
Ts= 2 seg.
Ya que tenemos el diagrama de constelación, podemos aplicar con comodidad la
fórmula de energía promedio (Ep):
n
∑ Ps
i
* Es i
i =1
Psi representa la probabilidad de cada símbolo, Esi representa la energía de cada
símbolo y n representa el número de símbolos.
Sabiendo que trabajamos con elementos equiprobables tenemos que la
probabilidad de cada uno es ¼.
La energía promedio resulta: EpA = 2*(1/4)*(1)^2 + 2*(1/4)*(3)^2 = 5.
Sabiendo que también contamos con la fórmula de potencia en la que se aplica la
energía promedio, procedemos al uso de la misma:
Ep = Sx * Ts
En donde Sx, representa la potencia de la señal y Ts, el tiempo entre símbolo.
De esta despejamos la potencia para calcularla y tenemos que SxA = (5)/2 = 5/2.
Para la modulación B:
Ts = 2seg.
Aplicamos las mismas fórmulas que las usadas en la modulación A para calcular la
potencia, puesto que también tenemos el diagrama de constelación de B y resulta que:
EpB = 2*(1/4)*(a/2)^2 + 2*(1/4)*(a/2+a)^2 = 5*(a^2)/4.
SxB = [5*(a^2)/4]/2 = 5*(a^2)/8.
Como nos dicen que las señales tienen la misma potencia, entonces igualamos los dos
cálculos:
SxA = SxB
5*(a^2)/8 = 5/2 => a = 2.
b)
En nuestro caso, como las distancias entre los símbolos de las constelaciones, las
potencias de las señales y los Ts son iguales, podemos concluir que las
modulaciones resultarán igual de fuertes frente al ruido.
PROBLEMA 3: LUIS GARCIA: Comunicaciones II. UCAB. Parcial 1.
Noviembre 2008
Una señal de 5 watts es transmitida en banda base usando una codificación tal que la
constelación y sus bases pueden observarse en la siguiente figura
a) Determine a
b) Dibuje una señal transmitida posible donde se evidencien todas las formas de
onda involucradas (con precisión)
c) Si la tasa de transmisión se cambia a 1000 símbolos por segundo determine
las nuevas bases ortogonales (en función de A)
Solución:
Ep =
1
1
1
1
9
* 4 * a2 + * a2 + * 0 + * 4 * a2 = * a2
4
4
4
4
4
⇒
E p = S x * ts
9 2
* a = 5 * 0,0001
4
⇒
5 * 0,0001 * 4
9
a=
⇒
a = 0,01491
Por ser bases ortonormales, deben tener energía unitaria;
ts / 2
Eu1 ( t ) =
∫ A dt = 1
2
⇒
A = 141,4214
Ahora podemos conocer los símbolos;
0
S1 (t ) = 2 * a * u2 (t ) = 2 * (0,01491) *141,4214
S2 (t ) = a * u2 (t ) = (0,01491) *141,4214
⇒
⇒
S1 (t ) = −4,22
S1 (t ) = −2,1086
ts
≤ t ≤ ts
2
ts
≤ t ≤ ts
2
S3 (t ) = 0
S4 (t ) = 2 * a * u1 (t ) = 2 * (0,01491) *141,4214
⇒
S4 (t ) = 4,22
0≤t ≤
ts
2
Si ahora se cambia la tasa de transmisión:
1 seg
1000 simbolos
ts =
1seg *1simb
= 0,001seg
1000 simb
ts
1 simbolo
u1 (t )
ts
2
∫ A'
A’
2
dt = 1 ⇒ A' = 44,721
0
A' = β * A ⇒ β = 0,3162
Problema 4: LUIS GARCIA: Comunicaciones II. UCAB. Parcial 1.
Noviembre 2008
Se le ofrecen las siguientes bases ortonormales.
u1 (t ) =
2
Sen (2 * π * 200000 * t )
ts
u 2 (t) =
2
Cos( 2 * π * 200000 * t )
ts
Se construye una señal modulada partiendo de una secuencia de bits “0” y “1”. La
secuencia de los bits pares se codifica en NRZ polar (1,-1Volts). La secuencia de los
bits impares se codifica en NRZ unipolar (0,1Volts). La expresión de esta modulación
es la siguiente
x MOD ( t ) = b i u1 + b p u 2 = BCos( 2 * π * 200000 * t + G )
a) Determine los valores que toman B y G. EXPLIQUE
G bi = P1 ( kt b )Sinc 2 fkt b + P2 δ(f ) .
= ( kt b )Sinc 2 fkt b . Determine P1 y P2
b) La DEP de bi(t) es
es G bp
La DEP de bp(t)
c) Sin obtener la DEP analíticamente haga un estimado de cuanto podría ser el
ancho de banda de la señal modulada. EXPLIQUE EN DETALLE
Solución:
1
bp → RZp → 
− 1
0
bi → RZu → 
1
X mod (t ) = bi * u1 (t ) + bp * u2 (t ) = Β * cos( 2π * 200000 * t + G )
X mod (t ) = bi *
2
2
* sen(2π * 200000 * t ) + bp *
* cos(2π * 200000 * t ) = Β * cos(2π * 200000 * t + G )
ts
ts
X mod (t ) = B * cos(2π * 200000 * t + G ) = B * cos(2π * 200000 * t ) * cos(G ) − B * sen(2π * 200000 * t ) * sen(G )


2
; G1 = 0

 B1 =
2
ts


bi = 0 ⇒  X mod (t ) = ±
* cos(2π * 200000 * t ) ⇒ 
ts

B = 2 ; G = π
2

 2
ts

2
2
* sen ( 2π * 200000 * t ) ±
* cos(2π * 200000 * t )
 X mod (t ) =
ts
ts


2
* ( ± cos(2π * 200000 * t ) + sen ( 2π * 200000 * t ))
 X mod (t ) =
ts

 2
π
2
* (cos(2π * 200000 * t ) + sen (2π * 200000 * t )) =
* cos(2π * 200000 * t − )

 ts
4
ts
bi = 1 ⇒ 
⇒ B = 2 ; G = − π
3
3

4
ts

− 2 * (cos(2π * 200000 * t ) − sen (2π * 200000 * t )) = 2 * cos(2π * 200000 * t − 3π )

ts
4
ts

⇒ B = 2 ; G = − 3π
4
4

4
ts
Ahora para calcular P1 y P2 ;
1
1 1
PTOTAL bi = (1) 2 * + (0) 2 * =
2
2 2
1
1 1
1
DC = 1 * + 0 * = ⇒ PDC = ( DC ) 2 =
2
2 2
4
1
PTOTAL = PAC + PDC ⇒ PAC =
4
1
P1 = PAC =
4
P2 = PDC =
1
4
bi y bp están multiplicadas por cosenos con la misma frecuencia; por lo tanto,
al transformar cada DEP queda trasladada tanto a la parte positiva como a la
parte negativa del espectro y a la misma frecuencia, donde también se
observan los deltas, representantes de la componente DC generada por la
señal NRZu.
Por otra parte, hay coincidencia en los puntos de corte, ya que ambas señales
(bp y bi) tienen la misma duración.
Problema 5:
Comunicaciones II. UCAB. Parcial 1. Abril 2009(1)
Resuelto por Ana Rojas
P3) (6 puntos) Un sistema bandabase con ts=tsimbolo=N mseg, donde
N= ultimo digito de su expediente (Si ese dígito es 0 tome N=9), se puede
caracterizar con la base u1(t) de energía unitaria y la constelación mostradas
a) Dibuje una muestra detallada de una posible señal en tiempo y, en base a ella
determine la potencia promedio total
b) Explique si la señal transmitida tiene nivel DC nulo, positivo o negativo
Para calcular los valores de voltaje de los símbolos se multiplica el valor de cada
símbolo que se muestra en la constelación con el valor de la base en la que se
encuentra. En nuestro caso solo hay una base y un total de tres símbolos, por lo
que los símbolos se pueden ver de la siguiente manera.
S1(t) = 0 , 0<t<ts
S2(t) =
, 0<t<ts
S3(t) =
, 0<t<ts
N=6
La potencia total de la señal se calcula por la sumatoria de la multiplicación del
cuadrado del voltaje de la señal probabilidad de que ocurra la señal.
El nivel DC de la señal se calcula por la sumatoria de la multiplicación del voltaje de
la señal con la probabilidad de que ocurra dicha señal.
La potencia DC se calcula elevando al cuadrado el nivel DC de la señal.
PROBLEMA 6
Comunicaciones II. UCAB. Parcial 1. Noviembre 2009
RESUELTO POR LUIS SALAZAR
Problema 2: Se tiene una señal bandabase binaria que, para una secuencia de 4
bits igual a [0 1 0 1], luce como sigue (Voltaje en volts y tiempo en seg.)
a) (2 puntos) Dibuje la(s) base(s) con absoluta precisión.
b) (2 puntos) Dibuje un gráfico intuitivo pero bien justificado de la DEP de
la señal lo mas detallado posible, y de allí defina un posible ancho de
banda del canal.
c) (3 puntos) Compare fortaleza frente al ruido con NRZp de la misma
potencia y misma velocidad
Para 0 < t < 1 seg
1v
para
0 < t < ½ seg
-1v
a) Bases:
b)
Nivel DC:
para
½ < t < 1 seg
BW= 2fb
c)
NRZp:
,RZp es más fuerte frente al ruido porque la distancia mínima entre los puntos de la
constelación es mayor
3,162 > 2,236
Problema 7:
Una señal binaria con P( Transmitir 1) = 4*P ( Transmitir 0) se transmite usando el
siguiente código de línea:
Se transmite el pulso P1(t) mostrado para el “1”, y cero para el nivel “0”
Obtenga, a partir del espectro, el valor de la DC de dicho código de línea.
Respuesta
P(T0) + P(T1) = 1 ;
P(T1) = 4 P(To) ⇒ 4 P(To) + P(To) =1 ⇒ P (To) =1/5 ⇒ P(T1) = 4 / 5
S y ( f ) = S x ( f ) * P( f )
2
Sx(f) = F{ Rx(τ) };
RX (τ ) =
1 ∞
. ∑ Rnδ (τ − nT0 )
T0 n = −∞
Rn = lim
T →∞
T0 ∞
. ∑ aK aK + n
T K = −∞
∞
4 4
T

∧ R0 = lim  0 * ∑ aK aK  = 1. =
5 5
T →∞  T
K = −∞

1 con probabilidad 4/5
aK = 
0 con probabilidad 1/5
aK
aK+1
Px(x)
0
0
1/25
0
1
4/25
1
0
4/25
1
1
16/25
R1 = lím[( To / T)].[( T / To).[(16/ 25 * 1) + ( 4/25*0 ) + (4 / 25 * 0) + (1/ 25 * 0) ]
R1 = 16 / 25
independientes
para todo n ≥1 da el mismo resultado, ya que los bits son
por lo tanto
Rn= 16/25
∞
 1  4
16

δ (τ − nT0 ) ;
RX (τ ) =  . δ (τ ) + ∑
n = −∞ 25

 T0   5
n ≠ 0; T0 = tb
=
∞
4
16
16
δ (τ ) + ∑
δ (τ − nT0 ) −
δ (τ )
5T0
25T0
− ∞ 25T0
SX ( f ) =
4
fb ∞ 16
+ .∑
δ ( f − nfb );
25tb tb n = −∞ 25
S X ( 0) =
16
25tb2
SY (0) = S X (0). P (0)
Si T0 = tb
fb = 1 / tb
2
Pero P(0) = nivel DC de:
P(0) = 0 ⇒ S Y (0) = 0
(∴
∴no hay necesidad de hacer la transformada).
Problema 8:
Halle y grafique la densidad espectral de potencia del código de línea Manchester para
una transmisión binaria con dígitos equiprobables.
Respuesta
P( T1 )= P( T0 ) = 1/2
SY ( f ) = S X ( f ) P ( f )
P (t ) =
P( f ) =
tb
 ftb 
sin c 

 2 
2
tb
 ftb 
sin c 

 2 
2
P( f ) =
 t − tb / 4 

 tb / 2 
π
e
−
e
−
 t − 3 tb / 4 

 tb / 2 
−π
j 2 π ftb / 4
j 2 π ftb / 2
2
−
tb
 ftb 
sin c 

 2 
2
[ e j 2 π ftb / 4 − e −
e
−
j 2 π ftb / 4
j 3π ftb / 2
]
 2 π ftb 
− j 2 π ftb / 2
 ftb 
P ( f ) = tb ⋅ sin c 
⋅ j sen 

 ⋅e
 2 
4


P( f )
2
 2 π ftb 
 ftb 
2
= tb 2 ⋅ sin c 2 

 ⋅ sen 
 2 
4 

S x ( f ) = ℑ{R x (τ )}
=
∞

1 
R 0 + 2 ∑ R n ⋅ c o s( n 2 π t 0 f ) 

T0 
n =1

R0 = lim
T →∞
T0  ∞

aK aK  ,
∑

T  K = −∞

A
aK 
- A
; t0 =tb , n≠0
R= = lim
T →∞
R1 = lim
T →∞
T0
T
T 1

( A. A) + T 1 (− A. − A) = A2

T0 2
 T0 2

T0  ∞

a K a K +1  = 0
∑

T  K = −∞

aK
aK+1
XPx
0
0
A2 ¼
0
1
-A2 ¼
1
0
-A2 ¼
1
1
A2 ¼
Para el cálculo de cualquier Rn, con n>=1 el resultado siempre será cero
ya que la sumatoria del producto de los términos aK y aK+N da siempre cero.
Por lo tanto Rn=0 para todo “n “ diferente de cero.
Entonces la densidad espectral de potencia quedará :
t 
 t 

SY ( f ) = A2tb Sinc 2  f b .Sen 2  2πf b 
43
 423 14
14424
4244
W
Z
Características:
1. Hay poca ocupación de las bajas frecuencias
2. No hay DC
3. Si viene una larga cadena de ceros se puede recuperar el reloj ( hay transición cada
tb).
Problema 9:
Halle y grafique la densidad espectral de potencia del código de línea AMI para una
transmisión binaria con dígitos equiprobables.
Respuesta
El código AMI y(t) se puede representar como la convolución de :
P(T1) = P(T0) = ½
y (t ) = x (t ) * p (t ) ⇒ S Y ( f ) = S X ( f ) P ( f )
S x ( f ) = ℑ{R x (τ )}
=
2
∞

1 
R 0 + 2 ∑ R n ⋅ c o s( n 2 π t 0 f ) 

T0 
n =1

R0 = lim
T →∞
T0  ∞

aK aK 
∑

T  K = −∞

25%
1,

aK 0,
50%
− 1, 25%

R0 = lim
T →∞
aK
aK+1
X
PX
0
0
0
¼
0
±1
0
¼
±1
0
0
¼
±1
-(±1)
-1
1/4
T0
T
T 1
 1
T 1
T 1
(1.1) +
(−1. − 1) +
(0.0) =

T0 4
T0 2
 T0 4
 2
T0  ∞
T

aK ak +1  = lim 0
∑
T →∞ T 
T →∞ T
 K = −∞

R1 = lim
Sx ( f ) =
A partir
de
1
T0
 T (− 1)  − 1

=
 T0 4  4
1
1

 2 .1.1 + 2 .(−1)Cos (2πfT0 )


n>=2 todos los Rn dan
; T0 = tb
cero, por lo tanto la densidad
espectral de potencia quedará expresada como:
Sx ( f ) =
1
[1 − Cos (2πfT0 )] = 1 Sen 2 (πftb )
2tb
tb
Por otro lado la transformada del pulso base del código es :
 t − tb

4
p (t ) = A∏ 
t
 b
2


2

f .t
2
2 tb
⇒
P
(
f
)
=
A
Sinc 2 b

4
2


A2
tb 2
 f ⋅ tb 
2
SY ( f ) =
⋅ se n (π ⋅ f ⋅ t b ) ⋅
sin c 2 

 2 
4
tb
==>
Características:
1. No tiene DC ni componentes discretas
2. Ancho de banda igual al de NRZ
3. Se puede tratar de recuperar reloj (pico en 1/(tb.2)) y luego multiplicar en frecuencia
por dos.
4. Largas cadenas de ceros ∴ no hay reloj.
Problema 10:
Halle y grafique la densidad espectral de potencia
del código de línea NRZ para una transmisión
cuaternaria (±A;±3A) con dígitos equiprobables y
usando pulsos rectangulares.
SY ( f ) = S X ( f ) ⋅ P ( f )
P (t ) =
π  t − t 0 / 2 

t0

2
==> P ( f )
2
= t 0 2 ⋅ sin c 2 ( f ⋅ t 0 )
SX ( f ) =
∞

1 
R
+
2
⋅
R n ⋅ c o s ( n ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t 0 )
∑
0

T0 
n =1

T0  ∞

ak aK 
∑

T →∞ T
 K = −∞

R0 = lim
± A,
aK 
± 3 A,
25%
25%

T0  T  1
T 1
T 1
T 1
 .( A. A) +
(
(
(
− A. − A) +
3 A.3 A) +
− 3 A. − 3 A)

T →∞ T T
T0 4
T0 4
T0 4

 0  4
R0 = lim
R0 = 5A 2
T0  ∞

a k a K +1 
∑
T →∞ T 
 K = −∞

R1 = lim
;
posibles combinaciones tiene su
R1 = 0
complemento
y
porque cada una de las
todos
tienen
la
misma
probabilidad. Para valores de n>1 también ocurre lo mismo. Entonces tendremos
finalmente que:
S X ( f ) = 5 A2 / t0
con t0 = 2tb
Finalmente la densidad espectral de potencia vendrá dada por la siguiente
expresión:
S y ( f ) = 5 A 2 t 0 Sinc 2 ft 0
Problema 11:
Una señal limitada en frecuencia entre 1.5 KHz y 2,5KHz es codificada en PCM 8 bits y
transmitida usando NRZ polar. Asumiendo dígitos equiprobables y pulsos de la forma
p(t)=Sinc((t-0.5tb)/ tb), encuentre el ancho de banda de transmisión mínimo requerido.
Respuesta
El ancho de banda lo podemos obtener de la densidad espectral del código.
rb = f b =
t 


P ( t ) = sin c  rb ⋅  t − b  

2 

P(T0)=P(T1) =1/2
P( f ) =
1
tb
1
⋅π
rb
 f 
  ⋅ − j ⋅π ⋅ f ⋅ t b
r  e
 b
SX ( f ) =
P( f )
2
=
==>
1
⋅π
2
rb
 f 
 
r 
 b
∞

1 
R
+
2
⋅
R n ⋅ c o s( n ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t 0 )
∑
0

T0 
n =1

T0  ∞

ak a K 
∑
T →∞ T 
 K = −∞

R0 = lim
R0 = lim
T →∞
T0
T
T 1

T 1
2
 ( ).( A. A) + ( ).(− A. − A) = A
T0 2
 T0 2

T0  ∞

ak a K  = 0
∑
T →∞ T 
 K = −∞

Rn = lim
porque todas las posibilidades del producto de
los aK por los aK+1 tienen su opuesto y con la misma probabilidad. Por lo tanto
la densidad espectral de potencia queda expresada como:
SY ( f ) =
1
1
⋅( A2)⋅ 2
Tb
rb
 f 


r
 b
π 
=
A2
rb
 f 


r
 b
π 
Como la señal es pasabanda hay que determinar la fS conveniente :
n≤ (fmin / ancho de banda ) ==> n≤ (1500/1000) ==> n=1
==> fmax ≤ fs ≤
==>
2fmin
2500 ≤ fs
≤ 3000
y tomando fs =2500 Hz
==> 2500
muestras/ seg
como se desea usar 8 bits ==>
tmin = tbit = 1/ ( 8 x 2500 )
BW =
finalmente
fb
2
=
1
2 ⋅ t b it
=
8 ⋅ 2500
= 10 K H z
2
Problema 12:
Una señal s(t) digital, binaria, 1 y 0 equiprobables , se transmite utilizando NRZ entre
A y 0 voltios. El espectro de potencia de esta señal es:
G S ( f ) = G X ( f ) | P ( f ) | 2 = 4,5δ ( f ) + 0,0045 Sinc 2 (0,001 f )
Determine A y la tasa de transmisión en bits por segundo.
Respuesta
La señal s(t) es
Como P(0)=P(1)=1/2 la DC es A/2, por lo tanto, PDC = (A2/4) = 4,5. → A = 4,24.
Por otra parte como GS = GX | P(f) |2 y
 t − tb

2
p (t ) = AΠ 
t
 b





.
⇒ P ( f ) = Atb Sinc ( ftb )
2
P ( f ) = A2tb Sinc 2 ( ftb )
2
∴ tb = 0,001 → f b = 1000 b s
Problema 13:
Se transmiten pulsos NRZ con amplitudes -1, 0, 1 y 2 volts. Si su DEP es igual a
G X mod (f ) = Aδ(f ) + Bt sSinc 2 fts
a) Determine A y B
b) Esa señal pasa por un canal que la atenúa 20 dB (no suma ruido). Dibuje la
constelación A LA ENTRADA DEL RECEPTOR cuando ts= tsimbolo=10 mseg.
c) Se decide cambiar solo la forma de los pulsos a RZ. Vuelva a calcular A y B
RESPUESTA
a)
A=Potencia DC = (Nivel DC)2 =(Sumatoria de amplitud.probabilidad)2
2
1
1
  =
4
2
B= Potencia AC = Potencia Total – Potencia DC
3 1 5
PAC = − =
2 4 4
b)
20 log
Para atenuar:
vout =
vout
= −20dB
vin
vin
10
1
16
c)
11
B=
16
A=
Problema 14:
Comunicaciones II. UCAB. Parcial 1. Noviembre 2010 Sección 01
RESUELTO POR ABELIS SALAZAR
a) Determine la Tasa de transmisión (fs=velocidad de transmisión)
b) Dibuje la Señal en tiempo
S1=0
S2=
S3= -
c) Determine la potencia de la señal transmitida
Como