Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Reduce a una sola potencia.
a) (x 2)5
b) (m 4)3
c) [a 10 : a 6]2
d) (a · a 3)3
e) (x 5 : x 2) · x 4
f ) (x 6 · x 4) : x 7
a) (x 2)5 = x 10
b) (m 4)3 = m 12
c) [a 10 : a 6]2 = a8
d) (a · a 3)3 = a12
e) (x 5 : x 2) · x 4 = x 7
f ) (x 6 · x 4) : x 7 = x 3
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Expresa como una potencia única.
a) 52 · (–5)3
b) (–6)8 : (–6)5
c) [74 · (–7)4] : (–7)6
d) (24)3 : 29
e) [(–3)4]3 : [(–3)3]3
f ) (52)5 : [(–5)3]2
a) 52 · (–5)3 = –55
b) (–6)8 : (–6)5 = –63
c) [74 · (–7)4] : (–7)6 = 72
d) (24)3 : 29 = 23
e) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 = –33
f ) (52)5 : [(–5)3]2 = 54
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Opera y calcula.
a) [29 : (23)2] · 53
b) 102 : [(52)3 : 54]
c) 63 : [(27 : 26) · 3]2
d) [(62)2 · 44] : (23)4
a) [29 : (23)2] · 53 = [29 : 26] · 53 = 23 · 53 = 103 = 1 000
b) 102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4
c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 = 63 : [2 · 3]2 = 63 : 62 = 6
d) [(62)2 · 44] : (23)4 = [64 · 44] : (23)4 = [6 · 4]4 : (23)4 = [3 · 23]4 : (23)4 = 34 = 81
■ Raíces de números enteros
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Calcula.
a) √49
b) √72
c) √– 49
d) √152
e) √225
f ) √–225
g) √2 500
h) √502
i) √–2 500
a) ±7
b) ±7
c) No existe.
d) ±15
e) ±15
f ) No existe.
g) ±50
h) ±50
i) No existe.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Calcula las raíces siguientes:
a) √x 2
b) √(–x )2
c) √–x 2
d) √a 4
e) √(–a )4
f ) √–a 4
g) √m 6
h) √(–m )6
i) √–m 6
a) ±x
b) ±x
c) No existe.
d) ±a 2
e) ±a 2
f ) No existe.
g) ±m 3
h) ±m 3
i) No existe.
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Calcula, si existen, estas raíces:
a) ³√1
b) ³√–1
c) ³√64
d) 4√625
e) 4√–625
f ) 4√10 000
a) 1
b) –1
c) 4
d) ±5
e) No existe.
f ) ±10
a) ³√a 3
b) 4√x 4
c) 5√m5
a) a
b) ±x
c) m
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55
Pág. 2
Calcula.
Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.
• 4√x12 = x 3, puesto que (x 3)4 = x 3 · 4 = x 12
a) ³√a 12
b) 5√m10
c) √x 10
³ a12 = a 4, ya que (a4)3 = a4 · 3 = a12
a) √
⁵ m10 = m 2, ya que (m 2)5 = m 2 · 5 = m 10
b) √
c) √x10 = ±x 5, ya que (x 5)2 = x 10 y (–x 5)2 = x 10
■ Interpreta, describe, exprésate
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El brazo mecánico de un robot ha sido programado de la siguiente forma:
— Encendido: inicio del programa.
— Primer minuto: avanza 1 cm y retrocede 5 cm.
— Segundo minuto: avanza 2 cm y retrocede 5 cm.
— Tercer minuto: avanza 3 cm y retrocede 5 cm.
—…
Y así continúa, hasta que, al final de un determinado minuto, se encuentra en la
posición inicial. Entonces repite el proceso.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
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¿Cuántas veces repite el ciclo en hora y media? Justifica la respuesta.
MINUTO
1
2
3
4
5
AVANCE
1
2
3
4
5
RETROCESO
5
5
5
5
5
VARIACIÓN
–4
–3
–2
–1
POSICIÓN
–4
–7
…
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Veamos cuánto dura un ciclo completo:
MINUTO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
AVANCE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RETROCESO
5
5
5
5
5
5
5
5
5
VARIACIÓN
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
POSICIÓN
–4
–7
–9
–10
–10
–9
–7
–4
0
Un ciclo completo dura 9 minutos.
Por tanto, en hora y media (90 min), repetirá el ciclo 90 : 9 = 10 veces.
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Una plataforma petrolífera marina se sostiene sobre flotadores, a 55 metros
sobre la superficie del agua, anclada en una zona con una profundidad de 470 m.
Sobre ella, hay una grúa de 35 m de altura, de la que pende un cable y en su extremo un batiscafo auxiliar para los trabajos de mantenimiento de la plataforma.
En este momento, la grúa ha largado 120 metros de cable y sigue bajando el batiscafo a razón de un tercio de metro por segundo.
a) ¿Cuál o cuáles de estas expresiones representan la distancia del batiscafo al fondo
en este momento?
470 + 55 + 35 – 120
470 – [120 – (55 + 35)]
(470 + 55) – (120 – 35)
b) ¿Cuánto tardará el batiscafo en llegar al fondo?
c) ¿Cuánto tardará la grúa en izar el batiscafo hasta la superficie de la plataforma, si
sube a la misma velocidad que baja?
a) Todas las expresiones son equivalentes y representan la posición del batiscafo, que está
a 440 m del fondo.
b) Tardará 440 · 3 = 1 320 segundos. Esto es, 1 320 : 60 = 22 minutos.
c) Desde el fondo hasta la plataforma, hay 470 + 55 = 525 m.
Tardará 525 · 3 = 1 575 s = 26,25 min = 26 min 15 s
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros